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Matemática 2 - espinoza ramos

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  • quisiera el libro donde lo conseguiste??
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Matemática 2 - espinoza ramos

  1. 1. f (x )d x = L im ^ Y f (
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  3. 3. Categoría • Administración • Algebra • Análisis Matemático • Anatomía • Arquitectura • Arte • Artículos • Astronomía • Atlas • AudioLibros • Automatización • Base de Datos • Biblia • Biología • Bioquímica • Cálculo • Circuitos • Cirugía • Cocina • Comic • Computer Hoy • Contabilidad • De Todo • Derecho • Dermatología • Diarios • Diccionario • Diseño Grafico • Diseño Web • Documentales • Dummies • E-Books • Ecografía • Ecología • Economía • Ecuaciones diferenciales • Educación Primaria • Ejemplos • Electricidad Enciclopedia Estadística Filosofía Física Fisiología Ganar dinero en internet Geología Geometría Ginecología y Obstetricia Guías HackCrack Hidráulica Historia Ingeniería Ingeniería ambiental Ingeniería Civil Ingeniería de Materiales Ingeniería de Minas Ingeniería Industrial Ingeniería Petrolera Ingles Integrales Inv. Operaciones Leer Online Libros Libros Copyleft Libros Unicef Liderazgo y Motivación Linux Logística Maestra Infantil Manga Manual Manualidades Marketing Matemática Discreta Matemáticas Medicina Metalurgia Mi Novela Favorita Multimedia Noticias Odontología Ofimática Oftalmología Pediatría Procesos Unitarios Programación Psicología Química Radiología Recetas Redes Religión Revistas Rincón Literario Robótica Romántica Salud Seguridad Sexualidad Sistemas Operativos Sobre Escribir Soldadura Solucionario Termodinámica Tésis Topografía Transferencia de Calor Transferencia de Masa Tutorial TuxInfo VideoTutoriales Windows zoología Electrónica Mecánica
  4. 4. ANALISIS MATEMÁTICO PARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERÍA (TERCERA EDICION) ♦ INTEGRAL INDEFINIDA ♦ INTEGRAL DEFINIDA ♦ APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA ♦ INTEGRALES IMPROPIAS ♦ APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA A LA FISICA ♦ INTEGRACION NUMERICA ♦ FUNCIONES ESPECIALES ♦ ECUACIONES PARAMETRICAS ♦ COORDENADAS POLARES EDUARDO ESPINOZA RAMOS L I M A - P E R U
  5. 5. IMPRESO EN EL PERÚ 03 - 03 - 2002 3SEDICIÓN DERECHOS RESERVADOS Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopia, registros magnéticos o de alimentación de datos, sin expreso consentimiento del autor y Editor. RUC Ley de Derechos del Autor Registro comercial Escritura Publica Ne 10070440607 Nfi13714 Ne 10716 Ns4484
  6. 6. En la presente obra Intitulada “Análisis Matemático II para Estudiantes de Ciencia e Ingeniería” en su 3ra. Edición, hemos aprovechado de los numerosos y valiosos comentarios y sugerencias de mis colegas que elaboran en las diversas universidades de la capital, al igual que la 2da. Edición se expone en forma teórica y práctica, los métodos de integración, integral definida, integración impropia, integración numérica. Ecuaciones Paramétricas, Coordenadas Polares y sus aplicaciones, las funciones Beta y Gamma, ios polinomios de Taylor, así mismo se ha incluido en las integrales indefinida las ecuaciones diferenciales sencillas y sus aplicaciones, se ha hecho la demostración de las propiedades de la integral definida, se ha incluido también mas ejercicios desarrollados y propuestos de las practicas y exámenes de las diversas Universidades de la capital. La parte teórica se desarrolla de manera metódica y con especial cuidado, tratando de no perder el rigor matemático pero tratando de no caer en el excesivo formulismo que confunde al lector. La lectura provechosa del presente trabajo requiere del conocimiento previo de las funciones reales de variable real, los limites y continuidad de una función, así como la derivación de las funciones en una variable. # La presente obra es recomendable para estudiante de ciencias matemáticas, física, ingeniería, economía y para toda persona interesada en fundamentar sólidamente sus conocimientos matemáticos del análisis real. Por ultimo deseo agradecer y expresar mi aprecio a las siguientes personas por sus valiosos comentarios y sugerencias.
  7. 7. DOCTOR PEDRO CONTRERAS CHAMORRO Ex-Director de la Escuela Profesional de Matemática Pura de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Catedrático Principal en Pos-Grado de la Facultad de Matemática Pura de la UNMSM Miembro Fundador de la Academia Nacional de Ciencia y tecnología del Perú. Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma. DOCTOR EUGENIO CABANILLAS LAPA Doctor en matemática Pura, Universidad Federal de Río de Janeiro—Brasil. Director de Pos-Grado en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Catedrático de la Universidad Nacional del Callao. LIC. ANTONIO CALDERON LEANDRO Ex-Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ing. Pesquera y Alimentos de la Universidad Nacional del Callao. Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la Universidad Nacional del Callao. Coordinador del Area de Matemática en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Ricardo Palma. LIC. SERGIO LEYVA HARO ExJefe del Centro de Computo de la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad Nacional del Callao. Catedrático en la Facultad de Ingeniería Ambiental y de Recursos Naturales de la Universidad Nacional del Callao. LIC. JUAN BERNUI BARROS Director del Intituto de Investigación de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la Universidad Nacional del Callao. Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. LIC. PALERMO SOTO SOTO Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma. LIC. JOSE KIKE BRONCANO Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Coordinador del área de matemática en la Facultad de Ciencias Matemáticas Puras. EDUARDO ESPINOZA RAMOS
  8. 8. D E D I C A T O R I A Este libro lo dedico a mis hijos RONALD, JORGE y DIANA, que Dios ilumine sus caminos para que puedan ser guías de su prójimo
  9. 9. P R E S E N T A C I O N En la presente obra, Eduardo Espinoza Ramos, demuestra que sigue avanzando, no solo en el aspecto técnico formal de la matemática, si no que, su avance se manifiesta en la selección cuidadosa y esmero en la impresión de esta obra. Su formación de matemático, como su experiencia en la docencia universitaria, se amalgaman y dan como fruto una obra que marca un camino en su madurez profesional, obra, que seguramente llenará un vacío para quienes no solo desean “resolver problemas” sino también conocer el lenguaje formal y las ideas de esa hermosa ciencia que es la matemática DOCTOR PEDRO CONTRERAS CHAMORRO DIRECTOR DE LA ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICA PURA DE LA UNMSM ASESOR DEL “CONCYTEC”
  10. 10. 1, INTEGRAL INDEFINIDA 1.1 Introducción 1 1.2 La Antiderivada de una función 2 1.3 La Antiderivada General 2 1.4 La Integral Indefinida 3 1.5 Fórmulas Básicas de Integración 5 1.5.1 Primeras Fórmulas Básicas de Integración 6 1.5.2 Segundas Fórmulas Básicas de integración 13 1.5.3 Terceras Fórmulas Básicas de Integración 18 1.5.4 Cuartas Fórmulas Básicas de Integración 21 1.5.5 Integración por Sustitución o Cambio de Variable 23 1.5.6 Integrales de funciones que contienen un Trinomio cuadrado 27 1.5.7 Ejercicios Propuestos de las Fórmulas Básicas 32 1.5.8 Ecuaciones Diferenciales sencillas 52 1.5.9 Movimiento Rectilíneo 54 1.5.10 Aceleración Constante 56 1.5.11 Movimiento Vertical con Aceleración Gravitacional Constante 58 1.5.12 Ejercicios Desarrollados 60 1.5.13 Ejercicios y Problemas Prepuestos 69 1.6 Métodos de Integración 73 1.6.1 Integración de las Funciones Trigonométricas 73 1.6.2 Ejercicios Propuestos 87 1.6.3 Otras Integrales Trigonométricas 94 1.6.4 Ejercicios Propuestos 97 1.6.5 Integración por partes 102 1.6.6 Casos Especiales de Integración por Partes 117 1.6.7 Ejercicios Propuestos 122
  11. 11. 130 143 150 169 181 186 190 196 201 215 218 229 253 268 269 270 276 280 280 282 296 300 302 302 303 307 308 Integración por Sustitución Trigonométricas Ejercicios Propuestos Integración de Funciones Racionales Ejercicios Propuestos Métodos de HERMITE - OSTROGRADSKI Ejercicios Propuestos Integrales de Funciones Racionales de Senos y Cosenos Ejercicios Propuestos Integrales de Algunas Funciones Irracionales Fórmulas de Reducción Ejercicios Propuestos Ejercicios Desarrollados Diversos Ejercicios Propuestos C A PITU LO II INTEGRAL DEFINIDA Sumatorias Propiedades de las Sumatorias Fórmulas de las Sumatorias Ejercicios Propuestos Calculo del Area de Una Región Plana por Sumatorias Partición de un Intervalo Cerrado Aproximación del Area de una Región por Areas de Rectángulos Sumas Superiores y Sumas Superiores Propiedades de las Sumas Superiores e Inferiores Integral Definida Propiedades de las Integrales Superiores e Inferiores Integral de RIEMANN La integral como limite de Sumas Calculo de la Integral Definida usando Intervalos de igual longitud
  12. 12. 4.1 Introducción 450 4.2 Integrales Impropias con Limites Infinitos 451 4.3 Integrales Impropias con Limites Finitos 454 4.4 Criterios para la Convergencia de Integrales Impropias 457 4.4.1 Criterio de Comparación 457 4.4.2 Criterio de Convergencia para Funciones Discontinuas 457 4.4.3 Criterio de Convergencia Cuando un Limite de Integración es Infinito 457 4.4.4 Ejercicios Propuestos 461 4.5 Aplicaciones de la Integral Impropia 473 4.5.1 Areas de Regiones y Volumen de Sólidos de Revolución 473 4.5.2 Problemas Propuestos 480 4.6 Funciones Especiales 483 4.6.1 Definición de la Función GAMMA 483 4.6.1.1 Propiedades de la Función GAMMA 483 4.6.1.2 Ejercicios Desarrollados 489 4.6.2 Definición de la Función BETA 491 4.6.2.1 Propiedades de la Función Beta 491 4.6.2.2 Ejemplos Aplicativos 493 4.6.3 Ejercicios Propuestos 497 4.7 Integrales Dependientes de un parámetro 502 4.7.1 Ejercicios Propuestos 509 4.8 El Polinomio de Taylor 511 4.8.1 Aproximación de Funciones por Polinomios 511 4.8.2 Polinomios de Taylor Engendrado por una Función 513 4.8.3 Fórmula de Taylor con Resto 518 4.8.4 Teorema del Valor Medio para Integrales 522 4.8.5 Teorema del Valor Medio Ponderado por Integrales 522 4.9 Ejercicios Desarrollados 524 4.10 Ejercicios Propuestos 529
  13. 13. 7.3.1 Area Bajo una Curva dada en forma Parametrica 7.3.2 Longitud de Arco cuando la Curva es dadapor Ecuaciones Farametricas 7.3.3 Area de una Superficie de Revolución cuando la Curva es dada en forma Parametrica 7.4 Problemas Desarrollados 7.5 Ejercicios Propuestos C A PITU LO VIH COORDENADAS POLARES 8.1 Introducción 8.2 Relación entre Coordenadas Polares y Rectangulares 8.3 La Recta y la Circunferencia en Coordenadas Polares 8.4 Ejercicios Propuestos 8.5 Trazado de Curvas en Coordenadas Polares 8.6 Ejemplos 8.7 Ejercicios Propuestos 8.8 Distancia entre Dos Puntos en Coordenadas Polares 8.9 Intersección de Curvas en Coordenadas Polares 8.10 Derivadas y Rectas Tangentes en Coordenadas Polares 8.11 Aplicaciones de las Integrales en Coordenadas Polares 8.12 Ejercicios Desarrollados 8.13 Ejercicios Propuestos APENDICE BIBLIOGRAFIA
  14. 14. Integral Indefinida 1 C A P I T U L O I I. INTEGRAL INDEFINIDA 1.1 INTRODUCCION.- El problema básico de la derivación es: Dado el recorrido de un punto móvil, calcular su velocidad o también, dada una curva, calcular su pendiente. El problema básico de la integración, es el caso inverso: dado la velocidad de un punto móvil en cada instante, hallar su trayectoria o también dado la pendiente de una curva en cada uno de sus puntos, calcular la curva. En el estudio del cálculo diferencial se ha tratado esencialmente: Dada una función hallar su derivada, muchas aplicaciones importantes del cálculo, guardan relación con el problema inverso, es decir: Dada la derivada de una función, hallar tal función por ejemplo: /*(jc) = 4, g'(x) =5jc4. Ahora el problema es hallar ffx) y g(x), pero con un poco de astucia se puede hallar dichas funciones, esto es: Esta iteración de determinar la función original a partir de su derivada es la inversa de la derivación y lo llamaremos cálculo de la función primitiva o antiderivada.
  15. 15. 2 Eduardo Espinoza Ramos DEFINICION.- La función F: I----->R, se llama la antiderivada o primitiva de f: 1---- >R, si F '(x)= f(x), V x g I. (I= [a.b]) Ejemplo.- Sea / ( jc) = 5jc4 y g(x) =3e3x, V x e R, las funciones F(x) =x5 y G(x) = eix para x e I respectivamente puesto que: G(x)=eix para x e R son las antiderivadas de f(x) y g(x) F{x) = jc5 G(x)=eix F'(x) =5x4 =/ ( x) G'(x) =3eix =g(x) Sin embargo las funciones Fx(jc) = je5+ 7 y Gx{x) =eix +5 también son antiderivadas de las funciones / ( jc) = 5jc4 y g(x) = 3e3x respectivamente, puesto que: F,(x) =x5+ 7 G¡(x) =eix +5 F¡(x) =5xA= /( x) G|(x) =3eix =g(x) análogamente, otras antiderivadas de f(x) y g(x) son por ejemplo: F2(x) =xs - 4 , F3(x) =x5+4n, FA{x) =x5 +a , G2(x) =eix - 7 , G3(x) =eix - e * , GA=eix +b donde a y b son constantes cualquiera, puesto que sus derivadas son iguales a f(x) y g(x) respectivamente. En general, si F(x) es una antiderivada de f(x) es decir que F'(x) =/ ( jc) , por lo tanto F(x) + c, también es una antiderivada de f(x) para cualquier constante c, puesto que su derivada es igual a la función ffx), es decir: (F(x) +c)'= F ’(jc) = f(x) DEFINICION.- Si la antiderivada de f(x) es F(x) sobre I. Entonces la función G(x) = F(x) + c, se denomina la antiderivada general de fíx). El significado geométrico de la antiderivada F(x) de fíx), es que cualquier otra antiderivada de f¡x) es una curva paralela al gráfico de y = F(x).
  16. 16. Integral Indefinida 3 OBSERVACION.- Resulta claro que el cálculo de antiderivadas o primitivas no determina una única función, si no una familia de funciones, que difieren entre sí en una constante. El proceso del cálculo de antiderivadas o primitivas se suele denominar integración y se denota por el símboloJ , llamado signo de integración, el símbolo Jf(x)dx se llama integral indefinida de f{x). IA LA INTEGRAL INDEFINIDA,- DEFINICIÓN 1.- Si F(x) es una antiderivada de f(x) sobre un intervalo I. osea F*(x) = /(jt), entonces a su antiderivada general G(x) = F(x) + c se denota por: Al cual le llamaremos la integral indefinida de f(x). NOTA.- De la definición de la integral indefinida se tiene: G'(x) =F'(x) = / ( x) es decir:
  17. 17. 4 Eduardo Espinoza Ramos PROPIEDADES.- De la definición de integral indefinida se tiene las propiedades: 1) -~~(f f(x)dx) =( í f (x)dx)'= (F(x) +c)'= F'(x) = /Xx) ósea que “La derivada dx J J de la integral indefinida es igual al integrando” es decir: 2) d(j f(x)dx) =(jf(x)dx)'dx =f(x)dx ósea que “La diferencial de la integral indefinida es igual a la función integrado por la diferencial de x, es decir: 3) Si f es una función derivable en I, entonces una antiderivada de / ' es f y 4) Se conoce que d( f(x)) = f'(x)dx, luego de la propiedad (3) se obtiene: OBSERVACION.- De las propiedades (2 y (3), a la integral indefinida también podemos interpretarla como una operación inversa de la diferenciación, puesto que la integral indefinida al actuar en la diferencial d(f(x)) reproduce la función f(x) más la constante de integración. Ejemplo.- Con las propiedades de la integral indefinida, se tiene, que por simple inspección: 1) J (x2 + 3x + 2)dx =j* ~ x1 + 2jc)+2x+c
  18. 18. IntegralIndefinida 5 2, r „ r , sen3* cos4x sen3x cos4jc 3) J (cos3jc- sen 4jt)dx = j d{-------+ ---- ) = —-— + ——— + c 3 4 n-1 n~ 4) fxndx - í d(—— ) = —— + c , n * -1 J J /i +1 n +1 DEFINICIÓN 2.- En toda integral indefinida J/(jc)rfx, a la función f(x) le llamamos función integrando y a la variable x le llamaremos variable de integración, la constante c es llamada constante de integración, a J/(jt)rfx también se lee “integral indefinida de f(x) diferencial de x” NOTA.- Sugerimos al lector el dominio de las fórmulas básicas de integración, de tal manera que, en el estudio de las técnicas de integración sea amena y ágil, para tal efecto hemos agrupado en cuatro partes las fórmulas básicas. 1.5 FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION.- 1.5.1 PRIMERAS FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION;- Sean f, g funciones derivables, k y c son constantes, entonces: © i d x-x+ c © ^Kf(x)dx =K ^f(x)dx fH'l (T) jd(f(x)) =f(x)+ c (? ) jx"dx = +c © J( / (x) ± g(x))dx = J/l(x)dx ± Jg(x)dx Sea u = f(x), una función diferenciable en x
  19. 19. 6 Eduardo Espinoza Ramos © j e udu =eu +c audu =——+c,a>0, a* 1 ln a © Ju2 +a2 a a © ¡ © í Ejemplos de aplicación de estas fórmulas. Calcular las siguientes integrales. Jx(a - bx2)dx Solución Como x(a-bx2) =ax-bx3 entonces: Solución A la función, se expresa en la forma: +c _ x 2m-f2 _ 2x m+n~li2 + X 2x li2 = jt(4m~1)/2 - 2x (2m+2n~l)/2 +x(4n-l)/2 entonces j ^ - Z £ ^ - dx = - i x ^ 2^ 12 +x iAnl)l2)dx jc(4m+l)/2 2JC<2m+2',+1>/2 x(4»+l)/2 (4wj +1) / 2 (2/w+2« +1) / 2 (4« +1) / 2
  20. 20. Integral Indefinida 7 2-s/jt4m+1 W x2m+2n+1 2-v/x4n+1 + 6* 4/w+l 2w + 2/i + l 4/1+1 © |(.x—v/x+l)(V^+l)rf* Solución Efectuando la multiplicación de (x--Jx + l)(-/it +1). es decir: (jt—Jx +lft-Jx +1) = x3/í +1. entonces: 2x'n J(x--/x +l)(-s/x+l)dx=j*(x3/2+)dx © f g(-*)./'(.T )-g'(*)■/(*) dx J g~(X) Solución o t- i i j ■ . j, f ( XK g(x).f'(x)- f(x).g'(x) Se sabe que la diferencial de un cociente es: a(------ ) = ----------------- --------- dx g(x) [g(*)]~ Ahora reemplazando en la integral se tiene: g{x).f'(x)-f{x).g'{x) f .,/(* ), f Wr g (x),f(x )-n x).g '(x )dx r /(x) = J J OÍ*) © J [*W ]2 ' J *W *M 3+lnjc J ------- dx x Solución +c A la integral escribiremos en la forma: r3 +lnjt , dx r. dx , ln2x -------- dx =3 — + lnx.— = 31n|jc| +-------+c J x J x J jc 2
  21. 21. 8 Eduardo Espinoza Ramos dx x 2 —4jcH-13© Solución Cuando en el denominador se tiene una expresión cuadrática como en éste caso, se completa cuadrados. x 2-4x + 13= (jc2-4jc + 4)+9 = (jc-2)2+9 r dx r dx 1 í ? ^ u = J í í ^ ? ' 3 arc,e,- r ,+ ‘- Jt+1 . — dx 2x Solución Cuando se observa que el diferencial del denominador se encuentra en el numerador o su diferencia esté en un factor de proporcionalidad, en éste caso se aplica la fórmula (7) es decir: Sea u = x 2 +2x =>du = 2(x+l)dx, de donde, ahora reemplazando en la integral: f * +^ dx= f— = —ln|w|+c* = —ln| x2+ 2x|+f J J 2u 2 2 1 1x 2 +2x J 2u 2 x3dx Solución + jc4 En forma similar al ejercicio (7) se tiene: Sea w= l+.v4 => du =4xidx => x3dx =— Ahora reemplazando en la integral: r xydxtdu 1. . , I . . . 4 , I —= 1 — = —ln u = —In 1+jr +<• Jl+ jc4 J 4w 4 4 *%■
  22. 22. integral Indefinida 9 (¿ ) j(ax +b)* 2dx Solución En éste ejercicio se aplicará la fórmula (6) es decir: Sea u = ax + b => du = adx dx =— a Ahora reemplazando en la integral: f ✓ » f 3/■> du 1 2 *¡ti 2 I (ax +b) “d x= u " — = —.—u° “ +c = — (ar +fe) “ +c J J o a 5 5¿z © J x w +bx"dx Solución A la integral dada lo escribiremos en la forma: | x " l^!a +bx"dx =j (a+bxn)U2x H'dx ...(1) Ahora aplicando la fórmula (6), es decir: Sea u ~ a +bxn => du =bnxM]dx de donde xn idx =— ... (2) hn Luego reemplazando (2) en (1) se tiene: f „ , /---- , f 1,2 du 1 n , 2(a +hxn)v l , I A fev í/rV = I ti ------= -------14 + C' ------------------------------ + C J J hn 3hn 3hn (¡T) ^ J jclnx Solución En ésta integral aplicamos la fórmula (6), es decir:
  23. 23. 10 Eduardo Espinoza Ramos dx Sea u = ln(ln x) d u~ ------ , ahora reemplazando en la integral se tiene: jtlnx f In(lnx) , f. dx f , u2 ln2(ln(x)) — —dx —I ln(lnx)------ =1 udu =— +c = ----- +c ¿ jflnx J jclnx 2 2 2 © f *— Solución A la expresión, agrupemos en la forma: ^ l+ x 2 +(l +x 2)3,2 =^(l + x2) +(l+x2h/l +x2 = -J(l + x2)(l+Vl + ="n/i +x2-Jl+Vl+Jr2" f xdx f C„ ít Tx !;■> xdx ------------ = -----= (l +Vl +x -) 1/’ -7_ . . . ( l ) V1+* + fl + *~)3 2 ‘yjl +x 2 ahora aplicamos la fórmula (6), es decir: Sea u =l +T¡l-tx2 => du = .X^X *.-(2) Vl+.v2 Reemplazando (2) en (1) se tiene: f ..... .A^A......fu ll2du = 2u1'2+c =2^1WT+*2 +c W T Solución En el presente ejercicio aplicaremos la fórmula (7); es decir:
  24. 24. IntegralIndefinida 11 3 i- _ 2 Sea u =1+x-Jx , de donde du =--Jx dx entonces -s/jcdx =—du 2 3 Ahora reemplazamos en la integral dada, se tiene: r -Jxdx 2 [du 2, . . 2, /-. ------ 7= = - — = —ln |m| +c= —ln 11+W * | +< J 14- yJ r 3 * u 1 3 © ¡ 1+x4x 3 J m 3 t'are,gJ +xln(x2 +l) + l dx + xl Solución En primer lugar aplicamos la propiedad (7) es decir: r +xln(x2+1) + 1 re*m * , f -> x í/x f dx I ----------:----T--------------------------------------------------- — '* = I ------T dx+ ln<*‘ + ,>--- J l + X~ J 1 + X 1 1 + X" •’ l + X " Ahora aplicamos las fórmulas (6), (8) y (10), es decir: f +xln(x2 +1) +1 ln2(x2+l) -------------- ^------'— dx= +-- --------+arctgx +c J 1+x" 4 x2+3 x‘ (x' +9) Solución En los ejemplos anteriores, para el cálculo de las integrales, lo que sé hacia era expresar en una forma de tal manera que, se pueda utilizar las propiedades básicas de integración en forma directa, pero ciertas funciones no es tan fáciles de expresar en forma directa, esto depende de la práctica que se tenga y de la habilidad de la que está calculando; tal es el caso del presente ejercicio, es decir, en el cálculo de la integral, se hace de la siguiente manera. x 2+3 = x 2+ —(x2+ 9 -x 2) = —x2+—(x2+9) 3 3 3 ahora reemplazando en la integral dada se tiene:
  25. 25. 12 Eduardo Espinoza Ramos r x 2 +3 _ 1 f 2x2 +(x2 +9) _ 1 f. 2x2 x 2+9 J x V + 9 ) 3J jr2(x2+9) ~ 3 J r ( x 2 +9) + jt (jc2 +9) l r r 2dx rdx1 l r2 x l n = T[ I-T—r + I— ] = r t r arctg-— ]+c 3 J jr + 9 J jr 3 3 3 x f—JWv7 dx x(x' +1) Solución En forma similar al caso anterior, el numerador expresamos en la forma: 1= (x7 +1) - x 1, ahora reemplazamos en la integral dada: f f = f ^ A ' A - f ^ J x(x7 +1) J x(x7 +l) J x(x7 +1) J x(x7 + l) r dx _ r x dx (aplicando la fórmula 7) J x J x 1 +1 = ln |x |- y ln |x 7 -h11-i-c:* 5> V cpn r — cosjcdr sen" x - 6sen* + 5 Solución cosjc dx r cosjc dx f cosjc dxÍ cosx dx _ r cosjc dx r sen2jc-6senjc + 5 J (sen2jc-6senx + 9 )-4 J (senjc-3)2 - 4
  26. 26. Integral Indefinida 13 En éstas fórmulas básicas van a considerarse los casos en que él integrando es una raíz cuadrada de una expresión cuadrática. Sea u = f(x) una función diferenciable en x, entonces: Nota.- Las integrales de este tipo se calculan completando cuadrados. Ejemplos de aplicación de estas fórmulas. Calcular las siguientes integrales. O -r= r=3 V -* 2-6 x -6 Solución
  27. 27. 14 Eduardo Espinoza Ramos En la expresión completamos cuadrados: - x2-6 jc-6 = 3 -( x2 +6+9) = 3 -(jc+ 3)2 ahora reemplazando en la integral y aplicando la fórmula (1) t dx t dx /*+3, - .vr-_,-r= = = = arcsen(—-=-)+c 3 4 - x 2 -6 x -6 J ^ 3 -(x +3)2 V3 Solución Completando cuadrados en la expresión 5- 2x + x 2 se tiene: 5-2jc +jc2 =x2 -2x + 1+4 = (jc-1)2 +4, ahora reemplazando en la integral y aplicando la fórmula (2) f . - - f - ^ = = - ^ =^-r = ln lx -l +V5-2x +x2 |+c J V5-2x + jc2 J ,/(x -l)2+4 ® J - A -J W l-ln x Solución dx i / * . . . . a) W l-ln 2 x V l-ln2jc Sea u = lnx ==> d u - — ... (2) x Reemplazando (2) en (1) se tiene: — . *** = f . = arcsen(w)+c = arcsen(lnx) +c x s lí^ iñ ^
  28. 28. Integrai Indefinida 15 Solución A la integral dada escribiremos así: ? v „ f senx eosx dx= )_ f 2senx.eosx ^ 4'ÉO - £ (1) V2-sen* v 2 .12-(sen’ .t)2 Sea w= sen2x => d&=2senxeosxdx ...(2) Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene: r sen.yeosx , 1 r du 1 , « v 1 ,sen2x x , = dx =— . = —aresení—¡=)+c = —arcsen(— )+r J V2-sen4x 2 J 2 ^ 2 ^2 J-/.Y2-2 x -l <ÍT Solución Completando cuadrados: jc2—2jc—1= (a —l)2—2 , reemplazando y aplicando la fórmula (5) se tiene: J Vx2- 2 x -l dx = J-^(x-l)2 -2 dx x—1 -y/x2-2 x -l -lnlx-1+ V x2- 2 x - l +c © Ja/2 ax -x 2 Solución Completando cuadrados: la x -x 2 = a 2-(x -o )2. Ahora reemplazando y aplicando la fórmula (1). r dx r dx ,x ~ a. I = - = —¡ = = = = aresenf------)+c J -Jlax-x1 J -Jo2 -(x — ' 2o)
  29. 29. 16 Eduardo Espinoza Ramos Q J (8x-3 )dx ~<J2x-4x2-5 Solución Cuando se tiene éste tipo de integrales, en el numerador se pone el diferencial de la cantidad subradical, luego se resta ó suma una cantidad de tal manera que, resulte la misma expresión, es decir: d(12x - 4x2- 5) = (12- 8jc)dx r (&v-3)rfr r ( 1 2 - 8 x - 9 )dx _ ^.r (2-% x)dx ^ r dx *J2x-4x2 - 5 Vi2 x -4 x 2 - 5 ^ jl2 x -~4x^-5 ^|l2x^A x2^-5 = —2-/l2x-4jEZ-5 -f—f . = = 2-» T T h x-2} =-2'yj2x~4x2-5 +^arcsen(—y ~ ) +c O J V2 +x2 —v/ 2—jc2 —dx 4 ^ . Solución A la expresión, separamos y simplificamos -/2 + jc2 - ^ 2 - x 2 _ -v/2+ x 2 —n/2—jc2 _ -/2 + .t2 —s/2—jc2 V 4 - x 4 -^(2 + jc2) ( 2 - x 2) ^¡2+ xI ^ Í2 ^ 7 2 V2+X2 V2-X2" -^2+x 2-j2 -x 2 ^¡2+x2-j2 -x 2 -j2 -x 2 ^2 + x2 Ahora reemplazamos en la integral dada se tiene:
  30. 30. Integrai Indefinida 17 = arcsen(-^=)—ln|x +1/ 2 +x3 +c ■n 1(x2+¡fríP +1 Solución 2 Al integrando divide, numerador y denominador entre x /■ 2 u j ----(1------------------------T*1*(x -1)dx _ r rr (x -îjfflr _ f jr f____ ' (x2+lh/x4+l •'(x 2+lh/xî + I (vJ.Iv Ü + J_ * V X2 Ahora hacemos la sustitución: w= x +— => ¿« = (1— ^-)rfx * x2 1 2 2 1 ? 1 7 « w=x +— => u - x +-— +2 => * +■— = « -2„ 2 2 * X X enseguida reemplazamos en la integral f (x“ - l )dx r du 1fu|1,x+1. ---------- = — , ■= —;=arcsec—==+c - —¡=arcsec(-==-----)+c J (x2+ lh /7 7 7 J w^ / ^ 2 -J2 -fi J2 J ï x Í x2 +17 10) I — = d x Vx2 +9 Solución r x2 +17 . f(x2 +9) + 8 . f x2 +9 , _f dx I , dx= — , - ■ - dx= dx +S -,--=■ Vx2 +9 Vx + 9 Vx2 +9 -/x2+ 9 = fVx2+9dx +8f — J -vx2+9 = —[xVx2+9 + 251n|x + -/x2 + 9 |+c 2
  31. 31. 18 Eduardo Espinoza Ramos 1,5.3 TERCERAS FÓRMULAS BASICAS DE INTEGRACIÓN,- En éstas fórmulas básicas vamos a considerar a las funciones trigonométricas, para esto tenemos una función u = f(x) diferenciable en x, entonces: | sencidam -m sw | c u"§$ Jíg&ifc ~-ífí:|€OSí¿:|^ £?) =ífe|^e£f+ tg(^+ Jeosecuutu ~ in[cosecu-c tgu | = In)tg~ |+c ( ? ) | ses- u.du:- :f e f x ^ ^ ^ u M i^ - c X g u +& J smtt. tg « ;é íN :^ # ^ t■ ^pj) J w s e p m ^ ^ Ejemplos de aplicaciones de estas fórmulas Calcular las siguiente integrales. Jsen(x2 -4x +5).(jc-2)rfx Solución Sea w= jc2 - 4 jc+ 5 => du =2(x-2)dx , de donde (x -2) =^y reemplazando en la integral dada f -ivj f du eos u cos(x2 -4x +5) I sen(jr -4x +5).(x-2)dx= I senu.— = -------- +c = ----------------------+c ^ 2i 2* 2 J cos(sen x +x 2).(2x+ eos x)dx
  32. 32. Integral Indefinida 19 Solución Sea u = sen x +x 2 => d u - (2x + eos x)dx , reemplazando en la integral dada J cos(sen x +x 2)(2x + eosx)dx =J eosu.du =sen u +c = sen(senx +x 2)+c © tg(V*2 +4)x dx J x 1 +4 Solución Sea u =-/x2 +4 => du =—¡ ^ ^ = . reemplazando en la integral dada: V*2+4 [ tg(Vjc2 +4) X<^L= = f tg u.du = ln |sec u +c =ln|sec(Vx2 +4)|+c J V x 2 + 4 J (7) Jetg(ln.r)-^ Solución dx Sea u = ln r => d u - — , ahora reemplazando en la integral dada: x Jc tg(lnx) — = | c tgu.du = ln |sen w| +c = ln |sen(lnjc)| +c ( 5) J sec(3x +5)dx Solución Sea u =3x + 5 => du = 3dx => rf*= ^ , ahora reemplazando en la integral dada. f sec(3x + 5)dx = fsecm.— = —ln |sec u -1-tgu | +c = —ln |sec(3x + 5) + tg(3x + 5) | +c * J 3 3 3
  33. 33. 20 Eduardo Espinoza Ramos x) +c ® [secasen + J 2-4x Solución c r j 2'Jx +c.oS'Jx . Sea u = senV* +x => du = -------- ¡=------dx 2-Jx Ahora reemplazando en la integral dada: Jsec(sen^[x +x)( ^ ^ )dx = J sec 2u.du = tgu +c = t g ( s e n +x) (7 ) | secasen x ) tg(-Vseñx)^Jcigx^fcosxdx Solución f— eosxdx JctgW cosx Sea w- Vsen x => du =—= = = ----------------dx 2vsen.v 2 De donde, ahora reemplazando en la integral se tiene: | sec(-Vsenjc) tgí^sen x)^/c tgWcos x rfx = 2J sec k.tgw.dw= 2sec w+ c = 2secasen x) + t © fv r+ eos 8xdx Solución Se conoce que: eos24x = l + cos8x = 2cos2 4 x, ahora reemplazando en la integral dada: a/2 sen 4x JV1 + cos8xí& = JV2 eos24xí/x = a/2 Jcos 4x.dx = -+£■
  34. 34. Integral Indefinida 21 1.5. En estas fórmulas básicas vamos a considerar a las funciones hiperbólicas, para esto consideramos una función u = f(x) diferenciable en x, entonces: ( 1 ) Jsenhw.rf.v = coshí* + é (¿p J coshfe^f« = senhw -i c (”Í ) J tgiiu.du = ]nl'cosh» | +¿ (7 ) jc i0 ü .M ± ínjséah»} # ( 5) Jsec/?’?«*/ igliw+f (g) | cmechhi-du = -ttgh ?) J cosecte./. tghí<uíw = cosec/«/ +<: Ejemplos de aplicación de estas fórmulas básicas. © í sec hx.dx Solución r > , 1 2le Como sec hx = coshx ex +e~x e2x+ l' Hacer: u =ex => du =exdx, reemplazando en la integral dada: í sec hxxix =2 f—^----d x - l [ =2arctg(w)+c =2 arctg(e*) + c J J e~x +1 J u~ +1 J(3senh7,v-8cosh7x)rfx Solución J (3senh7x - 8cosh7x)rfx = 3jsenh7x.<lc-8j cosh lx.dx = - C° ^ — - ^ 5 ^ L +C (T) J 5tghA.sec h2x.dx
  35. 35. 22 Eduardo Espinoza Ramos Solución Sea u = tgh x => du =sech2x ¿y, reemplazando en la integral dada, y por la fórmula 9) de la primera parte se tiene: cu ,-tgh.r f5Ighse c/r* dx= 5“du= — +c = - -----+c i i ln5 ln5 © j cosh2x.dx Solución €'X+€ X 1 cosh2x.dx = (---------- )2 = —(e2* +e 2jr+2), reemplazando en la integral dada 2 4 i i 2x ícosh2x.dx =— [(e2x +e~2x +2)dx = —[—----— +2x] +c J 4 J 42 2 1 1 x - —(senh 2x +2x)+c =—senh 2x +—+c 4 4 2 © i senh jc.coshjc.dx Solución senh5x J senh4x cosh x.dx =J (senh x)4cosh x.dx - (ó ) jV*.cosh{e*)senhfc* )dx Solución | ex cosh(er)senh(e' )dx = J senh(^x).cosh(er)£xdx = + C senh2e* ■+•c ----- ' 2 du (7) ísenh(-v/x)-^r J v x
  36. 36. Integral Indefinida 23 Solución senh^/jc)= 2 í scnh(-Jx )d(*Jx) =2 cosh(J x )+c OBSERVACION - En ciertos casos es preferible elegir un cambio de variable en la forma mas adecuada a fin que la integración sea fácil de resolver y este caso veremos con el nombre de integración por sustitución o cambio de variable. 1.5.5. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE,- TEOREMA.- Si x = (JKt) es una función diferenciable entonces: Probaremos que G(t) es la integral indefinida de la función / , esto es que se cumple: Demostración Sea F(x) = J/ (x)dx y definimos G(t) = F(<Kt)) (2) Lo que es equivalente G(t) = f(4>(l))jp'(t)dt ... (3) En efecto se tiene: dG(t) __ d^F(<¡>{t)) = — F(x) , x = <J>(t) di dt dt
  37. 37. 24 Eduardo Espinoza Ramos dF(x) dx (regja ^ ja ca(jena) dx dt = f(x)4'U) pues dFj X^ = f{x) dx - f ((¡>(t))$ (/) (lo cual demuestra 2) Se concluye que: Sí x = <|)(t) entonces J / (x)rfx = F(x) =F(<¡>{t)) - G{t) =J f (t)dt Ejemplos.- Calcular las siguientes integrales. J xjx -2 dx Solución Sea t = x - 2 => x = t + 2 => dx = dt, reemplazando en la integral jx lfx - 2 <¿*= J(/+2)Vr rf/ - J(í4/3+2tlli)dí = 3 /7/3 + 3 /4,3 +c = i (jf_ 2)7/3 +l( x - 2 ) 4/3 +c © í # iV i- *2 Solución Í x3á _ f x 2jr dx sea / = 1—x* => x2 = l- f => xdx = --y , reemplazando en (1)
  38. 38. Integral Indefinida 25 1 3/ 7 !/■> .111 1V 3) f 3 = - t 1- +c =t ' ( — l ) + c = — ---- + í = V 1—JC (-------------------- ) + c 3 3 3 3 Jv5Vi ~v2rfv Solución Jx5 Vi- *2dx- J(x2)2Vi- *2x dx...(1) Sea / = 1—jr2=> je2 = 1-/ => x dx =- ^ , reemplazando en (1) J * 5Vi“ -T2rfx= J(x 2)2Vi“ *2* rfx= J ( l- /) 2Vf = J ( l - 2 / + r ) - v /7 ( - ^ - ) = | j ( 2 / J' 2 - f 1 / J - t ‘i / 2 )d t 2 f 1 1 1 2 1 7/■> =—r — r ¿— / +c 5 3 7 © I -t HJ W-v -1 = ^(1-V 2)5'2 --(1-A -2)3 2 - I ( l- X 2)7/2 +f 5 3 7 d x -1 Solución Sea f2 = v3- l => .v3 =1+/2 => x2f/v= zí_í^ reemplazando en (1)
  39. 39. 26 Eduardo Espinoza Ramos f dx f x 2dx _ r 21 di J w * 3-1 _ J 3(i+/2)^ r 2 =-J ----7=—arctg/+c =—arctg(-y/jc3-l)+ c Solución d t Sea i = jr5+1 => x4dx = — , reemplazando en la integral dada: f_ * . 1 fc ' " d t ^ +c = W +D6' 7+c 30 30 r x t t f * = I f , J 5ift sJ © |^ 2 + ^ 2 +a/2+ 2cos(5^ +4 M '1(2* Solución Por la identidad eos2—= ■*—C0S-* de donde 1+ eosx = 2 eos2— ^/2+2cos(5^/x +4) = a/2.^/i +eos(Wx +4) = ^2^2 cos^ * = 2 cos("*^*+ ^) ^¡2+-y¡2+2cos{5-Jx+4) =^2 +2 c o s - ^ ^ - -^2+-^2 +-^2+ 2cos(5V* + 4) =-^2+ 2 eos = V2^1 + eos ^
  40. 40. Integral Indefinida 27 pr pr 5-/x + 4 5-J x +4 =V2.v2.cos--------- = 2cos----------- ahora reemplazamos en la integral dada J ^2 + +-J2 + 2cos(5^/x + 4) . x V2dx =2Jeos — jc'^dx 5-/x+4 8 rf,v -i/? 16 => —ífc = — = => .v ~dx = — d: 8 5 " 2-v/jc 5 J-^2+-j2+-y/2 + 2cos(5-s/x +4)Fjc 1/2í/x= 2J c o s ífc = — senr +c 32 5Vx + 4 = — sen--------- +c 5 8 Se traía de las integrales de la forma siguiente: Las integrales de la forma (1) y (2) se calculan completando cuadrado en el trinomio y aplicando 11 y 12 de la Ira. fórmulas básicas 11, 2 y 3 de la 2da. fórmulas básicas es decir:
  41. 41. 28 Eduardo Espinoza Ramos r dx 1 f dx *ax2 +bx+c o J b 7 4cfc- ¿ 2 (* +— )“ +----— 2a 4¿r í z f c - i l - rf-Y x a x ^ b x +c f 6 .7 4ac-Zr I,x+ ü > - + ^ r - Luego aplicar las fórmulas indicadas para las integrales de la forma (3) y (4), primeramente se calcula la derivada del trinomio cuadrado 2ax + b. Luego se acomoda en la expresión ax + b en la siguiente forma: ax+b =— [2cx+d]~— +b, como se observa que la expresión 2cx + d es la 2c 2c derivada del trinomio cuadrado, luego reemplazamos en cada una de las integrales. j l 1 ¥ U U U LA U 1 V 1 1 1 1 V / W W U U i U U KJ* A U V C 1V i l t U U U I (ax+b)dx a r (2cx+d) J ,, ad t dx — ---------=— — 5---------dx+(b- —- ) —¿--------- cx~+dx+ e 2c J cx~ + dx+e 2c J cx~+dx+ecx~ -n aquí se aplica la propiedad (7) de las Ira fórmulas básicas y la integral de la forma (1). En forma similar para la otra integral r (ax +b)dx _ 2 l Í 2cx+d + ad r dx ^cx2 +dx +e ^c J Ver2+dx +e ^c J ^Jcx^dx^-e aquí se aplica la propiedad 6 de la Ira fórmula básicas y la integral de la forma (2). Í dx — -------------- x~ +2x +3 Solución Completando cuadrado x 2 + 2x+3 = (x +1)2 + 2
  42. 42. Integral Indefinida 29 Í dx — — r ' —j r -7 jt+ 10 Solucion •, 49 49 Completando cuadrado jc‘ - Ix + 10 = (*“ - Ix +— )+ 10-----= (x - 4 4 -_Z_! f dx r dx 1_ ,' i i , 1_ . j t - 5 , -------= ------=----- o = T ln |----5 - 5 - 1+í' = T ln |— ^ l+ f j jc2 -7 jc+ 1ü / y——)" —— 3 r - Z + i . 3r ” 2 2 4 22 ¿A Ejemplo.- Calcular la integral - p J V4x-3-Jc2 Solución Completando cuadrados 4jc—3—Jt2 =1—(a2- 4 y+ 4) = 1-( y- 2 ) 2 í . = - f -= ^ ^ ^ = =arcsen(v-2) +c* JV4r-3-Jt2 JJl-(*-2)2 dx Ejemplo.- Calcular la integral f .................* J V r 2 + 6 r + 13 Solución Completando cuadrados ,v2 + 6x + 13 = (x+ 3 r +4 í ___ — ____ - f ----- = In|x+3 W-V2 +6~y+13 1 J V *2 +6.V + 13 ^/(v-f3)2 4 4 0 (v -2 )dx Ejemplo.- Calcular la integral I ---------1 1 — ~ ^ x -lx-* 12 Solución +r r-|<n
  43. 43. 30 Eduardo Espinoza Ramos 1 2*-7 + 3 1^ 2x—7 | 3 2 x 2 - l x +12 2 jc2 - 7 jc+ 12 2(x2- 7 a*+ 12) se observa que 2x —7 es la derivada del trinomio x 2- lx + 2 f ^ - 2|A = i [ , 2 x ~ 7 — J a - 7 a + 12 2 J jf - 7 x + 12 2 J a - 7 a + 12 = —In | .y2 - 7.y + 1 2 1+ — [ -------^ — - 2 2 J , 7 i 1 (x — ) — 2 4 x _ 7 _ I —ln|A2 -7 x + 12| +—.— ln | ---- 1 | +c 2 2 1. 711 2(—) A - - +- 2 2 2 —ln|x2 —7,v+121+—ln |——-+c 2 2 Jc-3 3jc 1 Ejemplo.- Calcular la integral í — ------------ dx J 4x —4.V + 12 Solución 3 4 3 1 3.y-1 = -[8 a - 4 + - ] = - ( 8 a- 4 ) + - 8 3 8 2 í dx—^ í ^a-4 dx+^ í 1 4x2-4 x + 17 * 8 J 4a-2 - 4 a+17 * + 4a2 - 4 a + J7 = —ln|4x2 - 4 a + 17|+—í ------P ------ 8 8 J . l j . (x ------) +4 2 1 3 1 = —ln 14x2- 4x +171+— arcig —+c 8 16 2
  44. 44. Integral Indefinida 31 = —In I4x2 ~ 4x+171+— arctg(——-) +c 8 16 4 Ejemplo.- Calcular la integral í l)dx_ V x 2 +2.V + 2 Solución se observa que 2x + 2 es la derivada del trinomio r ( 3 x - l ) d x 3 | r 2 * + 2 „1r d x W x 2 + 2x + 2 2 , ‘ 1 1 ■> - - a x q J V x " + 2 x + 2 r( x + 1)2 +1 = 34 x l + 2 x + 2 - 4 In I x + 1 + -/x2 + 2 x + 2 | + c (4 —7jc)rfjcf > Ejemplo.- Calcular la integral I . Vx2+2x-8 Solución 4-7x = - - [ 2 x + 2 - — l = --(2 x +2) +ll 2 7 2 se observa que 2x + 2 es la derivada del trinomio (4-7 x)¿/x 7 f 2x +2rrfxr (4—Jxjux _ ¡c ¿x +¿ r 3 -Jx2 + 2x-8 2 -*Vx2 +2x-8 ^ ■¡(x+l)2 -9 = -7-y/x2+2x-8 + llln |x + l+ V x 2 +2x-8 |+c
  45. 45. 32 Eduardo Espinoza Ramos 1.5.7. EJERCICIOS PROPUESTOS DE LAS FÓRMULAS BÁSICAS.- Calcular las siguientes integrales indefinidas inmediatas: © f 3ax1- 2bx , 7 dx Vax3-b x 1 Rpta. 2^ax*-bx2 +c © f a*eos x.dx Rpta. (a sena +cosx - 1)] ,w J (a*sen a*+ cosa -1) 1-m © f dx Y(l +A2)ln(A+-/l +A2) Rpta. 2^/ln(x +'/l +x2) +í* © 1ln(C0SX).tgX.rf* Rpta. ln2(cosA)--------------+ c 2 © f^/l +lnx . ---------- dx J A Rpta. —(1+lnx)4'3+c 4 © f x" Va Rpta. 2 i „ -----■%/n 4 - h v 4 - c ^]a +bxn V u F C/JV T t nb © f x-arctg(2x) ^ Rpta. ln(l +4x2) arctg2(2jc) J 1+ 4x" * 8 4 © r ¿v Rpta. 1 (aresenx)3^ - x 2 7 2(arcsenx)~ © f Ja Rpta. arctgtO +c © r a* ln¿/ , ----- — dx J l +o2r Rpta. arctg(tf*)+c © re*(l +xlnx) , ------------------rfx J A Rpta. ex lnx +c
  46. 46. Integral Indefinida 33 @ © © © © @ jt2v(lnjc+ l)rfr r * v 2VJC-JC e +x dx sen 2x^ + 2cos 2x dx 4x(xi,2 - 4 )}rfv a +bx2 ax+b dx px +q xdx VJC2 +1 V* + In y JC jrd.Y y dx 'j6~9x2 ln(x+-/l +*2 ) 1 + J T dx e'dx x 2x Rpta. +c R p ta .------ p r - e 1 + l n | y | + c 3x^Jx Rpta. -i(l+2cos2ji-)3/2+ r Rpta. - ( jt3,2-4 )4 + f 6 Rpta. — nci +bx2 |+t* 2b _ ¿/x b p -a q . . cj Rpta. — +——:pMn|jt +—l+c P p~ P Rpta. (jr2 + l)2 + r _ _ f— liT y Rpta. 24 x +—-—+c Rpta. (x2+8)2 +c _ I ,3x Rpta. —arcsen(— )+£■ a +hex Rpta. y[ln(x + ^ l+ x 2)]2 +£ Rpta. ^-lna +he* [+r
  47. 47. 34 Eduardo Espinoza Ramos í d x 4 + (jc-2y . 1 x - 2 v Rpta. —arclg(------)+c 2 2 j x d x 6+ (3 + 2a2)2 _ 1 3+ 2x2 Rpta. — arctg(— = —) +c 4V6 V6 sen a rfx COSA* Rpta. ln |1 —eos x | + c Rpta- -y—ln | j —| +<• 16 x2-X sec~ x d x a + h tgx Rpta. —ln| a+ ¿tgx|+í* b í see2 x d x 6 + 2 t g 2 x ^ 1 ,tg x Rpta. —= arctg(-T^) + c 2V3 V3 © © Je i 2 x i ) d x Ídx 7 Í ^ © J xln" x 2'3~i ex-2 Rpta. yí?ílr5 )+c Rpta. ln.r 3 , 6. +c Rpta. - ( - ) " ( 1 25 5 In6-ln5 ) + c © I 1 8 ¿ t 9 x 2 - x A _ 2 1. , jc+ 3 . R pta.-------InI----- 1+c a 3 a - 3 COSA Rpta. 2V - cos a + c © f , fJ sen .r^/ctgjc-1 Rpta. (í tgx-1)3 +<
  48. 48. Integral Indefinida 35 © (x2-2x + l)5 l - x senh xdx dx (1+ coshA) (]n.i+I)e'lnxi/r dx 7 l 2 a x~ -b ascnx cosx dx 1+senx dx x - cos X e hxdx l- e hx x2dx .3 v2 (a +bx ) x3- l x4-4x+ dx dx x 2-4v+ 8 18dx x2 + 4x-5 , sec 2x i , (----------)~dx l + tg2x Rpta. 1 2(1+cosh x) +c Rpta. xx +i _ 1 . , ax-b . Rpta. — -ln|---~+c lab ax +b Rpta. a Ina + c Rpta. In | x - cos x | + c Rpta. ^ -ln |l-e bx | +c Rpta. - 1 3b(a +bx ) Rpta. -^-ln|A'4 -4a + 1|+c _ 1 fx-2 Rpta. —arctg(-——) +c 2 2 Rpta. 3In | ——- | +c x +5 Rpta. - 2(1+tg 2x) +c
  49. 49. 36 Eduardo Espinoza Ramos 4dx V -4x2-20a -9 Rpta. 2arcsen(^^) +t- I aretgV* d* Vx + 2x2+x3 Rpta. arctg2V*+c © i dx cos2A-Jl + tg-V Rpta. 2^/l + tgjr+c © J 2x - Varcsenx V i-* 2 dx Rpta. - l 4 - x 2 (aresenx) -n j lnxdx x(l+ln~ x) d v 1 ? Rpta. —ln|l + ln~ x|+c 2jt © dxí — J <?2'+ i Ílnx-1 . --- y— dx ln x Rpta. ln|e +é~x |+c Rpta. +c lnx j g 'W ( g W ) 2 dx Rpta. g(x) ■+c x ln x -(l +x2)arctgx x(l +x2)ln2x dx _ arctgx Rpta. ---- — +c lnx i 1-xlnx Xí? dx _ lnx Rpta. ---- + c / x r(xln2x +xlnx-1) ln2x dx Rpta. ---- +c lnx © iV i-* 2 Vl-X2 aresenx-x (aresenx)' dx Rpta. +c aresenx
  50. 50. Integral Indefinida 37 @ © © © g(x).g'(x) ■Ji+gHx) dx ex~e dx ln(2x) dx ln(4x)x 2 + x + 3arctg3x 1+ jr sen~Jx cos^x dx £ ln(2x) + In2jt dx 3x dx In %*— dx e€ e€ ^Xdx x dx (1+a*4)arctg3a*2 sznlxdx cos'' x + 4 ex sen(4er +2)dx (x + 2) dx ^/x3 + 6x2 + 12x+ 4 Rpta. ^l +g 2(x) +c Rpta. e€ +c Rpta. In x —In 2. Ln | x In x 1 3 Rpta. —ln(l + x2) + 2arctgx + —arctg4x + c 2 4 Rpta. -cos2 Rpta. Z irr |2 x |+ ^ln 3|x|+~-ln2.1n|x|+c Rpta. e€ + c 1 R p ta .---------- —- +c 4arctg“ x Rpta. -ln|cos x + 4|+c Rpta. - Z cos(4^' + 2)+c Rpta. —'vx3+6x2+12x + 4+6*
  51. 51. 38 Eduardo Espinoza Ramos © © ® V3-t4 +4.v3+6x2+12jf+9(.v3 +x~ +x +)dx Rpta. -j^(3x4 +4x3 +6x2 +12a+9)5 + c x 3+x + 5 x 2+l dx 4+4 l ^ x : a/3-3jc2 dx Rpta. — + 5arctgx+r J 3 Rpta. -^-(x + 4arcsenx) +c (x +l)(x2 +l)ln(x2 +l) + 2x2 Vj _ 4 7 ----- ----------------—-e ' dx Rpta. xe ln(l +jc2)+ c x 2 +l dx x(ln(ln (lnx))).(ln(lnx))lnx 3+xln(l +x 2) 1+x2 dx xdx (x-2)dx 4 x 2-4x + 13 / 1 1 ^ T T—rr)^ x~ -a~ x~ —u sen x-xlnx. eosjc dx a sen' a* lnxrfv (1-ln2x)x Rpta. |ln |ln |ln J |lnx|||+c 1 ? Rpta. 3arctgx +—ln~(l+x~) +c 4 Rpta. yarcsen(jc2)+c Rpta. ^'x2-4x + 13 +c Rpta. —ln | —----- —| +c 2 x -k~ __ lnx Rpta. — -fe senx Rpta. ~ y in |l- ln 2x|+c
  52. 52. Integral Indefinida 39 © © © © © x idx V T v e'dx e2x -6e' +13 sec2xdx -Jtg2x +4tg.t + l 1------ Vl+-v2 dx exé ~ e 2x dx Vs- 4 x -* 2 dx Vis +2 X - X 1 dx jcV* -9 In2a* rf.v V*- £^2a+3e' senjcdx V2- COS2 A dx Vs- 6a -9a-2 dx 42x-9x- -1 Rpta. arcscn(x4)+c 1 ex -3 Rpta. —arctg(--------)+c 2 ^ Rpta. In | tg.v+ 2+Vtg2x + 4tgx + 11+r Rpta. iVl + JC2 -31n|x +V*2+1 |+c* Rpta. -arcseii(e *) +£• Rpta. arcsen(* j ^ )+¿ Rpta. arcsen(^Z) +c Rpta. Z arcscn(lnx 2)+c 2ex -3 Rpta. arcsen(— Vi7 i .3.V-2 Rpta. - a r c s e n ( — ^ - ) + c 3 V2
  53. 53. 40 Eduardo Espinoza Ramos s cos x dx V -2-sen2x+3senx Rpta. arcsen (2 sen x -3 ) + e Í 2 dx V9x2-6x + 2 Rpta. —ln |3 x -l W 9x2 6x +2 |+c 3 3dxr óa, J T T tTI^4ln2x +9 Rpta. —ln^ lnx+^ T n2 v+ 9 |-fc* 2 i 3xdx í JC4 +6.V" +5 Rpta. y ln |x 2 +3+V*4 + 6x2+5 |+c rfx +J?x+# Rpta. ln |x +'y +'Jx2 + px+g I+c íoo; f , J Vl +tf'r +e2* Rpta. ln|e' +—+-Jl+ex + e2jt |+c 2 © í dx V -26-16x-2;r Rpta. —p^arcsen(—pr-)+c V2 V3 [102 j lnxdx rVl+ 41nx-ln2 Rpta. - V l-41nx-ln2x - 2 arcsen(^+^ *)+c V5 103 eos xdx Vsen2x +senx +1 Rpta. ln12senx +1 + l^sen2x +senx + 11+c 104J see x <íx J * ^tg2x+tgx +1 Rpta. ln|2tgx + l +2^tg2x + l +2-s/tg2x+tgx+l |+c
  54. 54. Integral Indefinida 41 -x)dx a/4 .v 2 - 1 2 v + 7 © 108 109 © © © © © © © Rpta. -ln |2 .v -3 +V4.t2 -12.V+ 7 - - ^ 4 x 2-12.Ï + 7 +< 4 4 4dx eos W l-sen 2 a-+ 2 eos- v Rpta. 41n|(tg2 x -I) +- J t g 2 a* - 2 tg y +3 |+r e o s " A'(tg~ A' + l) (sen y-feos a )' dx Rpta. 1 [see A - t g A 1sec X+ tgX (8a -3) dx dx Vi2jl—4 r2-5 *Ja2 +/>2x2 eos ax ¿7a ^[a2~+s+sen_¿7v 'sjl—x - x 2dx tJx2 + x dx Vx2 - 2 y+ 22 1+ tu v •+t Rpta. In Isee x + tg x | - ln |see x | + e Rpta. - 2-/i 2 y - 4 x 2 -5 +—aresenf + 1 2 2 Rpta. —ln|/?A+^]a2+b2x 2 | +c b 1 /7 ^ Rpta. —Inlsenav +V*?" +sen~ tfx|+t a/ a 2 + 2 A'+ 5 dx Rpta. * 2 + 2x + 5 + 21n| a + 1+ Vy^ + 2 x + 5 |+ ¿ 2 y + 1 r ----------— 9 2 a + 1 Rpta. -------V 2 - a —y “ + —aresení--------)+ ( 4 8 3 Rpta. V-V2 + v - ln | 2 a +1 + 2Vx2 + x | Rpta. -—- ^ v 2 —2 y + 2 +—ln| y - I + V - y "* -2x +2 | + r
  55. 55. 42 Eduardo Espinoza Ramos © © 1119 120 © 123 125 126 127J .128 V-*2-2.V-3 d x V6a - x 2 d x d x Rpta. V-v2- 2a - 3 - 2ln |a -1 +Vv2- 2x - 3 | + í - „ . a -3 r T 9 /a- 3 Rpta. ------V6 x-x +—arcscn(—-—)+< 3 ■ yfx- 1 +~<]x + 1 f/t -Jlx+l—<Jx Rpta. - j ( ( * + l ) 2 —(.v —1 ) 2 ) + c Rpta. 2(^/2x+l +-s/x)-2(arctg-/2jc+1+arctgV*)+ c v2sL-ni 1(sen Y+ Acosx inr)¿/vRpta. —x2sen' +t* In3x jtln5jt €?*+4 dx 2 V+3 ¿7,v ln(2 lnjr+^ln A 3 - 8 2e -fe 3eT-4^ Rpta. I n — . l n l l n S . v l + l n j c + c 1 Rpta. —— In 11+ 4 ^ ' | +c* 4 - - Rpta. —+1)2 -4(4x + 1)2 +f 3 Rpta. i(A ---i-ln(2'+ 3))+ í 3 ln2 Rpta. ^jlnx+^Jlna +...+* r 8 Rpta. — + j ln |x 3-8|+f Rpta. ln|V3tJ2r -4^3-4^ 2* |+r
  56. 56. Integral Indefinida 43 129 f —f^ X- Rpta. 2a r c t g -1 +c J -Je*-l 1^130) Rpta. 2-Je* + 2 - 4 arctg(—g ~ ) +c (¡3l) f 4 = ^ Rpta. - ( í '’r - l) 3,2-2(<?r +l),' 2+í- ^ J Vi+fr 3 ® r lnxrfx _ „ l —---------- R p ta .------- ----------- r +c J y3n n r -13 ?r-íln >-_l2 lnaí/x 1 ---------- - R pta.------- ^----- x J(lnx-l) 2x~(lnx-l)' ^ J ^ / +x V - r - l Rpta. t>aiclg* +—ln2(1+x2)+ aretex+c 4 (134) Jsen(o +bx)dx Rpta. - cos^ + ^ +c (135) J sen(lnx) ^ Rpta. -cos(lnx) +c (oó) Jx cos(2-x2)dx Rpta. —^sen(2-v2)+c (Í37) Jsen' 4xcos4xífa Rpta. -en^ ~ - +c 139) @ J tg|)sec2(^)dx Rpta. 4 tg 4(v) +í' 4 3 r sen x cosx d n x 1 /---- r— ■... R p ta .------(/eos2x+c Veos2x -sen 2x ^
  57. 57. 44 Eduardo Espinoza Ramos 140J © 142 144) 145 146J 147J 148 149J 150J 151 152 cos(sen x + 2.v)(cosx +2)dx tg(senx + 5) eosx dx see2(cos(ln jc)) sen^lnx^¿x eos(sen x) eos x dx sen■fx dx ■fx lg-Jix +1 dx V3x+T , dxítg(lnx)— JC tg^/ínx dx dx x~Jhx cos“(1-4jc) eos1xdx 1-senjc dx 1+cos 10a' dx 4+5 eos“jc dx Rpta. sen(sen a*+ 2 a ) +c Rpta. ln|sec(senjc +5)|+c Rpta. -tg(coslnx) + c Rpta. sen(sen jc) + c Rpta. -2cosa/jc+c 4 +5sen“ x Rpta. —ln|sec v 3 jc + 1 | Rpta. ln|sen(lnx)|+c Rpta. 2In |secVlnjc [+c Rpta. - “ te(l-4jc) +c 4 ™ a. eos~ xRpta. sen a ----------+c 1 ^ tlíX Rpta. -aretg(^-^-) +c 6 3 I ,3 tg jc % Rpta. —arctg(—^—)+c 6 2
  58. 58. Integral Indefinida 45 153 1154 155 157 158 159 161 163 164 165 -s/l +senx dx 1+ tgx sen 2x dx •>/]+ cos 2x dx Vl - cos 2x dx ■yjl+ cos 8x dx -s/l - cos8x dx senVcosjc.-Jtgx.senx dx cos 6x + 6cos 4x +15 cos x +10 cos 5x +5cos3x+10 cos x x2cosh(x3+3)dx dx senhx.cosh2x e2x cosh x dx e xsenhxdx senh3x.cosh2 x dx Rpta. - 2a/1-sen x +c 1 tgx Rpta. —In | cos ec2x-c tg 2x | + 2 2 Rpta. V2senx +c Rpta. - a/2 cosx + c V2 Rpta. -^-sen4x + c O . a/2R p ta .------cos4x +c Rpta. 2cosVcosx +c dx Rpta. 2senx +c _ senh(x3 +3) Rpta. ----- --------- +c x, 1 Rpta. ln|tghy| + coshx +c e3x ex Rpta. ---- +— +c 6 2 lx € X R p ta.-------—+c 4 2 +c
  59. 59. 46 Eduardo Espinoza Ramos (lóó) J— (lne+lnx.lne*)í/x Rpta. ex lnx+c f x2/3+x4esen3,r cos3x +x3 , _ , 3 -7/3 esen3jr -------------------------------- dx Rpta. — x + - - - - J x4 7 3 168 172 1174 f O-*) , „ 1 1 1 ----- — d x R pta.------- r +^ ------+c J x 4 3x x2 x (l69) J x^4 +x 1dx © í r2e - e -3 , _ , , r I —--------------- dx Rpta. x +ln(í? —3) +c J -Jo*e - 2e - 3 Rpta. -^(4 +x2)3' 2 +c ^ 7 0 ) J 4 l a x - x 1 d x Rpta. arcscn -——+ ° - J l a x - x 2 (x2+2x)dx _ 1 3 , 7 ,.7/3 Rpta. —(x +3x*+l) +c & 3 + 3 x 2 +1 2 f * 1 . I . Rpta. —arcsen(— )+c J -/n „4 2 3V9-X4 2 ^ (l73) J6x.e J rfx Rpta. -3t,r +c f (6-2x)rfx a/8-4 x- 4 x2 7 2x + l 175) I . = Rpta. ------------------+—arcsen—---- J V 8-4x-4x2 2 2 6 + c
  60. 60. Integra! Indefinida 47 178J 179 180 © 182 183J 184 185J 186 © 188 189 ( v + 3 )d scns veos Vdx dx 5v- -20.V + 23 dx dx a/ - 5 - 1 2 a - 3 a-2 dx VW9 - v a d 5 + r 4 dx 2.x + x +1 rfx 6 - 12-4v -Ja: -hl x2 ■ic'dx dx vin y Rpta. V-v"*+2x +2 lnI y->-l+Vv2+ 2x (+i _ sen6 X Rpta. --------+t 1 V 5 (v -2 ) Rpta. —=arciu----- — +c VÎ5 - V3 1 v-1 Rpta. — arctg(—^ ) + r V3 *v3 I r v+ 2 Rpta. —=arcsenv3(—^ ) +<‘ a/3 a/7 Rpta. 2arcsen(-~) + c- 1 t 2 Rpta. —p^arettz^r+ r 2^5 ^ 2 4 x + 1 Rpta. -=arci u— + a/7 - V7 1 , , a- 3 - ^ 3 9 , R p ta .-----= - ln I ---- ---- 2 -J 3 9 v - 3 + a / 3 9 1 />A- Rpt&. —aresen— +<: b a Rpta. 2^' 2 +r Rpta. In(lni) +£
  61. 61. 48 Eduardo Espinoza Ramos 190 © 192 193 © 195 196) © I98J 199J 200 In v dx _ In- Rpta. ------ +t xn( +x~)dx Rpta. -^[ln(l + v2)]2 +r 1+x- dx ■Jx{±^fx) (21n v+ l)rfx x[ln' x + Ina ] x dx (2 —7v) Rpta. 21n(l+Vv) +r Rpta. ln(ln~ x+ ln r) + t* 1 4-7x Rpta. — ( . )+t 49 J l^ T x V2x-3 dx (2x-3)r 3+1 Rpta. 2[(2v 3)-----------------( 2 a 3 > — + — r — 3 - ^2,v-3 + a r c t g -3 ]+< x^[x +] dx xv2-5x rfv dx a/x+1- Vx v 2 a/1 + x r/v xv4 +x dx 2 7 Rpta. -j(x + l)* “ ——(x + 1)3 2+ r Rpta. — (2-5.v)5 2 (2-5.t)3,2 +c 125 75 Rpta. y[(.v + l)3 2+,v3' 2]+c Rpta. ~ (1+x)7' 2 + l')5 2 + 2 +í’ Rpta. ~ (a +4)5' 2 -^(.v +4)3' 2 +c
  62. 62. íntegrai Indefinida 49 © J ;x5dx Rpta. | [ (9+X8 )8' - y ( 9 +x2)5' 3 + y (9 +jc2)2' 3]+ e +x* 202 J dx (1+VTTjc)1' 2 Rpta. y(l+ V Í+ ^),/2(V Í+ 7-2)+ f (2Ô3) Jx2(x+ 3)n r/v (x+3)14 6(x + 3)13 . 3(x + 3)12 R p ta.------------------- :-----+------------ +í 14 13 Rpta. —ln(t,T+2)--[e2* -4 + c x -5x+9 [205) f *~ ----- ¿v J X 2 -5x+6 Rpta. x+ 31n———+c x -2 206) JX 2 -3x~8 X2 -2x + l dx 10 , ,Rpta. x +-------ln |x -l|+ c X —1 207J j X2 +1 (x +2)2 dx Rpta. .y - 4 In I.V+2 Ì --------+c x +2 20H) I *J v~ (4x+ 5Wa­ x' + 2x + 2 Rpta. 21n|x" +2. +2| +arctg(x + l)+c 209; {3x-5)dx X -8 a+42 Rpta. —In IV2-8x + 42| +-¡Z=arctg(^=^) +í- 2 -s/26 -V2 6 © f - 5x +3 + 4x +4 rfv Rpta. 51n|x + 2| +-------+c x+ 2 211 j (x- + l)rfx (X 3 +3x-7)' Rpta. _____1_ 3(x3+3x-7) •+£•
  63. 63. 50 Eduardo Espinoza Ramos ® M * 2+ l)ln(x2+ I)+ 2.ver arctg-v ^ ln(x2+ l)g> J x 2+l x2+l Rpta. e* ln(x2+1) arctgx+c © r r(l + x2)cosx +(l +x +x2)senx %1. _ . , r. 7 J [-------------- — ------ ------- e }dx Rpta. e Vl +x~ sen x + 1 214 217 218 f (x +l)(x2+l)ln(x2 + l) +2x2 , v| 2 , , -----------------------------------e dx Rpta. xe ln(l + x )+t 3 x '+ l © fr2(x2 +x+l) + (2x3+6x2+5x +2)lnx x , _ r 7 [—----------- --------- í-----e*dx Rpta. xVl + x+x-í?Mnx +< J 2vx2+x +l [21ó) Suponga que f(x) es una función “suficientemente derivable” simplifique la expresión dada: a) f(x3 íx3fx)dx+ f"{x))dx Rpta. x3(l + f(x)) + f ”(x) dJ dx J b) J(x/(x))'djr Rpta. x f(x) c) J(4/"(x) + 5/'(x))rfx Rpta. 4 f(x ) +5f(x) d) J“(íx/(x))"+x/,(x) +f(x))dx Rpta. /(x) +x(/(x) +/ ’(x)) e) J(x /'(x ) + /(x))rfx Rpta. x f(x) rsenxí;,g2* ] lR:,- --------—— dx Rpta. —e g +c J eos x 2 f 4arctg2x+2x2+l + 5x+2 , _ 4 3 5 . , ? I -------------------------dx Rpta. 2x +—arctg x +—ln|x~ +1| +<* J l +x~ 3 2
  64. 64. Integral Indefinida 51 2 1 9 220) 222 223J 225 226 227J 228J 229 230 i-’ +lh/4 - 2 i2-y" ( 4.V+ 4 d x d x d se n v. s c n (c u s x ) d x scc a . u x. c o s(se c jc )d x V i + v + V i - A ' 2 v r ^ 7 V v ^ i - V ^ i r/v V 7 ~ dar d* (v + 4)dv ( A - + 8 a* ) 4 r + 3 + 2* 2 y + 5 +2.V+ 5 d* dv 1 Rpfa. ^-(4-2v 2- v 4)2 +r 16 3 ii Rpta. — Ijl-2) 3 +c 11 i Rpta. -2(1 +— )2 +i- 3a Rpta. T V i 3 +3 a 2 + 1 Rpta. eo s (e o s x ) + c Rpta. se n (se e x ) + c +< Rpta. aresenx + ln |A' + Vi + *2 | +c Rpta. ln | 1 + — i-1 -fe x +4x^ +1 Rpta. l n | x | ------~ r + c 4a Rpta. +r 5(x 2 + 8 a ) 4 Rpta. Vv2 + 2 jc + 2 lnx + 1+ Vv2 +2 a' | + c Rpta. lnjx2 +2x + 5| + y a rc tg ^ Z +(
  65. 65. 52 Eduardo Espinoza Ramos 231, j ( 6 - 2 y )dx 4 y - 4 a * j __________ -j ^ “+1 Rpta. —VH-4 v -4 v : +—arcsciK V^+ )+r 232 J It - e - j 2i -iC - 1c —J dx Rpta. v+ln 11*‘ - 3 1+c © Í7 ÍT dx Rpta. J_ ^ ln |jc2+l|+c- 234 r -¡2 x~ +1 - +1 Rpta. _v——~ ^ 2 +1 +- ^ l n |'Jl.x +'jlx* +1 | 2 42 +<• 235) J v ' + i-V en3> eos3 a + A3 _ 4 sen x dx Rpta. ln v+ --------—-X 5 +£* 3 7 1.5.8. ECUACIONES DIFERENCIALES MUY SENCILLAS.- Una ecuación que contiene una función y sus derivadas, o solo sus derivadas, se llama “Ecuación Diferenciar’ usaremos la técnica de antiderivada para resolver una ecuación diferencial de la forma: donde la variable dependiente “y” no aparece en el lado derecho. La solucion de la ecuación diferencial (1) consiste simplemente en encontrar una función y(x) que satisfaga la ecuación (1), luego la solución general de la ecuación (1) es la integral indefinida. v(.v)=J/(jrW.v+< ... (2) dx Ejemplo.- Encontrar la solución general de la ecuación diferencial — = i - o, rfi Solución
  66. 66. Integrai Indefinida 53 La solución general de la ecuación diferencial dada es: y(x) = j 2xdx + c = x 2 +c NOTA.- Una ecuación diferencial de la forma de la ecuación (1) puede aparecer junto con una condición inicial de la forma y(x0) = y {) y con estas condiciones conociendo la solución general (2) se obtiene la solución particular de la ecuación (1), por lo tanto la combinación. de una ecuación diferencial con una condición inicial es llamado un “Problema con condición iniciar’. dy Ejemplo.- Resolver la ecuación diferencial — = 2x +1, y(0) = 3 dx Solución La solución general es: y(x) = J (2x + l)dx +c - x 2 +x +c como y{0) = 3 es decir: cuando x = 0, y = 3, que al reemplazar en la solución general se tiene: 3 = 0 + 0 + c entonces c = 3, por lo tanto la solución particular es y = jt2 + x + 3 OBSERVACION.- El método indicado para resolver una ecuación diferencial puede escribirse como integrar ambos lados de una ecuación diferencial con respecto a x. f (— )dx = f (2x + )dx => y(x) =x2 + x + c J dx J También las ecuaciones diferenciales sencillas aparecen en la forma: La ecuación diferencial (4) se ouede expresar con diferenciales en la forma:
  67. 67. 54 Eduardo Espinoza Ramos h(y)dy = g(x)dx así las variables están separadas, por lo que se dice que estas ecuaciones son “Ecuaciones Diferenciales Separables” y la solución general se obtiene por integración directa. ~ J g{x)dx+c ¿y ^ ^ ^ Ejemplo.- Hallar la solución general de la ecuación diferencial. — -------- ------ dx y“ Solución La ecuación diferencial — = —— ^ ——, se escribe con diferenciales dx y~ V2dy =x2^x* -3 d x , quedando las variables separadas ahora integrando ambos miembros para obtener la solución 3 3 y 2dy- í x2-y]x3- 3 dx + c => — = —(x3-3 )2 + c J J 3 9 3 3>’2= 2(x3- 3)2 +9c que es la solución general. OBSERVACION.- Las ecuaciones diferenciales tienen muchas aplicaciones en diversos campos, así por ejemplo se aplica al movimiento rectilíneo en Física, en Química. Biología, psicología, Sociología, Administración, Economía, etc., en esta sección trataremos solamente del movimiento rectilíneo, aceleración constante y movimiento vertical con aceleración gravitacional constante. ISS. MOVIMIENTO RECTILINEO^ Las antiderivadas nos permite, en muchos casos importantes, analizar el movimiento de una partícula (o masa puntual) en términos de las fuerzas que actúan sobre esta. Si la partícula se mueve con movimiento rectilíneo, a lo largo de una línea recta (eje X), bajo la influencia de una fuerza dada, entonces el movimiento de la partícula queda descrito por su “función de posicion” x(t) que da su coordenada x en el tiempo t.
  68. 68. íntegra! Indefinida 55 A 0 . ... ^ x(t) posición en el instante x La función de posición X(t) de una partícula que se mueve a lo largo del eje X. La “velocidad” de la partícula v(t) es la derivada, con respecto al tiempo de su función de posición. A 0 1 ► r x(0) = x0 t = 0 velocidad x'(0) Su aceleración a(t) es la derivada de su velocidad con respecto del tiempo. En una situación típica, se tiene la siguiente información: a(t): la aceleración de la partícula x(0) = x0 Su posición inicial. v(0) = v0 Su velocidad inicial. Para determinar la función de posición de la partícula x(t). Primeramente resolveremos el problema con condición inicial. correspondiente a la función velocidad v(t).
  69. 69. 56 Eduardo Espinoza Ramos Conociendo v(t) se puede resolver el problema con condición inicial. dx dt ... (P) para la función de posición x(t) de la partícula. 1.5.10. ACELERACCION CONSTANTE.- La solución de los problemas con condiciones iniciales en la s ecuaciones (a) y (p) es más sencillo cuando la aceleración “a” es constante y se parte de: dv — = a (a es una constante) dt de donde v(t) =ja d t +cl =at +cl para calcular cx se tiene v(0) = vo obteniendo v(/)=¿*/ + v0 como jc*(/>= v(/) una segunda antiderivada se tiene: *(/) = | v(t)dt + c2 = + v0)dt + c2 para x(0) =x0 entonces c2 =x0 Luego (1) (2) (3) NOTA.- Las ecuaciones (3) y (4) solamente son validas en los casos en que la aceleración “a” es constante no se aplica cuando la aceleración varia. Ejemplo.- Las marcas de derrape de unos neumáticos indican que se han aplicado los frenos durante una distancia de 160 pies antes de detenerse él automóvil. Supongamos que el automóvil en cuestión tiene una desaceleración constante de 20pies/seg1 bajo las condiciones del derrape. ¿A que velocidad viajaba el auto cuando se comenzó a frenar?
  70. 70. Integral Indefinida 57 Solución Consideremos al eje X orientado positivamente en la dirección del movimiento del auto, elegimos el orden de modo que xt) =0 cuando t = 0. x = 0 v =v0 En este sistema coordenado, la velocidad del auto v(t) es una función decreciente del tiempo t (en segundos), de modo que su aceleración es a = -20 pies/seg2 y no a = + 20, por lo tanto comenzamos con la ecuación de aceleración constante. dv c — = -20, integrando se tiene v(t) = ~ 20dt + cx= -20/ 4*cx dt J aunque la velocidad inicial no se conoce, los datos iniciales t = 0, v = v0 implican que cx=v0, luego la velocidad del automóvil es: v(t) = -20/ + v0 al sustituir los datos iniciales t = 0, x = 0 obtenemos c2= 0 por lo tanto, la función El hecho de que las marcas del derrape tenga una longitud de 160 pies nos dice que x = 160 cuando el auto se detiene, es decir: x = 160 si v = 0 al sustituir estos valores en la ecuación de la velocidad y de posición se tiene: x desaceleración constante: a = -20 inicio t = 0 x = 160 v = 0 como del automóvil es: x(l) ~ -10/2+ —20/ + Vq—0 —10/" +v0/ = 160 .(1) .(2) de la ecuación (1) v0 = 20/ sustituyendo en (2) —10/- + 20r ^!60 => r = 1 6 = > t = 4
  71. 71. 58 Eduardo Espinoza Ramos v0 = 20(4) = 80 pies/ seg Luego cuando t = 4 seg. el auto se detiene, quiere decir que a velocidad del auto era v0 = 20/ - 20(4) = 80 pies!seg 1.5.11. MOVIMIENTO VERI ICAL CON ACELEíÍACION GRAV1TACIONAL CONSTANTE.*- . •,• .. . •.,. . . - Una de las aplicaciones de las ecuaciones de la velocidad y la aceleración esta seleccionada con el movimiento vertical cerca de la superficie de la tierra una partícula con este movimiento esta sujeta a una aceleración “a” hacia abajo, que casi es constante si solo sé utilizar distancias verticales pequeñas. La magnitud de esta 1 0 constante se denota con g, aproximadamente igual a 32 pies / seg~ o 9.8 mi seg~. Si se desprecia la resistencia del aire, podemos suponer que esta aceleración debida a la gravedad es la única influencia externa sobre la partícula en movimiento, como aquí trabajamos con el movimiento vertical, es natural elegir el eje Y como el sistema de coordenadas para la posición de la partícula. Si elegimos la dirección hacia arriba como la dirección positiva, entonces el efecto de la gravedad sobre la partícula consiste en disminuir su altura, y también disminuye su velocidad v = — , entonces la dt aceleración de la partícula es: a= ~^¡= ^ pies!seg1 v{t) = Jarf/ + c = J - 32dt + c = -32/ + c = -32/ + v0 ... (1) >•(/) =^v(t)dt +k - j (-32/ + v0)di + k =-16/2 + v0/ + k , para t = 0, y(0) = >’o V{) =0 +k => k =>n por lo tanto >(/) = -16/2+ v{)t + >*0 ... (2) Aquí y« es la altura inicial de la partícula en pies, v0 es la velocidad inicial en pies/seg. y t el tiempo en segundos.
  72. 72. Integral Indefinida 59 Ejemplo.- Suponga que se dispara una flecha en sentido vertical mediante una poderosa ballesta, desde el piso, y que vuelve a tocar el suelo 48 segundos después. Si podemos despreciar la resistencia del aire. Determinar la velocidad inicial de la flecha y la altura máxima que alcanza. Solución Ubiquemos el sistema de coordenadas en el presente figura donde el nivel del suelo correspondiente a y = 0, la flecha se lanza en el instante t = 0 (en segundos) y con la dirección positiva hacia arriba. Las unidades en el eje Y están en pies. Se tiene que cuando t = 48 seg., y = 0 y no tenemos la información sobre la velocidad inicial v0 pero se puede usar las ecuaciones (1) y (2) que v(í) - 32/ + v0 son < 7 7 y(t) = -16/“ v0/ + >’0 = -1 6 r + v0/ Cuando t = 4 8 seg. se tiene y = 0 de donde 0 = -16(4 8 ) 2+ 4 8 vü => v0 = 1 6 (4 8 ) = 7 6 8 piesíseg para determinar la altura máxima de la flecha, maximemos y(t) calculando el valor de t para lo cual la derivada se anula, es decir, la flecha alcanza su altura máxima cuando su velocidad se anula - 3 2 / + v„ =0 de donde / = — = 2 4 en este instante, la flecha 3 2 ha alcanzado su altura máxima de ymax = >‘( 2 4 ) = - 1 6 ( 2 4 ) 2 + 7 6 8 ( 2 4 ) = 9 2 1 6 pies. Ejemplo.- Se lanza una pelota verljcalmente hacia arriba desde el techo de una casa de 6 5 pies de altura y la velocidad inicial es 4 8 pies / seg. ¿Cuánto tiempo lardará la pelota en llegar al suelo y con qué velocidad llegará? Solución Y v a l o r e s p o s itiv o s h a c ia a r r ib a a(t) = -g t = 0 s u e lo y(0) =y„ =o v (0 ) = v0
  73. 73. 60 Eduardo Espinoza Ramos B VA =48 pies!seg t y(0 V 0 64 48 6 4 a =—32 pies/seg~ se sabe que v(t) =ja dt =j-3 2 d t+ c v(t) = -32t + c como para t = 0, v(0) = 48 48 = 0 + c entonces c = 48 Lueeo v(t) = -32t + 48 Además y(t) =J v(t)dl +k => y(t) = J (-32/ + 48)dt +k y(() = -16/2 + 48/ + k como t = 0. y(0) = 64 64 = 0 + 0 + k entonces k = 64 Lueeo +48Í + 64 (2) Calculando el tiempo transcurrido /AC que demora en llegar la pelota al suelo y esto ocurre cuando y = 0 de donde -16/2 + 48/+ 64 = 0 => /2 - 3 / - 4 = 0 (t —4)(t + 1) = 0 es tAC =4 seg t = 4, t = -1 por lo tanto el tiempo que tomara en llegar al suelo 1.5.12, EJERCICIOS DESARROLLADOS.- © dy i Resuelva la ecuación diferencial — = ( jc - 2) donde y(2) = 1. dx Solución La solución general de la ecuación diferencial dada es:
  74. 74. Integral Indefinida 61 v(x) = í (x —2)*dx +k= —-— i-k como y(2) = 1 J 4 (2 2)2 (x 2)2 v(2) = 1= ---------- + k de donde k = 1 por lo tanto la solución es y = -----------+ 1 (T) Hallar la solución general de la ecuación diferencial xJ + y 2 + v.Vl + x2— = 0 w dx Solución A la ecuación diferencial expresamos con diferenciales x.^l + y 1dx + yrjl + x2dy =0 separando las variables xdx ydy _ . 4,r x , f yd _ = + _ = = 0, integrando J - — - » * VI + -v -^/l + v* Vi +x V1+-v de donde +-Jl + >'2 = A' Hallar la solución general de la ecuación diferencial (4x + xy2)dx + (y + x2>*)rf>’= 0 Solución A la ecuación diferencial expresamos en la forma: x.(4 + y 2)d + v*(l + x2)dy = 0, separando las variables xdx vdy . —+ ——— = 0, integrando i + x 4+>-2 f * ■+ f ^ = lnfr de donde —ln(l + x2)+~ln(4 + >'2) = lnA' J 1+ x2 J 4 + / 2 2 InVl + x2^ 4 + >‘2 = InA' de donde Vi + x2^1 + >’2 = £ /. (l+ x 2)(4 + r) = c
  75. 75. 62 Eduardo Espinoza Ramos Hallar la solución general de la ecuación diferencial x dy + i/l + y 2dx = 0 Solución jcdy + + y 2dx = 0, separando las variables . ^ + — = 0, integrando ambos miembros V1+r x j*-^=¿L= + J — =k de donde In| y + -yjl + y2 | +lnr = lnr lnx.(>* + */] + y 2) =lnc por lo tanto x,(y + ^1 + y 2) = c © Hallar la solución particular de la ecuación diferencial sen 2x dx + eos 3y dy = 0, ./n 71 y y Solución sen 2x dx + eos 3y dy = 0 , integrando ambos miembros Jsen2xdx+ Jcos3yrf>’= ¿ dedonde _ CQs2x + sen3> = ^ .71 ^ 71 _7T7T como y(—) = — es decir para ,x= —, y= — ' 2 3 2 3 COS7T sen7r , 1 „ , fl 1 ---------+ -------- k => —+ 0 = A' => Ar=— 2 3 2 2 cos2,t sen3>- 1 ----------- h----- - = — dedonde 2 sen 3y—3 eos 2x = 3 2 3 2 © La pendiente de al recta tangente en cualquier punto (x,y) de esta curva es 3*Jx , si el punto (9,4) esta en la curva, encontrar una ecuación de la curva.
  76. 76. Integral Indefinida 63 Solución dy i— Por la condición del problema: mLf - — = 3^x de donde dx dy - ?>4x dx integrando J dy - J ?>4x dx +c 3_ y =2x2 +c como la curva pasa por (9,4) entonces 2 4 = 292 +e =>4 = 5 4 + c= > c = -50 /. y =2x4x-50 Q La pendiente de una curva en cualquier punto (x,y) de ella es igual a eos x. Encontrar una ecuación de la curva sí esta pasa por el punto (y ,2) Solución dy De la condición del problema se tiene: mLr =— = eos x dx De donde dy = eos x dx, integrando j d y - j eos x dx +k y = sen x + k, como la curva pasa por el punto (y ,2) entonces 2 = sen—+Ar => 2 = I + k de donde k = 1 y = sen x + 1 2 ^8) En cada punto de una curva cuya ecuación es y = f(x); Dxy = 6x - 2 , y en el punto (1,2) la pendiente de la curva es 8. Halle una ecuación de la curva. Solución Dxy =| D¿ydx+k = J(6jc-2)dx+k =3x2 -2x+k mLt =Dxy |(|<2)= 8 entonces 3 -2 + 4 = 8 => k = 7
  77. 77. 64 Eduardo Espinoza Ramos y = J Dxy dx +c = J(3x2 - 2x + 7)rfx+ c v = y3- x2+ Ix +c , como la curva pasa por el punto (1,2) se tiene: l = l - l + 7 + 6 c = -6 /. v = x* - x 2 + 7x-6 Una partícula se mueve en línea recta, x(t) es la distancia dirigida por la partícula desde el origen en t seg. V(t) es la velocidad de la partícula en t segundos, a(t) es la aceleración de la partícula en t segundos. a) a(t) = 5—2t, V(2) y x = 0 cuando t= 0 expresar V(t), x(t) en términos de t. Solución dv a(f) =— = 5 -2 1 => dv = (5 —2t) dt, integrando di F(/) = 5 / - r + c para V= 2 cuando t = 0 => c=2 por lo tanto r ( tf* 5 t- Í 2+2 V(t) =^ - =5 t - r +2 dedonde dx =( 5 t- r +2)dt dt f f i 5/2 /3 Jd x - J (5 /-r2+2)dt+k => x(t) =—----—-i-2/+Arcomox= 0cuando t= 0 0 = 0—0 + 0 + k entonces k = 0 .%: 0 ) 2 3 7 7 b) a(t) = 3 t-t~, V = — y X = 1 cuando t= 1 expresar X y V en términos de t. 6 Solución a ( t ) = ~ ~ 3 t - t 2 dedonde dV =(3t-í2)dt dt
  78. 78. Integral Indefinida 65 jd l' = |( 3 / - r )dt +c => v(/) = —*— ^r +c 2 3 1 „ 7 7 3 l como l = 1. F = —se tiene —= -------- +c => c = 0 6 6 2 3 K</) = — = - ----— de donde dx =( - — — )dt dt 2 3 2 3 1 1 7 como X( 1) = 1 entonces 1=------- +A k= — 2 12 12 ~ í t 1 x(t) —--------- +— 2 12 12 La velocidad de una partícula que se desplaza a lo largo de una recta en el instante es v{t) =t^] +t 2 . Determinar la distancia recorrida por la partícula desde el instante /j =a/8 hasta el instante í2 =-v/24 Solución Sea X(t) la posición de la partícula en el instante t entonces X'(t) = v(/) = tA¡l +t2 La distancia recorrida desde el instante tx hasta el instante í2 es: X(t2) -X (ti) =X(-J24)-A'h/8) (1) como X'(t)=v(t) => X(l) = J v(i)dt +c ______ 1 3 A'(o = J/.v i+ í2< a= -(i+ /2) 2 +c
  79. 79. fc6 Eduardo Espinoza Ramos A<V24) = - (l +24)- +c =— +c : A'(V8) = -(1 +X)2 + i= — + c 3 3 3 3 125 1 27 © ,— r~ 125 27 98 como A'(-s/24)-A'(Ví<)=(— +í )-(— +í )= — 3 3 3 Sí el conductor de un automóvil desea aumentar su rapidez de 20 mi/h a 50 mi/h mientras corre una distancia de 528 pies ¿Cuál es la aceleración constante que debe mantener? Solución 528 pies mi 528 X8 . K'‘ = 2 0 T - 3 6 Ó T T '’“i,' ’‘* „ mi 528 220 . , = JóW =~3~ *>le'> Xeg se conoce que 1 milla = 5280 pies además V(i) =jadi+ c de donde V(t) = at + c cuando t = 0, V = — => — = 0+t => c - — 3 3 3 —(1) ademásás x(f) =jy (t)d i+A-, reemplazando x(l) = j (a! +— )dl+k=---- +— +A 2 3 cuando t = 0, x = 0 => 0 = 0 + 0 + k =>k = 0 entonces at2 88/ + 2 3 ... (2) 220 ahora encontramos la aceleración cuando V = —— , t = ? x = 528, reemplazando estos valores en (1) y (2)
  80. 80. Integral Indefinida 67 220 88 132 -----=at+— => I = ----- 3 3 3a 528 = - ( — )+— (— ) => 9a(528) = 20328 2 3 3a 20328 77 , i a - -------- => a - — pies/ seg~ 9(528) 18 (l2) Si se aplica los frenos de un carro viajando a 50 mi/h y si los frenos pueden dar al carro una aceleración negativa constante de lOpiesIseg2. ¿Cuánto tardará el coche en detenerse? ¿Qué distancia recoiTerá antes de parar? Solución V - 50 mi = 220 pies VA VB A ' h 3 seg VB =? •y o - -20pies / seg" además V(t) = j -20 dt -te = -20/ +c 220 220 220 cuando t - 0, V ----- de donde -----= 0+ c => c - ----- I - : 3 f * ?20 además *(/) J V{l)dt+k - j (-20/ f + 1 2'il x(/) = -10/~ — , juanúo t = * '<= 0 (1) 7?0/ 0 = -0 + 0 + k Je dorde k = tí entona:.; jc(/) = -10/" +----- 3
  81. 81. 68 Eduardo Espinoza Ramos para hallar el tiempo que necesita para detenerse el carro es cuando V(t) = 0, t = ? en 220 11 la ecuación (1)0 = -20/ +---- entonces t = —seg 3 3 Luego la distancia recorrida es cuando / = —seg en (2): 3 11 11 , 220 11 1210 . •v(—) = -IO(—)- + - ( —)= — - pies j 3 3 3 3 (b ) Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial de 20 pies/seg. ¿Cuánto tiempo le tomará llegar al suelo y con qué velocidad llegará? ¿Durante cuanto tiempo está subiendo la piedra y que tan alto llegará? Solución VA —20pies/ seg TAC = ? / / V TiB = ? a = -32 pies/ seg. i > » 4 ------ Vf = ? porque se opone el movimiento ! B dV_ dt como a= — =~32 => V(l) =j-3 d l+ c V(t) = -32t + c para V = 20 pies/seg. cuando t = 0. x = 0 20 = -0 + c => c -2 0 luego V(t) = -32t + 20 V(t) =— =-32t +20 => dx = (-32t + 20)dt integrando dt J<¿t = J(-32r +20)<*+A x(t) =-l6t2 +20t+k x = 0 cuando t= 0 0 = -0 + 0 + k => k = 0 Luego se tiene x(t) =-16t2+20/
  82. 82. Integral Indefinida 69 Tab es el tiempo que demora en llegar al suelo,para estox = 0 =>-16/2 +20f = 0 t = 0, / = —,el tiempo que demora encaer es —seg yla velocidad con quellega 4 4 5 pies al suelo es V = —32(—)+20 = -20 —— , por lo tanto V = 20pies/seg es la velocidad 4 seg con que llega al suelo; el tiempo que demora en subir es — es decir —seg 2 8 11.5.13. EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS - ® Hallar la solución general de la ecuación diferencial. a) dy x~ dx v(l +.v3) Rpta. 3y2—21n(l +*1) =c b) f i 7 7 ^ =x 2v+x2 dx Rpta. 2^--x* = 31n(j?+ l) + c . dy , 2 ? c) — = 1 x + v -i-xy dx Rpta. arctgy-jt------- c d) dy _ e * +x dx y+ey Rpta. y 2 - x 2 +2(ey - e x) =c e) ( x - y 2x)dx+ (y-x1ytd, - 0 Rpta. (x2-l)(y 2-1) =k f) {x +x^jy )dy+y-fyax ~ •' Rpta. — +lnxy =c <y g) ey(l+x )d -jí:(1+e"kfx = 0 Rp.a. l +ey =c(í+x2) h) (ey +1) --íx éD-e- 'senr+Dtfy-Q Rpta. (senjc + lXe-*’+l) =k
  83. 83. 70 Eduardo Espinoza Ramos (T) Hallar la solución particular de la ecuación diferencial con las condiciones iniciales. v *• , 3 2 „ 3v4 2 9 a) ~~ =3x + - T ,y ( l) = l Rpta. y =—---------+ — dx x - 4 x 4 b) ~ = J -----y(2) = -l Rpta. y = 2-fx+2 —5 dx -yjx + 2 J c) v” —~— x2 =0, y{-2) =-2 Rpta. y=x dx d) (4x+*>•2)rfx+ (>•+x2 = 0, y(1)-2 Rpta. (1■+x 2)(1+ y 2) = 16 i e) ^ l = x y y . y(3) = 1 Rpta. jc3-3jc-3>-- 3 ln | >•|= 21 dx .v+1 f) ÉL^ ' - t o - y ' ^ 3)b1 Rpta. (x3-1)4 =264(2.v2-J) dx y - x 3y g) — -2jrtgx =0 , v(~) = 2 Rpta. y = 2sen 2jr dx ' 2 h) x(y6 +l)dx+y2(x4 +l)dy =0, y(0)=l Rpta. 3arctg2+ 2arctgy 3= — j2» © Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 128 pie/seg. Si la única fuerza que se considera es la atribuida a la aceleración de la gravedad, determinar: a) Cuanto tiempo tardara la piedra en chocar contra el suelo. b) La velocidad con la cual chocara contra el suelo. c) A que altura se elevara la piedra en su ascenso. Rpta. a) 8 seg. b) 128pies/seg. c) 256 pies
  84. 84. Integral Indefinida 71 © Una pelota se deja caer desde la cúspide del monumento a Washington, el cual tiene 555 pies de altura a) ¿Cuánto tiempo tomara a la pelota llegar al suelo? b) ¿A que velocidad chocara la pelota con el suelo? Rpta. a) —V555 seg b) 8^555 pieslseg 4 & En un movimiento rectilíneo, la función aceleración de un punto es a(t) = -32 en el instante t > 0. Si la velocidad del punto es -20 cuando t = 0, y la posición del mismo punto en 10 unidades en la dirección positiva cuando t = 0, encuentre la función velocidad V(t) y la función de posición x(t). Rpta. V(t) = -32t - 20 , .v(/) = -16/2-2 0 /+10 (ó) Una mujer que se encuentra en un globo deja caer sus binoculares cuando el globo esta a 150 pies de altura sobre el suelo y se eleva a razón de 10 pie/seg. a) ¿Cuánto tiempo tardaran los binoculares en llegar al suelo? b) ¿Cuál es la velocidad de los binoculares al momento del impacto? Rpta. a) 3.4 seg. b) 99 pie / seg. Usted arroja una pelota hacia arriba, desde el suelo, con una velocidad inicial de 97 pie/seg. ¿A que altura sube la pelota, y por cuanto tiempo permanece en el aire? Rpta. 144 pies f 6 seg. Laura suelta una piedra a un pozo, esta llega al fondo 3 seg. después ¿Cuál es la profundidad del pozo? Rpta. 144 pies. parte superior de un edificio de altura 160 pies. La pelota cae al suelo en 1base del edificio ¿Cuánto permanece la pelota en el aire, y con que velocidad golpea al suelo? Efrain arroja una pelota hacia arriba, con una velocidad inicial de 48 pies/seg. desde la Rpta. 5 seg. , 112pies/seg.
  85. 85. 72 Eduardo Espinoza Ramos © Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 40 pies/seg. desde un punto situado a 20 pies sobre el nivel del suelo. a) Si v pies/seg. es la velocidad de la pelota cuando está a x pies del punto inicial, exprese v en términos de x b) ¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando ésta se encuentra a 36 pies del suelo y sigue ascendiendo? Rpta. a) v2 = -64jc +1600 b) 24 pies/seg. (ll) Una partícula se desplaza en linea recta en forma tal que sí v cm/seg. es la velocidad de la partícula a los t segundos, entonces V(t) = sen xrt, donde el sentido positivo es a la derecha del origen. Si la partícula está en el origen al inicio del movimiento, determine su posición y segundos más tarde. Rpta. — cm a la derecha del origen. 2n ( l^ Juanito arroja una piedra hacia arriba, desde el suelo. La piedra alcanza una altura máxima de 225 pies. ¿Cuál era su velocidad inicial? Rpta, 120 pies/seg. ( l ^ Gálvez arroja una pelota de tenis hacia arriba, desde la parte superior de un edificio de 400 pies de altura ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al suelo? ¿Con que velocidad golpea al suelo?. Rpta. 5 seg. y -160 pies/seg. 14) Se arroja una pelota hacia arriba, desde el suelo, con una velocidad inicial de 160 pies/seg. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? Rpta. 400 pies (ls) Si el conductor de un automóvil desea aumentar la velocidad de 40 km./hr a 100 km./hr al recorrer una distancia de 200 m ¿Cuál es la aceleración constante que debe mantenerse? Rpta. 1.62 m seg
  86. 86. Integral Indefinida 73 (íé) El punto (3,2) esta en una curva y en cualquier punto (x,y) de la curva, la recta tangente tiene una pendiente igual a 2x —3. Encontrar una ecuación de la curva. Rpta. y ~ x 2-3x +2 ^ 7) En cualquier punto (x,y) de una curva D2y =l- x 2, y una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (1,1) es y = 2- x. Encontrar una ecuación de la curva. Rpta. 12y - 6a*2—x 4 - 20x + 27 (l?) Los puntos (-1,3) y (0,2) están en una curva y en cualquier punto (x,y) de la curva D2y - 2- 4x. Encontrar una ecuación de la curva.Rpta. 3y =3x2 - 2x3+ 2x +c (l?) Encontrar la curva que pasa por el punto (1,2) cuya normal en cualquier punto (excepto en x = 0) se biseca por el eje X. Rpta.y 2+ 2x2 = 6 (20) La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x,y) en una curva es 10 - 4x y el punto (1,-1) esta en la curva. Encontrar una ecuación de la curva. Rpta. y =10x-2x2-9 IA METODOS DE INTEGRACION - Entre los métodos de integración que se va ha estudiar se tiene: Integración de las funciones trigonométricas, integración por partes y casos especiales, integración por sustitución trigonométrica, integración de funciones racionales por descomposición en fracciones parciales, el Método de Ortrograski, integración de funciones racionales de seno y coseno, integración de algunas funciones irracionales entre ellas las binomiales con la combinación de CHEBICHEV. l& f INTEGR>M-íON;Dfc£AS ÍPSÍCÍON^ Se trata de las integrales que tiene la forma siguiente:
  87. 87. 74 Eduardo Espinoza Ramos J sen*jcife* Jctg1*xdxy Jscn^ xcos"xáx s jVfg'* xcose^xás Para calcular estas integrales, aplicaremos los criterios siguientes: a) Para el cálculo de las integrales de la forma: m j: ¡sen*xrf*, eos" ' : J J Se presentan dos casos: ler. Caso.- Cuando n es un número entero positivo par, se usan las identidades siguientes: ■- u;. "at ... ■.....,ajal;v.wjj;.u■■..q»¿yvt• I —eos2x 1+^ 2 ■ 2 2do. Caso.- Cuando n es un número entero positivo impar, a las integrales de este caso expresaremos en la forma: J sen*xá x- J scvT1xsenxdx | eos* xdx~ 1 Luego se usa la identidad sen2x +cos2x = l Ejemplos de aplicación de este criterio. Calcular las integrales siguientes: Jsen23x¿¿T Solución Observamos que el exponente es par, entonces usamos la identidad
  88. 88. Integral Indefinida 75 sen23x =----- —— , luego al reemplazar en la integral dada se tiene: i f * 1 f,, ^ , 1 , sen 6x v jc sen 6x sen“ 3xdx =— (1- eos 6x)dx = —(x------ )+c -----------------+ c i 2 i 2 6 2 12 Observación: En forma práctica se puede calcular las siguientes integrales: Ejemplo: i , cos(20x) sen(20x)rfx = ----------- -+c 20 I .^ iwñfrg) ' J v ft Ejemplo: J cos(l &x)dx= sen| ^ ^ +c En forma similar ocurre en las integrales de las demás funciones trigonométricas. ( 2) Jeos4 2xdx Solución rf( 1 Observamos que el exponente de la función es par, entonces usaremos la identidad: 2 _ 1+ eos 4x , eos 2x =-----------, por lo tanto: |eo s4 2xdx - 1 (l +c°s 4*)2 = i. J(i + 2 eos4x +eos24x)dx 1 r„ , , l + cos8x, . = — (1+ 2 eos 4x +------------)dx 4 J 2 1 r,3 , , cos8x. . 1 ,3x sen4x sen8x_ = - (-+2cos4x +------- )dx = - ( — +----------------------+-)+c 4J 2 2 4 2 2 16
  89. 89. 76 Eduardo Espinoza Ramos Jsen34x¿£c Solución Observemos que el exponente de la función es impar, entonces a la integral escribiremos así: Jsen34xdx =Jsen24x.$en4xdx =J(l-co s24x)sen4xrfx = Jsen4x¿/x-Jeos24jc.sen4xdx =• eos 4x eos34x 12 + c Observación.- En forma práctica se puede integrar las siguientes funciones. Ejemplo: /■ sen192x.cos2xdx = sen20 2x 40 -+c Ejemplo: J eos293x.sen 3x dx =- ~ ~ ~ — +c En forma similar ocurre en las integrales de las demás expresiones trigonométricas. Q ) J c o s 5 3 jc *£c Solución Observemos que el exponente de la función es impar, entonces a la integral expresamos asi: Jeos53xdx =Jcos43x.cos3xdx =J(l-se n 23x)2 eos3xdx
  90. 90. Integral Indefinida 11 J(l-2 sen 23x+sen4 3x)cos3xdx =J cos3x dx - 2J sen23x. cos3jcdx+ | sen43x.cos 3x dx í s e n 3 x 2 s e n 3 3jc s e n 5 3 x -+-----------he 15 b) Para el cálculo de las integrales de la forma Se presentan los siguientes casos: ler. Caso.- Si n es un número entero par positivo, a las integrales dadas se expresan así: Luego se usan las identidades siguientes. 1* ig2x 1¿ct¿2x ~m$ec2x : 2do. Caso.- Si n es un número enterQ positivo impar, a las integrales dadas se expresan en la forma: Luego se usan las identidades siguientes.
  91. 91. 78 Eduardo Espinoza Ramos Ejemplos de aplicación de este criterio Calcular las siguientes integrales. Jtg24xdx Solución Observamos que el exponente de la función es par, entonces de acuerdo al criterio establecido expresamos: Jtg24xdx =J(sec24x-1)dx = - x +c j c t g 4 4xdx Solución En forma similar al ejemplo anterior, por tener el exponente par; a la integral expresaremos asi: Jctg44xdx =Jctg24xrtg24 x d x - Jctg24x(cosec24x-l)rfx: = Jctg24x.cosec24 xdx-Jctg24xdx ctg34x r 2a iv^ ctg34x ctg4x= -----5------- (eoscc 4x-l)dx =------- -----+—-— +x +c 12 J 12 4 © J tg6 5x dx Solución Observemos que el exponente de la función es par, entonces a la integral expresamos así: J tg6 5xdx =Jtg 45x.tg2 5xdx =J tg4 5jc(sec25 x -l}dx = Jtg 4Sx.sec25 x -J tg45xdx = ^ ^ - J t g 25x(sec25x-l)rfx
  92. 92. Integral indefinida 79 tg55x r 2 r 2 25 - Jtg25asee15xdx+jtg25xdx tgs 5x tg35x r. 2 r . . . tg55x tg35a tg5x =—------- ----- + (Sec 5x-l)dx =—------------- +—-----x+c 25 15 J 25 15 5 © Jtg35xrfx Solución Observamos que el exponente de la función es impar, entonces a la integral expresamos así: Jtg35xdx =Jtg25x.tg5xdx =J(sec25x-l)tg5jcrfx = _ ln1sec5x|^ (¿) Jc tg53xdx Solución Como el exponente de la función es impar, entonces a la integral escribiremos en la forma: Jctg53xdx- J^tg43xjctg3xdx =j (cosec23x-l)2ctg3x dx =J(eosec43x - 2eosec23x+1)ctg3xdx - Jeosec33x.eosec3x.ctg3xdx - 2Jctg3x.eosec23jcdx +Jctg3xdx eosec43x ctg23x In |sen 3x = -------------- + —-------+ —1-------- L+ c 12 3 3 c) Para el cálculo de las integrales de la forma. sen” xcos** a h Se presentan los siguientes casos:
  93. 93. 80 Eduardo Espinoza Ramos ler Caso. Si m ó n, es decir, cualquiera de los exponentes es un número entero positivo impar y el otro es cualquier número, se procede de la siguiente manera. i) Suponiendo que m es un número impar y n es cualquier número, entonces a la integral expresamos así: Luego se usa la identidad: sen2x +eos2x = 1 i¡) Suponiendo que n es un número entero impar y m es cualquier número, se procede de la siguiente manera. Jsenmx<:os" x-¿tx~ J sen"1x.cos”"1x. eosxdx *} 9 Luego se usa la identidad: sen" x +cos~ x = 1 2do. Caso. Si m y n los dos exponentes son números enteros positivos pares, se usan las identidades siguientes: y con estas sustituciones la integral Jsenmx.cos" xdx se transforma en integrales de la forma J sen"xdx, las cuales han sido estudiadas anteriormente. Ejemplos de aplicación de éste criterio. Calcular las siguientes integrales.
  94. 94. Integral Indefinida 81 Solución Como uno de los exponentes es impar, entonces a la integral dada escribiremos así: J eos3 jc.sen4 x d x - Jcos2 x.sen4 x.cosxdx = J (l-se n 2 x)sen4 xcosxdx = fsen4xcosxdx- fsen6xcosxdr =—sens x - —sen7x +c J J 5 7 © í sen3 xcos2 xdx Solución r 7 2 , fl-c o s 2x l +cos2x I r ..^ J sen“ x eos xdx =J ---- ------.-----------dx= —J(l-co s 2x)dx I r 2 ^ , 1 fl-cos4x _ 1. sen4x^ = — sen 2x d x - — ---------------------------dx=—(x-)+c 4 i 4 J 2 8 4 Jsen5 x.cos2 x¡dx Solución Como uno de los exponentes es impar, entonces a la integral dada escribiremos así: J sens x.cos2 xdr = J sen4 x.cos2 x.sen xdx = J (1-cos2 x) 2 eos2 x.sen xdx = J (l-2 c o s 2x + cos4 x)cos2 xsenxdx = Jcos2 x se n x d x -2 jeos4 xsenxdx +Jcos6 xsenxdx eos3x 2eos5 x eos7 X --------+ ---------------------+ c © Jsen4x.cos2xdx
  95. 95. 82 Eduardo Espinoza Ramos Solución Como los dos exponentes son pares, entonces se usan las identidades: 2 1 - c o s 2 jc 2 1 + c o s 2 jc sen x = ----------- ; eos x =----------- 2 2 f 4 2 , f,l-C0S2jtv2 /l + C0s2-Xv. sen jc.eos jcrfx = (------------ ) (-----------)dx j ¿ 2 2 = ^ J (1 - eos22jc)(1 - eos 2x)dx - ~ J sen22x( - eos 2x)dx 1r f 2 n . f 2o l rfl-cos4jc , sen32x.. = —[ Isen 2xdx- sen 2jc.cos2jc¿jc] = —[I------------ ¿ x -— — ]+c 8 J J 8 J 2 6 1 rjcsenx sen32x, = - [ ----------------------- ]+c 8 2 8 6 Jcos7x.sen3xdx Solución Observamos que los exponentes son impares, entonces a la integral dada expresamos así: Jeos7x.sen3xdx~ Jcos7 x.sen2x.senxdx = Jcos7jc(1 + c o s 2 r )senxdx o ir) f 7 f 9 , COS JC COS X = eos x.senxdx —I eos x.senxdx = ------------------------- +--------+c J i 8 10 J sen23x.eos4 3jc dx Solución Como los exponentes son pares, entonces usaremos las identidades: l-C O S Ó J C l + COSÓJC sen“3x = ----------- ; eos~ 3x = ----------- 2 2
  96. 96. Integral Indefinida 83 r t . f / l “ c o s 6 j c v/1 + c o s 6 x v ? , J sen“ 3x.cos 3xdx = J (----------- )(----------- )"dx =—f (1- cos26jc)(1+ cos 6x)dx = —Í sen26jc(1+ cos 6x)dx 8 J o J l r f • > , . f f * , , n l r r l- c o s l2 r . sen3 6jc, = —[J sen- 6xdx +j sen- 6xcos6xdx] = —[ j ----- ----- dx+— —— ]+c 1 ,x sen 12x sen36x 8 2 24 18 )+ f= T T - jr sen 2x sen36x 16 192 -+ 144 ■+c d) Para el cálculo de las integrales de la forma ;i J"tg" xsec“ xd$ ; Jrtg ”x C0StíCmJC<5Ír Se presentan dos casos: ler. Caso. Cuando n es un número positivo impar y m es cualquier número, a las integrales escribiremos en la forma: I Íig* jt-sec" xdx~ J$0* xsecm§xAgx^socxdx Ictg”xcmecmxdx - c tgn~J Luego se usa las identidades siguientes. 2do. Caso. Cuando m es un número entero positivo par y n es cualquier número, entonces a las integrales se escribe así: Luego se usa las identidades siguientes.
  97. 97. 84 Eduardo Espinoza Ramos 2x • 1+ctg2x -sec.2* -j Observación: 1) Cuando n es un número entero positivo impar y m es un número entero positivo par, se puede aplicar cualquiera de los dos casos. 2) Si n es par y m es impar se aplica el 1er. caso. Ejemplo de aplicación de éste criterio. Calcular las siguientes integrales. J sec42x. tg22x dx Solución Observemos que el exponente de Lasec 2x es par, entonces a la integral escribiremos asi: J sec42x. tg22x dx = J sec2 2x. tg2 2x.sec2 2xdx = J (1+ tg22x)tg22x.sec22x dx = f tg22jc.sec22xdx + f tg42x.sec22xdx = ÍM__?£+Jll2^L+C J J 6 10 (^ J^/tgjc.sec6 xdx Solución Como el exponente de secx es par, entonces a la integral dada escribiremos así: J^/tgjc.sec6x d x - J tg1/2 jc.sec4x.sec2xdx = J tg1/2 jc(1+ tg2x)2sec2xdx = Jtg 1/2 x.sec2xrfx+2jtg5/2 x.sec2xdx + Jtg 9/2 x.sec2x¿x 2tg3/2x 4 tg?/2 x 2 u/2 = —5 5 -------+— tg11 z JC+C 3 7 11 6
  98. 98. Integral Indefinida 85 ® I tg33x.sec33xdx Solución Como el exponente de la tg 3x es impar, entonces a la integral dada escribiremos asi. J tg33x.sec33xdx =Jtg 23x.sec23x.tg3x.sec3xdx = J (sec23x - 1)sec23x. tg3a*.sec 3xdx - J sec43x.tg3x. sec3*dx - J sec23x.ig3jc.sec 3xdx sec53x sec33x_ ------------------------------------------------------ + c 15 9 ( 4 ) J c tg' x.eos ec4x dx Solución Como el exponente de la cosec x es par, entonces a la integral escribiremos asi: Jc tg 5x.cos ec*xdx =Jc tg 5x.cosec2x.cosec2xdx = Jctg5x(l +ctg2x)cosec2xdx - J c tg 5x.eosec2xdx+ J^tg 7x.cosec2xdx ctg6x ctg8x 6 8 NOTA. Cuando en las integrales se observa que no se adapta a los casos estudiados, es conveniente transformarlo a estos casos, utilizando las identidades trigonométricas.
  99. 99. 86 Eduardo Espinoza Ramos © J Ejemplo.- Calcular las siguientes integrales. dx >s4x Solución sen2xcos4x r dx r sen2x + cos2x , r , 1 1 J 2 4 ~~ J ? 4 J ^ 4 + 7 2 ^ J sen x.cos x J sen- xcos x J eos x sen“ xcos x Í dx r ¿/x r 4 _ rsen~x +cos a — 4^ + ------ 2----------5 = J seex ¿ x + ------- j------- — eos x J sen xcos“x J J sen x.cos~ x = f (1+tg2x)sec2xdx+ f (— ^—+ — í-—)dx J J eos“ x sen2x = Jsec2 tg2 JC-sec2 xdx + Jsec2 xrfx+Jcosec2xrfx te3x tg^ JC tg x + -^ —+ tgx-ctgx +c = 2 tg x + -^ ctgx+c © i dx Vsenx.cos3x Solución f -J • see2jc r /x |r see2xrfx Vsenx.cos3x see2jc-J sen x.cos3x / 4 3 Vsenx.see x.cos x f s e c ^ f e f 1/2 , r - I i------------ I i—*- I JUaCC XMA y fe J Vsen x.see x J J eos x dx Vsen7 2x.cosx© í i E T“ ¿X.tusX Solución dx X + C
  100. 100. Integra! Indefinida 87 r eosx dx f Vsen7 2x.cosx 4^/2 Vi cos X¿/x 1 r sec5x.cos x dx " U 7 ? J Z J 7 3 p Tsen7x-cos* x 4^2 - sec- x </sen ■x.cos' x 1 r sec4xdx 1 r (l + tg~ x)sec~ xdx1 r sec x dx _ I r 4V2-J 3|tg7x " 4V2 J tg7/1 x 4^2 n=[J tg 7 3x.sec2xdx+Jtg 1,3 x.sec2xf/tj 1 r 3 -4/1 3 *>/1 1 , 3 4/1 3 i/i , -[--tg x +-tg - x]+c — 77= ( ~c tg * +- tg Jt)+r 4^/2 4 4V2 ' 4 1.41 EJERCICIOS PROPUESTOS.» Calcular las siguientes integrales. © i sen x dx n 3x sen 2x sen 4x R p ta.------------- +-------- +c F 8 4 32 2 3 1 5 Rpta. senx — sen x +—sen x +c F 3 5 © / eos43xdx „ 3.v sen 6x sen12x Rpta. — +—- — +-----:— +c 8 12 96 ( 4) J sen6 2x dx „ A 1 ,5jc .3sen 8x sen 4r Rpta. —(----- sen 4x +----------+----------)+c 8 2 16 12 Jsen5x/2dx r . ^ T , X s 4 3 /* v 2 5 , 1 , Rpta. - 2cos(—)+—eos (—)— eos (—)+ c 2 3 2 5 2 (ó) J(sen23x+ cos3xi2d „ Ix sen 12x . sen13x Rpta. — +---------+2--------- +c v 8 96 9 Jcos63xríx _ 5x sen6x sen36x senl2x Rpta. — +—--------- r—:— +----—— +C 16 12 144 64
  101. 101. 88 Eduardo Espinoza Ramos © © © © © © @ j c c o s 3 ( x 2 )dx (sen2x + cosx)2dx tg6 xdx ctg* xdx tg3xdx ctg*(3x)dx c tg32xdx tgz(x +)dx ctg52xdx ctg3(^)dx tg53x dx ctg4 2xdx tg5x dx 1 2 ^ 3 2 Rpta. —sen* — sen x +c 2 6 Ix sen4x 2sen3x Rpta. — +--------+----------- -c 8 32 3 1 1 3 Rpta. —tg * “ ^*8 jc—tgjc +jr+c tf£2 X Rpta. ------ +ln|cosx|+c Rpta. -^-ctg33x+jctg 3 x +x +c _ ctg~2x In Isen 2x1 R pta.-------------------------- L+c Rpta. tg(x +l)-x + c -cosec42x ctg22x ln|sen2x| R pta.--------------+— -------f—!---------- +c F 8 2 2 Rpta. - ^ c tg 2(y)-31n|senyl+c Rpta. — see43 x -—tg23x+—ln|sec3x|+c 12 3 3 Rpta. „ £ S i í . - £ i ¿ 2 £ +c Rpta. "6C X - tg2x+ ln | see x | -fe
  102. 102. Integral Indefinida 89 3 ) senx cosj<dx (22) J -n/cosjc sen3xdx r* . ^ 7/? 2 3,7 Rpta. —eos ~x— eos ~x +c 7 3 (23) J*Veosa*sen5xrfx J rnt _eos2x ^/cosa* Rpta. eos4' 3x +-co s10/1 x ——eos16' 3x+c 4 5 16 Rpta. •—eos 4 3x +—-eos2 3x+c 4 2 25) J sen7 5x.eos35xdx Rpta. sen* 5x __sen1{) 5x 40 50 ■+c © senx.eos5xrfx r» * n í— —,senx 2 31 5 Rpta. 2Vsenx(— ------ sen v+— sen x) +c 3 7 11 ¿7) Jsen5xeos2x dx . cos7x 2 5 cos3x R p ta .------------------------- +—eos x -- +c 7 5 3 28) Jsen3xeos3x dx sen4 x sen6x Rpta. ------------------ +c (29) J sen4(^)cos2(^)rfx „ ^ xsenx.eosx sen x Rpta. — —------- -----------------+c 16 16 24 sen4 veos4xdx Rpta. — (3*-sen 4x + - sen 8 )+c 128 8 (3l) | sen1(—)eos7(~}dx Rpta. -co sIH(—) - —eos3(—)+£■ 5 2 4 2 (32)J sen33x eos 3jtdx „ . eos*' 3.v eos6 3x R p ta .-----------------— +c 24 18 a I H S/"> *■ 1ill Rpta. 2vsen x — sen ~x +—sen x +c 5 9
  103. 103. 90 Eduardo Espinoza Ramos 34) Jcos4 2x sen3 2x dx Rpta. ——eos5 2x+— eos7 2x +c 10 14 Jsen2 x eos5 xdx Rpta. sen3x 2 5 sen7* 3 5 — sen x +---------»c (3£) J sen5 2x.eos3 2x dx 1 . 1 i Rpta. —sen ¿x-----sen 2x +c 2 16 dx Rpta. 1 3eos3 x -secx +c* (38) Jsee4 x^jc tg3x dx Rpta. -2-^rtgx +y-/tg3 x +1 (39) J tg5 xVeos3 x t/r 2 ^ ^ ^ ^ Rpta. —see ~x-4sec x - —eos ~x +c 5 3 Í cos X sen4 x dx Rpta. cosecx-yCOS€?c3x-fc j sen3 x eos4 x dx Rpta. Vsecx(—eos2 x + 3)+c r see x tg4x dx 1 1 Rpta. - c i g x — ctg x +<* 3 © Ísen' m . ----1— dx COS 7DC 1 1 ^ Rpta. —[-tg m r+-tg nx]+c k 3 5 © Jí tgxeos9 xdx Rpta. 2^fséñx— sen5' 2 x +—sen9' 2 x+c 5 9 4?) J tg34x.see9>2 4xdx Rpta. — see13/2 4 x - ^ 26 18 •fe
  104. 104. Integral Indefinida 91 © f tg53x.sec9/2 4xdx J © r sen53x , ----- dx J cos3x © íx 2 eos32x3dx © i sec72x.tg2xdx J © i tgxjsec x dx J i tg7x.see4xdx f(secV ¿ * J tgx ® i ctg3x.eosc t4x dx © V i 1ctg x.coset"xdx J © i ctg3xcosec5xdx © i tg22x.cos22xdx © rsec4x , 1 dx 3 tg x © r sen4x , 1 , dx J eos* x c tg64.x c tg* 3x c tglu 3jc c tg123x K pta.----------------------------------------------------f c 18 8 10 36 „ 1. ■ , . eos23x eos43x Kpta. —ln sec 3x1+----------------------+ c 3 3 12 „ , sen2x3 sen32x3 Rpta.----------------------- +c 18 _ 4 sec7 2x Kpta. --------- +c 14 Rpta. 2-Vsecx +c » * tg'” x *Rpta. —-----+—— +c 10 8 „ 4 ctg3x R pta.------------ctgx+c ctg4x 1 6 Rpta. —---------ctg x+c 4 6 1 ^ 1 } Rpta. — cosec x+—eosec x+c 5 3 „ ^ eos ec7x eosec5x R pta.------------ +-----------+c 1 sen4x Rpta. —(x---------- )+c 2 4 Rpta. -ctgx+tgx +c _ sen2x 3x Rpta. tgx +——------ 2~+c
  105. 105. 92 Eduardo Espinoza Ramos 59) Jsec42xdx _ 4 tg2x tg32x Rpta. —— +—------+c (óo) J see6xdx 2 1 <¡ Rpta. tgx +ytg x +—tg x+c J see3x.tg3 vdx 1 <51 3 Rpta. —sec x — see x +c 5 3 (62) Jc tg5x.cosec4x dx _ Ctg X 1 6 R pta.-------------- c tg x +c 8 6 © i t g 4 a . see3xdx _ . 1 <i 7 j tgx.secx ln|secx + tgx| Rpta. —tgx.sec x -----tgx.sec x+—--------- +— ----------í+c 6 24 16 16 MJ f , ¿ J ---- 5sen x.eos x Rpta. - 2-y/í-t g X + y t g X-y/t g X + c J(l + cos3x)3 2rfx Rpta. 2-y/2(^sen(-^)-^sen3(^))+í- sen3x t/ 4 Veos x rfx Rpta. —eos5 3x +—p L = +c 5 3-n/cosx Ísen(x + 7r/4) sen x.cosx . -721 1+senx, Rpta. — Ln|tgx.----------|+c 2 1- eosx © 1 eos3x 1-senx dx 1 7 Rpta. sen x +—sen“ x+c © eos3x-s/scn2x Rpta. ^y-(tg: x +5)-Jlgx +c
  106. 106. Integral Indefinida 93 © © © @ ® eos X dx sen4x.cos4x sen x i dx cosx senh3xdx tgh6 x.see/j4xdx c*tgh4xdx e'dx cosh x +senh x tgh4xdx c tgh5xdx senh2x.cosh3 xdx dx ^3 ----- - ^ Rpta. — -Jtg5x(5tg2x+ ll)+ c 4 l +3tg24x Rpta. - - ( ----- —---- )+c 3 ig 4x Rpta. —C°-SX (cos2x-5)+ c 1 ? Rpta. -jcoshxícosh2x-3) +c Rpta. x—ctghx—- ctgh3x+c 3 1 (cosh2ax +senh2ax)dx Rpta. — senh(2¿/x) + c 2a senh x. cosh" x Rpta. x + c Rpta. v'- tghjc- —tgh3x + c 3 Rpta. ln| senhx|-—-r tgh2 x-~-ctgh4x +c* _ senh1x senh5 v Rpta. --------- +------ —-+c H 3 5 Rpta. ln | tgh—| +see hx+c
  107. 107. 94 Eduardo Espinoza Ramos » 4 (S )J( lg3.v.cosec43xdx Rpta. — °S<^ - +c © Jtg33x.see4 3.v dx Rpta. +1 CN r <¡, i , , „ . eos* 3x eos6 3x K4J Icos 3x.sen 3x dx R p ta.----------------------- •-c ^ J 24 18 (ss) J*(x~ —6A')sen~(—— 3x~)dx Rpta. •“ (—— 3x2)—- s e n ( — bx2)+c 2 3 1.6.3 OTRAè INTÉGRALES TRlGQ^p^ÊTRIÇAS,- Se trata de las integrales de la forma: • I _ Para el cálculo de éste tipo de integrales se usan las fórmulas siguientes: sen(m.Y)cos(«L*)==—(sen(w+ tt)x + sen(w- ttfx) sen(wv)sen(«) « ~ (cosífít'-n)x~cos(m +n)x) ■ ; cos(m)cos(«A:) § Las fórmulas mencionadas se deducen de las identidades: sen(w + n)x =sen mx eos wx+sen nxeos mx ... (1) sen(w - n)x =sen mx eosnx - sen nx eos mx ... (2) eos(m + n)x = eos mx eos nx- sen nx sen mx ... (3) cos(w-/i)x = cos/nxcos«x +sen/7xsenmx ... (4)
  108. 108. Integral Indefinida 95 Ahora sumando (1) y (2) se tiene: scn(wjr)cos{flut)-=;^(sen(w-+;z)x+sen(w-n)x) ahora restando (4) y (3) se tiene: ahora sumando (3) y (4) se tiene: cm(jnx}cos{tix) —X{w$ m - ti)x+eos{m+n)x) 2 NOTA: En la aplicación de las fórmulas mencionadas se debe tener en cuenta las identidades siguientes. sen{-x)~ —sen* cos(-A') = COSA' V x e R Ejemplos de aplicación. Calcular las smuientes integrales © i sen 2 a . sen9xdx Solución Como sen 2 x . sen9y = ^ (eos Ix - eos 1Ly ) , reemplazando en la integral: f n ^ j l f v» 1,sen7x sen 1lxv sen2 a*.sen9 a*dx = — (cos7x-cosl l.v)rfx = —(----------------------------- )+c J 2 J 2 7 11 © i eos 2v.eos Ix dx
  109. 109. 96 Eduardo Espinoza Ramos Solución Como eos 2x. eos 7a* = ~ (eos5x +eos9x), reemplazando en la integral; r I r 1 sen 5x sen9x J eos 2x. eosIx dx = - J (eos5.v+eos9x)dx = - (---- — +— — )+c 2 sen 4y. eos 5y ¿y Solución Como sen 4.v.eos 5.x- ^ (sen(4 +5)x +sen(4- 5).y) = ^ (s e n 9 x - s e n y ) , r e e m p la z a n d o e n la in te g ra l: Í 1 r 1 e o s 9jc s e n 4x. e o s 5xdx - — J (s e n 9 y - s e n x)dx = ~ (e o s x ------- — )+ c © J s e n 3 4 v .e o s 2 7 a dx Solución _ *>-, . *7 r-¡ A 1 - c o s S .v 1 + e o s 14a- . C o m o s e n 4 a . e o s “ 7 a = s e n - 4 a . e o s ' 7 a . s e n 4 a ------------- — ----------------- . s e n 4 a 2 2 = — (1 + e o s 14a - e o s Ha - e o s 8 x e o s 14a ) s e n 4x 4 = — ( s e n 4 y: + s e n 4x e o s 14a' - e o s 8a' s e n 4 y - e o s 8 a e o s 14 i s e n 4 y ) 4 s e n 1 4YCOS2 7a = - ( s e n 4 v + s e n 4 a e o s 14 y - co sKy s e n 4 r - c o s f tv c o s í4 s c n % ) . . . (1 ) 4 se n 4 v e o s 14 y = ~ (s e n 18 y - s e n 10 y) *er 4 x eos Xv= —(sen 12x - sen 4a ) (s e n 4 > s e n 10 * s e n 1 2 v + s e n 2 6 .v ) ..(2)
  110. 110. Integral Indefinida 97 = ~ [sen 23x - sen 2lx +sen Ix - sen 5] Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene: sen34xeos27x =—(sen4x) +—(sen4x-3 sen1Ox-sen 12x+ 2sen 18x- sen26x)) 4 4 = — (5sen 4x - 3sen 10- sen 12x +2sen 8x - sen 26x), entonces: 16 | sen34x. cos2lx dx = J(5sen4x - 3sen IOx-sen 12x+2 sen18x- sen26)¿/x+c 1 3cosl0x cosl2x eos26* 5cos4x cos18a = ---(-----------+--------- +—---- -------------------------- ) +£‘ 16 10 12 26 4 9 (i) Jsen(3x+ 6).cos(5x + 10)dx Solución Como sen(3x+ 6).cos(5x + 10) = (sen(8x +16) +sen((3x+ 6) -(5x +10))) = ^ (sen(8x + 16)- sen(2x + 4)) entonces Jsen(3x + 6).cos(5x+10)dx =~ J(sen(8x +16)- sen(2x +4))dx cos(8x+16) cos(2x + 4) - H-------------- h C 16 © feos x eos25xdx Solución Como eos x.eos25x = —cosx(l + cos 1Ox) = —(cos x +cos x.cos IOx) 2 2
  111. 111. 98 Eduardo Espinoza Ramos 1 , eos9*+ eos 11a 1n. = — (eosx + ---------------------------- ) = — (2 cos+ eos 9* + cos 1Ijc) 2 2 4 J eos x eos25a d x = —J (2 cosjt +cos9,v+cos 1 x ) d x 1 sen 9a sen 11a, = —(2 sen jc+ -------------------------- + -) + £• 4 9 11 ( 7) f sen(—- x ) sen(—+ a )d x v J 4 4 Solución ^ v fn 1 tt cos2x Como s e n (------ ,v )se n (— + x ) = — ( c o s 2 j c - c o s — ) = ------------ 4 4 2 2 2 J sen(—- x ) scn(—+ x ) d x = — J cos2 a d x = —-11— * + < © ssen x sen 2 x . sen3jc dx Solución Como sen 2x. sen 3jc =y (eosjr+eos 5x) , entonces sen x sen 2 * . sen 3a' = —sen jc(cosx + cos 5x) = —(sen x eosjc+sen x cos 5x) ? 2 = —(sen 2 x - sen 6a:+sen 4 x ) = —(sen 2a' + sen 6a:- sen 4 v) 4 4 J sen x . sen 2x.sen 3a: d x = —J (sen 2a' - sen 4 x +sen 6 x ) d x 1 , cos óx' cos 4jc cos 2 x cos2jc cos 4x cos 6a = — ( -------------- + --------------------------- ) + c = ---------------+ --------------------------- + c 4 6 4 2 8 16 24
  112. 112. Integral Indefinida 99 1.6.4 EJERCICIOS PROPUESTOS,- Calcular las siguientes integrales. © Jsen 8v.sen 3xdx ^ sen5x senllv Rpta. ——---------—— +c 10 © /■sen 3r. sen 5a dx _ sen 2x sen 8x R p ta.------------------ +c 4 16 J sen1x.eos 3x dx _ 3eos 2a 3cos4y eos 6x R p ta.--------------------- +— -— +£ 16 3 2 48 © j eos 4x. eos 5x dx •-fc . 1 / sen9xv Rpta. ~(scnx +—-— )+c © j eos2x.sen2 4 a dx n x sen 8y sen2x senóx senlOx R p ta .------------ +------------a------------------ 4 32 8 48 80 (ó ) J sen—.sen — dx 2 2 _ sen y sen 2x R p ta.------------------fí sen 5a .eosx dx ^ eos 6x eos 4x R p ta .-------------------- +c F 12 8 © j eos y . eos 5x dx ^ sen 4a' sen 6x Rpta. — — + - ■ - 8 12 © j sen 4x.eos7Ydx _ eos3x eosllx Rpta. —---------------- +c F 6 22 f x 3x jsen —.eos — dx 2 2 ^ eos y eos 2x R p ta.-----------------+ r (Ti) J eos| .eosy dx x 3 5x Rpta. 3sen —+—sen — +c 6 5 6 s> J*sen 2x.sen 3xdx _ eos y eos 5x Rpta. — ------------- +c 2 10 +c
  113. 113. 100 Eduardo Espinoza Ramos © 1*( Vsen 2 a - eos 2x)2dx Rpta. © |*sen 5 a . sena dx Rpta. © .j*eos 3a . eos 2 a dx Rpta. © JJ*sen 3 a . eos 6 a dx Rpta. © jj*eos 4 a . eos 2 a dx Rpta. © J|*eos 3 0 a . sen 2 0 a dx Rpta. © j1*sen 3 a . eos 5 a dx Rpta. © J|*sen 2 a . eos 4 a dx Rpta. © J1*sen(4y +7).c o s(5 a +%)dx Rpta. © j[ c o s ( 9 a - 2 0 ) . c o s(5 a + 2 0 )¿/a Rpta. © Jsen a . sen 3a . sen 5 a dx Rpta. © Jeos a . eos 3a . eos 5 a dx Rpta. © Isen 10 a . sen 2 0 a , sen 3 0 a dx Rpta. x sen4* c o s 2 a 2 , . v3, 7 —+-----------------------(sen 2a) + c* 2 8 2 3 sen 4 a sen 6x 8 12 sen x sen 5a +c 2 10 eos 3a eos9 a 6 18 ■+c' -+c sen 2 a sen 6 a --------+-------- +c 4 12 eos 1 0a eos 5 0 a 20 100 eos 2 a eos8 a 4 16 eos 2 a eos 6v ~4 12 +r •+r +C' 18 1_sen(4v- 40) sen 14 a .. —[------------- - +---------]+c 4 2 7 1r eos 9 a eos3a eos 7a —feosa +---------------------------- 4 9 3 7 ]+c- 1r sen 3a sen 7 a sen 9 a . —[senA +------- -f------- +-----—1+c 4 3 7 9 l r eos 6 0 y eos 4 0 a , „r----------------------- eos 2 0 a ] + r 8 3 2

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