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Ejercicios matematica iv unidad iii
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Ejercicios para cumplir con la asignatura programada para el 18-07-2015 Matemática IV.
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1.
UNIVERSIDAD FERMIN TORO FACULTAD
DE INGENIERIA CABUDARE. EDO. LARA Estudiantes: Jesus Arroyo CI: 25143483 Maria Vegas CI: 23814971 José Nieves CI: 25854232 Profesor: José Morillo
2.
Ejercicios Unidad III 1.
Utilizando la definición de transformada calcule: a) 𝐿{𝐶𝑜𝑠ℎ2𝑡} Solución: lim 𝑎→∞ ∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡. 𝑑𝑡 𝑎 0 Integramos por la forma de coseno hiperbólico: lim 𝑎→∞ 𝑒−𝑠𝑡 𝑠2 − 22 (𝑠𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡 − 2𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑡) | 𝑎 0 lim 𝑎→∞ 𝑒−𝑠𝑎 𝑠2 − 4 (𝑠𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑎 − 2𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑎) − 1 𝑠2 − 4 (−𝑠) lim 𝑎→∞ (𝑠𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑎 − 2𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑎) 𝑒 𝑠𝑎(𝑠2 − 4) + 𝑠 𝑠2 − 4 Ya que 𝑒∞ =0 entonces lim 𝑎→∞ (𝑠𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑎−2𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑎) 𝑒 𝑠𝑎(𝑠2−4) = 0, por lo tanto: 𝐿{𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡} = 𝑠 𝑠2 − 4 b) 𝐿{𝑡 𝐶𝑜𝑠ℎ3𝑡} Solución: 𝐿{𝑡]. 𝐿{𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑡} lim 𝑎→∞ ∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑡. 𝑑𝑡 𝑎 0 . lim 𝑎→∞ ∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑡. 𝑑𝑡 𝑎 0 Integramos por partes: 𝑢 = 𝑡 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡 𝑑𝑣 = 𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝑣 = 𝑒−𝑠𝑡 −𝑠 lim 𝑎→∞ 𝑒−𝑠𝑡 −𝑠 𝑡 − ∫ 𝑒−𝑠𝑡 −𝑠 𝑑𝑡 𝑎 0 . lim 𝑎→∞ ∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑡. 𝑑𝑡 𝑎 0 lim 𝑎→∞ − 𝑒−𝑠𝑡 𝑠 𝑡 + 1 𝑠 ∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡. lim 𝑎→∞ ∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑡. 𝑑𝑡 𝑎 0 𝑎 0 Resolvemos las integrales:
3.
lim 𝑎→∞ − 𝑒−𝑠𝑡 𝑠 𝑡 − 𝑒−𝑠𝑡 𝑠2 | 𝑎 0 .
lim 𝑎→∞ 𝑒−𝑠𝑡 𝑠2 − 32 (𝑠𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑡 − 3𝑠𝑒𝑛ℎ3𝑡) | 𝑎 0 lim 𝑎→∞ − 𝑒−𝑠𝑎 𝑠 𝑎 − 𝑒−𝑠𝑎 𝑠2 − (0 − 1 𝑠2 ) . lim 𝑎→∞ 𝑒−𝑠𝑎 𝑠2 − 9 (𝑠𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑎 − 3𝑠𝑒𝑛ℎ3𝑎) − 1 𝑠2 − 4 (−𝑠) lim 𝑎→∞ − 𝑒−𝑠𝑎 𝑠 𝑎 − 𝑒−𝑠𝑎 𝑠2 + 1 𝑠2 . lim 𝑎→∞ (𝑠𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑎 − 2𝑠𝑒𝑛ℎ3𝑎) 𝑒 𝑠𝑎(𝑠2 − 9) + 𝑠 𝑠2 − 9 1 𝑠2 . 𝑠 𝑠2 − 9 𝑠 𝑠4 − 9𝑠2 2. Calcule las siguientes transformadas: a) 𝐿{𝑡2 𝐶𝑜𝑠ℎ2𝑡} 𝐿{𝑡2}. 𝐿{𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡} Aplicamos función hiperbólica para resolver por transformada directa de Laplace: 𝐿{𝑡2}. 𝐿 { 𝑒2𝑡 + 𝑒−2𝑡 2 } 2 𝑠3 ( 1 2 {𝑒2𝑡} + 1 2 {𝑒−2𝑡}) Sustituimos por las funciones elementales de transformada directa: 2 𝑠3 . 1 2 ( 1 𝑠 − 2 + 1 𝑠 + 2 ) Sumamos las fracciones: 2 𝑠3 . 1 2 ( (𝑠 + 2) + (𝑠 − 2) (𝑠 − 2)(𝑠 + 2) ) 2 𝑠3 . 1 2 ( 2𝑠 𝑠2 − 22 ) Simplificando tenemos: 2 𝑠3 . 𝑠 𝑠2 − 4 Multiplicamos las fracciones:
4.
2𝑠 𝑠5 − 4𝑠3 b)
𝐿{𝑒4𝑡 𝑆𝑒𝑛5𝑡} Solución: 𝐿{𝑒4𝑡}. 𝐿{𝑠𝑒𝑛5𝑡} Aplicamos la fórmula de Euler para resolver por transformada directa de Laplace: 𝐿{𝑒4𝑡}. 𝐿 { 𝑒 𝑖5𝑡 − 𝑒−𝑖5𝑡 2𝑖 } 𝐿{𝑒4𝑡}. ( 1 2𝑖 𝐿{𝑒 𝑖5𝑡 } − 1 2𝑖 𝐿{𝑒−𝑖5𝑡 }) Sustituimos por las funciones elementales: 1 𝑠 − 4 . 1 2𝑖 ( 1 𝑠 − 5𝑖 − 1 𝑠 + 5𝑖 ) Sumamos las fracciones: 1 𝑠 − 4 . 1 2𝑖 ( (𝑠 + 5𝑖) − (𝑠 − 5𝑖) 𝑠2 − 25𝑖2 ) 1 𝑠 − 4 . 1 2𝑖 ( 10𝑖 𝑠2 + 25 ) Simplificamos: 1 𝑠 − 4 . 5 𝑠2 + 25 Multiplicamos las fracciones: 5 𝑠3 − 4𝑠2 + 25𝑠 − 100 c) 𝐿{𝑡2 𝐶𝑜𝑠2 2𝑡} Solución: Ya que 𝑐𝑜𝑠ℎ2 2𝑡 = 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡. 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡
5.
𝐿{𝑡2}. 𝐿{𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡}. 𝐿{𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡} Aplicamos
funciones hiperbólicas: 𝐿{𝑡2}. 𝐿 { 𝑒 𝑖2𝑡 + 𝑒−𝑖2𝑡 2 } . 𝐿 { 𝑒 𝑖2𝑡 + 𝑒−𝑖2𝑡 2 } 2 𝑠3 . 1 2 ({𝑒 𝑖2𝑡 } + {𝑒−𝑖2𝑡 }). 1 2 ({𝑒 𝑖2𝑡 } + {𝑒−𝑖2𝑡 }) Aplicamos las funciones elementales: 2 𝑠3 . 1 4 ( 1 𝑠 − 2𝑖 + 1 𝑠 + 2𝑖 ) . ( 1 𝑠 − 2𝑖 + 1 𝑠 + 2𝑖 ) Sumamos y multiplicamos las fracciones: 2 𝑠3 . 1 4 ( (𝑠 + 2𝑖) + (𝑠 − 2𝑖) 𝑠2 − 4𝑖2 ) 2 2 𝑠3 . 1 4 ( 2𝑠 𝑠2 + 4 ) 2 Resolvemos la función elevada al cuadrado por producto notable: 2 𝑠3 . 1 4 . 4𝑠2 𝑠4 + 8𝑠2 + 16 Simplificamos: 2 𝑠3 . 𝑠2 𝑠4 + 8𝑠2 + 16 2 𝑠 . 1 𝑠4 + 8𝑠2 + 16 Multiplicamos: 2 𝑠5 + 8𝑠3 + 16𝑠 3. Utilizando fracciones parciales determine la siguiente transformada inversa: 𝐿−1 { 𝑠2 + 2𝑠 + 2 (𝑠 − 1)2(𝑠 + 1)(𝑠 − 2) } Solución:
6.
Usamos el método
de fracciones parciales y obtenemos: 𝑠2 + 2𝑠 + 2 (𝑠 − 1)2(𝑠 + 1)(𝑠 − 2) = 𝐴 (𝑠 − 1) + 𝐵 (𝑠 − 1)2 + 𝐶 (𝑠 + 1) + 𝐷 (𝑠 − 2) 𝑠2 + 2𝑠 + 2 = 𝐴(𝑠 + 1)(𝑠 − 2)(𝑠 − 1) + 𝐵(𝑠 + 1)(𝑠 − 2) + 𝐶(𝑠 − 1)2(𝑠 − 2) + 𝐷(𝑠 − 1)2(𝑠 + 1) Aplicamos distributiva: 𝑠2 + 2𝑠 + 2 = 𝐴(𝑠2 − 2𝑠 + 𝑠 − 2)(𝑠 − 1) + 𝐵(𝑠2 − 2𝑠 + 𝑠 − 2) + 𝐶(𝑠2 − 2𝑠 + 1)(𝑠 − 2) + 𝐷(𝑠2 − 2𝑠 + 1)(𝑠 + 1) 𝑠2 + 2𝑠 + 2 = 𝐴(𝑠3 − 𝑠2 − 2𝑠2 + 2𝑠 + 𝑠2 − 𝑠 − 2𝑠 + 2) + 𝐵(𝑠2 − 𝑠 − 2) + 𝐶(𝑠3 − 2𝑠2 − 2𝑠2 + 4𝑠 + 𝑠 − 2) + 𝐷(𝑠3 + 𝑠2 − 2𝑠2 − 2𝑠 + 𝑠 + 1) 𝑠2 + 2𝑠 + 2 = 𝐴(𝑠3 − 2𝑠2 − 𝑠 + 2) + 𝐵(𝑠2 − 𝑠 − 2) + 𝐶(𝑠3 − 4𝑠2 + 5𝑠 − 2) + 𝐷(𝑠3 − 𝑠2 − 𝑠 + 1) 𝑠2 + 2𝑠 + 2 = (𝐴𝑠3 − 2𝐴𝑠2 − 𝐴𝑠 + 2𝐴) + (𝐵𝑠2 − 𝐵𝑠 − 2𝐵) + (𝐶𝑠3 − 4𝐶𝑠2 + 5𝐶𝑠 − 2𝐶) + (𝐷𝑠3 − 𝐷𝑠2 − 𝐷𝑠 + 𝐷) Agrupamos términos semejantes: 𝑠2 + 2𝑠 + 2 = (𝐴 + 𝐶 + 𝐷)𝑠3 + (−2𝐴 + 𝐵 − 4𝐶 − 𝐷)𝑠2 + (−𝐴 − 𝐵 + 5𝐶 − 𝐷)𝑠 + (2𝐴 − 2𝐵 − 2𝐶 + 𝐷) Para hallar los valores de A, B, C y D agrupamos con 𝑠2 + 2𝑠 + 2 { 𝐴 + 𝐶 + 𝐷 = 0 −2𝐴 + 𝐵 − 4𝐶 − 𝐷 = 1 −𝐴 − 𝐵 + 5𝐶 − 𝐷 = 2 2𝐴 − 2𝐵 − 2𝐶 + 𝐷 = 2 Resolvemos por sistema de ecuaciones y obtenemos: 𝐴 = − 31 12 𝐵 = − 13 6 𝐶 = − 1 12 𝐷 = 8 3 Sustituimos: 𝑠2 + 2𝑠 + 2 (𝑠 − 1)2(𝑠 + 1)(𝑠 − 2) = 𝐴 (𝑠 − 1) + 𝐵 (𝑠 − 1)2 + 𝐶 (𝑠 + 1) + 𝐷 (𝑠 − 2) 𝑠2 + 2𝑠 + 2 (𝑠 − 1)2(𝑠 + 1)(𝑠 − 2) = −31 12 (𝑠 − 1) + −13 6 (𝑠 − 1)2 + −1 12 (𝑠 + 1) + 8 3 (𝑠 − 2) Por Doble C sabemos que: 𝑠2 + 2𝑠 + 2 (𝑠 − 1)2(𝑠 + 1)(𝑠 − 2) = −31 12 ( 1 𝑠 − 1 ) −13 6 ( 1 (𝑠 − 1)2 ) −1 12 ( 1 𝑠 + 1 ) + 8 3 ( 1 𝑠 − 2 ) Por lo tanto:
7.
𝐿−1 { 𝑠2 + 2𝑠 +
2 (𝑠 − 1)2(𝑠 + 1)(𝑠 − 2) } = − 31 12 𝐿−1 { 1 𝑠 − 1 } − 13 6 𝐿−1 { 1 (𝑠 − 1)2} − 1 12 𝐿−1 { 1 𝑠 + 1 } + 8 3 𝐿−1 { 1 𝑠 − 2 } 𝐿−1 { 𝑠2 + 2𝑠 + 2 (𝑠 − 1)2(𝑠 + 1)(𝑠 − 2) } = − 31 12 𝑒 𝑡 − 13 6 𝑡 𝑛−1 𝑒 𝑡 (𝑛 − 1)! − 1 12 𝑒−𝑡 + 8 3 𝑒2𝑡 4) Utilice el teorema de convolución para determinar la transformada inversa: 𝐿−1 { 1 𝑠3(𝑠 + 1)2} Solución: 𝐿−1 { 1 𝑠3(𝑠 + 1)2} = 𝐿−1 { 1 𝑠3 1 (𝑠 + 1)2} Tenemos que: 𝐹(𝑠) = 1 𝑠3 𝐺(𝑠) = 1 (𝑠+1)2 Entonces: 𝑓(𝑡) = 𝑡2 2! = 𝑡2 2 𝑔(𝑡) = 𝑡𝑒−𝑡 1! = 𝑡𝑒−𝑡 Sustituimos en la siguiente formula, con cambio de variable: 𝐿−1{𝐹(𝑠)𝐺(𝑠)} = ∫ 𝑓(𝑤)𝑔 𝑡 0 (𝑡 − 𝑤)𝑑𝑤 𝐿−1 { 1 𝑠3(𝑠 + 1)2} = ∫ 𝑤2 2 (𝑡 − 𝑤)𝑒−(𝑡−𝑤) 𝑡 0 𝑑𝑤 Aplicamos distributiva: 1 2 ∫ 𝑤2 (𝑡𝑒−(𝑡−𝑤) − 𝑤𝑒−(𝑡−𝑤) ) 𝑡 0 𝑑𝑤 1 2 ∫ (𝑤2 𝑡𝑒−(𝑡−𝑤) − 𝑤3 𝑒−(𝑡−𝑤) ) 𝑡 0 𝑑𝑤 1 2 [∫ 𝑤2 𝑡𝑒−(𝑡−𝑤) 𝑑𝑤 − ∫ 𝑤3 𝑒−(𝑡−𝑤) 𝑡 0 𝑑𝑤 𝑡 0 ] ∫ 𝑤2 𝑡𝑒−(𝑡−𝑤) 𝑡 0 𝑑𝑤 − ∫ 𝑤3 𝑒−(𝑡−𝑤) 𝑡 0 𝑑𝑤
8.
𝑡 ∫ 𝑤2 𝑒−(𝑡−𝑤) 𝑡 0 𝑑𝑤
− ∫ 𝑤3 𝑒−(𝑡−𝑤) 𝑡 0 𝑑𝑤 Integramos por partes a 𝑡 ∫ 𝑤2 𝑒−(𝑡−𝑤)𝑡 0 𝑑𝑤 𝑤2 𝑒−(𝑡−𝑤) − 2 ∫ 𝑤𝑒−(𝑡−𝑤) 𝑑𝑤 𝑤2 𝑒−(𝑡−𝑤) − 2 [𝑤𝑒−(𝑡−𝑤) − ∫ 𝑒−(𝑡−𝑤) 𝑑𝑤] 𝑤2 𝑒−(𝑡−𝑤) − 2(𝑤𝑒−(𝑡−𝑤) − 𝑒−(𝑡−𝑤) ) 𝑤2 𝑒−(𝑡−𝑤) − 2𝑤𝑒−(𝑡−𝑤) + 2𝑒−(𝑡−𝑤) 𝑡(𝑤2 𝑒−(𝑡−𝑤) − 2𝑤𝑒−(𝑡−𝑤) + 2𝑒−(𝑡−𝑤) ) 𝑡𝑤2 𝑒−(𝑡−𝑤) − 2𝑡𝑤𝑒−(𝑡−𝑤) + 2𝑡𝑒−(𝑡−𝑤) 𝑡𝑤2 𝑒−(𝑡−𝑤) − 2𝑡𝑤𝑒−(𝑡−𝑤) + 2𝑡𝑒−(𝑡−𝑤) | 𝑡 0 (𝑡3 − 2𝑡2 + 2𝑡) − (0 − 0 + 2𝑡𝑒−𝑡) 𝑡3 − 2𝑡2 + 2𝑡 − 2𝑡𝑒−𝑡 Integramos por partes a ∫ 𝑤3 𝑒−(𝑡−𝑤)𝑡 0 𝑑𝑤 𝑤3 𝑒−(𝑡−𝑤) − 3 ∫ 𝑤2 𝑒−(𝑡−𝑤) 𝑑𝑤 𝑤3 𝑒−(𝑡−𝑤) − 3 [𝑤2 𝑒−(𝑡−𝑤) − 2 ∫ 𝑤𝑒−(𝑡−𝑤) 𝑑𝑤] 𝑤3 𝑒−(𝑡−𝑤) − 3𝑤2 𝑒−(𝑡−𝑤) − 6 [𝑤𝑒−(𝑡−𝑤) − ∫ 𝑒−(𝑡−𝑤) 𝑑𝑤] 𝑤3 𝑒−(𝑡−𝑤) − 3𝑤2 𝑒−(𝑡−𝑤) + 6𝑤𝑒−(𝑡−𝑤) − 6𝑒−(𝑡−𝑤) | 𝑡 0 (𝑡3 − 3𝑡2 + 6𝑡 − 6) − (0 − 0 + 0 − 6𝑒−𝑡 ) 𝑡3 − 3𝑡2 + 6𝑡 − 6 + 6𝑒−𝑡 Sustituimos los resultados en 1 2 [∫ 𝑤2 𝑡𝑒−(𝑡−𝑤) 𝑑𝑤 − ∫ 𝑤3 𝑒−(𝑡−𝑤)𝑡 0 𝑑𝑤 𝑡 0 ] 1 2 [𝑡3 − 2𝑡2 + 2𝑡 − 2𝑡𝑒−𝑡 − (𝑡3 − 3𝑡2 + 6𝑡 − 6 + 6𝑒−𝑡)] 1 2 [𝑡3 − 2𝑡2 + 2𝑡 − 2𝑡𝑒−𝑡 − 𝑡3 + 3𝑡2 − 6𝑡 + 6 − 6𝑒−𝑡] Agrupamos términos semejantes:
9.
1 2 [𝑡2 − 4𝑡 −
2𝑡𝑒−𝑡 − 6𝑒−𝑡 + 6] Distributiva: 𝑡2 2 − 4𝑡 2 − 2𝑡𝑒−𝑡 2 − 6𝑒−𝑡 2 + 6 2 Simplificamos: 𝑡2 2 − 2𝑡 − 𝑡𝑒−𝑡 − 3𝑒−𝑡 + 3 Por lo tanto: 𝐿−1 { 1 𝑠3(𝑠 + 1)2} = ∫ 𝑤2 2 (𝑡 − 𝑤)𝑒−(𝑡−𝑤) 𝑡 0 𝑑𝑤 = 𝑡2 2 − 2𝑡 − 𝑡𝑒−𝑡 − 3𝑒−𝑡 + 3
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