Este documento presenta diferentes tipos de integrales y los métodos para resolverlas. Explica cómo integrar funciones trigonométricas mediante cambios de variable, así como integrales de funciones irracionales y exponenciales. Se proporcionan ejemplos ilustrativos de cada tipo de integral tratada.

1. Tema 4. Integrales
Integración de algunas funciones trigonométricas
1. Integrales del tipo: ∫ R(senx, cos x) dx
Efectuando el cambio:
⎧ 2
⎪dx = 1 + t 2 dt
⎪
x ⎪ 2t
t = tg ⎨ senx =
2 ⎪ 1+ t2
⎪ 1− t2
⎪ cosx =
⎩ 1+ t2
se obtiene una función racional en la variable t.
Hay veces que este cambio resulta muy pesado y puede hacerse otro un poco más sencillo:
a) Si R(senx,cosx) es impar en cosx, es decir, R(senx,-cosx) = -R(senx,cosx), es aconsejable
el cambio:
⎧ dt
⎪ dx =
t = senx ⎨ 1− t2
⎪
⎩cos x = 1 − t
2
b) Si R(senx,cosx) es impar en senx, es decir, R(-senx,cosx) = -R(senx,cosx), es útil el cam-
bio:
⎧ − dt
⎪ dx =
t = cosx ⎨ 1− t2
⎪sen x = 1 − t 2
⎩
c) Si R(senx,cosx) es par en senx y cosx a la vez, o sea, R(-senx,-cosx) = R(senx,cosx), se
aconseja el cambio:
⎧ 1
⎪ dx = dt
⎪ 1+ t 2
⎪
⎪ t
t = tgx ⎨senx =
⎪ 1+ t2
⎪ 1
⎪cosx =
⎪
⎩ 1+ t2
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2. Ejemplos:
dx 1 dx
∫ 1 + 2senx ∫ 1 + cos x 2
dx ∫ cosecx dx ∫ senx cos 3
x
dx 3dx sec xtgx
∫ senx + cos x ∫ 1 − cos2 x ∫ 9 + 4sec 2 x dx
2. Integrales del tipo: ∫ sen n x dx y ∫ cos n x dx , con n ∈ IN.
a) Si n es impar (n = 2k + 1) se aplica la igualdad: cos2x + sen2x = 1.
∫ sen
n
( )
x dx = ∫ sen 2 k x ⋅ senx dx = ∫ 1 - cos 2 x ⋅ senx dx
k
∫ cos x dx = ∫ cos 2 k x ⋅ cos x dx = ∫ (1 - sen x )
k
n 2
⋅ cos x dx
b) Si n es par (n = 2k), se aplican las igualdades:
⎧ 2 1
⎪sen x = (1 − cos 2 x)
2 ⎪ 2
cos2x + sen2x = 1 y cos 2 x = cos x − sen x ⎨
2
⎪cos 2 x = 1
(1 + cos 2 x)
⎪
⎩ 2
Ejemplos:
∫ sen x dx ∫ cos ∫ cos ∫ sen
2 3 4 5
x dx x dx x dx
3. Integrales del tipo: ∫ sen n x cos m x dx , con m,n ∈ N.
a) Si uno de los números positivos m, n es impar, entonces se aplica la igualdad cos2x + sen2x =
1, reduciéndose a una integral del tipo ∫ R(senx, cos x) dx , siendo R impar en senx o cosx.
b) Si los dos números positivos m, n son pares, entonces se aplican las igualdades
senx cos x = sen 2 x , sen 2 x = (1 − cos 2 x ) , cos 2 x = (1 + cos 2 x ) y la integral se reduce a integra-
1 1 1
2 2 2
les de los tipos ∫ sen x dx y ∫ cos x dx .
n n
Ejemplos:
∫ cos xsen x dx ∫ sen
3 2 2
xcos 2 x dx
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3. Integración de funciones irracionales
Las integrales que se muestran aquí corresponden a funciones racionales de potencias radicales
de la variable; a estas funciones se las denota de la forma R x n , x p . ( q
)
En general para integrar estas funciones se aplican cambios de variable bien conocidos que re-
ducen la integral irracional a una integral racional o trigonométrica.
∫ R(x, x )
p1 q1
a) , x p2 q2
,... dx
Cambio de variable: x = tn, con n = m.c.m.{q1, q2, …}
⎛ ⎛ ax + b ⎞ p1 q1 ⎛ ax + b ⎞ p2 q2 ⎞
b) ∫ R⎜ x, ⎜ ,...⎟ dx
⎜ ⎝ cx + d ⎟
,⎜ ⎟
⎠ ⎝ cx + d ⎠ ⎟
⎝ ⎠
ax + b
Cambio de variable: = tn, con n = m.c.m.{q1, q2, …}
cx + d
∫ R(x, ax + b dx )
n
c)
Cambio de variable: ax + b = tn
⎛ ax + b ⎞
d) ∫ R ⎜ x,
⎜
n ⎟ dx
cx + d ⎟
⎝ ⎠
ax + b
Cambio de variable: = tn
cx + d
e) ∫ R(x, x 2 + α 2 dx )
Cambio de variable: x = α ⋅ tgt
f) ∫ R(x, x 2 − α 2 dx )
Cambio de variable: x = α ⋅ sect
g) ∫ R(x, α 2 − x 2 dx )
Cambio de variable: x = α ⋅ sent ó x = α ⋅ cost
h) ∫ R(x, ax 2 + bx + c dx )
Cambios de variable recomendados:
- Si a > 0: ax 2 + bx + c = t + x a (ó t − x a )
- Si c > 0: ax 2 + bx + c = x ⋅ t + c (ó x ⋅ t − c )
- Si ax 2 + bx + c tiene dos raíces reales α y β: ax 2 + bx + c = t ( x − α )
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4. Ejemplos:
x −1 x +1 1
∫ 1 + x dx ∫ x 3 + 2 x 2 dx ∫ 3
x+2
dx ∫ 1 − x 2 dx ∫ x2 + x +1
dx
x2 x 2 − 4x + 1
∫ x2 −1
dx ∫ x 3 − 5 x 2 + 5 x − 1 dx
Integración de funciones exponenciales
∫ R(e )
mx
Consideramos ahora integrales de la forma: , e nx ,K dx .
Con el cambio de variable: e x = t , se reducen a integrales de funciones racionales en la variable
t.
Ejemplos:
e3x + 1 dx e2x
∫ e x − e 2 x dx ∫ 1 + e2x ∫ 1 + e x dx
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