El primer documento presenta un problema de un resorte-masa en movimiento armónico simple. Se determina que la ecuación de movimiento es X(t)=1/2cos(2t)+3/4sen(2t). El segundo problema involucra un sistema de resorte-masa-amortiguador, donde se deduce que la ecuación de movimiento es X(t)= ℮−2t (−Cos4t−1⁄2Sen4t).
CUADERNILLO DE EJERCICIOS PARA EL TERCER TRIMESTRE, SEXTO GRADO
Ecuaciones diferenciales de orden superior
1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DEVENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
I.U.P. SANTIAGO MARIÑO
ING. MTTO. MECANICO
MATEMATICAAPLICADA
Integrante:
Yoimer González CI-26257128
Profesora:
Rosa Contramaestre
30-abril-2017
2. SISTEMA DE RESORTE/MASA:
MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO
Una masa que pesa 8 lb se une a un resorte. Cuando se pone en movimiento
armónico simple. Determine la ecuación de movimiento si la constante de resorte es 1
lb/pie y la masa se libera inicialmente desde un punto 6 pulgadas debajo de la posición
de equilibrio, con una velocidad descendente de 3/2 pies/s.
Datos:
W= 8 lb
K=1 lb/pie
t(0), x= 6 plg*(1pie/12plg)= ½ pie
t(0), dx/dt= 3/2 pie/s
X(t)=?
Ecuación a usar:
m d2x/dt2=-kx
Para hallar el valor de la masa:
W=m*g m=W/g
m=8 lb/ 32pie/s2
m=1/4 slug
Al sustituir valores:
¼ d2x/dt2=-1x
Multiplicamos por 4 y reordenamos, para tener:
d2x/dt2+4x=0
3. Tenemos que:
X”=d2x/dt2=m2emx X´=dx/dt=memx X=emx
Sustituimos:
m2emx +4emx =0
Factorizamos (emx )
Emx(m2+4)=0
m2=-4
m=√-4
m=2i
La ecuación de movimiento es:
X(t)=C1 cos(2t)+C2 sen(2t)
Para hallar los valores de C1 yC2 se aplica las condiciones iniciales
t(0), X= ½ pie
t(0), dx/dt= 3/2 pie/s
4. ½ = C1 cos(2*0) + C2 sen(2*0)
½ =C1*1+c2*0
C1= ½
Se deriva la ecuación del movimiento para obtener:
Dx/dt=-C1*2*sen(2t)+C2*2*cos(2t)
3/2 =-½ *2*sen(2*0)+C2*2*cos(2*t)
3/2=0+C2*2
C2=(3/2)*(1/2)
C2 =3/4
Sustituimos los valores de C1 y C2 en la ecuación, tenemos:
X(t)=1/2cos(2t)+3/4sen(2t)
5. Una fuerza de 2 lb estira 1 pie un resorte. A ese resorte se le une un contrapeso de 3,2 lb
y el sistema se sumerge en un medio que imparte un fuerza de amortiguamiento
numéricamente igual a 0,4 la velocidad instantánea. Deduzca la ecuación del
movimiento:
Datos:
F= 2 lb
X= 1 pie
M=3,2lb
Β=0,4
X(0)=-1 pie
X´(0)=0
X(t)=?
La ecuación diferencial que rige el proceso es:
m d2x/dt2 = -kx –β dx/dt
1/10 d2x/dt2 = -2x -0,4 dx/dt (10)
d2x/dt2 +4dx/dt +20x=0 X”+4X´+20x=0
Las soluciones a esta ecuación son del tipo X=℮mx , X´=m ℮mx , X”=m2 ℮mx
m = W = 3,2 lb = 1 slug
g 32pie/s2 10
F = kx 2 lb = k*1pie k = 2lb/pie
6. m2 ℮mx +4m ℮mx +20 ℮mx = 0 ℮mx (m2 +4m +20)=0 m=
m=-2+4i
Raíces complejas, el sistema esta subamortiguado
X(t)= ℮-2t (C1 Cos4t+C2Se4t)
X´(t)= -2 ℮-2t (C1 Cos4t+C2 Sen4t)+ ℮−2t (-4C1Sen4t+4C2Cos4t)
Para hallar las constantes se utilizan las condiciones iniciales
X(0)=-1 -1= ℮0 (C1Cos(0)+C2Sen(0)) C1=-1
X´(0)=0 0=-2 ℮0 (C1Cos(0)+C2Sen(0))+ ℮0 (-4C1Sen(0)+4C2Cos(0)
C2=-2/4 =-½
X(t)= ℮−2t (−Cos4t−½Sen4t)
-4+√42 -4*1*20
2*1
−
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