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FISICA – 100Docente: Ing. Jesús Henry
Jiménez AUN POCO DE HISTORIA
La historia de la aviación se remonta al día en el que el hombre prehistórico se paró a
observar el vuelo de las aves y de otros animales voladores. El deseo de volar está
presente en la humanidad desde hace siglos, y a lo largo de la historia del ser humano
hay constancia de intentos de volar que han acabado mal. Algunos intentaron volar
imitando a los pájaros, usando un par de alas elaboradas con un esqueleto de madera
y plumas, que colocaban en los brazos y las balanceaban sin llegar a lograr el
resultado esperado.
Muchas personas decían que volar era algo imposible para las capacidades de un ser
humano. Pero aun así, el deseo existía, y varias civilizaciones contaban historias de
personas dotadas de poderes divinos, que podían volar. El ejemplo más conocido es la
leyenda de icaro y Dedalo, que encontrándose prisioneros en la isla de , se
construyeron unas alas con plumas y cera para poder escapar. Ícaro se aproximó
demasiado al Sol y la cera de las alas comenzó a derretirse, haciendo que se
precipitara en el mar y muriera. Esta leyenda era un aviso sobre los intentos de
alcanzar el cielo, semejante a la historia de la torre de babel en la Biblia , y ejemplifica
el deseo milenario del hombre de volar.
En el año 852, el andalusi Abbas Ibn Firnas, se lanzó desde el
minarete de la Mezquita de Córdoba con una enorme lona
para amortiguar la caída, sufriendo heridas leves, pero
pasando a la historia como el precursor de los modernos
paracaídas.
En el 875, contando con 65 años de edad, Ibn Firnás se hizo
confeccionar unas alas de madera recubiertas de tela de seda
que había adornado con plumas de rapaces. Con ellas se
lanzó desde lo alto de
una colina, y logró
permanecer en el aire
durante un breve
espacio de tiempo,
aunque hay relatos que
afirman que voló
durante más de diez
minutos. El aterrizaje
resultó muy violento y
Abbás Ibn Firnás se fracturó las dos piernas, pero consideró que la experiencia había
sido un éxito, al igual que la gran multitud de personas que lo observaron.
Mezquitade Cordova

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Jiménez A
LOS HERMANOS WRIGHT
Los hermanos Wright, Orville y Wilbur, son nombrados en conjunto y conocidos
mundial mente por ser pioneros en la historia de la aviación.
Los hermanos eran fabricantes de
bicicletas sin embargo son conocidos
por sus contribuciones en el ámbito de la
aviación. Llegaron a diseñar y fabricar
un avión controlable, que fue capaz de
planear en un corto vuelo impulsado con
ayuda de una catapulta externa. Dicho
avión nunca fue capaz de volar por sí
solo, ya que su diseño no permitía que
tuviese suficiente sustentación para
mantenerse en el aire. Sin embargo, al
lanzarlo al aire con una catapulta
externa, se consiguió un corto vuelo, suficiente para probar el sistema de viraje y
control del avión. Se afirma que su primer vuelo se realizó el 17 de Diciembre de 1903,
en Kitty Hawk, a bordo del Flayer 1 . Aunque hay discrepancias con respecto a esto.
1RA GUERRA MUNDIAL
En la 1ra guerra mundial surgieron muchos adelantos tecnológicos, pero mas en la
Aviación y Aeronáutica
En ese tiempo los valientes pilotos volaban en Biplanos de Madera, Su armazón estaba
hecho de Madera y Tela y algunas piezas de metal, su Tren de aterrizaje era fijo, estos
aviones era muy maniobrables, no eran muy rápidos, uno de los pilotos de Triplanos
más conocido es Manfred Albrecht Freiherr von Richthofen, el fue el Famoso "
Baron Rojo", Uno de los mejores pilotos de combate en la Historia de la 1ra
guerra mundial.
2DA GUERRA MUNDIAL
Era 1939 y Hitler, atacaba a Europa como su capital de
guerra Berlin, las naciones como Inglaterra, España,
Portugal, Francia, Etc, Hitler tenia uno de los mejores
aviones a su dispocision, el Focke Wulf 190, Sin embargo
los Ingleses tenian muy buenos aviones, los Estados Unidos
entro en la Guerra contra Japon y el Ejercito Nazi en 1941,
despues del ataque a Pearl Harbor, por lo menos los
Portaaviones Estado Unidenses no estaban en el momento
del ataque, los aviones que tenía US eran mucho más
mejores, como el P-40,

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Jiménez A
P-47, P-51, B-17, B-25, B-24 y muchos más de la Marina. al Final de la 2da Guerra
Mundial Estados Unidos le gano a Japón y Rusia le gano a el ejército Nazi y el mundo
entro en paz de nuevo
Entre 1945 y 1980
Las Turboheliceses
Después del fin de la Segunda Guerra Mundial, la aviación comercial pasó a
desarrollarse de manera independiente a la aviación militar. Las empresas fabricantes
de aviones pasaron a crear modelos especialmente diseñados para el transporte de
pasajeros y, durante los primeros años después de la guerra, las líneas aéreas usaron
aviones militares modificados para uso civil, o versiones derivadas de los mismos, entre
los que cabría destacar el Boeing 377 Stratocruiser, que derivaba del Boeing C-97
Stratofreighter, y que se convirtió en el primer avión de dos pisos de la historia de la
aviación, ya que su fuselaje denominado "de doble burbuja" permitía que en la parte
superior albergara una cubierta con asientos, y en la inferior llevara una pequeña sala
VIP a la que se accedía mediante una escalera de caracol, y que a la vez fue el mayor
avión comercial hasta la llegada del Boeing 707 en 1958.
De las aeronaves comerciales que se desarrollaron en este periodo, destacan los
cuatrimotores Douglas DC-4 y el Lockheed Constellation, que fueron usados para
vuelos domésticos de pasajeros o de media distancia. También realizaron rutas
transoceánicas, pero para éstas necesitaban hacer escalas para reabastecerse de
combustible. Los vuelos transoceánicos necesitaban de motores más potentes, que ya
existían en 1945 en forma de turbinas a reacción, pero estos, en ese momento todavía
consumían demasiado combustible y con ellas un avión solo podría recorrer pequeñas
distancias.
Focke Wulf 190
Mustang P-51
Cabina Burbuja

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Jiménez A
Para resolver este problema, aunque fuera de manera temporal, se desarrollaron
motores turbohélices, que eran propulsores capaces de generar más de tres mil
caballos de fuerza. Estos motores comenzarían a ser empleados en los Vickers
Viscount, Lockheed L-188 Electra o Ilyushin Il-18, aviones capaces de transportar entre
75 y 110 pasajeros entre las ciudades de Nueva York y París sin escalas y a una
velocidad de crucero de más de 500 km/h.
La Era De Los Reactores
A finales de los años 40, los ingenieros comenzaron a desarrollar las turbinas usadas
en los cazas a reacción producidos durante la Segunda Guerra Mundial. En un
principio, los Estados Unidos y la Unión Soviética querían turbinas a reacción para
producir bombarderos y cazas cada vez mejores, y así mejorar todavía más su arsenal
militar. Cuando comenzó la Guerra de Corea en 1950, tanto los Estados Unidos como
la Unión Soviética disponían de cazas a reacción, entre los que destacaban el
norteamericano North American F-86 Sabre y el soviético MiG-15.
En cuanto al primer avión de reacción de carácter comercial de la historia de la
aviación, fue el De Havilland Comet de fabricación británica. El Comet comenzó su uso
como avión de pasajeros en 1952, siendo capaz de volar a 850 km/h, y con una cabina
presurizada y relativamente silenciosa. Este avión comenzó siendo un éxito comercial,
y muchas líneas aéreas hicieron pedidos. Pero dos accidentes ocurridos en 1954 en
medio del mar, hicieron que surgieran grandes dudas en lo relativo a la seguridad del
avión. La causa principal de los accidentes fueron las turbinas, que estaban localizadas
dentro de la estructura del ala, y debido a que estas alcanzaban altas temperaturas,
poco a poco debilitaban la estructura del ala, la cual acababa por fragmentarse en el
aire debido a lafatiga del metal. La compañía De Havilland intentó salvar su avión,
cuyas ventas habían caído drásticamente, a través de algunas modificaciones
estructurales, pero un tercer accidente ocurrido en 1956 hizo que de nuevo las ventas
cayeran, y al final la producción cesó en 1964.
La norteamericana Boeing lanzó el Boeing 707 en 1958, el cual se convirtió en el
primer avión de pasajeros a reacción que tuvo éxito. Los ingenieros que desarrollaron
el modelo, dedicaron especial empeño en que los errores que se habían cometido en el
De Havilland Comet no se dieran en el 707. Los modelos a reacción Douglas DC-8 y
Convair 880 fueron lanzados algunos años después, aunque el éxito comercial que
ambos modelos tuvieron fue más modesto que el que alcanzó el 707, del que se
produjeron un total de 1.010 unidades, convirtiendo a la Boeing desde entonces, en el
mayor fabricante de aviones del mundo.
Los modelos 727, 737 y 747 son derivados directos del 707. El Boeing 737, cuya
producción fue iniciada en 1964 es el avión para transporte de pasajeros más
producido y popular de la historia, con más de seis mil aviones producidos, y ya
entrado el siglo XXI, el modelo continúa en producción, gracias a todas las mejoras y
variantes producidas.

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Jiménez A
Aviones De Fuselaje Ancho
Los aviones de fuselaje ancho son aviones
comerciales que poseen tres filas de asientos
separadas por dos pasillos. Se crearon para
proporcionar más comodidad a los pasajeros, y
facilitar su movilidad y la de los tripulantes por
el avión.
El primer avión que poseía un fuselaje ancho fue el Boeing 747, apodado Jumbo,
capaz de transportar a más de 500 pasajeros en un único vuelo. Fue presentado en
1968, y en ese momento muchos pensaban que no tendría éxito comercial, por lo que
Boeing pasó por problemas económicos durante el proceso de desarrollo del avión.
Sin embargo, el Jumbo se convirtió en todo un logro comercial, rompiendo todas las
expectativas, y pasando a servir rutas con mucha densidad de pasajeros. Desde su
lanzamiento fue el avión comercial más grande del mundo hasta la aparición del Airbus
A380, ya en el siglo XXI.
En la década de 1970, aparecieron los primeros trirreactores comerciales, el McDonnell
Douglas DC-10 y el Lockheed L-1011 TriStar, capaces de realizar rutas
intercontinentales, también el nacimiento del F-14 Tomcat el 21 de diciembre de ese
año y que tuvieron un gran éxito en su momento. Años después, también se produciría
un derivado del DC-10, el McDonnell Douglas MD-11.
El primer birreactor de fuselaje ancho fue el Airbus A300, un avión comercial de medio
alcance, fabricado por el consorcio europeoAirbus. La norteamericana Boeing
contraatacó con el Boeing 767, similar al A300 pero que podía operar rutas más largas,
y con elBoeing 757 para las rutas de medio alcance, pero que no disponía de fuselaje
ancho. El Boeing 767 revolucionó la aviación comercial, ya que su largo alcance, sus
bajos costes operaciones y su capacidad de transporte (podía transportar más de 200
pasajeros) permitían vuelos regulares usando el menor número de aviones posible en
rutas transatlánticas y en rutas anteriormente impracticables debido a los altos costes
operacionales y al bajo número de pasajeros. Gracias a este avión, se popularizaron
los viajes transatlánticos, y a finales de los años 80 y principios de los años 90, había

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Jiménez A
más Boeing 767 cruzando el océano Atlántico diariamente, que todos los demás
aviones comerciales sumados que operaban esas rutas, y durante los primeros años
del siglo XXI, continúa siendo el avión que más veces es usado para cruzar el Atlántico
diariamente, a pesar de la creciente competencia de aviones más modernos y
recientes.
1990 Y La Actualidad
El 12 de junio de 1994 el Boeing 777 realizó su primer vuelo, convirtiéndose en el
primer avión diseñado y planeado completamente con ordenadores, y en la actualidad
es el mayor avión birreactor del mundo. Junto al cuatrirreactor Airbus A340, son los
aviones con mayor alcance operacional del planeta, pudiendo recorrer más de 16.000
kilómetros en un único vuelo.
Desde los años 70, los aeropuertos y aviones comerciales pasaron a ser uno de los
objetivos preferidos de ataques terroristas. El peor de estos ataques ocurrió en 2001,
cuando dos aviones de American Airlines y dos de United Airlines fueron utilizados en
los Atentados del 11 de septiembre. Como consecuencia directa de este
acontecimiento, el número de viajeros de avión disminuyó en la mayoría de líneas
aéreas, y muchas de ellas se enfrentaron a grandes dificultades financieras en los años
siguientes. Los efectos del ataque, aunque minimizados, todavía persisten en varias
compañías. El resultado de la amenaza terrorista es el incremento de medidas de
seguridad que se toman en los aeropuertos desde entonces.
Desde el inicio del siglo XXI, la aviación subsónica pretende sustituir al piloto por
aeronaves controladas a distancia o por ordenadores. En abril de 2001, el avión no
tripulado denominado Northrop Grumman RQ-4 Global Hawk voló desde la Base de la
Fuerza Aérea Edwards(California, Estados Unidos) hasta Australia, sin escalas y sin
reabastecerse de combustible, tardando 23 horas y 23 minutos, siendo el vuelo más
largo realizado por un avión no tripulado.
Uno de los Concorde de Air France sufrió un accidente el 25 de julio de 2000, cuando
una turbina del avión comenzó a arder, haciendo que se estrellara en Gonesse
(Francia) poco después de despegar. Hasta entonces, el Concorde era considerado el

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Jiménez A
avión comercial más seguro del mundo. Pasó por un proceso de modernización hasta
el 2003, pero por causa del bajo número de pasajeros y de los altos costes
operacionales, todos los aparatos dejaron de volar en 2003, cuando British Airways
retiró el último en servicio, y desde entonces ningún avión supersónico realiza vuelos
comerciales.
El 27 de abril de 2005, el Airbus A380 voló por primera vez, y el 25 de octubre de 2007,
con la realización de su primer vuelo comercial entre Singapur y Sídney, se convirtió en
el mayor avión comercial de pasajeros del mundo, superando al Boeing 747, que había
ostentado ese récord desde que realizó su primer vuelo en 1969. Pero aun así, el A380
es superado en tamaño por el Antonov An-225, que realizó su primer vuelo el 21 de
diciembre de 1988, y desde entonces es el mayor avión de la historia.
El 15 de diciembre de 2009, después de dos años de retraso, el Boeing 787 realiza su
primer vuelo en las instalaciones que la compañía tiene en el aeropuerto de Paine
Field(Everett, Washington, Estados Unidos), convirtiéndose en el primer avión
comercial fabricado principalmente con materiales compuestos.
Airbus 380, el avión más grande del
mundo

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Jiménez AINTRODUCCION A LA FISICA
La ciencia.- (Del latín scientia 'conocimiento') es el conjunto de conocimientos
sistemáticamente estructurados obtenidos mediante la observación de patrones
regulares, de razonamientos y de experimentación en ámbitos específicos.
La tecnología.- Es el conjunto de conocimientos técnicos, ordenados científicamente, que
permiten diseñar y crear bienes y servicios que facilitan la adaptación al medio ambiente y
satisfacer tanto las necesidades esenciales como los deseos de las personas.
Física.- (del griego φύσις, physis, que significa "naturaleza") es la ciencia que
estudia las propiedades y el comportamiento de la materia y la energía, así como al
tiempo y el espacio.

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Jiménez ANOTACION CIENTIFICA
INTRODUCCION.- Con mucha frecuencia a la hora de realizar mediciones físicas se
observan valores muy grandes o muy pequeñas, para trabajar con tales cantidades que
son muy complicadas por el espacio que ocupan se suele expresar en NOTACION
CIENTIFICA.
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 − 𝑆𝑜𝑙 150000000𝐾𝑚
𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 6370 000𝑚
𝐷𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝐺𝑙𝑜𝑏𝑢𝑙𝑜 𝑅𝑜𝑗𝑜 7 𝑚𝑖𝑐𝑟𝑎𝑠 = 0,000007 𝑚
𝑀𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 𝐾𝑔
POTENCIAS DE 10 .- Un numero múltiplo o submultipo de10 se puede expresar de
manera muy sencilla escribiéndola en forma de potencia; siendo suficiente escribir
como base el número de 10 y por exponente un número entero positivo o negativo que
indique el numero de ceros que le preceden a la unidad.
1 000 000 000 000 = 1012
1 000 000 000 = 109
1 000 000 = 106
1 000 = 103
100 = 102
10 = 101
1 = 100
0,1 = 10−1
0,01 = 10−2
0,001 = 10−3
0,000 001 = 10−6
0,000 000 001 = 10−9
EXPRESION EN NOTACION CIENTIFICA.-Se expresa de la siguiente forma 𝑁 ∗ 10 𝑒
donde esta constituido por dos partes un numero N comprendido entre 1 y 10 , con e
como exponente pudiendo ser positivo cuando se trata de cifras grandes y negativos
cuando son cifras pequeños
METODO.-Para escribir un numero en notación científica, se coloca la coma o punto
decimal después de la primera cifra significativa diferente de cero, multiplicando el
número que resulta por una potencia de 10, cuyo exponente se determina contando
los lugares que recorre la coma o punto decimal; será positiva si la coma recorre a la
izquierda y negativo si recorre a la derecha.

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Jiménez A
Ejemplo
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 − 𝑆𝑜𝑙 150 000 000𝐾𝑚 = 1,5 ∗ 108
𝐾𝑚
𝑀𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 𝐾𝑔 = 9,11 ∗ 10−31
OPERACIONES CON NUMEROS EXPRESADOS EN NOTACION CIENTIFICA
SUMA Y RESTAS.- Se representan dos casos:
a) Cuando las potencias de 10 tienen el mismo exponente, en este caso se suman
o se restan, luego se escribe el numero 10 con el exponente común Ej:
2,7 ∗ 105
+ 3,6 ∗ 105
− 5,8 ∗ 104
− 2,7 ∗ 104
+ 4,5 ∗ 105
=
b) Cuando las potencias de 10 tienen diferentes exponentes, inicialmente se deben
igualar los mismos al mayor de ellos recorriendo el punto decimal hacia la
ezquierda, luego se procede como en el inciso a)
−6,8 ∗ 10−5
+ 8,9 ∗ 10−4
+ 2,8 ∗ 10−3
− 5,9 ∗ 10−5
+ 3,8 ∗ 10−4
=
MULTIPLICACION Y DIVISION
Se multiplican o se dividen los coeficientes y a continuación se escribe el numero 10
con exponente que resulta de la suma o resta de los exponentes en el caso de ser
multiplicación o división correspondientemente
Ej: 𝐚) (−3,4∗ 105)(7,8∗ 10−6) =
𝐛)
5,68 ∗ 10−4
3,7 ∗ 103
=
POTENCIACION.- Separamos el exponente para el coeficiente y para la potencia de
10, para luego
multiplicar los exponentes.
(−3,5 ∗ 102)3
=
(4,7 ∗ 10−7)2
=
RADICACION.- Se extrae la raíz del coeficiente, luego se escribe la potencia de díez
√−2,7 ∗ 10163
=
√8,1 ∗ 107 =

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Jiménez A
Ejercicio N°1 Escribir las siguientes cantidades en Notacion Cientifica
a) 366 000 000 m=
b) 257 Km=
c) 0,000 000 43 s=
d) 0,002 litros
e) 4 785 543 Kg=
Ejercicio N°2 Escribir las siguientes cantidades en Notacion decimal
a) 4,5 ∗ 108
m=
b) 1,2 ∗ 10−7
Km=
c) 5.2 ∗ 10−8
s=
d) 3,8 ∗ 105
litros
e) 6,8 ∗ 10−8
Kg=

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Jiménez ACIFRAS SIGNIFICATIVAS
Las cifras significativas es un digito que denota el grado de cantidad en el lugar, que
ocupa dentro del número. Sus números expresan la exactitud con que se efectuó la
medida. Deben incluir todos los dígitos exactos más el digito dudoso.
Si deseamos medir la longitud de un objeto con un instrumento donde obtenemos la
siguiente lectura en metros 3,45 las cifras por su posición indican que hay 3 metros,
cuatro decimas y 5 centesimas partes del metro; por tanto todas sus cifras se
consideran significativas.
REGLAS PARA DETERMINAR CIFRAS SIGNIFICATIVAS
a) Los dígitos confiables de un números mas un digito se denominan cifras
significativas
b) Los ceros usados para localizar el punto decimal con constituyen en si mismos
cifras significativas Ej: la cantidad 0,000 058 Km, únicamente tiene dos cifras
significativas.
c) Los ceros dentro de un numero si son significativos; el número 104,6 m, tiene cuatro
C.S.(Cifras Significativas).
d) Los ceros al final de un número, después de la coma o punto decimal son
significativos; 2705,0 m. tiene 5 C.S.
e) En números enteros sin punto decimal que tienen al final uno o mas ceros, por Ej
500 Kg pueden o no ser significativos.En estos casos no queda cuales ceros sirven
sólo para localizar el punto decimal y cuales son parte de la medición. Para eliminar
las dudas se puede escribir en Notación Científica.
5,0 ∗ 103
𝐾𝑔. 𝑑𝑜𝑠 𝐶𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑆𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠
5,00 ∗ 103
𝐾𝑔. 𝑇𝑟𝑒𝑠 𝐶𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑆𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠
Cuando se realizan operaciones aritméticas con C.S. , el resultado debe tener
el mismo número de C.S. que la cantidad con el menor número de C.S.
utilizadas en el cálculo
Practica: Indica la cantidad de cifras significativas de cada cantidad
a) 0,005 m tiene……….C.S.
b) 12,85 cm tiene……….C.S.
c) 2,00 ∗ 104
𝑔𝑟 tiene……….C.S.
d) 2,0 ∗ 104
e) 2 ∗ 104
REDONDEO DE CIFRAS.- Muchas veces ocurre que nos encontramos con números
que tienen muchos decimales, siendo dificultoso y hasta cierto punto sin sentido
escribirlos todos, razón por lo cual conviene limitar el número de decimales usando el
llamado, método del redondeo, que básicamente consiste en el siguiente:
a) Si el digito a eliminarse es menor que 5, se desprecia y la cifra anterior se
mantiene.
b) Si el digito a eliminarse es mayor que 5, se aumenta en una unidad la cifra
anterior.
c) Si el digito a eliminarse es igual que 5, se presentan dos casos:

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Jiménez A
 Si la cifra anterior es par, se elimina el 5 simplemente.
 Si la cifra anterior es impar, se elimina el 5 y la cifra anterior aumenta en
una unidad
Practica: Redondear los siguientes números a dos decimales
a) 4,3428=
b) 3,8795=
c) 45,390=
d) 2,6853=
e) 2,675=
f) 34,335=

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Jiménez ASISTEMAS DE UNIDADES
LA FÍSICA
Estudia las interacciones mutuas de la materia. Es la ciencia de las magnitudes, estudia todo
lo que se puede medir
MAGNITUDES
Es todo lo que se puede medir. Medir es comparar con una unidad patrón, Por ejemplo la
longitud, la masa, la velocidad, el tiempo, la temperatura, etc.
.
Ejemplo: ¿Cuánto mide el largo de la clase? R= 8 metros.
Lo que hacemos es comparar cuantas veces más grande es el largo de la clase , que la
unidad patrón de longitud llamada metro, es 8 veces más grandes.
CALSIFICACION DE MAGNITUDES FISICAS
a. MAGNITUDES FUNDAMENTALES.- Son aquellas magnitudes que sirven de
base para escribir las demás magnitudes, por el momento se mencionaran solo
tres que son las más importantes
Longitud………………. (L)
Masa ………………. (M)
Tiempo ………………. (T)
b. MAGNITUDES DERIVDAS.- Son aquellas magnitudes que están expresadas en
función de las magnitudes fundamentales por Ejem:
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 =
𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
(
𝐿
𝑇
) = 𝐿𝑇−1
𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 =
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
(
𝐿𝑇−1
𝑇
) = 𝐿𝑇−2
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑥 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ( 𝑀𝐿𝑇−2)
b1. MAGNITUDES ESCALARES.- Son aquellas mediciones que son
perfectamente determinados conociendo su valor numérico Por ejemplo:
El tiempo, el calor, el trabajo, la potencia, la distancia, etc.
b2. MAGNITUDES VECTORIALES.- son mediciones que describen una
acción como ser el tiempo transcurrido para desplazarse entre dos
puntos; donde además de conocer su valor numérico habrá de tomarse
en cuenta el camino o trayectoria y la dirección
Algunas magnitudes vectoriales son :la velocidad, la aceleración, la
fuerza, el peso, el desplazamiento, etc.

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Jiménez A
¿Qué son los Sistemas de Unidades?
La Medida
• Medir una magnitud física significa comparar el objeto que encarna dicha propiedad
con otro de la misma naturaleza que se toma como referencia y que constituye el
patrón.
• Antiguamente las unidades de medida correspondían a las partes del cuerpo del
soberano de turno.
Un grupo de Unidades Estándar y sus combinaciones se llama un Sistema de Unidades. Se
pueden utilizar unidades diferentes para describir una cosa; por ejemplo, la altura de una
persona se puede expresar en pulgadas, pies, centímetros o metros. Sim embargo, es posible
convertir una unidad a otra con el conocimiento de sus equivalencias
.
Las magnitudes medidas se usan frecuentemente en los cálculos, si se conoce el largo y el
ancho de un panel solar, puede calcularse su área. Si también puede medir la intensidad de
la luz solar que cae sobre el panel, y conoce la eficiencia con la cual el panel convierte la luz
en electricidad, puede calcular la cantidad de energía que la unidad genera, la cantidad de
trabajo que podrá realizar en un periodo dado de tiempo y el dinero que se tendría que gastar
para pagar una cantidad equivalente de electricidad en la compañía eléctrica.
El sistema métrico que comprende a las unidades del Sistema Internacional, longitud, masa y
tiempo, alguna vez se llamó m.k.s. , por metro, kilogramo y segundo. Otro sistema métrico que
se ha utilizado considerando magnitudes relativamente pequeñas es el sistema c.g.s., que
comprenden al centímetro, gramo y segundo. En los Estados Unidades, el sistema que
generalmente se usa es el sistema que generalmente se usa es el sistema de ingeniería
británico (o ingles técnico), en el cual las unidades estándar de longitud, masa y tiempo son
pie, slug (libras masa) y segundo.
El Sistema Internacional es el predominante en el mundo, y su uso se ha incrementado en los
E.E.U.U. Principalmente a causa de su simplicidad matemática, es el sistema de unidades
preferido para la ciencia y la tecnología.
MATEMATICAS COMO LENGUAJE DE LA FISICA.- Gran parte del conocimiento descansa
sobre una base de la medición ingeniosa y un cálculo sencillo. Los principios se expresan en
palabras y para su comprensión concisa es aplicada en términos matemáticos.

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Jiménez A
Las Unidades Físicas se agrupan en diferentes sistemas homogéneos para facilitar el trabajo
en ejercicios y problemas de físicas. Existen actualmente cinco sistemas de unidades, que
son los siguientes:
Sistema Internacional (S.I.)
Sistema cegesimal (c.g.s.)
Sistema Técnico o gravitatorio
Sistemas Ingles Técnico
Sistema Ingles Absoluto
Las siete unidades fundamentales del sistema métrico internacional (S.I.).- El S.I.
completo tiene siete magnitudes y unidades fundamentales necesarias para la descripción
completa de cualquier otra magnitud.
MAGNITUD UNIDAD
Longitud Metro (m)
Masa Kilogamo (Kg)
Tiempo Segundo (s)
Corriente eléctrica Amperio (A)
Temperatura Kelvin (K°)
Cantidad de Sustancia Mole (mol)
Intensidad Luminosa Candela (cd)
Múltiplos y Submúltiplos para las unidades métricas.- Los prefijos métricos pueden
ayudar a eliminar confusiones, a continuación se tiene los prefijos más utilizados.
MULTIPLOS PREFIJO Submúltiplo Prefijo
1012
Tera (T) 10−1
deci (d)
109
Giga (G) 10−2
centi (c)
106
Mega (M) 10−3
mili (m)
103
Kilo (K) 10−6
micro (µ)
102
Hecta (h) 10−9
nano (n)
10 Deca (da) 10−12
pico (p)

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Jiménez ARESUMEN DE LOS SISTEMAS DE UNIDADES
Magnitud Simb Sistema
c.g.s.
Sistema
Internacional.
Sistema
Técnico
Sistema
Ingles
Técnico
Sistema
Ingles
Absoluto
Longitud L cm M m ft ft
Masa M g Kg u.t.m. slug 𝑙𝑏 𝑚
Tiempo T s S s s s
Fuerza F 𝑑𝑦𝑛 =
𝑔 ∗ 𝑐𝑚
𝑠2 𝑁 =
𝐾𝑔 ∗ 𝑚
𝑠2
𝑘𝑝 =
𝑢𝑡𝑚 ∗ 𝑚
𝑠2
𝑙𝑏𝑓
=
𝑠𝑙𝑢𝑔 ∗ 𝑓𝑡
𝑠2
𝑝𝑑𝑙
=
𝑙𝑏 𝑚 ∗ 𝑓𝑡
𝑠2
Area A 𝑐𝑚2
𝑚2
𝑚2
𝑓𝑡2
𝑓𝑡2
Volumen V 𝑐𝑚3
𝑚3
𝑚3
𝑓𝑡3
𝑓𝑡3
Peso w 𝑑𝑦𝑛 =
𝑔. 𝑐𝑚
𝑠2 𝑁 =
𝐾𝑔 ∗ 𝑚
𝑠2
𝑘𝑝 =
𝑢𝑡𝑚 ∗ 𝑚
𝑠2
𝑙𝑏𝑓
=
𝑠𝑙𝑢𝑔 ∗ 𝑓𝑡
𝑠2
𝑝𝑑𝑙
=
𝑙𝑏 𝑚 ∗ 𝑓𝑡
𝑠2
Trabajo W 𝑒𝑟𝑔
= 𝑑𝑦𝑛. 𝑐𝑚
𝐽 = 𝑁. 𝑚 𝐾𝑝. 𝑚 𝑙𝑏𝑓. 𝑓𝑡 𝑝𝑑𝑙. 𝑓𝑡
Potencia P 𝑒𝑟𝑔
𝑠⁄ 𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠 =
𝐽
𝑠⁄ 𝐾𝑝𝑚
𝑠⁄ 𝑙𝑏𝑓. 𝑓𝑡
𝑠⁄
𝑝𝑑𝑙. 𝑓𝑡
𝑠⁄
Energia E 𝑒𝑟𝑔
= 𝑑𝑦𝑛. 𝑐𝑚
𝐽 = 𝑁. 𝑚 𝐾𝑝. 𝑚 𝑙𝑏𝑓. 𝑓𝑡 𝑝𝑑𝑙. 𝑓𝑡
Acel. de
gravedad
G 𝑔
= 980 𝑐𝑚
𝑠2⁄
𝑔 = 980 𝑚
𝑠2⁄ 𝑔 = 980 𝑚
𝑠2⁄ 𝑔
=
32,2𝑓𝑡
𝑠2⁄
𝑔
=
32,2𝑓𝑡
𝑠2⁄
EQUIVALENCIAS ENTRE UNIDADES
De longitud
1𝑚 = 100𝑐𝑚
1𝐾𝑚 = 1000𝑚
1𝑚 = 3,28𝑓𝑡
1𝑚 = 39,4𝑖𝑛
1𝑓𝑡 = 12𝑖𝑛
1𝑓𝑡 = 30,48𝑐𝑚
1𝑖𝑛 = 2,54𝑐𝑚
1𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎 𝑇 = 1609𝑚
De fuerza o peso
1𝑁 = 105
𝑑𝑦𝑛
1𝑙𝑏𝑓 = 4,45𝑁
1kp=9,8N
1𝑘𝑝 = 2,2𝑙𝑏𝑓
1𝑘𝑝 = 1000𝑔𝑟𝑓
1𝑙𝑏𝑓 = 32,2𝑝𝑑𝑙
De Trabajo y Energía
1𝐽 = 107
𝑒𝑟𝑔.

18
Jiménez A1𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎 𝑇 = 5280𝑓𝑡
De masa
1𝐾𝑔 = 1000𝑔
1𝐾𝑔 = 2,2𝑙𝑏 𝑚
1𝑠𝑙𝑢𝑔 = 14,59𝑘𝑔
1𝑠𝑙𝑢𝑔 = 32,2𝑙𝑏 𝑚
1𝑢𝑡𝑚 = 9,8𝐾𝑔
1𝑙𝑏 𝑚 = 453,6𝑔
1𝑇𝑜𝑛. 𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 = 1000𝐾𝑔
De tiempo
1ℎ𝑜𝑟𝑎 = 3600𝑠
1ℎ𝑜𝑟𝑎 = 60𝑚𝑖𝑛
1𝑑í𝑎 = 24ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
1𝑎ñ𝑜 = 365𝑑í𝑎𝑠
De Area
1𝑚2
= 104
𝑐𝑚2
1𝑚2
= 1 550𝑖𝑛2
1𝑚2
= 10,76𝑓𝑡2
1𝑓𝑡2
= 929𝑐𝑚2
1𝑖𝑛2
= 6,54𝑐𝑚2
1𝑓𝑡2
= 144𝑖𝑛2
De angulo
180° = 𝜋𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
1𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 = 2𝜋𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
1° = 60´
1´ = 60"
De temperatura
𝑡 𝐹 =
9
5
𝑡 𝑐 + 32 ; 𝑡 𝐶 =
5
9
(𝑡𝑓 − 32)
𝑇𝑘 = 𝑡 𝐶 + 273 ; 𝑇𝑅 = 𝑡𝑓 + 460
1𝐾𝑐𝑎𝑙 = 4186𝐽
1𝐾𝑝𝑚 = 9,8𝐽
𝑙𝑏𝑓. 𝑓𝑡 = 1,36𝐽
1𝐵𝑇𝑈 = 1055𝐽
1𝐵𝑇𝑈 = 778𝑙𝑏𝑓. 𝑓𝑡
1𝐵𝑇𝑈 = 0,252𝐾𝑐𝑎𝑙
1𝑐𝑎𝑙 = 3,09𝑙𝑏𝑓. 𝑓𝑡
1𝑐𝑎𝑙 = 4,186𝐽
1𝐾𝑤 − ℎ = 3,6 ∗ 106
𝐽
De potencia
1𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠 = 107 𝑒𝑟𝑔
𝑠⁄
1𝐾𝑝𝑚
𝑠⁄ = 9,8𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠
1
𝑙𝑏𝑓. 𝑓𝑡
𝑠⁄ = 1,6𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠
1𝐻𝑃 = 550
𝑙𝑏𝑓. 𝑓𝑡
𝑠⁄
1𝐻𝑃 = 745,7𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠
1𝐶𝑉 = 735,5𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠
De Volumen
1𝑚3
= 106
𝑐𝑚3
1𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 = 1000𝑐𝑚3
1𝑚3
= 35,5 𝑓𝑡3
1𝑓𝑡3
= 28,3𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠
1𝑚3
= 1000𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠
1𝑖𝑛3
= 16,387𝑐𝑚3
1𝑓𝑡3
= 1728𝑖𝑛3
1𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛 = 231𝑖𝑛3
1𝑚3
= 264𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠
1𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛 = 3,785𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠
1𝑓𝑡3
= 28,3𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠

19
Jiménez ACONVERSION DE UNIDADES.- debido a que unidades diferentes en el mismo sistema o en
sistemas diferentes pueden expresar la misma magnitud, es necesario conocer sus
equivalentes; como asi por ejemplo cuantos pies hay en un metro, cuantos centímetros estas
contenidos en el metro.
Practica
a) Convertir 4,7 m a pies
b) Cuantos slug hay en una tonelada
c) ¿Qué cantidad es mayor? 5 galones o 5000 𝑚𝑚3
d) Cuando el piloto observa en su registrador de temperatura 98 °F , recurre al manual,
donde indica que existe una de sobrecalentamiento cuando se encuentra por encima
de los 40°C ¿La temperatura está en la zona de sobrecalentamiento?
e) Dos cadetes de diferente nacionalidad realizan un trabajo de limpieza en un área verde
y deben reportar la superficie total trabajada, como identifican que la superficie es
rectangular deciden realizar las siguientes mediciones con dos instrumentos
obteniendo los siguientes resultados 30pies 25pulgadas y el otro informa 6,87m
¿Cuánto es el área trabajado?
ANALLISIS DIMENSIONAL
Estudia la forma en que se relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales.
ECUACIONES DIMENSIONALES
Son expresiones del tipo algebraico que valiéndose de las unidades fundamentales son
representadas por las letras M, L y T se usan para:
a) Para probar si una formula dimensionalmente es correcta.
b) Para probar equivalencias dimensionalmente iguales
c) Para dar unidades o dimensión a la respuesta de un problema
RECOMENDACIONES BASICAS
1) La suma o resta de las mismas unidades da la misma unidad:
𝑇 + 𝑇 − 𝑇 + 𝑇 = 𝑇
−𝑀𝐿−1
+ 𝑀𝐿−1
= 𝑀𝐿−1
2) Cualquiera que sea el coeficiente numérico, y cualquiera que sean las
constantes, se reemplazan por 1
2𝐿 + 8𝐿 = 𝐿
−𝜋 + 62,4 𝑇 = 𝑇
3) Se escriben en forma de entero, y si es quebrado se hace entero con exponente
negativo
𝐿𝑇
𝑀
= 𝐿𝑇𝑀−1

20
Jiménez A
4) El signo I I “ecuación dimensional de”
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎:| 𝐹| = 𝑀𝐿𝑇−2
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑: | 𝑣| = 𝐿𝑇−1
5) La dimensión de un ángulo o una función trigonométrica es un numero, como tal,
dimensionalmente es 1
|30 𝑂| = 1
|sin 15 + sin 45 = 1|
A continuación mostraremos algunos ejemplos sobre ecuaciones dimensionales:
MAGNITUD FORMULA ECUACION DIMENSIONAL
Área (A) A=long*long [ 𝐴] = ( 𝐿. 𝐿) = 𝐿2
Volumen (V) 𝑉 = ( 𝑙𝑜𝑛𝑔)3 [ 𝑉] = ( 𝐿. 𝐿. 𝐿) = 𝐿3
Velocidad (𝑣) 𝑣 =
𝑥
𝑡
[ 𝐴] =
𝐿
𝑇
= 𝐿𝑇−1
Aceleración (a) 𝑎 =
𝑣
𝑡 [ 𝐴] =
𝐿𝑇−1
𝑇
= 𝐿𝑇−2
Fuerza (F) 𝐹 = 𝑚. 𝑎 [ 𝐹] = 𝑀. 𝐿𝑇−2
= 𝑀𝐿𝑇−2
Presión (𝑃𝑟) (𝑃𝑟 =
𝐹
𝐴 [ 𝑃𝑟] =
𝐿𝑇−1
𝐿2
= 𝐿𝑇−2
Trabajo 𝑊 = 𝐹 ∗ 𝑥 [ 𝑊] = 𝑀𝐿𝑇−2
. 𝐿 = 𝑀𝐿2
𝑇−2
Potencia (P)
𝑃 =
𝑊
𝑡
[ 𝑃] =
𝑀𝐿2
𝑇−2
𝑇
= 𝑀𝐿2
𝑇−3

21
Jiménez AUna de las preguntas más frecuentes del Cadete es ¿COMO RESUELVO LOS PROBLEMA
DE FÍSICA?
He aquí que les dejo la siguiente sugerencia de pasos a seguir:
COMO RESOLVER LOS PROBLEMA DE FÍSICA
Se de realizar los siguientes pasos:
IDENTIFICAR los conceptos relevantes: Primero qué ideas de física
son relevantes para el problema. Aunque este paso no implica no hacer
cálculos, a veces es la parte más difícil. Nunca lo omita, si desde el
principio se escoge el enfoque equivocad, el problema se dificultara
innecesariamente, e incluso podría llevar una respuesta errónea, en
este punto se identifica la incógnita, en ocasiones, la meta será hallar
una expresión matemática para la incógnita, no un valor numérico;
otras veces, el problema tendrá más de una incógnita. Esta variable es
la meta del proceso de resolución del problema; asegúrese de no
perderla de vista durante los cálculos.
PLANTEAR el problema: Si resulta apropiado, dibuje la situación
descrita en el problema. Con base en los conceptos que escogió en el
paso de identificación, seleccione las ecuaciones que usara para
resolver el problema y decida como lo usara
EJECUTAR la solución: En este paso, se “hacen las cuentas”.
Antes de meterse en los cálculos, haga una lista de las cantidades
conocidas y desconocidas, e indique cuál o cuáles son las variables
meta. Después despeje las incógnitas de las ecuaciones.
EVALUAR la respuesta: La meta de la resolución de problemas en
física no es sólo obtener un número una fórmula; es entender mejor.
Ello implica examinar la respuesta para ver que nos dice. En
particular pregúntese” ¿Es lógica esta respuesta?”, en caso de ser
negativa la respuesta, es que hubo un error en el proceso de
resolución del problema, revise su trabajo y modifique la solución
según sea necesario.

22
Jiménez A
Como también
Diagrama de flujo sugerido para el procedimiento en la resolución de problemas
Listar los datos conocidos y lo
que se quiere encontrar
Dibujar un Diagrama de Flujo
Determinar principios y
ecuaciones relacionados
Realizar operaciones
matemáticas:simplificaciones
algebraicas y ecuaciones
Verificar que sea
dimensionalmente
correspondiente, realizar
conversión de unidades
Realizar cálculos, observando
cifras significativas
Comprobar Respuesta

23
Jiménez A
MAGNITUDES VECTORIALES
INTRODUCCION.-En muchas unidades de la Física, se puede encontrar magnitudes que no
quedan perfectamente definidas si no se conoce hacia donde están orientadas.
Estas magnitudes se denominan MAGNITUDES VECTORIALES que se describen mediante
vectores.
Por ejemplo: Velocidad (No es lo mismo dirigirse a 80 Km/h hacia la derecha, a la misma
velocidad, hacia la izquierda); La Fuerza (No es lo mismo aplicar sobre un cuerpo una fuerza
hacia arriba que aplicarla hacia abajo)
VECTORES.- Son representaciones de las Magnitudes Vectoriales, compuesto por
segmentos de recta orientados cuya longitud es proporcional al valor númerico de la magnitud
que representa. Sus elementos son:
Punto de Aplicación (O).- Es el origen
del vector.
Dirección (L).-Esta dada por la línea de
acción del vector o por las líneas rectas
paralelas (también llamado camino o
trayectoria)
Sentido (A).-Esta indicada por la punta
de la flecha.
Modulo, intensidad o magnitud.- Es el valor numérico del vector o también la longitud del
mismo.
O
Sentido
A

24
Jiménez A
Representación grafica de Vectores
Cuando se va analizar las magnitudes vectoriales habrá que observar su comportamiento,
utilizando un Sistema de Referencias
SISTEMAS DE REFERENCIA
Cuando un objeto cambia de posición respecto a un punto de referencia llamado también
origen de coordenadas, que puede ser absoluto si ese punto de referencia no se mueve, o
relativo si también se encuentra en movimiento respecto a otros sistemas de referencia.
RELATIVO.- Un sistema de referencia relativo es el sistema de coordenadas que empleamos
para realizar nuestras mediciones sobre un punto determinado que puede estar en
movimiento

25
Jiménez AABSOLUTO.- Un sistema de referencia absoluto es el sistema de coordenadas que
empleamos para realizar nuestras mediciones sobre un punto fijo determinado.
Los movimientos se pueden presentar en una o más dimensiones.
COORDENADAS.- Es un concepto que se utiliza en la geometría y que permite nombrar a las
líneas que se emplean para establecer la posición de un punto y de los planos o ejes
vinculados a ellas.
Las coordenadas de estudio serán las rectangulares o cartesianas y las polares
Coordenadas Rectangulares.- Es representada por dos
líneas o rectas ortogonales (90°) una denominada
abscisa y la otra ordenada para determinar un punto será
necesario conocer la distancia horizontal y la distancia
vertical el cual se denominada par ordenado 𝑃( 𝑥, 𝑦).
Coordenadas Polares.- También es representado en líneas
ortogonales y para determinarla se debe conocer la distancia (d)
y su orientación (Ɵ)
Relación entre las coordenadas cartesianas y polares.- Si conocemos (x, y) entonces por
pitágoras 𝑑 = √𝑥2 + 𝑦2 ; 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛𝑔(
𝑦
𝑥
)
Si conocemos(d, Ɵ) entonces 𝑥 = 𝑑 ∗ cos 𝜃 ; 𝑦 = 𝑑 sin 𝜃
Relación entre las coordenadas cartesianas y polares
cuando conocemos dos puntos
Dados dos puntos 𝑃1(𝑥1, 𝑦1 ) y 𝑃2(𝑥2, 𝑦2)
Calculo de la distancia 𝑑 = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2
Abscisa X
OrdenadaY
P(x,y)
Abscisa X
OrdenadaY
P(d, )
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
x2-x1
x2x1
y2-y1
y2
y1
Ɵ
Y
X

26
Jiménez A
Calculo del ángulo 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔 (
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
)
También se puede representar las coordenadas en
tres dimensiones o sea en el espacio en que nos
movemos
Y
X
Z
x
y
z
P(x,y,z)

27
Jiménez ARepresentación de vectores en un sistema de referencia.- También se puede representar
un vector a sus vectores unitarios, que es el escalamiento en vectores unitarios de las
coordenadas abscisas y ordenadas; como también se puede decir que es la proyección en
sus componentes vectoriales de un vector.
VECTORES UNITARIOS.- Son aquellos vectores cuya
magnitud es la unidad y están según la parte positiva de
los ejes X, Y.
Un vector unitario es aquél que tiene módulo 1.
Un vector unitario puede emplearse para definir el
sentido positivo de cualquier eje. Así, para los ejes
cartesianos x, y, z se emplean los vectores i, j y k.
Los vectores unitarios se utilizan para especificar una
dirección determinada y no tienen otro significado físico.
Se usan sólo por conveniencia en la descripción de una
dirección en el espacio.
Representación de algebraica de un vector.-
Un vector se puede representar algebraicamente en función
a sus vectores unitarios
𝑉⃑ = 𝐴𝑖 + 𝐵𝑗 + 𝐶𝑘
Formación de un vector cuando conocemos dos puntos
coordenadas.
Si se conoce 𝑃1(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) y 𝑃2(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2)
Podemos formar dos vectores
𝑃1 𝑃2
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = ( 𝑥2 − 𝑥1)𝑖 + ( 𝑦2 − 𝑦1) 𝑗 + ( 𝑧2 − 𝑧1) 𝑘 Expresión
algebraica.
Calculo del modulo [𝑃1 𝑃2
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ] =
√( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 + ( 𝑧2 − 𝑧1)2
Bj
Ai
Ck
V
X
Y
Z
A B C
Z
X1
X2
y1 y2
z1
z2

28
Jiménez A
CLASES DE VECTORES.-Entre los principales sistemas de Vectores, podemos citar los
siguientes:
a) Vectores Coloniales.- Son aquellos vectores que están contenidos en una misma
línea de acción
A B C
b) Vectores paralelos.- Son aquellos vectores cuyas líneas de acción paralelas.
A
D
C
E
c) Vectores Concurrentes.- Son aquellos vectores cuyas líneas de acción se cortan en
un solo punto.
C
d) Vectores Iguales.-Son aquellos vectores que tienen mismo modulo, dirección y
sentido.
A
B
e) Vectores opuestos.- Se llama vector opuesto (-V) de un vector V , cuando tiene el
mismo modulo, misma dirección; pero de sentido contrario.
A
B

29
Jiménez Af) Vector Resultante.- Es el vector suma de varios vectores, que causa los mismos
efectos actuando juntos.
A
B
g) Equilibrante de un vector.- Es el vector opuesto al Vector Resultante.
A
B
OPERACIONES CON VECTORES
SUMA DE VECTORES.- Sumar dos o más vectores, es representarlos por uno solo
llamado resultante, este vector produce los mismos efectos que todos juntos. Para sumar
vectores se utilizan métodos gráficos y métodos analíticos.
Se debe tomar en cuenta que la suma vectorial no es lo mismo que la suma aritmética.
Método del triángulo.- Valido solo para dos vectores
concurrentes. Se trazan los vectores uno a continuación
del otro para luego formar un triángulo, el vector resultante
se encontrara en la línea que forma el triángulo y su punto
de aplicación coincidirá el origen del primer vector.
Método del paralelogramo.-Se trazan los dos vectores
componentes haciendo coincidir sus orígenes, luego se
trazan paralelas para formar un paralelogramo, el vector
resultante estará en una de sus diagonales y su punto de
aplicación coincidirá con el origen de los vectores.
A
B
B
A
B
B

30
Jiménez AMétodo del polígono.- Se trazan los vectores uno continuación del otro y luego formar
un polígono con una recta, el vector resultante se encontrara en la línea que forma el
polígono y su punto de aplicación coincidirá con el origen del primer vector.
A
B
C
A
B
C
V=A+B
En el caso de que el origen del primer vector coincida con el extremo del ultimo
vector, la resultante es nula, y se dice que el sistema de vectores está en equilibrio.
METODOS ANALITICOS .- Los métodos analíticos se usan mas comúnmente pues son
rápidos y de mayor exactitud.
a) Suma y resta de vectores.- La resultante se determina mediante la suma algebraica de
los módulos de los vectores, teniendo en cuenta la regla de signos.
a) Vectores colineales
b1. Que tiene el mismo sentido
A
B
=
R=A+B
b2. Que tienen sentido opuesto
A
B
=
R=A - B
b) Vectores paralelos.- La resultante de dos vectores paralelos, es un vector
paralelo a los anteriores, cuyo modulo es la suma algebraica de los dos
vectores componentes y su punto de aplicación se obtiene con las siguientes
ecuaciones:
b1. Resultante de Vectores paralelos y del mismo sentido (el ángulo entre
vectores es °0)
 Su recta de acción es paralela a los
vectores.
 Su sentido, el sentido de los vectores.
 Su medida, la suma.
 Su punto de aplicación está situado en un
punto que divide a la distancia que separa
los vectores en segmentos inversamente
proporcionales a los vectores.
𝑅 = 𝑉1 + 𝑉2 (1) ;
𝑉1
𝐵𝑂
=
𝑉2
𝐴𝑂
=
𝑅
𝐴𝐵
(2)
además 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵 = 𝐴𝐵 (3)
v1
v2
R=v1+v2
OA B

31
Jiménez A
b2. Vectores paralelos y de sentido contrario (el angulo entre vectores es
°180)
 Su recta de acción es paralela a los
vectores.
 Su sentido, el sentido es del vector mayor.
 Su medida, la diferencia.
 Su punto de aplicación está situado en un
punto que divide a la distancia que separa
los vectores en segmentos inversamente
proporcionales a los vectores.
𝑅 = 𝑉1 − 𝑉2 (1) ;
𝑉1
𝐵𝑂
=
𝑉2
𝐴𝑂
=
𝑅
𝐴𝐵
(2) además 𝐴𝐵 + 𝐵𝑂 = 𝑂𝐴 (3)
c) Vectores concurrentes
Algunas funciones y relaciones trigonométricas importantes
 Triangulo de rectángulo
o Funciones Trigonométricas:
b= Cateto adyacente
a=Catetoopuesto
Ɵ
90
o Teoremas de Pitágoras :En el triángulo rectángulo 90°
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
o Identidades Trigonométricas:
sin2
𝜃 + cos2
𝜃 = 1 ;1 + tan2
𝜃 = sec2
𝜃 ;1 + cot2
𝜃 = csc2
𝜃
sin( 𝛼 ∓ 𝛽) = sin 𝛼cos 𝛽 ∓ sin 𝛽cos 𝛼 ; sin2𝜃 = 2 sin 𝜃 cos 𝜃
cos( 𝛼 ∓ 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 ∓ sin 𝛽 sin 𝛼 ; cos2𝜃 = cos2
𝜃 − sin2
𝜃
tan( 𝛼 ∓ 𝛽) =
tan 𝛼 ∓ tan 𝛽
1 ∓ tan 𝛼 tan 𝛽
o Funciones trigonométricas de ángulos notables:
Angulo Ɵ sin 𝜃 cos 𝜃 tan 𝜃
0° 0 1 0
30° 1
2⁄ √3
2
⁄ √3
3
⁄
45° √2
2
⁄ √2
2
⁄ 1
60° √3
2
⁄
1
2⁄ √3
90° 1 0 Infinito
v1
v2
R=A+B
a b
v1v2
R=v1-v2
O
sin 𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑎
𝑐
cos 𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑏
𝑐
tan 𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝑎
𝑏

32
Jiménez A
 Triangulo oblicuángulo:
α
β γ
a
bc
o Teorema de senos
𝑎
sin 𝛼
=
𝑏
sin 𝛽
=
𝑐
sin 𝛾
o Teoremas de cosenos
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
− 2𝑏𝑐 cos 𝛼
𝑏2
= 𝑎2
+ 𝑐2
− 2𝑏𝑐 cos 𝛽
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
− 2𝑏𝑐 cos 𝛾
 Formula Cuadrática
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0; 𝑥 =
−𝑏±√𝑏2
−4𝑎𝑐
2𝑎
c1. Suma de dos vectores perpendiculares
A
B
R
c2. Suma y resta de dos vectores que forman cualquier ángulo
 SUMA
A
B
R
α α
B
A
𝐸𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑠𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑅 =?
𝑅2
= 𝐴2
+ 𝐵2
− 2𝐴𝐵 cos(180° − 𝛼) ; Como cos(180°− 𝛼) = − cos 𝛼
Luego 𝑅2
= 𝐴2
+ 𝐵2
− 2𝐴𝐵 cos(−𝛼) →
𝑅 = √ 𝐴2 + 𝐵2
tan 𝜃 =
𝐶𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐶𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝐴
𝐵
𝑅 = √ 𝐴2 + 𝐵2 + 2𝐴𝐵 cos 𝛼

33
Jiménez A
 RESTA
A
B
R
α
R
-B
A
B
α
𝐸𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑠𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑅 =?
𝑅2
= 𝐴2
+ 𝐵2
− 2𝐴𝐵 cos 𝛼;
 DIRECCION DE LA RESULTANTE
R
α
Ɵ
A
B
α
Q
S T
R
Ɵ
B
Q
TS
1
Q
S T
2
A
A
α
Para poder calcular la dirección extraemos del triangulo 2
sin 𝛼 =
𝑄𝑇
𝐴
→ 𝑄𝑇 = 𝐴 sin 𝛼 (1) ; cos 𝛼 =
𝑆𝑇
𝐴
→ 𝑆𝑇 = 𝐴 cos 𝛼 (2)
Triangulo 1 sin 𝜃 =
𝑄𝑇
𝑅
(3) ; tan 𝜃 =
𝑄𝑇
𝐵+𝑆𝑇
(4)
Además 𝑅 = √𝐴2 + 𝐵2 − 2𝐴𝐵 cos 𝛼 (5)
(1), (5) en (3) sin 𝜃 =
𝐴 sin 𝛼
√𝐴2 +𝐵2 −2𝐴𝐵 cos 𝛼
→
Como también (1) , (2) en (4) tan 𝜃 =
𝑄𝑇
𝐵+𝑆𝑇
=
𝐴 sin 𝛼
𝐵+𝐴 cos 𝛼
→
𝑅 = √ 𝐴2 + 𝐵2 − 2𝐴𝐵 cos 𝛼
θ = sin−1
(
𝐴 sin 𝛼
√𝐴2 + 𝐵2 − 2𝐴𝐵 cos 𝛼
)
𝜃 = tan−1
(
𝐴 sin 𝛼
𝐵 + 𝐴 cos 𝛼
)

34
Jiménez A
b) Componentes Rectangulares de un vector
Y
X
A
Ax
Ay
c) Suma de vectores concurrentes por descomposición.- Este método se aplica a
varios vectores, para hallar la resultante por descomposición rectangular
Si se tiene el siguiente problema
Se debe proceder de la siguiente manera
a) Descomponer los vectores en sus componentes rectangulares e identificar las
relaciones trigonométricas
El vectorA esigual por el métododel paralelogramo,alasuma de
Ax y de Ay, entoncesvectorialmente 𝐴 = 𝐴 𝑥 + 𝐴 𝑦
Los módulosde cada componente se calculan utilizandolas
funcionestrigonométricas: 𝐴 𝑥 = 𝐴 cos 𝜃 (); 𝐴 𝑥 = 𝐴 sin 𝜃()
Entoncesla magnituddel vector,enfunciónde uscomponentes,
será: 𝐴 = √𝐴 𝑋
2
+ 𝐴 𝑦
2
()
Y
X
A
B
C
D
α
β
γ
φ
Y
X
A
BC
D
Ax
α
β
γ
φ
Ay
By
Bx
Cx
Cy
Dy
Dx
90-β

35
Jiménez A
b) Hallar la resultante en el eje X y Y, por el método de vectores coliniales
c)
Y
X
A
B
C
D
Ax
α
β
γ
φ
Ay
By
BxCx
Cy
Dy
Dx
∑ 𝑉𝑥 = 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥 − 𝐶 𝑥 − 𝐷 𝑥 ( )
∑ 𝑉𝑦 = 𝐴 𝑦 + 𝐵 𝑦 − 𝐶 𝑦 − 𝐷 𝑦 ( )
d) Hallar el modulo del vector resultante aplicando el teorema de Pitágoras, y l
dirección con la función tangente
FUNCIONES SENO
 sin 𝛼 =
𝐴 𝑦
𝐴
→ 𝑨 𝒚 = 𝑨 𝐬𝐢𝐧 𝜶
 sin(90 − 𝛼) =
𝐴 𝑥
𝐴
→ 𝑨 𝒙 = 𝑨 𝐬𝐢𝐧( 𝟗𝟎 − 𝜶)
 sin 𝛽 =
𝐵 𝑋
𝐵
→ 𝑩 𝑿 = 𝑩 𝐬𝐢𝐧 𝜷
 sin(90 − 𝛽) =
𝐵 𝑦
𝐵
→ 𝑩 𝒚 = 𝑩 𝐬𝐢𝐧( 𝟗𝟎 − 𝜷)
 sin 𝛾 =
𝐶 𝑌
𝐶
→ 𝑪 𝒀 = 𝑪 𝐬𝐢𝐧 𝜸
 sin(90 − 𝛾) =
𝐶 𝑥
𝐶
→ 𝑪 𝒙 = 𝑪 𝐬𝐢𝐧( 𝟗𝟎 − 𝜸)
 sin∅ =
𝐷 𝑋
𝐷
→ 𝑫 𝑿 = 𝑫 𝐬𝐢𝐧 ∅
 sin(90 − ∅) =
𝐷𝑦
𝐷
→ 𝑫 𝒚 = 𝑫 𝐬𝐢𝐧( 𝟗𝟎 − ∅)
FUNCIONES COSENO
 cos 𝛼 =
𝐴 𝑥
𝐴
→ 𝑨 𝒙 = 𝑨 cos 𝛼
 cos(90 − 𝛼) =
𝐴 𝑦
𝐴
→ 𝑨 𝒚 = 𝑨 𝐜𝐨𝐬( 𝟗𝟎 − 𝜶)
 cos 𝛽 =
𝐵 𝑦
𝐵
→ 𝑩 𝒚 = 𝑩 𝐜𝐨𝐬 𝜷
 cos(90 − 𝛽) =
𝐵 𝑥
𝐵
→ 𝑩 𝒙 = 𝑩 𝐜𝐨𝐬( 𝟗𝟎 − 𝜷)
 cos 𝛾 =
𝐶 𝑥
𝐶
→ 𝑪 𝒙 = 𝑪cos 𝛾
 cos(90 − 𝛾) =
𝐶 𝑦
𝐶
→ 𝑪 𝒚 = 𝑪 𝐜𝐨𝐬( 𝟗𝟎 − 𝜸)
 cos ∅ =
𝐷𝑦
𝐷
→ 𝑫 𝒚 = 𝑫 𝐜𝐨𝐬 ∅
 cos(90 − ∅) =
𝐷𝑥
𝐷
→ 𝑫 𝒙 = 𝑫 𝐜𝐨𝐬(𝟗𝟎 − ∅)
Y
X
Ax
Ay
By
BxCx
Cy
Dy
Dx
Y
X
R
Ɵ
𝑅 = √∑ 𝑉𝑥
2
+ ∑ 𝑉𝑦
2
tan 𝜃 =
∑ 𝑉𝑌
∑ 𝑉

36
Jiménez A
d) Multiplicación de Vectores.-
a) Multiplicación de un escalar por un vector.-el producto de una cantidad escalar
K por un vector, se escribe como (k. A), es un nuevo vector cuya magnitud es k
veces la magnitud del A. El nuevo vector tiene el mismo sentido que A, si k es
positivo y sentido opuesto si k es negativo.
Sea el vector 𝑉⃑ = (𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 + 𝑐𝑘)multiplicado por un escalar K
O sea K 𝑉⃑ = (K. 𝑎𝑖 + K. 𝑏𝑗 + K. 𝑐𝑘)
b) Producto escalar.- Es una multiplicación de un vector por otro vector, se
representa con un punto (.). El producto escalar de dos vectores es el producto
de la magnitud de un vector por la magnitud del componente des segundo vector
en la dirección del primero.𝐴. 𝐵⃑ = | 𝐴|| 𝐵|cos 𝛼
Sean 𝐴 = (𝑎1 𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 𝑘)
𝐵⃑ = (𝑏1 𝑖 + 𝑏2 𝑗 + 𝑏3 𝑘)
𝐴. 𝐵⃑ = (𝑎1. 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3)= #
c) Producto Vectorial.- El producto vectorial de dos vectores A y B, se escribe
AxB y es otro vector C, siendo C=AxB, la magnitud de C está dada por:
𝐶 = 𝐴𝐵 sin 𝛼 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝛼 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐴 𝑦 𝐵.
La dirección de C es perpendicular al plano formado por A y B, cuyo sentido es
el que avanza un tornillo derecho siguiendo el Angulo de los dos vectores.
Sean 𝐴 = (𝑎1 𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 𝑘)
𝐵⃑ = (𝑏1 𝑖 + 𝑏2 𝑗 + 𝑏3 𝑘)
𝐶 = 𝐴 𝑋𝐵⃑ =
|
|
𝑖 𝑗 𝑘
𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑏1 𝑏2 𝑏3
𝑖 𝑗 𝑘
𝑎1 𝑎2 𝑎3
|
|
𝐶 = 𝐴 𝑋𝐵⃑ =
𝑎2 𝑏3 𝑖 𝑎3 𝑏1 𝑗 𝑎1 𝑏2 𝑘
−𝑎3 𝑏2 𝑖 −𝑎1 𝑏3 𝑗 −𝑎2 𝑏1 𝑘
( 𝑎2 𝑏3−𝑎3 𝑏2) 𝑖 +( 𝑎3 𝑏1−𝑎1 𝑏3)𝑗 +( 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1) 𝑘
(−)
(−)
(−)

37
Jiménez A
ESTATICA
Concepto de fuerza y fuerza Neta.- resulta fácil dar ejemplos de fuerzas,
pero una definición operacional de fuerza se basa en los efectos que se
observan. Una fuerza puede poner en movimiento a un objeto que estaba en
reposo. También puede aumentar o disminuir la rapidez del movimiento del
objeto, o cambiar la dirección del movimiento del objeto, o cambiar la dirección
de su movimiento. En otras palabras, una fuerza puede producir un cambio en la
velocidad (rapidez y/o dirección); esto es, produce aceleración. Esto lleva a una
definición de fuerza.
Una fuerza es algo capaz de cambiar el estado de reposo o de
movimiento de un objeto, o de producir deformación en el.
Una fuerza es una magnitud vectorial, tiene modulo y dirección. Cuando varias
fuerzas actúan sobre un objeto, al efecto combinado se denomina fuerza neta.
La fuerza Neta es el vector suma o resultante (∑ 𝐹), de todas las fuerzas que
actúan sobre un objeto o sistema. Las fuerzas están en equilibradas cuando
actúan fuerzas iguales en magnitud y actúan en direcciones opuestas sobre el
mismo objeto, siendo la fuerza neta igual a cero.
La fuerza neta diferente a cero, se refiere a una fuerza no equilibrada; una
fuerza no equilibrada produce aceleración.
Fuerza Neta cero (fuerzas equilibradas )
F2
F2
F1F1
Fuerza Neta diferente a cero
(fuerzas no equilibradas )
F2
F2
F1F1
a
Fneta
a
CONCEPTO DE ESTATICA.- Estudia las condiciones que deben cumplirse para
que un cuerpo indeformable , sobre el que actúan fuerzas y/o cuplas, en
equilibrio , es decir se anulen fuerzas o cuplas.
𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝐹2 − 𝐹1 = 0
𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝐹2 − 𝐹1 ≠ 0

38
Jiménez AFUERZA.- Es una magnitud vectorial que
modifica la situación de los cuerpos, variando
su estado de reposo, variando la velocidad de
los cuerpos, aumentándola, disminuyéndola o
variando su dirección. TODA FUERZA
APARECE COMO RESULTADO DE LA
INTERACCION DE LOS CUERPOS.
EQUILIBRIO.- es el estado de reposo o
movimiento rectilíneo uniforme de un cuerpo. Un objeto se encuentra en
equilibrio cuando carece de todo tipo de aceleración o también cuando la
fuerza neta es igual a cero. Existen dos clases de equilibrio: equilibrio estatico y
equilibrio cinético
a) Equilibrio Estático.- Cuando el objeto no se mueve (En reposo)
b) Equilibrio Cinético.-Cuando el objeto se mueve en línea recta a velocidad
constante (Movimiento)
Inercia.- Inercia es la tendencia natural de un objeto a mantener un estado de
reposo o a permanecer en movimiento uniforme en línea recta (velodicad
constante)
RESULTANTE DEL SISTEMA DE FUERZAS
Se llama resultante de un sistema de fuerzas que actúan sobre un cuerpo
rígido, a una FUERZA que los reemplace, produciendo sobre el cuerpo el
mismo efecto que el sistema.
Se presentan los siguientes casos:
1. Resultante de fuerzas que tienen la misma línea de acción y sentido opuestos:
 Su recta de acción es la misma que de los componentes.
 Su medida es la diferencia de las componentes.
 Su sentido es el del que tiene mayor valor absoluto.
 Su punto de aplicación es cualquier punto de la línea de acción.
 El equilibrio se consigue aplicando una fuerza igual y contraria a la
resultante.
2. La resultante de cuplas con respecto a un mismo eje:
 Su DIRECCION: la de su rotación.
 Su SENTIDO: se determina por la rega del tirabuzón
 Su MEDIDA: la medida de su momento “𝐹𝑑”.
 Su PUNTO DE APLICACIÓN: -Es cualquiera, es un vector libre.
 El Equilibrio se consigue aplicando una cupla igual y contraria a la
resultante.
F
F
𝐹1
⃑⃑⃑ 𝐹2
⃑⃑⃑⃑
𝑅1
⃑⃑⃑⃑ = 𝐹2
⃑⃑⃑⃑ − 𝐹1
⃑⃑⃑

39
Jiménez A
Ejemplo:
Una persona al ingresar al Aeropuerto empuja una puerta giratoria con
una fuerza de 20 N y 30 cm de la bisagra, al mismo tiempo que otra
persona que sale y aplicado forma equivocada una fuerza contraria de 25
N y 20 cm del eje ¿el sentido de giro será hacia adentro o afuera?
Si 𝑀 = 𝐹. 𝑑
3. La resultante de fuerzas con la misma línea de acción y el mismo sentido:
 Su recta de acción, la misma que los componentes.
 Su sentido, el mismo que los componentes.
 Su medida es la suma.
 Su punt0 de aplicación es cualquier punto de la recta de acción.
4. Resultante de fuerzas concurrentes
 Cuando dos o más fuerzas concurrentes cuando sus rectas de
acción se cortan en un punto.
 La resultante se halla por el polígono de fuerzas, por el método del
paralelogramo o por el sistema de ejes cartesianos.
5. Resultante de fuerzas paralelas y el mismo sentido
 Su recta de acción es paralela a las fuerzas.
 Su sentido, el sentido de las fuerzas.
 Su medida, la suma.
 Su punto de aplicación esta situado en un punto que divide a la
barra que une las fuerzas en segmentos inversamente proporcionales a
las fuerzas (Relación de Stevin)
Sea O el punto de aplicación de la resultante.
Por momentos:𝐹1 ∗ 𝐴𝑂 = 𝐹2 ∗ 𝐵𝑂
𝑑1
𝑑2
𝐹1
𝐹2
+
−
𝑑2
𝑑1
𝐹2
𝐹1
𝑀1 = 𝐹1 . 𝑑1 = −20𝑁 ∗ 30𝑐𝑚
𝑀2 = 𝐹2. 𝑑2 = 25𝑁 ∗ 20𝑐𝑚
𝑀 𝑅 = 𝑀1 + 𝑀2 = 500𝑁𝑐𝑚 − 600𝑁𝑐𝑚
𝑀 𝑅 = −100𝑁𝑐𝑚 El sentido es hacia
adentro
A B
A
O
𝐹1
⃑⃑⃑
𝐹2
⃑⃑⃑⃑
Donde Algebraicamente:
𝐹1
𝐵𝑂
=
𝐹2
𝐴𝑂
=
𝐹1+𝐹2
𝐵𝑂+𝐴𝑂
=
𝑅
𝐴𝐵

40
Jiménez A
6. Ley de Lamy o ley de senos
α
β γ
Ɵ
φ
α
𝐹1
sin 𝛽
=
𝐹2
sin 𝛼
=
𝐹3
sin 𝛾
ó
𝐹4
sin 𝛼
=
𝐹5
sin 𝜃
=
𝐹6
sin ∅
Newton relaciono el concepto de inercia con la masa. En un principio, el llamo
masa a una cantidad de materia, pero posteriormente la definió como sigue:
La masa es la medida de la inercia
Primera Ley de Newton (Ley de Inercia).- En ausencia de una fuerza no
equilibrada, un cuerpo en reposo permanece en reposo, y un cuerpo ya en
movimiento, permanece en movimiento rectilíneo con una velocidad constante.
Primera condición de Equilibrio.- Un objeto se encuentra en equilibrio cuando
la fuerza resultante que actua sobre el , sea igual a cero;para esto, las fuerzas
componetes deben ser necesariamente concurrentes y coplanares. En forma de
ecuación, se tiene:∑ 𝐹𝑥 = 0 ;∑ 𝐹𝑥 = 0
Nota.- Cuando la resultante de fuerzas de un sistema de fuerzas es nula, porque
el polígono de fuerzas es cerrado
Tercera ley de Newton (Ley de Acción y Reacción).- Newton reconoció que es
imposible que una fuerza actué sola. Observo que en cualquier aplicación de una
fuerza, siempre hay una interacción mutua, y las fuerzas siempre actúan en
pares. Un ejemplo dado por Newton es: si usted presiona una piedra con un
dedo, el dedo es presionado también, o recibe una fuerza de la piedra.
Si un cuerpo le aplica una fuerza a otro (acción; entonces el otro le aplica una
fuerza igual y en sentido contrario al primero (reacción)
Se deben tener en cuenta que la acción y la reacción no se anulan porque no
actúan en el mismo cuerpo, sino en cuerpos diferentes.
𝐹1
𝐹2
𝐹3
𝐹4
𝐹5
𝐹6

41
Jiménez ATeorema de Lamy.-Si un solido se encontrase en equilibrio bajo la acción de
tres fuerzas coplanares y concurrentes, el valor de cada una de las fuerzas es
directamente proporcional al seno del ángulo que se le opone.
𝐹1
sin 𝛼
=
𝐹2
sin 𝛽
=
𝐹3
sin 𝛾
Diagrama de Cuerpo Libre (D.C.L.).- Es una representación grafica de las
fuerzas que actúan sobre un objeto. Para dibujar un D.C.L. se siguen los
siguientes pasos:
 Se aisla el objeto de todo el sistema.
 Se representa el peso del objeto mediante un vector vertical dirigido hacia
el centro de la Tierra.
 Si existiesen superficies de contacto, se representa la reacción mediante
un vector perpendicular a dichas superficies y empujando hacia el objeto.
 Si hubiesen cuerdas o cables, se representa la tensión mediante un
vector que está siempre jalando el cuerpo, previo corte imaginario.
 Si existiesen barras comprimidas, se representa la comprensión mediante
un vector que está siempre empujando al cuerpo, previo corte imaginario
α α
D.C.L.
T
w
N w
X
W
1.-Cuerpo suspendido
2.-Cuerpo apoyado
3.-Cuerpo suspendido

42
Jiménez AMétodos de resolución de problemas.
Se pueden aplicar tres métodos
 Método I.- Aplicación de 1 𝑒𝑟𝑎
Condicion de Equilibrio.
 Método II.-Aplicación polígono cerrado, formando un triangulo que puede ser
rectángulo u oblicuángulo; entonces se resuelve el triangulo por funciones o
ecuaciones trigonométricas.
 Método III.-Aplicación del Teorema de Lamy
EJEMPLOS
En el objeto mostrado en la Sgte figura, calcular el valor de la fuerza “F”, para que el sistema
permanezca en equilibrio W=50 Kp
Método I.- 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜𝑠∑ 𝐹𝑥 = 0; ∑ 𝐹𝑦 = 0 ;
𝑇𝑥 − 𝐹 = 0 (3) 𝑇𝑦 − 𝑤 = 0 (4)
(1) 𝑒𝑛 (3) 𝑇sin 𝛼 − 𝐹 = 0 (5) (2) 𝑒𝑛 (4) 𝑇cos 𝛼 − 𝑤 = 0 (6)
𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝑐. (6) 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑇 =
𝑤
cos 𝛼
=
50𝐾𝑝
cos40°
= 65,27𝐾𝑝
𝑅𝑒𝑒𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑇 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝐸𝑐. (5) 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝐹 = 𝑇sin 𝛼 = 65,27𝐾𝑝 ∗ sin 40° = 41,95𝐾𝑝
Método II.- Poligono cerrado
α=40°
F=?
D.C.L.
T
F
W
T
Tx
Ty
α
W
F
Funcionestrigonométricas
sin 𝛼 =
𝑇𝑥
𝑇
→ 𝑇𝑥 = 𝑇sin 𝛼 (1)
cos 𝛼 =
𝑇𝑦
𝑇
→ 𝑇𝑦 = 𝑇cos 𝛼 (2)Tx
Ty
F
W
αT
W
F
tan 𝛼 =
𝐹
𝑊
→ 𝐹 = 𝑊 tan 𝛼 = 50𝑘𝑃 tan 40° = 41,95 𝑘𝑃
sin 𝛼 =
𝑊
𝑇
→ 𝑇 =
𝑊
sin 𝛼
=
50𝑘𝑃
sin 40°
= 65,27𝑘𝑃

43
Jiménez A
Método III.- Aplicando el teorema de Lamy.
T
W
F
FUERZAS DE ROZANAMIENTO.-El rozamiento, llamado también friccion se refiere a la
resistencia siempre presente en el movimiento que ocurre cuando dos materiales o medios
están en contacto uno con el otro.
La fuerza de rozamiento, es aquella fuerza que está presente entre dos cuerpos cuando no
trata de moverse con respecto al otro. Esta fuerza es siempre contraria al movimiento o
posible movimiento. Existen dos tipos de fuerza de rozamiento: el rozamiento estático y el
rozamiento cinético.
a) Fuerza de rozamiento estático (𝒇 𝒔).-Es la que se presenta entre superficies que se
encuentra en reposo. El valor de la fuerza de rozamiento estática varía desde cero
hasta un valor máximo, el cual adquiere cuando el objeto en contacto está apunto de
moverse; pero si conseguirlo (movimiento inminente)
α=140
°
𝛽 = 130°
𝛾 = 90°
𝐹
sin 𝛼
=
𝑇
sin 𝛾
=
𝑊
sin 𝛽
ó sea
𝐹
sin 140°
=
𝑇
sin 90°
=
𝑊
sin 130°
De donde, despejando se tiene:
𝐹 =
Wsin 𝛼
sin 𝛽
=
50kP sin140°
sin130
= 41,95𝐾𝑝
𝑇 =
Wsin𝛾
sin 𝛽
=
50kP sin90°
sin130
= 41,95𝐾𝑝
𝑁
𝑤
𝑓𝑠
𝐹
𝐸𝑛 𝑅𝑒𝑝𝑜𝑠𝑜
𝑓𝑠 = 𝜇 𝑠 𝑁
𝑣 = 0 𝑓𝑠 = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
𝜇 𝑠 = 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑁 = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙

44
Jiménez A
b) Fuerza de rozamiento cinético (𝒇 𝒌).- Es la que se presenta entre superficies que se
encuentra en movimiento relativo. Cuando el objeto pasa del movimiento inminente al
movimiento propiamente dicho, el valor de la fuerza de rozamiento disminuye y
permanece constante.
El rozamiento estático se mayor que le rozamiento cinético, de la misma manera
el coeficiente estático de rozamiento es mayor que el coeficiente de rozamiento
cinético.
𝒇 𝒔 > 𝒇 𝒌 ; 𝝁 𝒔 > 𝝁 𝒌
Coeficiente de rozamiento estático ().-
Ventajas del rozamiento.-
 Gracias al rozamiento podemos caminar, impulsando uno de nuestros pies hacia atrás.
 Gracias al rozamiento las ruedas pueden rodar
 Gracias al rozamiento podemos incrustar clavos en las paredes
Desventajas del rozamiento.-
 Debido al rozamiento los se desgastan, motivo por el cual se utilizan los lubricantes.
 Para vencer el rozamiento hay que realizar trabajo, el cual se transforma en calor.
𝑓𝑘
𝑁
𝑣 ≠ 0
𝐹
𝑤
𝐸𝑛 𝑀𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑓𝑘 = 𝜇 𝑘 𝑁
𝑓𝑘 = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
𝜇 𝑘 = 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑁 = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙

45
Jiménez AEjemplo
Cuál será la fuerza necesaria de un trabajador debe desplazar un objeto de 40Kp por una
rampla para ingresar al avión de transporte de cargas, cuando la rampla tiene una pendiente
de 30° con el piso, conociendo el coeficiente de rozamiento estático 𝝁 𝒔 = 𝟎, 𝟔𝟓 y cinético
𝝁 𝒌 = 𝟎. 𝟓𝟎
∑ 𝐹𝑥 = 0 → 𝐹 − 𝑓𝑠 − 𝑊𝑥 = 0(3)
∑ 𝐹𝑦 = 0 → 𝑁 − 𝑊𝑦 = 0 (4)
También conocemos que 𝑓𝑠 = 𝜇 𝑠 𝑁(5)
MOMENTO DE UNA FUERZA
El momento de una fuerza puede definirse como el efecto de giro que se produce sobre un
cuerpo alrededor de un punto o eje. El momento de una fuerza es una magnitud vectorial.
El valor de una fuerza depende del valor de la fuerza y del brazo de palanca, que es una
distancia perpendicular desde el eje de rotación hasta la línea de acción de la fuerza.
𝑊
𝐷. 𝐶. 𝐿.
𝑊
Funciones Trigonométricas
sin 𝜃 =
𝑊𝑥
𝑊
→ 𝑊𝑥 = 𝑊 sin 𝜃(1)
cos 𝜃 =
𝑊𝑦
𝑊
→ 𝑊𝑦 = 𝑊 cos 𝜃(2)
(1),(5) en(3) 𝐹 − 𝜇 𝑠 𝑁 − 𝑊sin 𝜃 = 0 (6)
(2) en (4) 𝑁 − 𝑊 cos 𝜃 = 0 → 𝑁 = 𝑊 cos 𝜃 (7)
(7) en(6) ) 𝐹 − 𝜇 𝑠 𝑊 cos 𝜃 − 𝑊 sin 𝜃 = 0
𝐹 = 𝜇 𝑠 𝑊 cos 𝜃 − 𝑊sin 𝜃 = 𝑊(𝜇 𝑠 cos 𝜃 − sin 𝜃)
𝐹 = 50𝐾𝑝(0,65cos 30° − sin 30°) = 𝐾𝑝
𝑀 = 𝐹. 𝑑
𝑀 = 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 ‖ ‖ 𝑁𝑚
𝐹 = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎‖ ‖ 𝑁
𝑑 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 ‖ ‖ 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜

46
Jiménez A
Para comprender aún más, se tienen a continuación algunos ejemplos:
a. 𝑀 = 𝐹. 𝑑
b. 𝑀 = 𝐹.0 = 0
c. 𝑀 = 𝐹. 𝑑 sin 𝜃
Convención de Signos.- el torque o momento de una fuerza puede ser positivo o
negativo: si la rotación es contraria a las agujas el reloj, el momento es positivo; si la
rotación es en el mismo sentido de las aguas del reloj, el momento es negativo.
Ejemplo:
Se tiene unade pesodespreciable enel cual se aplicanvariasfuerzas,comose muestraen laFig.
Determinarlafuerzaresultante ysuposición.
F2=20Kp
F1=10Kp
F3=5Kp
d1=2md2=2md3=1m
Y
X
x R
Segunda Condición de Equilibrio.-Un cuerpo sólido y rígido permanece en equilibrio,
cuando la sumatoria de todos los momentos respecto a un punto es igual a cero.∑ 𝑀 𝑜 = 0 ()
Un objeto se encontrara en equilibrio mecánico, cuando se cumplan las dos condiciones de
equilibrio.
“La suma de fuerzas es igual a cero”
“La suma de momentos es igual a cero”
Momento positivo Momento negativo
La resultante de todaslasfuerzasse calculafácilmente:
𝑅 = 𝐹3 − 𝐹2 − 𝐹1 = 5𝐾𝑝 − 10𝐾𝑝 − 20𝐾𝑝 = −25𝐾𝑝 (El
signonegativoindicaque estádirigidohaciaabajo)
Resultante de Momentosenel extremoA
𝑀 𝑅 = ∑ 𝑀𝑖 → 𝑀 𝑅 = 𝑀3 − 𝑀2 − 𝑀1
𝑀 𝑅 = ∑ 𝑀𝑖 → −𝑅. 𝑥 = 𝐹3( 𝑑3 + 𝑑2)− 𝐹2( 𝑑1 + 𝑑2 + 𝑑3) − 𝐹1. 𝑑3
𝑀 𝑅 = ∑ 𝑀𝑖 → −25𝐾𝑝. 𝑥 = 5𝐾𝑝.3𝑚 − 20𝐾𝑝. 5𝑚 − 10𝐾𝑝.1𝑚
𝑥 =
−95𝐾𝑝. 𝑚
−25𝐾𝑝
= 3,8𝑚 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑎 3,8𝑚 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜 𝐴

47
Jiménez A
Ejemplo
En la figura mostrada, determinar la tensión en la cuerda, sabiendo que le peso de la barra
es de 30 Kp.
Paso 1. Listar datos conocidos y las incognitas
Paso 4.- aplicando 1era Condición de Equilibrio
Pasp 5.- 2da condición de equilibrio
Datos
𝑊𝑏 = 30𝐾𝑝 𝑇 =?
𝑊 = 120𝐾𝑝
W=10Kp
d=4m
α=43°
W=120Kp
d=4m
α=43°
Paso2.- Identificaciónde fuerzas
Paso3.- Diagrama de cuerpolibre
T
𝑅 𝑥
𝑊𝑏
𝑅 𝑦
Y
X
α
T
𝑅 𝑥
𝑅 𝑦
𝑇𝑦
𝑇𝑥
𝑊𝑏
W
∑ 𝐹𝑥 = 0 → 𝑅 𝑥 − 𝑇𝑥 = 0 (3)
(2)en(3) 𝑅 𝑥 − 𝑇 cos 𝛼 = 0 (4)
FuncionesTrigonométricos
sin 𝛼 =
𝑇𝑦
𝑇
→ 𝑇𝑦 = 𝑇sin 𝛼 (1)
cos 𝛼 =
𝑇𝑥
𝑇
→ 𝑇𝑥 = 𝑇cos 𝛼 (2)
∑ 𝐹𝑦 = 0 → 𝑅 𝑦 + 𝑇𝑦 − 𝑊𝑏 − 𝑊 = 0 (5)
(1)en(5) (4) 𝑅 𝑦 + 𝑇 sin 𝛼 − 𝑊𝑏 − 𝑊 = 0(6)
𝑅 𝑥
𝑅 𝑦 𝑊𝑏
𝑇𝑦
𝑊
𝑇
𝛼0
∑ 𝑀 𝑜 = 0 → 𝑀 𝑇𝑦
− 𝑀 𝑊𝑏
− 𝑀 𝑊 = 0 (7)
𝑀 𝑇𝑦
= 𝑇𝑦. 𝑑 = 𝑇 sin 𝛼. 𝑑 = 𝑇sin 43° .4𝑚 = 𝑇.2,73𝑚 (8)
𝑀 𝑊𝑏
= 𝑊𝑏.
𝑑
2
= 30𝐾𝑝.
4𝑚
2
= 60𝐾𝑝𝑚 (9)
𝑀 𝑊 = 𝑊. 𝑑 = 120𝐾𝑝.4𝑚 = 480𝐾𝑝𝑚 (10)

48
Jiménez A
(8),(9),(10)en (7)
𝑀 𝑇𝑦
− 𝑀 𝑊𝑏
− 𝑀 𝑊 = 0 → 𝑇.2,73𝑚 − 60𝐾𝑝𝑚 − 480𝐾𝑝𝑚 = 0 → 𝑇 =
540𝐾𝑝𝑚
2,73𝑚
= 197,95𝐾𝑝
es cálculo de la tensión
También podemos calcular la reacción en las articulaciones 𝑅 𝑥 𝑦 𝑅 𝑦
Reemplazamos el valor de la tensión en las Ecu. (6) y (4)
𝑅 𝑦 + 𝑇 sin 𝛼 − 𝑊𝑏 − 𝑊 = 0 → 𝑅 𝑦 = −𝑇 sin 𝛼 + 𝑊𝑏 + 𝑊 = −197,95 ∗ sin 43° + 30𝐾𝑝 + 120𝐾𝑝 = 15𝐾𝑝
𝑅 𝑥 − 𝑇cos 𝛼 = 0 → 𝑅 𝑥 = 𝑇cos 𝛼 = 197,95 ∗ cos43° = 144,77𝐾𝑝
La reacción se puede calcular por el teorema de Pitagoras
𝑅 = √ 𝑅 𝑦
2
+ 𝑅 𝑥
2
= √(15𝐾𝑝)2 + (144,77𝐾𝑝)2 = 145,55𝐾𝑝 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜

49
Jiménez A
MAQUINAS SIMPLES
Son dispositivos simples y mecánicos, sirven para multiplicar una fuerza
PALANCA
Es una barra rígida, sometida a dos fuerzas y apoyada en un punto. El esfuerzo que soporta
son: la resistencia “R” y la fuerza “F”.
Según la posición de la resistencia, fuerza y punto de apoyo, las palancas pueden ser:
Interapoyantes, interresistentes e Interpotentes.
fr
F
O
f
r
F
O
f
f
R
F
O
ECUACIONDE EQUILIBRIO DE LA PALANCA
Tanto la resistencia“R”como la fuerza“F” constituyenunacuplade momentoconrespectoal puntode apoyo
“O”. La condiciónparaque haya equilibrioesque, llamandonegativoalatendenciaal giroenunsentido,
positivoal contrario,se tiene:
∑ 𝑀0 = 0
Es decir: 𝑅. 𝑟 = 𝐹. 𝑓
EL TORNO CABRESTANTE
TORNO.-Es una palanca interapoyante, lo constituye un cilindro de radio “r”, al cual se le
enrolla una cuerda. El cilindro esta conectado a una manija por su eje, la manija tiene un
brazo “m”. la condición de equilibrio es igual que la palanca.
𝐹 = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 ‖ ‖ 𝑁
𝑅 = 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎‖ ‖R
𝑟 = 𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 ‖ ‖ 𝑚
𝑓 = 𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 ‖ ‖ 𝑚
rm
m
R
R
F
∑ 𝑀0 = 0
𝑅. 𝑟 − 𝐹. 𝑚 = 0
De donde 𝑅. 𝑟 = 𝐹. 𝑚
Donde R=Resistencia
F=Fuerza
R=Resistencia
r=radio del cilindro
m=brazo de la manija

50
Jiménez A
Ejemplo.
Se requiere sacar 20 litros de agua de un pozo artesanal con un torno de las siguientes
características: radio del cilindro 20 cm brazo de la manija o manivela 30 cm.
¿Calcular la fuerza necesaria?
LA POLEA FIJA.- Es una rueda acanalada que gira alrededor de n eje fijo que pasa por su
centro.
Frente
F
R
rr
LA POLEA MOVIL.- Es una rueda acanalada de cuyo eje de giro, que pasa por su centro,
pende un peso. Puede ser: de fuerzas paralelas y de fuerzas no paralelas.
a) Polea móvil de fuerzas paralelas.- Como muestra la figura, las cuerdas que
sostienen la polea están pralelas. Como también es una planca interapoyante la
ecuación de equilibrio ∑ 𝐹 = 0, y como son paralelas se tiene
F
R
rr
F
Datos
𝑟 = 20 𝑐𝑚
𝑚 = 30 𝑐𝑚
𝑉 = 20𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠∗
1𝑚3
1000𝑙
Sabiendoque ladensidaddel aguaes
1𝑔
𝑐𝑚3⁄ 𝑜 1000
𝐾𝑔
𝑚3⁄
Solución
Calculo
𝑅 = 𝑚 ∗ 𝑔 = 𝜌 ∗ 𝑉 ∗ 𝑔 = 1000
𝐾𝑔
𝑚3⁄ ∗
20
1000
𝑚3
∗ 9,81 𝑚
𝑠2⁄
𝑅 = 196,2𝑁
𝑅. 𝑟 = 𝐹. 𝑚 → 𝐹 = 𝑅
𝑟
𝑚
= 196,2𝑁 ∗
20𝑐𝑚
30𝑐𝑚
= 130.8𝑁
La poleafijanoahorraesfuerzos solocambialadirecciónde
la fuerzaque se aplica,ya que siendounapalanca
interapoyante,comotodapalanca.
∑ 𝑀0 = 0
𝑅. 𝑟 − 𝐹. 𝑟 = 0
De donde 𝑅 = 𝐹
𝐹 + 𝐹 − 𝑅 = 0
𝐹 =
𝑅
2
Lo que quiere decirque latensiónde la
cuerdae la mitadde la resistencia,opeso,
que se quiere levantar

51
Jiménez A
b) Polea móvil de fuerzas no paralelas.- Como se observa en la figura, las
prolongaciones de la cuerda que la sostiene se encuentra en punto de la
dirección de la resistencia.
La condicon de equilibrio es ∑ 𝐹𝑦 = 0 es decir
F1
R
rr
F1
F F
c) Aparejo potencial o Trocla.- Es el conjunto de una
polea fija y varias poleas móviles. La primera polea móvil
de abajo , reduce a la mitad la fuerza necesaria para
levantar la resistencia, la segunda de abajo reduce la
cuarta parte, la tercera la octava parte, es decir: en
general, según el número de polea móviles, la fuerza
necesaria para levantar un peso se reduce a la
resistencia dividida entre 2 elevado a una potencia igual
al número de poleas móviles:𝐹 =
𝑅
2 𝑛
d) Aparejo factorial o motón.-Es un conjunto de poleas
móviles y un conjunto de poleas y conjunto de poleas fijas.
Puede ser 𝑛1 el número de poleas móviles y 𝑛2 el numero
de poleas fijas lo que quiere decir que el número total de
poleas será n: 𝑛1 + 𝑛2 = 𝑛
Pero resulta que el número de poleas móviles y fijas es el
mismo, es decir: 𝑛1 = 𝑛2
Si la fuerza “F” se desplaza una distancia 𝑑1, la
resistencia “R” se desplaza a una distancia “𝑑2”. El trabajo
realizado por “F” ha sido transmitido a la resistencia “R”
luego igualando trabajos: 𝐹 ∗ 𝑑1 = 𝑅 ∗ 𝑑2
Como 𝑑1 = 𝑛. 𝑑2
Por lo tanto 𝐹. 𝑛𝑑2 = 𝑅. 𝑑2 → 𝐹 =
𝑅
𝑛
𝛼
2
𝛼
2
2𝐹1 = 𝑅(1)
Del grafico 𝐹1 = 𝐹 cos(
𝛼
2
)
Sustituyendoen(1)
2𝐹1 = 𝑅 → 2 [𝐹 cos(
𝛼
2
)] = 𝑅
𝐹 =
𝑅
2cos(
𝛼
2
)
R
𝑅
2⁄
𝑅
4⁄
𝑅
8⁄
F=Fuerzaaplicada,R=Resistencia,n=#de poleasmóviles
R d2
F
F=Fuerzarequeridaparaequilibrarlaacciónde R.
R=Resistencia,opeso,que se quiere levantar.
n= Númerototal de poleasentre fijasymóviles

52
Jiménez A
e) Aparejo potencial o tecle.- Consta de una polea fija con
2 diámetros distintos y con perímetros engranados; en
realidad se trata de dos poleas soldados en sus caras
laterales; además, perímetro engranado, esta polea es la
que soporta la carga “p”.
La condición de equilibrio se obtiene tomando momentos
con respecto al eje de giro de la polea fija, 0.
R
F
P/2
P/2
r
P
∑ 𝑀0 = 0
𝐹 ∗ 𝑅 + 𝑃
2⁄ ∗ 𝑟 − 𝑃
2⁄ ∗ 𝑅 = 0
De donde 𝐹 =
𝑃( 𝑅−𝑟)
2𝑅
Ejemplo: ¿Cuál será el esfuerzo
necesario para levantar un auto que
pesa 1200 N, con un tecle cuyos
radios de sus poleas fijas son 15 cm y
8 cm?
Solución:Sabiendoque 𝐹 =
𝑃( 𝑅−𝑟)
2𝑅
sustituyendodatos:
𝐹 =
1200𝑁(15𝑐𝑚−8𝑐𝑚)
2∗15𝑐𝑚
= 280𝑁
Propuesto: ¿Cuál será el peso que
puede levantar en N, un tecle cuyo
esfuerzo es de 250 N, donde radio
de sus poleas fijas son 15 cm y 8 cm
respectivamente?
𝑅 = 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑒𝑎 𝑓𝑖𝑗𝑎 ‖ ‖ 𝑐𝑚
𝑟 = 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑒𝑎 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑙 ‖ ‖ 𝑐𝑚
𝐹 = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑐𝑙𝑒
𝑃 = 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑐𝑙𝑒

53
Jiménez Af) Plano inclinado.- Como su nombre indica, es un plano inclinado , formando un
ángulo determinado “α” con la horizontal, a lo largo del cual se desplaza un
móvil. La condición de equilibrio se obtiene igualando las fuerzas paralelas al
plano inclinado, conforme se muestra en la figura. Sea “p” el peso del bloque
sobre el plano inclinado, conforme se muestra en la figura. Sea “P” el peso del
bloque sobre el plano inclinado, y “α”al ángulo que este plano forma con la
horizontal “d” la longitud del plano y “h” su altura mayor.∑ 𝐹𝑥 = 0
A
B
C
h
α α
Pcos α
P
g) Tornillo, Gato o Cric.- Es una maquina simple que consiste en planos
inclinados desarrollados (enrollados) alrededor de un eje
cilíndrico. La fuerza “F” que se aplica sobre una barra
perpendicular a la barra y origina un movimiento circular.
Si 𝐹 = 𝑃 sin 𝛼 ; perosin 𝛼 =
ℎ
𝑑
,
Luego 𝐹 = 𝑃 ∗
ℎ
𝑑
𝐹
𝑃
=
ℎ
𝑑
La ecuaciónde equilibrioesigual ala del planoinclinado,yaque cadaespirao
“hilo” esun planoinclinado.
𝐹
𝑃
=
ℎ
2𝜋𝑑
F=Fuerzaaplicaa la palanca P=Pesoque se quiere levantar
h=Carrera o distanciaentre hilos d=Longitudde lapalanca
2𝜋𝑑 =Longitudde la circunferenciade lapalancade radio d.
d
h
F
Ejemplo: ¿Cuál debe ser la longitud de
una palanca, que aplicada a un gato
de 8 mm de carrera y con una fuerza
de 10N, se levanta un peso de 800N?
Datos: h=8mm,F=10N, P=800N
Solución:Si
𝐹
𝑃
=
ℎ
2𝜋𝑑
→ 𝑑 =
𝑃ℎ
2𝜋𝐹
=
800𝑁 ∗ 0,8𝑐𝑚
2 ∗ 3,14 ∗ 10𝑁
𝑑 = 10,19𝑐𝑚 = 0,101𝑚
Propuesto: ¿Cuánto es el esfuerzo
que se requiere aplicar a un gato de
10 mm de carrera para que pueda
levantar un peso de 1000N?
Datos

54
Jiménez ACUÑA.- Es una pieza mecánica que puede ter la forma de un cono o de un prisma triangular.
Sea “h” la altura de la cuña, “d” la longitud de su diámetro o de su base rectangular y “α” el
ángulo que hace la base con la generatriz cuya longitud es “m”. La ecuación de equilibrio se
obtiene igualando fuerzas verticales. Debe tenerse presente que la resistencia es
perpendicular a las caras de la cuña.
α
α α
Rcosα
Rcosα
h
F
d/2 d/2
,
𝐹 = 2𝑅 cos 𝛼; perocos 𝛼 =
𝑑
2⁄
𝑚
; luego 𝐹 = 𝑅
𝑑
𝑚
Como 𝑚 = √(
𝑑
2
)
2
+ (ℎ)2 =
√𝑑2+4ℎ2
2
∴ 𝐹 =
2𝑅𝑑
√𝑑2 + 4ℎ2
Ejemplo: ¿Cuál debe ser la relación
de la altura y la base de una cuña
para ahorrar 1/8 de fuerza, con
relación a la resistencia?
Datos :𝐹 = 1/8𝑅;
ℎ
𝑑
=?
Solución:Si
𝐹 =
2𝑅𝑑
√𝑑2 + 4ℎ2
→
1
8𝑅
=
2𝑅𝑑
√𝑑2 + 4ℎ2
1
64𝑅
=
2𝑅𝑑
𝑑2+4ℎ2
= 7,98 ≈ 8
Propuesto: ¿Cuánto es el esfuerzo
que puede realizar una cuña cuando
está sometido a un peso de 800N, y
que tiene una base de 8cm y altura
de 6cm?

55
Jiménez AVENTAJAS Y RENDIMIENTO MECANICO
VENTAJA MECANICA ACTUAL O REAL.- Es el factor de multiplicación que resulta de la
relación de fuerza realizada por la máquina y el peso o resistencia a vencer.
𝑉𝐴 =
𝑅
𝐹
VENTAJA MECANICA IDEAL.-El trabajo comunicado a una maquina es 𝐹 ∗ 𝑓, mientras que
el trabajorealizado por la maquina es 𝑅 ∗ 𝑟 ,más el trabajo perdido por razamiento o friccion
𝑊𝑓; es decir: 𝐹. 𝑓 = 𝑅. 𝑟 + 𝑊𝑓
La ventaja mecánica ideal (𝑉𝑖) de una maquina es:
RENDIMIENTO MECANICO ( 𝑅 𝑒).- Se define como la relación ente el trabajo entregado por la
maquina (trabajo util) y el trabajo recibido (trabajo motor)
R=Pesoo resistenciaavencer
F=Fuerzareal para vencerR
𝑉𝑖 =
𝑓
𝑟
𝑉𝑖 =
𝑅
𝐹
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 𝑇 𝑚 = 𝐹. 𝑓
𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑢𝑡𝑖𝑙 𝑇𝑢 = 𝑅. 𝑟
𝑅 𝑒 =
𝑇𝑢
𝑇 𝑚
=
𝑅. 𝑟
𝐹. 𝑓
=
𝑅
𝐹
∗
𝑟
𝑓
= 𝑉𝐴
1
𝑉𝑖
→ 𝑅 𝑒 =
𝑉𝐴
𝑉𝑖
Ejemplo: Se requiere deslizar un avión por una
rampla inclinada que tiene 20 m de longitud y
3m de altura cuyo peso es de 160 Calcular:
a) Ventaja mecánica ideal del plano.
b) Ventaja mecánica actual con una fuerza de
50 N
c) Rendimiento
Datos :
Calculode la fuerzanecesariaenequilibrio
𝐹
𝑃
=
ℎ
𝑑
→ 𝐹 = 𝑃 ∗
ℎ
𝑑
= 150𝑁
3𝑚
20𝑚
= 22,5𝑁
a) 𝑉𝑖 =
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 "f"𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟.𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 "r"𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟.𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎
=
20𝑚
3𝑚
= 6,67
b) 𝑉𝐴 =
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑚𝑜𝑡𝑟𝑖𝑧
=
150𝑁
50𝑁
= 3
c) 𝑅 𝑒 =
𝑉 𝐴
𝑉𝑖
=
3
6,67
= 0.45 ó 45%
Propuesto: En el taller de mantenimiento
se requiere levantar un motor de avioneta
de 1500lbf,con una polea diferencial cuyos
radios de la polea fija son 12 y 10 pulg.
¿Cuál es la fuerza necesaria si el
rendimiento es de 80%?

56
Jiménez AMECANICA
CONCEPTO.-La mecánica es la rama de la física que se ocuopa de estudiar el movimiento.
Se divide en tres partes: Cinematica, Dinamica y Estatica
CINEMATICA.- Es el estudio de los movimientos independientes de las causas que lo
originan.
CONCEPTOS BASICOS DE LA CINEMATICA
MOVIMIENTO.- Es el cambio de posición que experimentan los objetos con respecto a un
sistema de o punto de referencia.
TRAYECTORIA.-La trayectoria de un móvil, es la línea que dicho móvil describe durante su
movimiento. Las trayectorias pueden ser: Rectilinea, Curvilinea, Circular y Parabolica.
CLASES DE MOVIMENTO.- Cualquiera que sea la trayectoria de un móvil, su movimiento
puede ser: Uniforme, Variado y Uniformemente Variado.
NOTA.- Como la trayectoria o recorrido de un móvil puede ser rectilíneo, curvilíneo, circular
y parabólica, la magnitud total de la trayectoria o recorrido se llama ESPACIO; sin embargo,
si la trayectoria es recta puede llamarse DISTANCIA.
DISTANCIA(Escalar).-Es la longitud de la trayectoria.
DESPLAZAMIENTO (Vectorial).-Es el segmento dirigido que une dos posiciones diferentes
de la trayectoria de un móvil. En otras palabras, es la distancia en línea recta entre dos
puntos, junto con la dirección.
Y
Xx1 x2x
Trayectoria
Un desplazamiento alolargo del eje X,estádadopor:
𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1
donde 𝑥1 𝑦 𝑥2sonlas posicionesinicial yfinal respectivamente,El
símbolo∆( 𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎)
Resumiendotenemos:
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎:Es magnitudo valornumérico
𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜:Es magnitudydirección
Ejemplo:Unautomóvil avanza300 Km al este yretorna 100Km
a) Cuantoes ladistanciarecorrida
b) Cuantoes sudesplazamiento
200 Km 300 Km
x
0 Km
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎 = 300𝐾𝑚 + 100𝐾𝑚 = 400𝐾𝑚
𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 = 200𝐾𝑚 − 0 = +200𝐾𝑚

57
Jiménez ARAPIDEZ.- Es una magnitud escalar, da a conocer que tan rápido va un móvil.
RAPIDEZ MEDIA.- Es la distancia recorrida en un tiempo total transcurrido al viajar esa
distancia.
x
v v
RAPIDEZ INSTANTANEA.-Da a conocer que tan rápido va un móvil en un momento dado.
VELOCIDAD.-Es una magnitud vectorial, da a conocer que tan rápido y en que dirección va
un móvil.
VELOCIDAD MEDIA.- Es el desplazamiento dividido por el tiempo total del viaje.
v v
Es común tomar los valores 𝑥 𝑜 = 0 𝑦 𝑡0 = 0, asi la ecuación anterior se convierte en: 𝑣 =
𝑥
𝑡
Se puede apreciar en esta ecuación que las unidades de la velocidad son las mismas que
para la rapidez: cm/s, m/s, ft/s, Km/h.
VELOCIDAD INSTANTANEA.- Da a conocer que tan rápido y en qué dirección m va un móvil
en un momento dado.
Por lo tanto
La rapidez media será igual a la velocidad media si el movimiento se realiza en una dirección
un sentido, la distancia será igual a la magnitud del desplazamiento, y la rapidez media será
la magnitud de la velocidad media. No obstante, se debe tener cuidado. Esto no es cierto si
hay movimiento en ambos sentidos, como se observara en el siguiente ejemplo:
𝑣 =
𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜
=
𝑥
𝑡
Entre lasunidadesde rapidez,tenemoslassiguientes:
𝑣 = [ 𝑐𝑚
𝑠⁄ ],[ 𝑚
𝑠⁄ ],[
𝑓𝑡
𝑠⁄ ] ,[ 𝑘𝑚
ℎ⁄ ], [ 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎 𝑇
ℎ⁄ ],
𝑁𝑢𝑑𝑜 = 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎 𝑛𝑎𝑢𝑡𝑖𝑐𝑎/ℎ
∆𝑥
𝑣 =
∆𝑥
∆𝑡
=
𝑥 − 𝑥0
𝑡 − 𝑡0
𝑥0, 𝑡0 = 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑦 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑥, 𝑡 = 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑦 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑹𝒂𝒑𝒊𝒅𝒆𝒛:𝑬𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒎𝒂𝒈𝒏𝒊𝒕𝒖𝒅 𝐨 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐧𝐮𝐦é𝐫𝐢𝐜𝐨
𝑽𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅: 𝑬𝒔 𝒎𝒂𝒈𝒏𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒚 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏

58
Jiménez A
MOVIMIEENTO RECTILINEO UNIFORME (M. R. U.).- El movimiento es uniforme, cuando
un móvil. En tiempos iguales recorre espacios iguales.
La velocidad es el espacio que recorre un móvil en una UNIDAD DE TIEMPO.
LA VELOCIDAD COMO MAGNITUD VECTORIAL (𝑽⃑⃑ ).- La velocidad es una magnitud
vectorial, porque tiene las siguientes características
a) Magnitud.-es la que tiene en un instante cualquiera.
b) Dirección.-Es la tangente a la curva en cualquier punto de su trayectoria.
c) Sentido.-Es el que sigue el movimiento adelante o atrás: positivo o negativo.
d) Punto de aplicación.-Es el que ocupa el móvil en un instante de su trayectoria.
Punto de aplicación
Y
X
Ejemplo: Un cadete trota de un extremo a
otro en una pista recta de 300(del punto A al
punto B)en 2,5 minutos, luego vuelve y trota
100m regresando (punto C) en otros 60
segundos ¿Cuáles son la rapidez y la
velocidad promedia del cadete cuando se
dirige de A a B y de A a C?
Datos :𝑡 𝐵 = 2,5𝑚𝑖𝑛
60𝑠
1𝑚𝑖𝑛
= 150𝑠 ; 𝑡 𝐶 = 60𝑠
a) Rapidezpromediade Aa B es:
𝑣 =
𝑥
𝑡
=
300𝐾𝑚
150𝑠
= 2𝑚/𝑠(𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟)
L a velocidadpromediaal irde A a B se calcula
fácilmente,perose debe indicarladirección.
𝑣 =
𝑥
𝑡
=
+300𝑚
150𝑠
= +2𝑚/𝑠 (𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙)
b) Rapidezmediade A a C
comprende ladistanciatotal que
se ha viajadoasí:
𝑣 =
𝑥
𝑡
=
+300𝑚 + 100𝑚
150𝑠 + 60𝑠
= 1,90 𝑚/𝑠
La velocidad media, por otro
lado, comprende la suma
vectorial de los
desplazamientos, dividido entre
el tiempo total:
𝑣 =
𝑥
𝑡
=
+300𝑚−100𝑚
150𝑠+60𝑠
= 0,952 𝑚/𝑠
Note que el sentido causa
una diferencia; en este caso, la
rapidez promedio no es igual a la
𝑣 =
𝑒
𝑡
ó 𝑣 =
𝑑
𝑡
𝑣 = 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 ; 𝑒 = 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜; 𝑑 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎; 𝑡 = 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

59
Jiménez ACOMPOSICION DE VELOCIDADES:
Componer las velocidades de un cuerpo que está dotado simultáneamente de varios
movimientos, es hallar la velocidad total o velocidad resultante.
Para hallar el resultante debe tenerse presente:
a) Los movimientos son independientes entre si.
b) La velocidad es una magnitud vectorial
c) Respecto a que sistema de referencia se calcula la resultante.
VELOCIDAD CON LA MISMA DIRECCION Y EL MISMO SENTIDO.-
La velocidad resultante es la suma de las velocidades.
V1
V2
Vt =V1+V2
VELOCIDADES DE LA MISMA DIRECCION PERO DE SENTIDO CONTRARIO.-La
velocidad resultante es la diferencia de las velocidades.
V1
V2
Vt =V2 - V1
VELOCIDAD CON DIRECCIONES DISTINTAS.-La velocidad resultante será la resultante de
los vectores que los representan.
Ejemplo : Al despegar un avión este adquiere una velocidad de 300Km/h cuando la corriente
del aire se encuentra perpendicular y una velocidad de 100km/h ¿Cuál es la velocidad
resultante?
V1=100km/h
V1=300km/h
α
R
a) La distancia recorrida por un móvil es directamente proporcional al tiempo que emplea:
𝑑1
𝑡1
=
𝑑2
𝑡2
=
𝑑3
𝑡3
… . . 𝑐𝑡𝑒. = 𝑣
b) En el movimiento rectilíneo uniforme la velocidad es constante
Un aviónvuela200 km/ha favordel vientoque tiene unavelocidadde 80km/h.¿Cuál es
la velocidadtotal del avion?
𝑣 𝑡 = 200𝑘𝑚/ℎ + 80𝑘𝑚/ℎ = 280𝑘𝑚/ℎ
Un aviónvuela200 km/hcon el vientoencontra que tiene unavelocidadde 80km/h.
¿Cuál esla velocidadtotal del avion?
𝑣 𝑡 = 200𝑘𝑚/ℎ − 80𝑘𝑚/ℎ = 120𝑘𝑚/ℎ
𝑅 = √ 𝑉1
2
+ 𝑉2
2
= √(
100𝑚
𝑠
)
2
+ (
300𝑚
𝑠
)
2
= 𝑚/𝑠
NOTAS.-Ennavegaciónlavelocidadse daennudos,ysignificalavelocidaden
millas marinas porhora, así: 𝑣 = 8𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠 = 8𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠/ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
La mayorvelocidadque se conoce hastaahora esla velocidadde laluzenel
vacío: 𝑣 ≅ 300000𝑘𝑚/ℎ

60
Jiménez A
Ejemplo: Un avión viaja de A a B a una
velocidad uniforme de 160 Km/h. A las 07:00
AM esta en B que dista M esta en B que dista
320km de A. Calcular:
a)A que hora partio de A. b)A que distancia de
B estará a mediodia,si prosigue el viaje
Solucion
Datos: e=320 km ; v=160km/h; t=?
a) Si 𝑣 =
𝑒
𝑡
→ 𝑡 =
𝑒
𝑣
=
320𝑘𝑚
160𝑘𝑚/ℎ
= 2ℎ
transcurridos, entonces la hora de
partida es 7ℎ − 2ℎ = 5, lo que quiere
decir que partio a las 05:00 AM
b) 𝑡 = 12 − 07 = 5ℎ, entonces 𝑒 = 𝑣 ∗
𝑡 = 160𝐾𝑚/ℎ ∗ 5ℎ = 800km
Como la distancia de A a B=320Km,por lo
tanto después de transcurrido 5 h se
encontrara a 800Km-320Km=480km del
punto B
Propuesto: Un avión viaja a una
zona de emergencia donde deja
caer provisiones, sobrevuela la
primera comunidad a horas
10:00AM siendo a las 13:00 en
la segunda comunidad, con una
velocidad de 360Km/h ¿Cuánto
es el distancia y el tiempo
transcurrido entre las dos
comunidades,?

61
Jiménez ASOLUCIONES GRAFICAS
GRAFICA ESPACIO- TIEMPO
En un gráfico la velocidad de un móvil es el valor de la
tangente de un angulo.
En un sistema de ejes coordenadas el espacio recorrido se
indica sobre el eje “Y” y el tiempo sobe el eje “X” asi como
es el caso de la velocidad de 9 𝑚
𝑠⁄
1s 2s
9m
18m
t
d
Ejemplo: Punto de encuentro.
A las 11 AM parte de un punto de A, una
aeronave con velocidad uniforme de
60km/h ; a las 13:00 horas, parte otra
aeronave del mismo punto a velocidad de
100km/h siguienedo la misma dirección del
primero. Calcular a que hora y a que
distancia de A el 2° alcanza al 1°
Solucion
Solucion algebraica: En el momento de su
encuentro recorren la misma distancia “d”.
Por lo tanto el primero 𝑑 = 𝑣1 ∗ 𝑡 (1) para el
segundo 13h-11h=2h de atraso así que 𝑑 =
𝑣2 ∗ (𝑡 − 2ℎ)(2)
Igualando (1)y (2)
𝑣1 ∗ 𝑡 = 𝑣2 ∗ (𝑡 − 2ℎ)
𝑣1 ∗ 𝑡 = 𝑣2 ∗ 𝑡 − 𝑣22ℎ
( 𝑣1−𝑣2) ∗ 𝑡 = −𝑣22ℎ) → 𝑡 =
−𝑣22ℎ)
𝑣1 −𝑣2
𝑡 =
−100𝐾𝑚/ℎ ∗ 2ℎ
(60 − 100) 𝑘𝑚/ℎ
= 5ℎ
Lo que quiere decir que 5 horas después
de haber partido el primer avión se
encuentran, esto es: 11h+5h=16h
Para determinar es
𝑑 = 𝑣1 ∗ 𝑡 = 60𝑘𝑚/ℎ ∗ 5ℎ = 300𝑘𝑚
Propuesto: A las 07:00 AM parten dos
móviles, uno de A a B y otro de B a A
están a una distancia de 1500 km.Uno
de ellos puede recorrer 1000km en
16horas y el otro 1500km en 10horas
¿Calcular a que hora y a que distancia
se encuentran?

62
Jiménez A
MOVIMIENTO VARIADO.-Cualquiera sea la trayectoria del móvil (rectilíneo, curvilíneo,
circular, parabólico, etc.), en el movimiento variado siempre debe distinguirse el “movimiento
variado” y el “movimiento uniforme y variado”(M.U.V.)
MOVIMIENTO VARIADO (M.V.).- Es aquel movimiento que no es uniforme. Su velocidad
varia desordenadamente cuando transcurre el tiempo.
VELOCIDAD MEDIA.- Es la velocidad constante que debería tener un móvil para recorrer el
mismo espacio con velocidad variable, en el mismo tiempo.
𝑣 𝑚 =
𝑑 𝑇
𝑡 𝑇
ó 𝑣 𝑚 =
𝑑1 + 𝑑2 + ⋯
𝑡1 + 𝑡2 + ⋯
→ 𝑣 𝑚 =
𝑣1 + 𝑣2 + 𝑣3 + ⋯ 𝑣 𝑛
𝑛
Ejemplo1)Un auto viaja durante 6
horas,recorre unadistanciade 500Km
¿Cuál será lavelocidadmedia?
SOLUCION: 𝑣 𝑚 =
500𝑘𝑚
6ℎ
= 83,3𝑘𝑚/ℎ
La velocidadesmediaporque tieneque
comprenderse que.
1°El auto partiódel reposo,es decir de
velocidad0
2° En el trayecto hay rectas,subidasy
bajadas;habrá momentosenque la
velocidadesmuyinferiora83,33Km/h
y habrá momentos enque lavelocidad
será muysuperior a 83,33km/h; el caso
esque en promediolavelocidadque
desarrollael autoes83,3km/h.
Ejemplo2) Un móvil recorriólaprimera
mitaddel caminoa 25km/h, y la
segundamitada 50 km/h¿Cuál es la
velocidadmedia?
Solución: como la mitaddel caminolo
hace en50Km/h , enla otra mitadlo
hara en el doble de tiempoporirmas
lento25Km/h
Algebraicamente 𝑣 𝑚 =
𝑑 𝑇
𝑡 𝑇
(1)
𝑑 𝑇 = 𝑑1 + 𝑑2 = 𝑣1 ∗ 2𝑡 + 𝑣2 𝑡 =
𝑑 𝑇 = 25𝑘𝑚/ℎ ∗ 2𝑡 + 50𝑘𝑚/ℎ ∗ 𝑡 = 100𝑘𝑚/ℎ ∗ 𝑡(2)
𝑡 𝑇 = 2𝑡 + 𝑡 = 3𝑡 (3)
(3),(2) en(1)
𝑣 𝑚 =
100𝑘𝑚/ℎ ∗ 𝑡
3𝑡
= 33,3𝑘𝑚/ℎ
Propuesto:Unmotociclistamaneja 125 km de una
ciudada otra en2 h, peroel viaje de regresolohace en
solo1,5h. ¿Cuál es lavelocidadmediaparacada mitadde
viaje yel viaje total?
Datos d=125km, 𝑡1 = 2ℎ, 𝑡2 = 1,5ℎ
a) 𝑣 𝑚 = ? 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑎𝑗𝑒
b) 𝑣 𝑚 = ? 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣𝑖𝑎𝑗𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

63
Jiménez AAceleración.-Es la variación de la velocidad ∆𝑉 = 𝑣 𝑓 − 𝑣𝑖de un móvil en cada unidad de
tiempo. La fórmula de la aceleración 𝑎 =
∆𝑣
∆𝑡
=
𝑣 𝑓−𝑣𝑖
𝑡
Relaciones de la M.R.U.V.
Velocidad media 𝑣 𝑚 =
𝑑
𝑡
(1)
ó 𝑣 𝑚 =
𝑣 𝑓+𝑣𝑖
2
(2)
aceleración 𝑎 =
𝑡
(3)
Velocidad final en función de 𝑣𝑖,a,d
𝑣𝑓
2
= 𝑣𝑖
2
∓ 2𝑎𝑑 (4)
Distancia recorrida “d”en
función 𝑣𝑖, a y t:
𝑑 = 𝑣𝑖 𝑡 ∓
1
2
𝑎𝑡2
(5)
Ecuacionesderivadas:
Velocidad final en función de 𝑣𝑖,a, d
(1)en(2)
𝑑
𝑡
=
𝑣 𝑓+𝑣𝑖
2
(6)
despejamos t de (3) 𝑡 =
𝑎
(7)
(7)en (6)
𝑑
𝑣 𝑓−𝑣 𝑖
𝑎
=
𝑣 𝑓+𝑣𝑖
2
Luego 2𝑎𝑑 = ( 𝑣 𝑓 + 𝑣𝑖) ( 𝑣 𝑓 − 𝑣𝑖)
Donde 𝑣𝑓
2
= 𝑣𝑖
2
∓ 2𝑎𝑑
Distancia recorrida “d”en función 𝑣𝑖, a y t:
De (3) despejar 𝑣 𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎𝑡 (8)
(8)en (6)
𝑑
𝑡
=
( 𝑣𝑖+𝑎𝑡)+𝑣𝑖
2
=
2𝑣𝑖+𝑎𝑡
2
𝑑 = 𝑣𝑖 𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2

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