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Procesos estocasticos y cadenas de markov

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Procesos estocasticos y cadenas de markov

  1. 1. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos PROCESOS ESTOCÁSTICOS ¿Para qué? Para conocer el desarrollo futuro de procesos que se desarrollan a lo largo del tiempo, para predecir el comportamiento de fenómenos físicos, económicos, atmosféricos. Para conocer la evolución de los que en estadística se conocen como sucesos raros. Signature Not Verified Teodoro Rodriguez Digitally signed by Teodoro Rodriguez DN: cn=Teodoro Rodriguez, o=Colegio Marista Cristo Rey, c=US Date: 2002.08.25 10:33:06 +02'00' 113
  2. 2. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos Procesos Estocásticos Introducción: Siempre que estudiamos el comportamiento de una variable aleatoria a lo largo del tiempo, estamos ante un proceso estocástico. En general, trabajamos con procesos estocásticos en cualquier caso en que intentamos ajustar un modelo teórico que nos permita hacer predicciones sobre el comportamiento futuro de un proceso. Un ejemplo particularmente importante lo proporcionan las denominadas "Series de Tiempo" o "Series Temporales", que registran observaciones de determinado proceso en función del tiempo. Podemos definir, pues, un proceso estocástico como una familia {X (t ), t ∈ T } de variables aleatorias, clasificadas mediante un parámetro t, que varía en un conjunto T. Cada una de las variables aleatorias X(t) puede depender explícitamente del tiempo t o no; en este segundo caso, el proceso estocástico se denomina ESTACIONARIO. Si el estado en que se encuentra un proceso estocástico depende sólo del estado anterior, pero no de los anteriores a éste, estaremos ante un proceso de Markov. Cuando t toma valores discretos, diremos que el proceso estocástico es de parámetro discreto y cuando toma valores continuos, diremos que el proceso estocástico es de parámetro continuo. Proceso de Poisson Sea un sistema en el que se observa el número de veces que ocurre el suceso A, que se repite de forma aleatoria e independientemente del tiempo. Denominaremos N(t) a la variable aleatoria que indica el número de veces que el suceso A, se repite en un intervalo arbitrario de tiempo t. -Diremos que el proceso está en un estado En en el instante t>0, si el suceso A ha ocurrido exactamente n veces en el tiempo t . -Denotaremos como Pn (t ) = P[N (t ) = n] a la probabilidad de que el suceso A ocurra n veces en el tiempo t. -Es decir, Pn(t) describe la probabilidad de que el sistema, en el estado Ej en el momento h, evolucione hacia el estado Ej+n en el instante h+t. 114
  3. 3. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos Intentamos encontrar Pn(t) cuando t varía, bajo las siguientes condiciones: i)Pn(t) es independiente del origen de tiempos, es decir, es igual en el lapso (h,h+t) que en el lapso (k,k+t) ∀h,k. ii)Hipótesis de regularidad Para todo incremento de tiempo suficientemente pequeño ∆t, se cumple que: P (∆t ) = λt + Q(∆t ) es decir, la probabilidad de que el suceso A ocurra en un intervalo ∆t, pequeño, es proporcional a dicho intervalo salvo infinitésimos. iii)P0(0)=1 La probabilidad de que el suceso A ocurra cero veces en un intervalo de tiempo 0 , es 1. Pn(0)=0 ∀n≠0 La probabilidad de que el suceso A ocurra n veces en el intervalo de tiempo 0 es 0 ∀n. Estas dos condiciones, se denominan condiciones iniciales. Así las cosas, un sistema que se encuentra en el estado En, puede evolucionar en un lapso de tiempo ∆t, según dos alternativas: 1-Puede permanecer en el estado En con probabilidad 1-λ∆t 2-Puede evolucionar hacia el estado En+1 con probabilidad λ∆t Cálculo de Pn(t) No lo detallamos por incluir el cálculo de una ecuación diferencial; admitiremos simplemente que el resultado de resolver la misma, es: (λt ) n − λt Pn (t ) = e n! la distribución de probabilidad encontrada es una distribución de Poisson de parámetro λt y es por ello, que el proceso estocástico que describimos, se denomina Proceso de Poisson. Distribución del tiempo de espera en el proceso de Poisson En numerosos problemas resulta necesario conocer la distribución de los tiempos transcurridos entre dos apariciones u ocurrencias sucesivas del suceso A. Este tiempo constituye en si mismo una variable aleatoria, que denominamos Tiempo de Espera. -Supongamos, para centrar el caso, que el suceso A es una llamada telefónica y que transcurre un tiempo τ hasta producirse una nueva llamada. 115
  4. 4. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos -Lo que pretendemos es obtener la función de densidad de la variable ξ=τ. f (τ )dτ = P[τ < ξ < τ + dτ ] = P (τ ).P(dτ ) 0 1 luego (λτ )0 −λτ f (τ )dτ = e .λdτ 0! por lo que la función de densidad, quedará como: f (τ ) = λe − λτ -La variable τ , que es una variable continua, tendrá como esperanza matemática τ ∫ E (τ ) = λe − λτ dτ 0 que integrando por partes, ofrece el resultado: 1 E (τ ) = λ que denominamos tiempo medio de espera en el Proceso de Poisson. 116
  5. 5. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos SIMÉON-DENIS POISSON Se ocupó de la teoría de la probabilidad y el análisis complejo. Aplicó las matemáticas al electromagnetismo. La ley de Poisson relaciona las presiones y los volúmenes en la compresión adiabática. Nació en 1781 en Pithiviers. Inicialmente su formación se orientó hacia la cirugía, pero Poisson se dio cuenta de que no poseía condiciones para esta profesión que, por otro lado, tampoco le gustaba demasiado. Estudió en la École Polytechnique de París, donde uno de sus profesores, Lagrange, se da cuenta de la enorme creatividad matemática que el joven estudiante posee. En 1800 entra a formar parte del equipo docente de la École. Su contribución al estudio de la teoría de probabilidades se fundamenta en los resultados de Laplace. En 1838, desarrolló una fórmula para calcular la probabilidad de ocurrencia de sucesos cuando ésta es muy pequeña, que tiene gran aplicación en la práctica. A partir de esta fórmula obtuvo una distribución que lleva su nombre, y que, como más tarde se demostraría, es un caso especial de la distribución binomial o distribución de Bernoulli. Poisson estudió también el área de las matemáticas puras, siendo significativo su estudio de lo que en la actualidad se conoce como integración de contornos. Fue el primer matemático que interpretó funciones complejas a lo largo de contornos en el plano complejo. Con sus trabajos en esta materia contribuyó, en gran medida, al desarrollo del análisis complejo. Además, Poisson es célebre por sus estudios en el campo de la física matemática, donde formuló una ley, conocida como relación o ley de Poisson, sobre la teoría del calor y la elasticidad. En 1812, Poisson y George Green extendieron la teoría matemática de la gravitación a la electricidad y al magnetismo, y finalizaron también una ecuación diferencial de Laplace, convirtiendo así la electrostática en una ciencia moderna. Además, por el consejo de Laplace, Poisson utilizó los resultados que había obtenido para demostrar la fórmula de la fuerza en la superficie de un conductor cargado. De esta forma, consiguió solucionar el problema de la distribución de la carga en dos conductores esféricos separados por una distancia conocida. Fue el primer científico que resolvió esta cuestión. Más tarde, los estudios de Coulomb darían la misma solución que había obtenido Poisson. 117
  6. 6. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos En 1824, Poisson publica una memoria en la que describe la teoría de "los dos fluidos" de la electricidad con objeto de dar una explicación al magnetismo, formulando el potencial magnético en cualquier punto como la suma de las integrales del volumen y la superficie de contribuciones magnéticas. Poisson muere en 1840, siendo miembro de la Academia de Ciencias de París. 118
  7. 7. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos CADENAS DE MARKOV ¿Para qué? Para conocer el desarrollo de procesos y procedimientos que tienen lugar siguiendo una programación probabilística. 119
  8. 8. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos Cadenas de Markov Situación característica Supongamos que durante los cinco días laborables de la semana, una persona reparte su tiempo libre entre dos ocupaciones; bien sale a pescar, bien trabaja en el jardín. Nunca pasea dos días seguidos pero si un día trabaja en el jardín, es igualmente probable que realice cualquiera de las dos ocupaciones al día siguiente. -Como observamos, se trata de una situación en la que el resultado de la prueba, la ocupación del tiempo libre de un determinado día, depende exclusivamente de la tarea del día anterior. Definiciones Proceso estocástico. Es aquel que consiste en la iteración finita de un experimento, que tiene como resultado un número finito de sucesos con probabilidades dadas. Espacio de estados. Es el conjunto de resultados o sucesos posibles de cada uno de los experimentos asociados a un proceso estocástico. Cadena finita de Markov Es un experimento estocástico como el del ejemplo o situación característica, en el que se verifica que el resultado de determinada prueba o experimento, depende como mucho de la prueba anterior, pero en ningún caso de las anteriores a ésta. Para cada cadena de Markov tendremos: a) Un espacio de estados b) Para cada dos estados ai y aj , la denominada probabilidad de transición del estado i al estado j, que denotaremos como pij y que designa la probabilidad de que el estado j suceda al i. c) La matriz de transición del proceso, donde se ordenan todas las probabilidades de transición 120
  9. 9. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos  p11  . P = .  .   pn1 p1n  .   .   pnn  . . . . . . . . n ∑P ij = 1; ∀i j =1 pij ≥ 0; ∀ij Así pues, la matriz de transición es una matriz estocástica. d) El vector formado por las probabilidades del estado inicial del sistema, denominado “vector de probabilidad inicial”. P ( 0 ) = ( P1( 0) , P2( 0 ) ,......Pn( 0 ) ) ∑P i (0) =1 i Pi ≥ 0, ∀i Así pues, el vector de probabilidad inicial, es un vector estocástico. En el ejemplo característico del principio de la lección, los elementos correspondientes a la cadena de Markov, son los siguientes: -Espacio de estados: E=J,P, donde J=Trabajar en el jardín, P=Ir a pescar. -Probabilidades de transición: p11=0= Probabilidad de ir a pescar si el día anterior se pescó p12=1= Probabilidad de trabajar el jardín si el día anterior se pescó p21=1/2=Probabilidad de ir a pescar si el día anterior se trabajó el jardín p22=1/2=Probabilidad de trabajar el jardín si el día anterior ya se trabajó. -Estas pij quedan ordenadas en la siguiente matriz de transición : 1   0 P=  1 / 2 1 / 2 -El vector de probabilidad inicial, quedará como: p ( 0 ) = (1 / 2,1 / 2) 121
  10. 10. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos Probabilidad de transición en k pasos La probabilidad de que un proceso pase del estado i al estado j en k pasos, se denomina probabilidad de transición en k pasos. La representamos por p ik, j . -Las probabilidades de transición en k pasos, pueden ser ordenadas en la denominada matriz de transición en k pasos. k k  p11 p12 . p1kn    . . . .  P (k ) =   . . . .   k k k   p n1 p n 2 . p nn    Teorema: Si P es la matriz de transición de una cadena de Markov, entonces, la matriz de transición en k pasos, es la k-ésima potencia de P. P (k ) = P k Probabilidades totales La probabilidad de que el proceso se encuentre en el estado ai después de realizar k experimentos, recibe el nombre de probabilidad total o absoluta. Denotamos dicha probabilidad como Pi (k ) . -A cada prueba k, le corresponde un vector estocástico, formado por todas las probabilidades totales de esa prueba. P ( k ) = ( P1( k ) , P2( k ) ,......, Pn( k ) ) que recibe el nombre de "Distribución de probabilidades del paso k". Teorema: Sea una cadena de Markov con matriz de transición P. Dado el vector de probabilidad inicial ( P ( 0 ) = ( p1( 0 ) ,..... p n0 ) ) tenemos que p (1) = p ( 0) .P p ( 2 ) = p (1) .P = p ( 0 ) .P ² ............................... p ( k ) = p ( k −1) .P = p ( 0 ) .P k 122
  11. 11. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos Cadenas de Markov regulares Consideremos las siguientes cadenas de Markov por sus matrices de transición: 1 / 3 2 / 3 1 / 2 1 / 2 B= A=  1  0   0   1 ambas corresponden a procesos de Markov de dos estados. teniendo en cuenta el significado de pij ∀ i,j , podemos representar los siguientes "Diagramas de transición" A) B) 1/2 1/2 a1 2/3 a2 0 1 1/3 b1 b2 1 0 En el diagrama A, es posible recorrer, aunque con probabilidades diferentes, un "ciclo" entre los dos estados, a1 y a2 . En el diagrama B, por el contrario, si la transición se efectúa de b1 a b2, el proceso queda bloqueado, repitiendo indefinidamente éste último estado, ya que la probabilidad de transición del mismo al anterior, es cero. b2 en este caso, se denomina "estado absorbente". Si analizamos un proceso de Markov de tres estados, tendremos:  0 3 / 4 1/ 4 0 1 0  1 / 5  C= 0 4 / 5 D = 0 0 1    3 / 4 1 / 4 1 0 0 0      Matrices a las que corresponden los diagramas siguientes: c) 0 ¾ a1 a2 1/5 ¼ ¾ 0 ¼ a3 4/5 0 d) 0 1 b1 0 1 0 0 0 b2 0 1 b3 123
  12. 12. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos En el caso c) es posible pasar de un estado a otro sin estados absorbentes; en el caso d) también, pero en este caso, los estados se repiten periódicamente con período 3. Las cadenas y procesos de Markov de tipos C y A, se denominan “Cadenas de Markov regulares” y reciben el mismo nombre que sus matrices asociadas. Punto fijo de una matriz de transición regular Consideremos una matriz regular cualquiera: p P =  11  p21 p12  p22   buscamos un vector de probabilidad v, tal que verifique vP=v. Obviamente, v tendrá unas componentes tales que (x, 1-x) ya que la suma de las mismas debe ser 1, de manera que por la condición expuesta, debe verificarse que: p ( x,1 − x)  11  p21 p12  = ( x,1 − x) p22   Realizando el producto del primer miembro e igualando elementos, tendremos: xp11 + (1 − x) p21 = x xp12 + (1 − x) p22 = 1 − x Solucionando el sistema, obtenemos el denominado vector fijo de probabilidad asociado a la matriz P. Distribución estacionaria Teorema: Si P es una matriz de transición regular, las potencias sucesivas de P se aproximan a una matriz que tiene todas las filas iguales y que coinciden con las componentes del vector fijo de P. ( -Si consideramos el vector de probabilidad inicial P ( 0 ) = ( p1( 0 ) ,..... p n0 ) ) , sabemos que la distribución absoluta correspondiente al al paso k viene dada por la relación p(k)=p(0).Pk. Por este teorema, p(k) acabará aproximándose a v con lo que podremos afirmar: Teorema: Consideremos una cadena de Markov regular; la probabilidad de que después de un número grande de ensayos, suceda el suceso ai, es aproximadamente igual a la componente i-ésima del vector fijo de la matriz de transición del proceso. 124
  13. 13. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos Por lo tanto, las probabilidades absolutas de que ocurra un determinado estado, son independientes de las condiciones iniciales del sistema. -La distribución de probabilidad que define el vector fijo, se denomina Distribución de probabilidad estacionaria de la cadena de Markov. Cadenas absorbentes Consideremos la cadena de Markov que tiene como matriz de transición la siguiente:  2 / 3 0 1/ 3    P= 0 1 0   0 2 / 5 3 / 5   Su diagrama de transición será: 2/3 a1 a2 1/3 3/5 1 2/5 a3 -Los estados a1 y a3, pueden sucederse a si mismos, y además, es posible alcanzar al menos uno de los restantes desde ellos. Sin embargo, si el proceso está en el estado a2,permanecerá indefinidamente en dicho estado, ya que las probabilidades de transición a cualquier otro, son nulas. Los estados 1 y 3 se denominan transitorios, mientras que el estado 2, se denomina absorbente. -Una cadena de Markov que consta solamente de estados transitorios y absorbentes, se denomina cadena de Markov absorbente. -Si una cadena de Markov contiene algún estado absorbente, la fila correspondiente de la matriz de transición, constará de un 1 en la diagonal, siendo 0 el resto de los elementos de la misma. Será por lo tanto una matriz no regular. 125
  14. 14. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos Para estudiar las cadenas de Markov absorbentes, es necesario reordenar la matriz de transición de forma canónica, de manera que los estados absorbentes aparezcan en primer lugar. Generalizando, si la matriz (cadena) contiene p estados transitorios y q estados absorbentes, la matriz reordenada, presentará el aspecto siguiente:  I O Q P    Donde: I= Matriz unidad de dimensión q O=Matriz nula de dimensión qxp Q=Matriz pxq que contiene las probabilidades de paso de estados transitorios a absorbentes P=Matriz pxp que contiene la probabilidad de paso de estados transitorios a transitorios Se denomina matriz fundamental de la cadena o proceso de Markov al resultado de la operación: F = ( I − P) −1 es decir, la matriz inversa de la obtenida al restar de una matriz unidad de dimensiones nxn, la matriz P de probabilidades de paso de estados transitorios a transitorios. Teorema: Consideremos las matrices P,Q,F ya definidas, se verifica: 1) Si la cadena comienza en ai, transitorio, la probabilidad de que llegue a aj, absorbente, viene dada por el elemento ij de la matriz FQ. 2) La suma de elementos de la fila i de F, nos proporciona la media del número de veces que la cadena se mueve por estados transitorios antes de caer en uno absorbente, cuando empieza por el estado ai. 3) El elemento ij de F representa la media del número de veces que la cadena está en aj (transitorio), sabiendo que empezó en ai, antes de caer en un estado absorbente. 126
  15. 15. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos Cadenas de Markov. Problemas 1. Escogemos 5 estudiantes al azar en una clase de formada por 15 hombres y 17 mujeres y anotamos su sexo. (Sin reemplazamiento). Calcúlese: a) Probabilidad de la serie HHMMM b) Probabilidad de elegir una mujer en la tercera elección 2. Un determinado robot está programado de forma que si realiza el procedimiento A, el día siguiente efectúa el B, pero si realiza el B, entonces a continuación realiza el C. Si realizó el C, 4 de cada 10 días, de forma aleatoria, continúa con el proceso A y 6 de cada 10, con el proceso B. a) Escríbase la matriz de transición de este proceso b) Dibújese su diagrama de transición. 3. Sean los siguientes procesos estocásticos: a) Elegir 5 estudiantes al azar de una clase con 15 hombres y 17 mujeres b) Disparar 5 veces sobre una diana con probabilidad de acertar igual a 0,3 Estúdiese si se trata de procesos de Markov y en caso afirmativo, escríbase la matriz de transición 4. Lanzamos un dado normal y tras cada tirada anotamos el número más alto obtenido en dicha tirada y todas las anteriores. ¿Se tratará de un proceso de Markov? 5. En el ejercicio del robot, determínese la probabilidad de que si el robot comenzó la semana con el proceso A, la termine con el mismo proceso. Cuéntese la semana como laboral, es decir, de lunes a viernes. 6. El neón publicitario de una joyería, denominada DIAMT, tiene la siguiente secuencia de encendido: a) Las letras se iluminan hacia la derecha con probabilidad 2/3 y hacia la izquierda con probabilidad 1/3. b) Cuando se ilumina un extremo, en el paso siguiente se ilumina la letra contigua. Calcúlese la probabilidad de que se ilumine la letra I, tres pasos después de iluminarse la letra T. 7. Un conductor profesional intenta minimizar el tiempo que pasa en atascos de tráfico, mediante un sistema de tránsito por los puntos conflictivos, A, B y C. La probabilidad de que pase un día por el mismo punto que el anterior, es 1/2, 127
  16. 16. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos las probabilidades de que pase por cualquiera de los otros dos, son idénticas entre si. Escríbase la matriz de transición del proceso, y dibújese el diagrama de transición. 128
  17. 17. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos ANDREI ANDREYEVICH MARKOV Nació en Ryazan (Rusia) el 14 de junio de 1856 y murió el 20 de julio de 1922 en Petrogrado (hoy San Petersburgo). En 1906 definió por primera vez las cadenas de Markov en un artículo sobre la ley de los grandes números. Las cadenas de Markov nacen de la teoría de probabilidad. Markov nunca intentó aplicarlos a las ciencias sino que las aplicó en textos literarios, los dos estados posibles o el espacio muestral eran vocal o consonante. Hizo un estudio de la alternancia de vocales y consonantes en el libro del gran poeta ruso Pushkin titulado "Eugene Onegin". Se graduó en la Universidad de San Petersburgo en 1878. Se inició en la docencia en esa misma universidad desde 1880 a 1905. Se retiró casi a los 50 años con el fin de dar paso a matemáticos más jóvenes. Después de 1900 aplicó el método de fracciones continuadas, del que fue pionero su profesor Pafnuty Chebyshev, a la teoría de Probabilidad. Se interesó enormemente en Probabilidad, en Teoría de Números, Fracciones Continuas, Teoría de la aproximación, Series de Convergencia, Secuencia de variables mutuamente dependientes y límites de integrales. Fue un participante activo en el movimiento liberal ruso antes de la primera guerra mundial, criticó públicamente a las autoridades estatales y fue miembro de la Academia de Ciencias de su país. Tuvo un hijo que nació el 9 de septiembre 1903, y quien fue también un reconocido matemático. En 1923 Norbert Wiener fue el primero en tratar rigurosamente los Procesos de Markov Continuos. Y en 1930 Andrei Kolmogorov enuncia teorías importantes en los Procesos de Markov. 129
  18. 18. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos SERIES DE TIEMPO ¿Para qué? Para saber distinguir en la evolución temporal de un fenómeno, los factores que realmente influyen en el proceso de aquellos que afectan al mismo por cuestiones circunstanciales; se trata de un tema esencial en economía y salud. 130
  19. 19. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos Series de tiempo Descripción Una serie temporal o cronológica es una serie de observaciones de un fenómeno que varía con respecto al tiempo. Existen varios fines que justifican el estudio de las series temporales -Predecir el futuro basándose en datos pasados -Conocimiento y control del proceso que produce la serie -Tener una descripción de las características más destacables de la correspondiente serie, etc... Las magnitudes que se suelen estudiar en series temporales, se pueden dividir en dos grandes grupos -Magnitudes "stock" o nivel, aquellas que toman un valor determinado en un momento concreto. -Magnitudes "flujo", aquellas que representan el valor acumulado de una variable desde la observación anterior hasta la observación actual. Análisis de series temporales. Componentes. Para proceder a su estudio, consideraremos una serie de tiempo como resultante de las siguientes componentes: 1. Tendencia: Entendemos como tal el movimiento suave o regular de la serie, observada durante un período de tiempo suficientemente largo. Mediante la tendencia, se mide la variación media de la variable por unidad de tiempo. 2. Variaciones estacionales: Entendemos como tales los movimientos periódicos que se presentan con cierta regularidad, durante un período de observación de duración igual o inferior a 1 año. 3. Variaciones cíclicas: Son aquellos movimientos recurrentes, ya sean ascendentes o descendentes, que a diferencia de los estacionales, se extienden a períodos de tiempo superiores a 1 año. 4. Variaciones residuales: Son aquellos movimientos que no muestran un carácter periódico reconocible; los consideramos aleatorios o producidos por causas no previsibles y suponemos que son independientes entre sí, siendo su media 0. 131
  20. 20. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos Modelos para el análisis de series de tiempo Están definidos por la forma de integrar las cuatro componentes definidas anteriormente. Esquema aditivo: Parte de la hipótesis de que el valor de la serie de tiempo, está compuesto por la adición de las cuatro componentes Y=T+E+C+R Esquema multiplicativo: Considera que el valor de la serie de tiempo, está compuesto por la multiplicación de las cuatro componentes. Y=T·E·C·R El modelo aditivo debe usarse cuando la composición de tendencia y movimiento estacional, conduce a una variación de amplitud constante. El modelo multiplicativo se empleará cuando dicha composición conduzca a una variación creciente en el tiempo. Identificación de la tendencia El método multiplicativo es el más utilizado en el análisis descriptivo de series temporales y podemos afirmar que es el que mejores resultados da; de todas formas, para lograr la descomposición de la serie en 4 componentes, tendremos en primer lugar que aislar la tendencia en los valores observados. Para ello, trataremos de representarla mediante una curva suficientemente suave, lo que conseguiremos mediante: -Mínimos cuadrados -Tanteo (mano alzada) -Método de las medias móviles Tendencia Mínimo-cuadrática Determinamos la tendencia general de los datos, ajustando a los mismos una curva de mínimos cuadrados. Tendencia Lineal Elegimos representar la tendencia mediante una recta, de ecuación y=a+bt 132
  21. 21. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos Siguiendo el procedimiento de mínimos cuadrados, los coeficientes a y b se calculan resolviendo el sistema ofrecido por las siguientes ecuaciones: ∑ Y = Ta + b∑ t ∑ tY = a∑ t + b∑ t ² Donde: T = Ordinal del último dato en el tiempo ∑t =Sumatorio de los ordinales de los datos de tiempo ∑tY = Sumatorio de los productos tY, siendo Y los valores de la variable que controlamos ∑t² = Sumatorio de los cuadrados de los ordinales de los datos de tiempo. Tendencia cuadrática Pretendemos representar la tendencia mediante una función cuadrática del tipo: Y=a+bt+ct² En este caso, la identificación de los parámetros se llevará a cabo resolviendo el sistema ofrecido por las siguientes ecuaciones. ∑ Y = Ta + b∑ t + c∑ t ² ∑ tY = a∑ t + b∑ t ² + c∑ t ³ ∑ t ²Y = a∑ t ² + b∑ t ³ + c∑ t 4 Para facilitar los cálculos, se toma como origen el punto medio de los períodos abarcados, de modo que se anulen las sumas de t elevadas a exponentes impares. Con ello, las ecuaciones anteriores, quedarán reducidas a: ∑ Y = Ta + c∑ t ' ∑ t ' Y = b∑ t '² ∑ t '²Y = a∑ t '² + c∑ t ' 2 4 siendo t’= t-Pm. Despejando, tendremos: a= ∑ Y − c∑ t '² ; T b= ∑ t'Y ; ∑ t '² c= T ∑ t '²Y − ∑ t '²∑ Y T ∑ t ' − (∑ t '²)² 4 133
  22. 22. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos Tendencia exponencial En el caso de optar por ajuste exponencial, del tipo Y=abt, se reduce el problema al caso lineal mediante la utilización de logaritmos, ya que: LnY=Lna+t·Lnb Ajuste logístico de tendencia Para ajuste de series que reflejan la evolución de ciertas poblaciones e índices bursátiles, suele emplearse la función logística, que responde a la ecuación: f ( x) = 1 k + ab − x En este caso, el valor de la serie en el momento t+1 depende de los datos observados en el instante t mediante una función del tipo p(t+1)=kp(t)-kp²(t) Método de las medias móviles Se trata de un método para suavizar series temporales mediante cálculo reiterado de los valores medios, tras lo cual se aplica un método gráfico. Se intenta restar importancia a cada observación particular, promediándola con las inmediatamente inferiores y superiores; para cada instante t, tenemos un valor yt que vendrá dado por la correspondiente media de componentes predeterminados. tiempo variable media t1 y1 ................... ( y1 + y 2 + y 3 ) t2 y2 t3 y3 t4 y4 t5 y5 t6 y6 3 ( y 2 + y3 + y 4 ) 3 ( y3 + y 4 + y5 ) 3 ( y 4 + y5 + y6 ) 3 .................. Variaciones estacionales. Desestacionalización Admitiendo que el cálculo de medias móviles anula tanto la acción de las fluctuaciones estacionales como las aleatorias, y teniendo en cuenta que usamos el modelo multiplicativo, la media móvil será una estimación del producto T·C. Teniendo en cuenta que Y=T·E·C·R, el cociente Y/TC, será una estimación de de E·R 134
  23. 23. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos Para eliminar de la estimación de E·R las variaciones residuales (R) , calculamos la media de los porcentajes estacionales para cada período de tiempo (trimestres, por ejemplo) multiplicando por el correspondiente factor de proporcionalidad. -Así, el índice estacional es el cociente entre el valor observado y la media móvil correspondiente a ese dato. -La desestacionalización, consiste en dividir cada valor de la serie original, por el correspondiente valor del índice estacional. Componentes cíclicas y residuales Una vez calculada la tendencia y los índices estacionales, estamos en condiciones de aislar los componentes cíclicos. Teniendo en cuenta que asumimos el modelo multiplicativo, tendremos que: Y T ·E ·C ·R = = C ·R T ·E T ·E Las componentes residuales pueden eliminarse haciendo las medias móviles, por lo general de tamaño 3, para los valores obtenidos del producto C·R. Tendremos así una estimación de C de forma que realizando el cociente C·R/C, tendremos aislada la componente R. Predicción Al utilizar una serie para hacer predicciones, debemos asumir que el comportamiento de la serie en el pasado, determinará en cierto modo su futuro. Generalmente, para estimar comportamientos futuros se usa el método de mínimos cuadrados en cualquiera de sus variedades habituales, corrigiendo el valor de la predicción mediante desestacionalización. Autocorrelación Acontece en ocasiones, que los valores que toma una variable en el tiempo no son independientes entre si, sino que un valor determinado depende de los valores anteriores. Esta correlación entre una serie temporal y ella misma desfasada en el tiempo, recibe el nombre de autocorrelación. Para calcular valores, obramos igual que cuando manejamos dos variables o dos series, la primera es la serie en si y la segunda, ella misma desfasada en el tiempo, la denominada serie Yt-1. 135
  24. 24. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos Números índices En ciertas ocasiones, para medir variaciones relativas, interesa comparar todos los valores de la serie de tiempo con datos correspondientes a un período que denominamos “de referencia” . -El período de referencia se denomina “Período Base” y a su índice se le hace corresponder el valor 100. -A los períodos restantes, se les hacen corresponder ciertas cantidades, el cálculo de las cuales depende de que sean una o varias variables las que se tengan en consideración y los diversos criterios para establecer ponderaciones. *Respecto a su forma de cálculo, dependiendo de si se hacen para una o varias variables, se clasifican en simples y compuestos. 136
  25. 25. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos Series de tiempo. Problemas 1. Enuncia ejemplos de procesos que evolucionen en diferentes períodos temporales. 2. La venta de unidades de determinado artículo, por trimestres, durante dos años consecutivos, fueron las siguientes: Trim Uds. 1 195 2 232 3 168 4 229 5 165 6 215 7 155 8 217 a) Represéntese la serie b) Determínese la tendencia ajustando una recta por el método de mínimos cuadrados. c) Basándose en la recta anterior, calcúlense los índices de variación estacional para los cuatro trimestres. 3. Los depósitos a 31 de diciembre en la banca privada, en miles de millones de pesetas fueron los siguientes entre los años 1996 y 2001: Año Depósitos 1996 1323 1997 1459 1998 1644 1999 1838 2000 2084 2001 2263 Ajústense una recta, una parábola y una exponencial. Estímense los pasivos financieros para 2002 y compárense con los de 2001. Obviamente, los pasivos financieros, son precisamente tales depósitos. 4. Las ventas en millones de pesetas de un concesionario de automóviles, durante los últimos 10 años, fueron las siguientes: 1992 156 1993 168 1994 145 1995 132 1996 126 1997 153 1998 175 1999 189 2000 201 2001 220 2002 ? Calcula la tendencia por el método de las medias móviles de tamaño 3 y 4 y posteriormente, en ambos casos, estima las ventas para el año 2002. 137
  26. 26. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos 5. Los siguientes datos representan la cantidad de bacterias (en cientos de miles) contenidos en una cápsula de cultivo, según los días transcurridos: Días Bact. 2 3 11 4 14 10 17 15 20 23 23 38 27 50 29 530 37 900 Calcula el número de bacterias a los 50 días de cultivo. 6. Las temperaturas medias en grados centígrados, recogidas en el observatorio de un centro educativo, a lo largo de tres años, fueron las siguientes: Meses ene feb marz abr may jun jul ago sep oct nov dec 1999 5 10 16 18 18 23 27 28 20 13 9 6 2000 5 12 14 18 19 22 26 26 19 12 9 8 2001 4 13 14 17 19 21 26 28 18 11 9 7 Calcúlense los índices de variación estacional y estímese la temperatura en septiembre de 2002. 7. La depreciación de la moneda en determinado país durante el período 1985/95 fue de un 5% anual. Actualiza la siguiente serie de valores, poniéndola en moneda de 1985 : 1985 300 1986 900 1987 1200 1988 2000 1989 2500 1990 2600 1991 3000 1992 3600 1993 4000 1994 4600 1995 5100 138
  27. 27. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos GEORGE BOOLE Boole redujo la Lógica a la sencillez del Álgebra. También trabajó en ecuaciones diferenciales, el cálculo de diferencias finitas y métodos generales en probabilidad. Estudió intensamente los trabajos de Laplace y Lagrange, tomando notas que llegaron a convertirse más tarde en la base de sus primeros papeles matemáticos. Recibió estímulos importantes de Duncan Gregory (Cambridge) y del editor "Cambridge Mathematical Formal". La estimulación de Duncan Gregory fue insuficiente para hacerle estudiar oficialmente en Cambridge, y se dedicó al estudio autodidacta del Álgebra. Publicó una aplicación de los métodos algebraicos a la resolución de ecuaciones diferenciales en el Transaction of the Royal Society, recibiendo por ello la medalla de la sociedad. Boole fue nominado para una cátedra de matemática en Queens College de Cork en 1849. Enseñó allí durante el resto de su vida, ganándose una magnífica reputación como profesor. En el 1854 publicó "Una investigación de las leyes del pensamiento", en las que están basadas las teorías matemáticas de Lógica y Probabilidad. Boole agudizó la analogía entre los símbolos algebraicos y aquellos que representan formas lógicas. Comenzaba así el Álgebra de la Lógica llamada Álgebra Booleana que es la base, hoy en día, de la construcción de computadores y circuitos eléctricos El sistema de lógica de Boole es una de las muchas pruebas de genio y paciencia combinados. El proceso simbólico del álgebra, inventado como herramienta de cálculo numérico, es idóneo para expresar cada acto del pensamiento. 139
  28. 28. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos PROGRAMACIÓN LINEAL ¿Para qué? Para culminar el proceso de toma de decisiones tomando la mejor de las soluciones posibles, para minimizar costes sin afectar a la producción, para sacar el máximo rendimiento a tus ahorros con el mínimo riesgo, para sacar el mayor rendimiento a tus tierras con el menor coste de mantenimiento. 140
  29. 29. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos Programación Lineal Breve recordatorio acerca de métodos gráficos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones con dos incógnitas. Una inecuación lineal de dos variables, del tipo ax+by+c<0 (≤, ≥, >) , donde a y b son distintos de 0 y tanto a y b como c son números reales, se resuelve de la siguiente forma: -Despejamos y en función de x y sustituimos el signo de desigualdad que presente la inecuación por uno de igualdad, con o que tendremos la ecuación de una recta de la forma y=mx+n. -Dicha recta, divide al plano en dos semiplanos. -Los puntos que se encuentran sobre la recta, verifican la ecuación y=mx+n, los que se encuentran por encima de ella, verifican la inecuación y>mx+n y los que se encuentran por debajo, verifican la inecuación y<mx+n. -De manera que todas las soluciones de una inecuación lineal con dos variables, se encuentran en uno de los dos semiplanos, de los que la recta y=mx+n es la frontera. -Si la desigualdad no es estricta, entonces la recta frontera formará parte del semiplano solución. -Es interesante y necesario observar que el semiplano solución es un conjunto CONVEXO, es decir, tal que si contiene a dos puntos A y B, también contiene a todos los puntos del segmento que une dichos puntos. -Un sistema de ecuaciones tendrá como solución la región intersección de los semiplanos solución de las ecuaciones que lo componen. Programación lineal La programación lineal consiste en optimizar, ya sea llevando al máximo o al mínimo, una función lineal que denominamos función objetivo sujeta a un conjunto de restricciones expresadas mediante un conjunto de inecuaciones. Enunciamos: Un problema de programación lineal de dos variables, consiste en: 1. Optimizar una función lineal de dos variables B = ax + by denominada función objetivo 2. Sometida a un conjunto de restricciones dado por un sistema de ecuaciones 141
  30. 30. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos a1 x + b1 y ≤ c1 a 2 x + b2 y ≤ c 2 ....................... ....................... a n x + bny ≤ c n 3. Para resolver el problema gráficamente, seguimos los siguientes pasos: -Agrupamos los datos en una tabla -Definimos la función objetivo -Representamos el conjunto solución de las restricciones lo que resultará en una región convexa que denominaremos “Región factible”, cada uno de cuyos puntos, será una “Solución factible”, ya que satisfarán todas las restricciones. 4. Representamos la función objetivo para B=0 y a continuación, trazando rectas paralelas a la misma, determinamos aquella de mayor ordenada al origen, que corte a la región factible en algún punto. Dicho punto de corte nos da la solución óptima. 5. Esta última fase puede obviarse, ya que puede demostrarse que la solución ha de encontrarse necesariamente en uno de los vértices de la región factible; por lo tanto, basta con ensayar la función objetivo en los vértices de la región factible y elegir aquel de ellos que ofrezca el máximo valor. Casos especiales: - La intersección de la función objetivo (recta) y la región factible, resulta ser todo un segmento en lugar de un punto. Tendremos en este caso, infinitas soluciones óptimas. - La región factible resulta vacía. En este caso, no existirá solución óptima. - La región factible es “no limitada” de forma que no resulta posible encontrar un valor que maximice la función objetivo. En este caso, será posible encontrar un valor que la minimice. Puede demostrarse igualmente que si una región factible no es acotada y existe un valor que la maximice o minimice la función objetivo, éste se encuentra en un vértice de la región. 142
  31. 31. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos El problema Dual Un problema de programación lineal y su dual, se caracterizan como: Problema Original Maximizar..B = px + qy Con..las..restricciones Problema Dual Minimizar...C = rx + sy Con...las..restricciones x, y ≥ 0 ax + by ≤ r cx + dy ≤ s x, y ≥ 0 ax + cy ≥ p bx + dy ≥ q Observamos que: -Un problema con función objetivo maximizar, se convierte en otro con función objetivo minimizar. -Los coeficientes de la función objetivo y los términos independientes de las restricciones, se intercambian entre sí. -Los sistemas de inecuaciones invierten los signos de desigualdad. -Las matrices de los sistemas de inecuaciones son traspuestas. Se puede probar que: Si un problema de programación lineal tiene solución óptima, entonces su problema dual también la tiene y ambas soluciones coinciden. El problema general de programación lineal El problema general de programación lineal, viene dado como sigue: Maximizar la función objetivo F(x1,x2,x3,......xn)=c1x1+c2x2+......+cnxn de manera que verifique el sistema de restricciones: a11x1+a12x2+.........+a1nxn≤ b1 ............................................. am1x1+am2x2+.........+amnxn≤ b1 donde x1,x2,......,xn,b1,b2,..........bm≥0 -La idea de la resolución gráfica está descartada de antemano por ser necesaria una representación en un espacio m-dimensional. Esta limitación, llevó en los años 40 a G.Danzig a idear un método, que mediante operaciones aritméticas elementales, conduce a una solución del problema de programación lineal, independientemente del número de variables que contenga. Su justificación teórica es 143
  32. 32. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos excesiva para el nivel de este texto y no la mostraremos. Diremos que se conoce como Método Simplex y lo revisaremos mediante un ejemplo. Problema-Tipo Sea la función a maximizar B=40x+60y y sean las restricciones: x≥0 y≥0 2x+y ≤ 180 x+2y ≤ 160 x+y ≤ 100 Solución: Comenzamos por expresar las restricciones como ecuaciones; para compensar las desigualdades, deberemos añadir a cada inecuación una cantidad no negativa 2x+y+r=180 x+2y+s=160 x+y+t =100 Las variables originales x e y se denominan variables estructurales, mientras que las añadidas, r, s y t se denominan variables de holgura. Re-escribimos la función objetivo como -40x-60y+B=0, y la añadimos al sistema formado por las ecuaciones de restricción. Obtenemos así el siguiente sistema: = 180  2x + y + r  x + 2y +s = 160   + t = 100  x+ y − 40 x − 60 y +B =0  que puede resumirse en una matriz 4x6 que denominamos Tabla Simplex x y r 2 1 s 1 2 t 1 1 B − 40 − 60 r 1 0 0 0 s 0 1 0 0 t B 0 0 180 0 0 160 1 0 100 0 1 0 144
  33. 33. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos -Se puede observar que separamos mediante líneas discontinuas los coeficientes dados por la función objetivo y la columna de términos independientes. Sabemos que una solución factible del problema, es x=0, y=0; para estos valores, en el sistema de ecuaciones, obtenemos r=180, s=160, t=100 y además B=0. Esta solución obtenida de forma trivial, recibe el nombre de solución factible básica, denominándose variables no básicas aquellas que resultan tener valor cero en esta solución. -El método simplex, consiste en intentar sustituir una variable básica por otra no básica, de forma que la nueva solución factible, mejore la función objetivo, aumentándola en cada caso, o al menos no disminuyéndola. -El proceso se realiza siguiendo el esquema siguiente: Variable Saliente PIVOTE x y r 2 1 s 1 2 t 1 1 B − 40 − 60 Variable entrante Cocientes: 180:1=180 160:2=80 100:1=100 r 1 0 0 0 s 0 1 0 0 t B 0 0 180 0 0 160 1 0 100 0 1 0 Indicadores Menor cociente De entre los números enmarcados en la última fila, denominados indicadores, elegimos el de mayor valor absoluto (-60) La variable correspondiente en la "sobrefila" superior, será la variable entrante (y) A continuación, dividimos los términos independientes de la columna a la derecha de la línea punteada, por los correspondientes de la columna de la variable entrante que sean positivos. El elemento que ofrezca el menor cociente indicará el elemento pivote y nos dará (por coordenadas) la variable saliente. Operamos las filas de la matriz, hasta conseguir que nos quede un 1 en el elemento pivote y se hagan ceros los restantes elementos de la columna de la variable entrante. 145
  34. 34. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos - Sustituimos, además, la variable saliente por la variable entrante - En nuestro ejemplo, tendremos: x r 3/ 2 y 1/ 2 t 1/ 2 B − 10 y 0 1 0 0 r s 1 − 1/ 2 0 1/ 2 0 − 1/ 2 0 30 t B 0 0 100 0 0 80 1 0 20 0 1 4800 Si todos los indicadores fuesen no negativos ya tendríamos la solución óptima, que se encontraría en el elemento que ocupase la última fila y última columna. Si existen indicadores negativos, debemos recomenzar el proceso, teniendo en cuenta para nuestro cómputo, exclusivamente dichos indicadores negativos. En el paso anterior, ya contamos con una solución aproximada, que se lee de izquierda a derecha, y que sería: x=0; y=80; r=100; s=0; t=20; B=4800 - Repitiendo el proceso, tendremos: x y r s r 3 / 2 0 1 − 1/ 2 y 1/ 2 1 0 1/ 2 t 1/ 2 0 0 − 1/ 2 B − 10 0 0 30 Variable entrante Cocientes: 100:3/2= 150 80:1/2= 160 20:1/2= 40 t B 0 0 100 0 0 80 1 0 20 0 1 4800 PIVOTE Variable saliente Menor cociente A continuación, sustituimos la variable t por x y procedemos a dejar a cero todos los elementos de la columna de la variable x, salvo el elemento (x,x), que debe quedar en 1. En nuestro caso ejemplo.: 146
  35. 35. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos x r 0 y 0 x 1 B 0 y 0 1 0 0 r s t B 1 1 −3 0 40 0 1 −1 0 60 0 −1 2 0 40 0 20 20 1 5200 Al no tener ningún indicador negativo en el recuadro inferior, consideramos terminado el proceso, siendo los valores óptimos alcanzados, los siguientes: x=40; y=60; r=40; s=0; t=0; B=5200. 147
  36. 36. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos Programación lineal. Problemas 1. Un campesino planta trigo y cebada en varios campos. Para sembrar y recolectar una hectárea de trigo, necesita una hora de ayuda del trabajador A y dos del trabajador B. Para sembrar y recolectar una hectárea de cebada, necesita una hora y media del trabajador A y una hora del trabajador B. Adicionalmente, cada hectárea requiere que el campesino le dedique una hora personalmente. El campesino dispone de 8 horas diarias para supervisar todos los campor. Tanto el trabajador A como el B, trabajan un máximo de 9 horas diarias. El trabajador A cobra 800 ptas la hora y el trabajador B 600. La Ha. de trigo, le proporciona un ingreso de 5200 ptas diarias y la de trigo 3800. El alquiler, seguro y cuidado de los campos, le supone 400 ptas por Ha. ¿Cuántas Has. de cada clase debe sembrar el campesino para obtener el mayor beneficio posible. ¿Cuánto será dicho beneficio? ¿Cuánto gana el campesino por su hora de supervisión? 2. Maximizar la función z=2x1+x2 , con las restricciones: a) x1 + 2 x 2 ≤ 8 b) x1 + x 2 ≤ 5 c) 2 x1 + x 2 ≤ 9 d) x1 , x 2 ≥ 0 3. Maximizar la función z=2x1-x2 , con las restricciones a) 2 x1 + 3 x 2 ≤ 12 b) 2x1 = 3 x 2 c) x1 , x 2 ≥ 0 4. Maximizar la función z=700 x1+900 x2 con las restricciones: a) 2 x1 + x 2 ≤ 22 b) x1 + 2 x 2 ≤ 26 c) x1 ≤ 12 d) x 2 ≤ 12 e) x1 , x 2 ≥ 0 148
  37. 37. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos PROGRAMACIÓN LINEAL CON EXCEL ¿Para qué? Para resolver con extrema facilidad problemas simples y complejos de programación lineal, de forma completamente automatizada y fiable. 149
  38. 38. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos Programación Lineal con Excel La hoja de cálculo Excel, incluida en el paquete Office de Microsoft, posee en su menú Herramientas el comando Solver, que permite resolver problemas de programación lineal en forma sencilla. La explicación de su forma de utilización resulta también sencilla si se sigue el orden lógico de desarrollo del modelo matemático del problema, lo que haremos a continuación con un ejemplo numérico: En una fábrica se producen tres productos distintos, A, B y C, empleándose para ello dos tipos de materia prima, MP1 y MP2. El producto A consume 0,4 m² de MP1 y 0,3 m² de MP2; el producto B, 0,2 m² de MP1 y 0,2 m² de MP2; y el producto C, 1 m² de MP1 y 0,6 m² de MP2. La fabricación de cada unidad del producto A requiere la utilización de 4 horashombre de mano de obra; la del producto B, de 2 h-h; y la del producto C, de 6 h-h. Para la producción del próximo mes se dispone de 200 m² de MP1, 120 m² de MP2 y 1000 h-h de mano de obra. Además, en ese mes se deben cumplimentar pedidos de clientes de 50 unidades del producto A, 250 unidades del producto B y 40 unidades del producto C; el Departamento de Ventas estima, además, que se pueden vender todas las unidades excedentes que se fabriquen. La venta de cada unidad del producto A produce un beneficio de 30 euros; la del producto B, un beneficio de 12 euros; y la del producto C, un beneficio de 38 euros. Nuestra misión es decidir cuántas unidades de cada producto deben fabricarse durante el próximo mes, para que se obtenga el máximo beneficio. Los datos detallados se pueden agrupar en el siguiente cuadro: PRODUC TO A B C Totales PEDIDOS MP1 MP2 M.OBRA 50 250 40 0.4 0.2 1.0 200 0.3 0.2 0.6 120 4 2 6 1000 BENEFICI O 30 12 38 MAX. 150
  39. 39. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos 1.- IDENTIFICACION DE LAS VARIABLES DE DECISION Las variables de decisión, cuyos valores se deben determinar, son las cantidades de unidades a fabricar de cada producto durante el próximo mes, que se llamarán: X1 : la producción de A X2: la producción de B X3 : la producción de C .2.- FORMULACION DE LA FUNCION OBJETIVO Los valores de X1 , X2 y X3 deben ser tales que produzcan el máximo beneficio total , que se expresará como: z = 30(eur / ud .)· X 1 + 12(eur / ud .)· X 2 + 38(eur / ud )· X 3 Ecuación que es por supuesto homogénea dimensionalmente, con todos los términos en euros. 3.- DEFINICION DE LAS RESTRICCIONES Las cantidades totales que se consumirán de cada una de las materias primas, no pueden ser mayores que las cantidades disponibles, es decir: r1 : MP1 : 0,4(m² / ud )· X 1 (ud ) + 0,2(m² / u )· X 2 (ud ) + 1(m² / ud )· X 3 ≤ 200m² r 2 : MP2 : 0,3(m² / ud )· X 1 (ud ) + 0,2(m² / u )· X 2 (ud ) + 0.6(m² / ud )· X 3 ≤ 120m² r 3 : MO : 4(hh / ud )· X 1 (ud ) + 2(hh / ud )· X 2 (ud ) + 6(hh / ud )· X 3 (ud ) ≤ 1000(hh) Las tres desigualdades son homogéneas, en m² las dos primeras y en hh la última. Por otra parte, las cantidades de unidades a fabricar no pueden ser menores que las cantidades de pedidos pendientes, de modo que se imponen también las restricciones siguientes: r4: Pedidos de A: X1≥ 50 (u) r5: Pedidos de B: X2≥250 (u) r6: Pedidos de C: X3 ≥40 (u) 151
  40. 40. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos 4.- CONDICION DE NO NEGATIVIDAD Por último, debe tenerse en cuenta que sólo tienen sentido en el problema real los valores positivos de las variables de decisión, es decir, que deben ser: X1 ≥0 X2 ≥0 X3 ≥0 5.- MODELO MATEMATICO En resumen, se ha obtenido el siguiente modelo matemático del problema: Función objetivo: Maximizar z = 30 X + 12 X + 38 X Sujeto a las restricciones: r1: MP1 0,4 X1 + 0,2 X2 + 1 X3 ≤ 200 r2: MP2 0,3 X1 + 0,2 X2 + 0,6 X3 ≤ 120 r3: M. O. 4 X1 + 2 X2 + 6 X3 ≤1000 r4: Pedidos de A X1 ≥ 50 r5: Pedidos de B X2≥250 r6: Pedidos de C X3≥ 40 Condiciones de no negatividad: X1 ≥ 0 X2≥ 0 X3 ≥ 0 FORMULACION DEL PROBLEMA EN EXCEL La formulación del problema en Excel se puede realizar en la siguiente forma: 1) Abrir una hoja de cálculo y emplazar las variables de decisión, así como la función objetivo y las restricciones, en una columna ( por ejemplo la A , previamente ensanchada) , siguiendo el orden del modelo matemático. 152
  41. 41. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos Las condiciones de no negatividad se ingresarán más adelante. Queda, entonces: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A Variables de decisión: X1 : Producción de A X2 : Producción de B X3 : Producción de C Función objetivo z Restricciones: r1 : MP1 r2 : MP2 r3 : M. O. r4 : Pedidos de A r5 : Pedidos de B r6 : Pedidos de C B C 2) Asignar valores arbitrarios a las variables (que pueden ser ceros) ingresándolos en la columna B , frente a cada una de ellas . Las celdas ocupadas por estos valores, que variarán luego, se denominan "Celdas cambiantes". 3) Registrar en la columna B, frente a z, anteponiéndole el signo igual, la fórmula de la función objetivo , pero colocando en lugar de las variables de decisión los nombres de las celdas cambiantes que ocupan cada una de ellas, e indicando el producto de cada coeficiente por su variable . Es decir, en lugar de = 30 X1 + 12 X2 + 38 X3 se coloca: = 30*B2 + 12*B3 + 38*B4 4) Registrar en la columna B, ensanchada previamente si es necesario, frente a cada restricción, su respectiva fórmula, siempre anteponiéndole el signo igual y en función de los nombres de las celdas cambiantes. 153
  42. 42. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos Hasta aquí, la hoja ha tomado la siguiente forma : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A Variables de decisión X1 : Producción de A X2 : Producción de B X3 : Producción de C Función objetivo z Restricciones r1 : MP1 r2 : MP2 r3 : M. O. r4 : Pedidos de A r5 : Pedidos de B r6 : Pedidos de C B C 0 0 0 = 30*B2 + 12*B3 + 38*B4 = 0,4*B2 + 0,2*B3 + 1*B4 = 0,3*B2 + 0,2*B3 + 0,6*B4 = 4*B2 + 2*B3 + 6*B4 = B2 = B3 = B4 5) Hacer clic en el Menú Herramientas y en el comando Solver incluido en dicho menú. 6) En el cuadro de diálogo "Parámetros de Solver" que aparecerá, registrar: - en "Celda objetivo”, el nombre de aquélla donde se anotó la fórmula de z , en este caso $B$6 (los signos $ identifican celdas absolutas). - en "Valor de la celda objetivo”, aquél que se busca: Máximo, Mínimo, o un valor determinado. En este caso, se hace clic en el círculo de Máximo. (Ver el cuadro más abajo). - en "Cambiando las celdas”, los nombres de las celdas cambiantes: $B$2; $B$3; $B$4. O bien: $B$2: $B$4 (que Excel interpreta como "desde $B$2 hasta $B$4) El cuadro de diálogo "Parámetros de Solver" queda, hasta aquí, de esta forma: 154
  43. 43. ____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos Parámetros de Solver Celda objetivo: $B$6 Resolver Valor de la celda objetivo: Cerrar Máximo Mínimo O Valor de. 0 Cambiando las celdas: $B$2: $B$4 Estimar Sujetas a las siguientes restricciones Opciones 1) Agregar 2) Restablecer todo 3) Cambiar 4) Eliminar ---- Ayuda 7) Para anotar las restricciones, hacer clic en "Agregar”. Aparece el cuadro de diálogo "Agregar restricción" 155

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