ELE2611 Classe 9 - Notions d'électrotechnique

1. Introduction ELE2611 - Circuits Actifs 3 credits, heures/semaine: 4 - 0 - 5 https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756 Cours 9 - Notions d’´electrotechnique Instructeur: Jerome Le Ny jerome.le-ny@polymtl.ca Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 1/48

2. Introduction Motivation pour ce cours Dans le cours 9, nous introduisons des notions de base pour l’analyse des réseaux électriques (électrotechnique), que vous poursuivrez dans le cours ELE3400. Un réseau électrique est un système, généralement complexe, fonctionnant normalement en régime permanent sinuso¨ıdal (RPS), à une fréquence fixe. Nous discutons tout d’abord le concept de puissance en RPS, qui est la quantité fondamentale pour l’analyse des réseaux électriques. Puis nous introduisons un nouveau composant de base, les bobines (magnétiquement) couplées. Ce composant est utilisé couramment en communications et dans les équipements de mesure. Mais surtout, les transformateurs sont des types de bobines couplées cruciaux dans les réseaux électriques pour changer le niveau de tension, par exemple pour faire le lien entre les stations et les consommateurs. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 2/48

3. Introduction Les R´eseaux ´Electriques Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 3/48

4. Introduction Le cas d’Hydro-Qu´ebec Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 4/48

5. Introduction Outline Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Grandeurs pour les signaux sinuso¨ıdaux Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Fourniture d’électricité et correction du facteur de puissance Transfert maximal de puissance Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Analyse des circuits couplés Transformateurs Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 5/48

6. Introduction Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Grandeurs pour les signaux sinuso¨ıdaux Outline Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Grandeurs pour les signaux sinuso¨ıdaux Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Fourniture d’électricité et correction du facteur de puissance Transfert maximal de puissance Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Analyse des circuits couplés Transformateurs Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 6/48

7. Introduction Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Grandeurs pour les signaux sinuso¨ıdaux Grandeurs pour les signaux périodiques (rappel du cours 5) Signal périodique de période T : f (t) = f (t + T) pour tout t Valeur maximale fmax, Valeur crête à crête Valeur moyenne (constante) : fm = 1 T t0+T t0 f (τ)dτ Exercice : montrer que la définition ne dépend pas du choix de t0 Exercice : valeur moyenne de sin(ωt + φ), cos(ωt + φ) ? Valeur efficace (ou moyenne quadratique, ou RMS = Root Mean Square) feff = 1 T t0+T t0 f 2(τ)dτ Exercice : montrer que la définition ne dépend pas du choix de t0 Applications : Intensité et tension efficaces (ex : 120V RMS à la prise). Pourquoi pas moyennes ? Puissance moyenne. On ne parle pas de puissance efficace. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 7/48

8. Introduction Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Grandeurs pour les signaux sinuso¨ıdaux Relations entre fmax et feff (rappel du cours 5) Soit un signal f de période T, symétrique par rapport à l’axe du temps f (t) = fmax g(t), g T-périodique, symmétrique, gmax = 1. On a feff = 1 T T 0 f 2 max g2(τ)dτ = fmax geff Applications (calculs de geff en exercice) : g(t) sinuso¨ıde (g(t) = sin(ωt + φ)) → feff = fmax √ 2 C’est le cas qui nous intéresse pour le RPS g(t) signal triangulaire → feff = fmax / √ 3. g(t) signal carré → feff = fmax . Exemple : Calculer Vmax si Veff = 120V en RPS. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 8/48

9. Introduction Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Grandeurs pour les signaux sinuso¨ıdaux Motivation pour les tension et courants effectifs (rappel du cours 5) Soit une résistance R parcourue par : cas 1) un courant continu I et cas 2) un courant alternatif i(t). Puissance moyenne dissipée dans la résistance : cas 1 : Pcc = RI2 cas 2 : Pca = 1 T T 0 Ri(t)2 dt = RI2 eff Ieff est donc la valeur de l’intensité continue qui contribuerait à la même puissance dissipée dans la résistance. Idem pour Veff . Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 9/48

10. Introduction Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Outline Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Grandeurs pour les signaux sinuso¨ıdaux Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Fourniture d’électricité et correction du facteur de puissance Transfert maximal de puissance Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Analyse des circuits couplés Transformateurs Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 10/48

11. Introduction Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Phaseurs sinuso¨ıdaux (rappels) Pour l’étude d’un circuit linéaire stable, en régime permanent sinuso¨ıdal Durée des transients ≈ 4/| [pôle le plus à droite]—. En RPS, tous les signaux oscillent à la même fréquence que la source. Choix d’un signal de référence par rapport auquel on mesure les phases, par ex. la source vs (t) = Vs cos(ωt) (choix d’un temps t = 0) Phaseur : x(t) = X cos(ωt + φ) = Re[X ejωt+jφ ] ↔ X = X ejφ Utilité pour les calculs pratiques en RPS : impédances complexes Z = V I L’amplitude et phase des signaux aux bornes d’un composant (en RPS) sont des fonctions de la fréquence M(ω), φ(ω) Dans l’analyse des circuits dédiés à la manipulation d’information (ex : filtrage) on s’intéresse généralement à la réponse en fréquence d’un circuit. Dans les circuits dédiés au transport de l’énergie électrique, on travaille normalement avec une fréquence unique (50 Hz ou 60 Hz), qui peut alors être omise de la notation des phaseurs et des impédances complexes. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 11/48

12. Introduction Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Diagramme de phaseurs (rappels) Un phaseur est un nombre complexe, ou de manière équivalente un vecteur dans R2 Application : addition de sinuso¨ıdes de même fréquence v3(t) = V1 cos(ωt + φ1) + V2 cos(ωt + φ2) v3(t) = Re[(V1 + V2)ejωt ] = Re[V3ejωt ] = Re[|V3|ej(ωt+∠V3) ] v3(t) = |V3| cos(ωt + ∠V3), avec V3 = V1 + V2 → Il suffit d’additioner les phaseurs < = !t 1 V1 V2 V3 Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 12/48

13. Introduction Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Puissance moyenne en RPS + - V I Z = V/I Situation typique : source alimentant un circuit d’impédance Z Puissance instantanée (en RPS) fournie à la charge p(t) = v(t)i(t) = Vmax cos(ωt + φV ) Imax cos(ωt + φI ) = VmaxImax 2 (cos(2ωt + φV + φI ) + cos(φV − φI )) ⇒ Puissance moyenne P ou puissance réelle ou puissance active : P = VmaxImax 2 cos(φV − φI ) = Veff Ieff cos(φV − φI ) cos(φV − φI ) : facteur de puissance. Pour les calculs de puissance en RPS, il est aussi pratique de définir les phaseurs RMS ou effectif : Xeff = X √ 2 ↔ Xeff ejφ → P = Re[Veff I∗ eff ] Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 13/48

14. Introduction Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Puissance complexe Les phaseurs sont utiles pour calculer les échanges de puissance en RPS Définition : puissance complexe S = V I∗ 2 = Veff I∗ eff = VmaxImax 2 e(j(φV −φI )) = Veff Ieff e(j(φV −φI )) Puissance moyenne : P = Re[S] = Veff Ieff cos(φV − φI ). Unités de P : le watt (W). Puissance réactive : Q = Im[S] = Veff Ieff sin(φV − φI ). Due à l’échange d’énergie entre source et charge, uniquement présente si la charge est capacitive ou inductive. Unités de Q : le volt-ampère-réactif (VAR). Puissance apparente : |S| = Veff Ieff = √ P2 + Q2. Unités de |S| : le volt-ampère (VA). Les unités différentes pour ces puissances mettent en valeur leurs impacts physiques différents. Par exemple, la puissance instantanée maximale dans le réseau est ≤ 2|S| donc la puissance apparente peut aider à dimensionner les équipements comme transformateurs. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 14/48

15. Introduction Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Somme des puissances dans un circuit Propriété : La somme des puissances complexes délivrées aux composants d’un circuit est 0 (en incluant les sources) : k∈composants Vk I∗ k 2 = 0. Même chose donc pour les puissances moyennes et les puissances réactives (en prenant la partie réelle et imaginaire). Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 15/48

16. Introduction Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Triangles des impédances et des puissances Impédance complexe Z = R + jX, avec R = résistance, X = réactance. Z = V I = VmaxejφV ImaxejφI = Vmax Imax exp (j(φV − φI )) = Vmax Imax (cos(φV − φI ) + j sin(φV − φI )) = R + jX, Comparant avec S = Veff Ieff e(j(φV −φI )) , on a ∠Z = ∠S = θ = φV − φI . φV − φI est l’angle de phase ou angle d’impédance, déphasage entre tension et courant. Z |Z| R X S |S| P Q < < == ✓ = V I ✓ ✓ Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 16/48

17. Introduction Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Calculs de puissance et impédances complexes Impédance complexe Z = R + jX, avec R = résistance, X = réactance. Admittance complexe Y = 1/Z = G + jB, avec G = conductance, B = susceptance. La puissance complexe délivrée à Z peut s’exprimer en termes de l’impédance S = V I∗ 2 = Z I I∗ 2 = Z |I|2 2 = ZI2 eff = I2 eff (R + jX). ou S = V I∗ 2 = V V∗ 2Z∗ = Y ∗ V 2 eff = V 2 eff (G − jB). Puissance moyenne P = RI2 eff = GV 2 eff . Puissance réactive Q = XI2 eff = −BV 2 eff . Puissance apparente |S| = √ R2 + X2I2 eff = √ G2 + B2V 2 eff . Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 17/48

18. Introduction Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Exemples d’échange de puissance Résistance : Z = R∠0 ⇒ θ = 0. P = V 2 eff /R > 0, Q = 0. Consomme de la puissance active seulement, pas réactive. Bobine : Z = jωL = ωL∠π/2 ⇒ θ = π/2. P = 0, Q = ωLI2 eff = V 2 eff ωL > 0. La bobine restitue toute l’énergie qu’elle re¸coit en moyenne. Elle consomme en moyenne de la puissance réactive. Condensateur : Z = 1 jCω = 1 Cω ∠ − π/2 ⇒ θ = −π/2. P = 0, Q = −ωCV 2 eff < 0. Le condensateur restitue toute l’énergie qu’il re¸coit en moyenne. Il produit en moyenne de la puissance réactive. Résistance et bobine en série : Z = R + jLω → θ = tan−1 (Lω/R) > 0, P = RI2 eff , Q = ωLI2 eff . Résistance et condensateur en parallèle : Y = G + jCω, θ = − tan−1 (Cω/G) < 0, P = GV 2 eff , Q = −ωCV 2 eff . Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 18/48

19. Introduction Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Fourniture d’électricité et correction du facteur de puissance Plan pour ce cours Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Grandeurs pour les signaux sinuso¨ıdaux Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Fourniture d’électricité et correction du facteur de puissance Transfert maximal de puissance Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Analyse des circuits couplés Transformateurs Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 19/48

20. Introduction Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Fourniture d’électricité et correction du facteur de puissance Considérations sur la puissance réactive Dans un réseaux électrique, il y a à la fois des moteurs (mettant en jeux des inductances) et des lignes de transmission (résistances et inductances). Il y a donc beaucoup de puissance réactive consommée dans le réseau. Par la conservation de la puissance réactive, celle-ci doit être générée quelque part. Si cette puissance réactive est générée loin du lieu de consommation, elle doit être transportée, ce qui augmente la puissance apparente, et ainsi la taille des courants dans les lignes de transmission → pertes ohmiques accrues et chutes de tension en allant vers les centres de consommation. Deux actions sont généralement prises pour corriger cette situation : Exiger des gros consommateurs industriels de “corriger leur facteur de puissance”, i.e., mettre en parallèle de leurs charges des capacités de taille adéquate pour générer la puissance réactive nécessaire. Ces capacités ne tirent pas de puissance active et ne changent donc pas la consommation facturée à l’industriel, mais ajustent l’angle d’impédance per¸cu par la compagnie d’électricité. Introduire périodiquement le long des lignes de transmission/distribution des capacités pour la compensation. Nous mettons maintenant ce problème en équations. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 20/48

21. Introduction Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Fourniture d’électricité et correction du facteur de puissance Facteur de puissance et angle de phase (rappels) Facteur de puissance (f ) d’un composant d’impédance Z f = Puissance moyenne Puissance apparente = P |S| = cos(φV − φI ) ⇒ P = f |S|. Angle de phase θ = φV − φI . θ et −θ donnent le même facteur de puissance. Pour θ > 0 (composant inductif) : on dit que le f.p. est en retard (lagging power factor). Le courant est en retard sur la tension. Pour θ < 0 (composant capacitif) : on dit que le f.p. est en avance (leading power factor). Le courant est en avance sur la tension. Exemple : un f.p. de 0.8 en retard correspond à θ = cos−1 (0.8) = 36.87◦ . un f.p. de 0.8 en avance correspond à θ = − cos−1 (0.8) = −36.87◦ . Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 21/48

22. Introduction Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Fourniture d’électricité et correction du facteur de puissance Facteur de puissance et fourniture d’électricité = + H.Q. vs(t) = A cos !t charge du client / abonné Z = R + j X Ligne de transmission R1/2 R1/2 L1/2 L1/2 v(t) = Vm cos(!t + V ) + - i(t) = Im cos(!t + I) Sont fixés : R1, L1 pour la ligne de transmission. Tension Veff (ou Vm) et puissance active P requises par le client. Ligne : Impédance Z1 = R1 + jωL1. Puissance active absorbée P1 = I2 eff R1. On a P = Veff Ieff f ⇒ Ieff = P/(fVeff ), requise par le client. Donc P1 = R1P2 V 2 eff 1 f 2 Il faut donc avoir f le plus proche possible de 1 (φV = φI , charge purement résistive) pour limiter les pertes P1 pour H.Q. H.Q. impose aux consommateurs (industriels) un facteur de puissance suffisamment élevé, ou pénalise sur la facture. Permet de diminuer Ieff . Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 22/48

23. Introduction Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Fourniture d’électricité et correction du facteur de puissance Correction du facteur de puissance Problème de correction du f.p. pour le client : diminuer |Q| (et donc |S|), sans changer P. Solution : Mettre une impédance en parallèle de la charge pour compenser sa réactance. = + H.Q. vs(t) = A cos !t charge du client / abonné Z = R + j X Ligne de transmission R1/2 R1/2 L1/2 L1/2 v(t) = Vm cos(!t + V ) + - i(t) = Im cos(!t + I) compensation Z |Z| R X S |S| P Q < < == ✓ = V I ✓ ✓ f.p. f = cos θ ≈ 1 désiré (i.e., charge ∼ résistive) Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 23/48

24. Introduction Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Fourniture d’électricité et correction du facteur de puissance Correction du facteur de puissance : analyse Charge initiale : Z = R + jX = |Z|ejθ ↔ Y = 1 |Z| e−jθ = G + jB. N.B. : − tan θ = B G . Compensation Z1 ↔ Y1 = 1 Z1 . Charge totale : Yc = Y + Y1. Pour maintenir P constant, il faut Y1 = jB1 ↔ Z1 = jX1 (compensation purement capacitive ou inductive). f ↔ θ : p.f. initial. fc ↔ θc : p.f. désiré après correction. On veut Yc = G + j(B + B1) ⇒ B + B1 G = − tan θc B1 = −G tan θc − B = G(tan θ − tan θc ) = R R2 + X2 (tan θ − tan θc ) Typiquement B1 = ωC1 Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 24/48

25. Introduction Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Fourniture d’électricité et correction du facteur de puissance Exemple On considère une charge industrielle consommant 300 kVA, avec un facteur de puissance de 0.75 en retard. Cette charge est alimentée par une source alternative de tension de 600 V rms à 60 Hz. Calculer S, I et Z pour cette charge. Calculer la valeur du condensateur nécessaire pour ramener le facteur de puissante à 0.9 en retard. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 25/48

26. Introduction Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Transfert maximal de puissance Plan pour ce cours Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Grandeurs pour les signaux sinuso¨ıdaux Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Fourniture d’électricité et correction du facteur de puissance Transfert maximal de puissance Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Analyse des circuits couplés Transformateurs Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 26/48

27. Introduction Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Transfert maximal de puissance Transfert maximal de puissance = + Zs ZL + - V + - VL I Puissance délivrée à la charge P = Re[VL,eff I∗ eff ] = Re ZL Zs + ZL Veff 1 Z∗ s + Z∗ L V∗ eff = Re[ZL] |Zs + ZL|2 V 2 eff P = RL (Rs + RL)2 + (Xs + XL)2 V 2 eff . Maximum de puissance transférée atteint pour XL = −Xs ⇒ P = RL (Rs + RL)2 V 2 eff dP dRL = 0 ⇒ RL = Rs donc ZL = Z∗ s et Pmax = V 2 eff 4Rs Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 27/48

28. Introduction Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Outline Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Grandeurs pour les signaux sinuso¨ıdaux Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Fourniture d’électricité et correction du facteur de puissance Transfert maximal de puissance Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Analyse des circuits couplés Transformateurs Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 28/48

29. Introduction Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Analyse des circuits couplés Outline Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Grandeurs pour les signaux sinuso¨ıdaux Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Fourniture d’électricité et correction du facteur de puissance Transfert maximal de puissance Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Analyse des circuits couplés Transformateurs Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 29/48

30. Introduction Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Analyse des circuits couplés Bobine simple (rappel) the change in flux linkage, λ, which produces it (Lenz’s Law). T between the voltage and the changing flux linkage is Faraday’s La I1 φ V1 + - B Rs Rsh C L (a) (b) (c) Fig. 7.1. (a) A simple coil of wire wound about a closed magnetic me typical BH curve for an iron core. (c) Circuit model representation for Si on enroule un fil conducteur autour d’un tore ferromagnétique, en faisant N1 tours, et qu’on fait passer un courant i1 dans ce fil : Le courant produit un flux magnétique φ = KN1 i1, qui circule dans le tore dans le sens compatible avec la “règle de la main droite”, avec K une constante. Si le flux φ (et donc i1) varie, il apparaˆıt une tension v1 telle que v1 = dN1φ dt = L1 di1 dt , avec L1 = KN2 1 . Donc si i1 augmente, la tension v1 est positive avec la convention de signe utilisée sur la figure (i1 entrant dans le terminal +). L1 est l’inductance propre de la bobine. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 30/48

31. Introduction Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Analyse des circuits couplés Inductance mutuelle 184 7 Transformers I2 V2V1 + - + - I1 V2 φ V1 + - + - (a) (b) Fig. 7.2. (a) Two coils of wire wound on a core. (b) Two windings arranged same side of the core. V2 = dN2φ dt A different turns number N2 is assumed for the output winding. The r between the flux and the input current is next applied as in Equatio leading to V2 = KN1N2 dI1 dt The product KN1N2 is defined as the mutual inductance M of the c coils. I1 ɸ On enroule maintenant un deuxième fil, avec N2 tours. Pour l’instant on laisse ce côté du circuit ouvert, c’est-à-dire i2=0. On a toujours le courant i1 qui crée un flux magnétique φ dans le tore. On choisit la convention de signes pour v2, i2 qui est compatible avec la “règle de la main droite”, étant donné le sens du flux φ. Si φ (et donc i1) varie, il s’établit aussi une tension v2 aux bornes du deuxième enroulement (en négligeant ici les pertes de flux) v2 = dN2φ dt = KN1N2 di1 dt = M12 di1 dt , avec M12 = KN1N2. Si φ (ou i1) augmente, la tension v2 est positive avec la convention de signe utilisée sur la figure. M s’appelle l’inductance mutuelle. Notons aussi que v1 v2 = N1 N2 , mais seulement en supposant qu’il n’y a pas de perte de flux dans le tore. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 31/48

32. Introduction Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Analyse des circuits couplés Bobines couplées (ou circuits couplés) [Svoboda et Dorf p. 532] Ni nombre de tours de la bobine i position du point dépend du sens de l’enroulement Si on ferme le deuxième circuit, c’est-à-dire i2 = 0, en supposant la linéarité : v2 = M12 di1 dt + L2 di2 dt Similairement v1 = L1 di1 dt + M21 di2 dt . L’expression Mij = KNi Nj = Li Nj Ni n’est pas toujours valable, mais la relation M12 = M21 = M oui : inductance mutuelle des bobines couplées. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 32/48

33. Introduction Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Analyse des circuits couplés Bobines couplées : conventions de signe Les bobines couplées forment un quadripôle. Convention standard des quadripôles pour les signes de v, i à chaque port : i rentre dans le terminal +. Système de points pour marquer les sens d’enroulement compatible avec la règle de la main droite. Permet la convention M > 0 : si i1 augmente, cela contribue un terme positif M di1 dt à v2. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 33/48

34. Introduction Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Analyse des circuits couplés Relations courant-tension pour les bobines couplées : récapitulatif En notation vectorielle (v = v1, v2 T i = i1, i2 T ) v = L di dt , avec L = L1 M M L2 ou di dt = Γv (si det L = 0). L est la matrice d’inductance, Li est l’inductance propre de la bobine i, et M est l’inductance mutuelle des bobines couplées. Γ = L−1 est la matrice d’inductance réciproque. Le système de points permet de représenter symboliquement le sens d’enroulement des bobines, pour avoir la convention M > 0 Symbole et directions de référence : Mi1 i2 + - v1 + - v2 Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 34/48

35. Introduction Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Analyse des circuits couplés Directions de référence et position des points : récapitulatif Le système de point indique que pour le port 2 ouvert, v1 = L1 di1 dt et v2 = M di1 dt ont le même signe. Pour un des ports (disons port 1), on fixe la position du point au choix. On fait rentrer la direction de i1 positif dans le terminal avec le point. Cela détermine le sens positif du flux dans le tore par la règle de la main droite. Pour avoir M > 0, la règle de la main droite doit être compatible dans l’autre bobine avec le même sens positif de flux → fixe la direction positive du courant 2. On place le point du côté ou ce courant positif rentre. Les directions de références pour les tensions sont prises suivant la convention passive pour chaque port. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 35/48

36. Introduction Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Analyse des circuits couplés Energie emmagasinée dans les bobines couplées Puissance instantanée délivrée : p(t) = v1(t)i1(t) + v2(t)i2(t) = L1 di1 dt + M di2 dt i1 + L2 di2 dt + M di1 dt i2 = 1 2 d dt L1i2 1 + L2i2 2 + 2Mi1i2 Energie emmagasinée : E(t) = t 0 p(τ)dτ = 1 2 i(t)T Li(t). Comme ce composant est passif, on doit avoir 1 2 iT Li ≥ 0, pour tout i = i1 i2 . Ainsi, L est une matrice symmétrique qui doit être (semi-definie) positive. Cela implique : L1 ≥ 0, L2 ≥ 0, et det L = L1L2 − M2 ≥ 0 ⇒ M ≤ √ L1L2. k := M√ L1L2 , avec 0 ≤ k ≤ 1, s’appelle le coefficient de couplage. k = 0 → pas de couplage. k = 1 → couplage parfait (M = √ L1L2) : cas supposé si M n’est pas indiqué sur le symbole (pas exactement réalisable physiquement), pas de perte de flux magnétique. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 36/48

37. Introduction Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Analyse des circuits couplés Exemples d’analyse de circuits couplés 0.6H 1.6H0.4H 2Ω vs(t) = 100 p 2 cos(100t) 200Ω i1 i2 + - v2 + - Question : calculer V2,rms en RPS. On a, en omettant rms de la notation Vs = 100 = 2I1 + 0.4jωI1 + 0.6jωI2, V2 = −200I2 = 1.6jωI2 + 0.6jωI1 i.e., 1 + 20j 30j 3j 10 + 8j I1 I2 = 50 0 ⇒ I2 = 1 + 20j 50 3j 0 1 + 20j 30j 3j 10 + 8j I2 = −150j 10 + 8j + 200j − 160 + 90 = 150j 60 − 208j = 150∠90◦ 216∠ − 74 = 0.694∠164◦ ⇒ V2 = −200I2 = 139∠164◦ (i.e., v2(t) = 139 cos(100t + 0.9π)) Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 37/48

38. Introduction Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Analyse des circuits couplés Exemples d’analyse de circuits couplés = + = + M I1 I2 Loi des mailles: L1 L2 Vs1 Vs2R  sL1 + R sM R R + sM R sL2  I1 I2 =  Vs1 Vs2 = + L1 L2 I1 I2 R M   I1 I2 =  Vs1 0 Vs = +Vs L1 L2 R I2 I1 C M   I1 I2 =  Vs1 0 sL1 + R −sM − R R + sM −R − sL2 I1 I2 = Vs1 Vs2 I1 I2 = Vs 0 I1 I2 = Vs 0 Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 38/48

39. Introduction Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Analyse des circuits couplés Exemples d’analyse de circuits couplés = + = + M I1 I2 Loi des mailles: L1 L2 Vs1 Vs2R  sL1 + R sM R R + sM R sL2  I1 I2 =  Vs1 Vs2 = + L1 L2 I1 I2 R M   I1 I2 =  Vs1 0 Vs = +Vs L1 L2 R I2 I1 C M   I1 I2 =  Vs1 0 sL1 + R −sM − R R + sM −R − sL2 I1 I2 = Vs1 Vs2 (L1 − M + L2 − M)s s(M − L2) s(M − L2) R + sL2 I1 I2 = Vs 0 1 sC + s(L1 + L2 − 2M) s(2M − L1 − L2) s(2M − L1 − L2) R + s(L1 + L2 − 2M) I1 I2 = Vs 0 Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 38/48

40. Introduction Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Analyse des circuits couplés Généralisation à plus de 2 bobines couplées Ex. pour 3 : v = L di dt , L =   L1 M12 M13 M12 L2 M23 M13 M23 L3   semi-definie positive Figure 1.5 Three inductors wound on the &me core: the mutual inductances are not all positive. Exercise Consider the three mutually coupled inductors shown in Fig. 1.5. Show that M,, >0, M,, <0, and M,,<Q. Equation (1.15a) is of the form v(t) = L i(t). As before we can calculate the magnetic energy stored and we find the same formula as Eq. (l.lO), namely, 8,(i) = f i T ~ i (1.15b) Même circuit magnétique, M12 > 0, M13, M23 < 0, ou bien système de points unique ok en inversant le port 3 ELE2611 – Circuits Actifs Cours 10 – Inductances Mutuelles Détermination de la position des points – système non uniforme Dans ces situations, on définit des marques de polarités distinctes pour chacune des paires de bobines couplées Cours 10 - 11© C. Morin 2013 Cas où on ne peut pas définir un seul système de points On peut utiliser soit choisir les directions de référence arbitrairement pour chaque port et autoriser Mij > 0 ou Mij < 0, soit utiliser un ou plusieurs systèmes de points pour forcer Mij > 0 et mettre les bons signes devant les variables pour chaque paire de ports. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 39/48

41. Introduction Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Analyse des circuits couplés Insuffisance d’un système de points unique Cours 10 – Inductances Mutuelles Détermination de la position des points – système non uniforme Selon la topologie du circuit magnétique, il se peut que les points soient incompatibles Par exemple, pour la construction suivante, On pose le premier point, puis les deux autres conséquemment Pour ensuite constater que la règle de courants entrants par le point du second ne produit pas un flux dans le même sens que celui produit par un courant entrant dans les autres pointsque celui produit par un courant entrant dans les autres points Cours 10 - 10© C. Morin 2013 Le choix du premier point, puis des deux autres en conséquence aboutit à une contradiction ELE2611 – Circuits Actifs Cours 10 – Inductances Mutuelles Détermination de la position des points – système non uniforme Dans ces situations, on définit des marques de polarités distinctes pour chacune des paires de bobines couplées Cours 10© C. Morin 2013 Pour ne pas compliquer le modèle, on peut autoriser Mij < 0. Dans tous les cas on a L 0 (semi-definie positive). Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 40/48

42. Introduction Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Transformateurs Outline Puissance dans les circuits monophasés alternatifs Grandeurs pour les signaux sinuso¨ıdaux Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Fourniture d’électricité et correction du facteur de puissance Transfert maximal de puissance Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Analyse des circuits couplés Transformateurs Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 41/48

43. Introduction Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Transformateurs Transformateur idéal N1 : N2 n : 1 ou + - V1 I1 + - V2 I2 (n = N1 / N2) Symbole: idéal Le transformateur idéal est un quadripôle très utile pour la modélisation (au même titre que les sources contrôlées et le gyrateur par exemple) Ses équations sont les contraintes linéaires statiques suivantes : v1(t) = n v2(t) ou v1(t) = N1 N2 v2(t) i2(t) = −n i1(t) soit v1 i1 = n 0 0 1/n v2 −i2 n est appelé le rapport de transformation Puissance instantanée absorbée : p(t) = v1(t)i1(t) + v2(t)i2(t) = nv2(t)i1(t) − nv2(t)i1(t) = 0 Idem : pas de puissance complexe, active, ou réactive absorbée Le transformateur idéal est un composant sans pertes Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 42/48

44. Introduction Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Transformateurs Remarque sur le modèle du transformateur idéal Pour les bobines parfaitement couplées (sans perte de flux), on avait aussi obtenu sur la diapositive 31 que v1 = N1 N2 v2. Toutefois le transformateur idéal est un modèle théorique distinct, les contraintes v1 = nv2 et i2 = −ni1 sont vérifiées pour tout t, tout signal, toute fréquence, même DC, alors que les bobines couplées nécessitent des variations de courant pour donner v = 0. Pour des bobines parfaitement couplées, la matrice d’impédance et les paramètres (A,B,C,D) sont Z(s) = L1s √ L1L2s√ L1L2s L2s ⇒ T(s) = n 0 1√ L1L2s 1 n T(s) n’est pas définie pour s = 0. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 43/48

45. Introduction Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Transformateurs Connection d’une source à une charge Pour transférer de la puissance à une charge en changeant le niveau de tension dans un réseau électrique, on utilise des circuits couplés qui s’approchent le plus possible d’un transformateur idéal (donc sans perte de puissance) en RPS n : 1 + - V1 I1 + - V2 I2 idéal Zs ZL circuit primaire circuit secondaire + - Vs source charge Zeq Zs + - Vs Zeq Comme le transformateur idéal est sans perte, toute la puissance délivrée par la source au transformateur idéal est ensuite délivrée à la charge. Impédance du secondaire réfléchie au primaire : Zeq = V1 I1 = −n2 V2 I2 = n2 ZL. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 44/48

46. Introduction Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Transformateurs Des bobines couplées aux transformateurs idéaux + - V1 I1 + - V2 I2 Zs ZL circuit primaire circuit secondaire + - Vs source chargeM L1 L2 Un transformateur réel est réalisé en RPS par des bobines couplées et ne peut qu’approcher un transformateur idéal. Equations du circuit : V1 = jωL1I1 + jωMI2, V2 = −ZLI2 = jωL2I2 + jωMI1 ⇒ I1 = − jωL2 + ZL jωM I2 ⇒ V1 = − L1 M (jωL2 + ZL) + jωM I2 V1 = L1 M V2 + jω L1L2 − M2 M V2 ZL Si le couplage est parfait, M2 = L1L2 et V1 = L1 L2 V2 Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 45/48

47. Introduction Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Transformateurs Des bobines couplées aux transformateurs idéaux (suite) + - V1 I1 + - V2 I2 Zs ZL circuit primaire circuit secondaire + - Vs source chargeM L1 L2 Si le couplage est parfait, M2 = L1L2 et V1 = L1 L2 V2 De plus, Li = ci N2 i , i = 1, 2, où ci dépend des propriétés magnétiques et géométriques du noyau, et Ni est le nombre de tours de la bobine i. Pour c1 = c2, on obtient V1 = nV2 avec n = N1/N2, i.e., n est le rapport du nombre de tours des deux bobines. Finalement I2 = − jω √ L1L2 jωL2 + ZL I1 donne I2 ≈ −nI1 si ωL2 |ZL|. On obtient donc un transformateur idéal dans la limite k = 1 (couplage parfait) et ωL2 |ZL|. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 46/48

48. Introduction Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Transformateurs Du transformateur idéal aux bobines couplées 1 : nI1' + - V2 I2 idéal I1 + - V1 La Lm Montrer que pour le circuit ci-dessus, on a v = L di dt , avec L = La + Lm nLm nLm n2 Lm En déduire qu’on peut modéliser des bobines couplées par ce circuit avec n = L2 M , Lm = M2 L2 , La = L1 − M2 L2 La est l’inductance de fuite (modélise les pertes de flux), Lm est l’inductance magnétisante (modélise le flux commun aux deux bobines). On retrouve le transformateur idéal pour La → 0, Lm → ∞. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 47/48

49. Introduction Circuits magnétiquement couplés et transformateurs Transformateurs Conclusions Un réseau électrique est un grand circuit fonctionnant normalement en régime permanent sinuso¨ıdal. Pour les réseaux électrique, la grandeur principale à laquelle on s’intéresse est la puissance. Les notions de puissance complexe, apparente, active, réactive, jouent toutes un rôle dans la conception des éléments d’un réseau électrique. Les calculs de puissance sont facilités par l’emploi des phaseurs sinuso¨ıdaux. Les transformateurs permettent de transférer de la puissance des sources vers les charges tout en changeant le niveau de tension. Un transformateur idéal ne consomme pas de puissance active ou réactive. Les transformateurs sont réalisés physiquement par des circuits magnétiquement couplés. Les notions introduites dans ce cours seront approfondies dans ELE3400, Electrotechnique. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 48/48

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