Aplicaciones de los productos notables

1. Lmate35a11i

2. 1.- ¿Donde se pueden aplicar los productos notables?
EN GENERAL:
 Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas
multiplicaciones habituales, haciendo más fácil y rápida su resolución.
1. Usar productos notables para simplificar expresiones
Simplifiquemos las siguientes expresiones: (2x + 3)², (3x – 4)² y
(5x + 2)(5x – 2).
(2x + 3)² = (2x)² + 2 · 2x · 3 + 3² = 4x² + 12x + 9
(3x – 4)² = (3x)² – 2 · 3x · 4 + 4² = 9x² – 24x + 16
(5x + 2)(5x – 2) = (5x)² – 2² = 25x² – 4
2. Usar los productos notables para factorizar expresiones
Ejemplo 1: factorizar las siguientes expresiones: 9x² – 12x + 4; 81 – 9x² y
16x² + 24x + 9.
9x² – 12x + 4 = (3x)² – 2 · 3x · 2 + 2² = (3x – 2)²
81 – 9x² = 9² – (3x)² = (9 + 3x)(9 – 3x)
16x² + 24x + 9 = (4x)² + 2 · 4x · 3 + 3² = (4x + 3)²
Ejemplo 2: factorizar (2x + 1)² – (5x + 3)².
Aquí podemos observar una expresión del tipo a² – b², donde a es (2x + 1)
y b es (5x + 3).
Recuerda que a2 – b2 = (a + b)(a – b) y lo aplicamos: (2x + 1)2 – (5x + 3)2
= [(2x + 1) + (5x + 3)] · [(2x + 1) – (5x + 3)] y simplificando esta última
expresión, (2x + 1 + 5x + 3) · (2x + 1 – 5x – 3) = (7x + 4) · (– 3x – 2).
3. Usar productos notables en operaciones de cálculo mental
Queremos calcular mentalmente: 53², 79² y 41 × 39.
Reescribimos cada operación para expresarla en forma de producto
notable. Practiquémoslo mentalmente siguiendo estos pasos:
53² = (50 + 3)² = 50² + 2 × 50 × 3 + 3² = 2.500 + 300 + 9 = 2.809
79² = (80 – 1)² = 80² – 2 × 80 × 1 + 1² = 6.400 – 160 + 1 = 6.241
41 × 39 = (40 + 1)(40 – 1) = 40² – 1² = 1.600 – 1 = 1.599
 Resultan útiles para la investigación y cálculos matemáticos en áreas como
la Biología, la Química, la Ingeniería así como en la Economía.
 En cálculos de áreas, volúmenes y perímetros de figuras geométricas.

3. EL BINOMIO AL CUADRADO (a + b)2:
 En cálculo de áreas de cuadrados.
Representación Geométrica del Cuadrado del Binomio
El cuadrado del binomio, como otros productos notables, tiene una representación
geométrica en el plano.
Consiste en considerar el área de un cuadrado de lado “a+b“ y las regiones que estas
medidas generan en el cuadrado. Consideremos dos trazos “a” y “b”:
a b
Con ellos se construye un trazo de longitud “a+ b“:
a b
y con él un cuadrado de la misma longitud:
Si se extienden los extremos de los trazos “a” y “b“ éstos dividen al cuadrado en cuatro
áreas menores: dos cuadrados, uno de lado “a” y otro menor de lado “b“, y dos
rectángulos de largo “a” y ancho “b“.

4. La suma de las áreas de estos cuadrados y rectángulos es igual al área total del cuadrado
de lado a+ b, es decir:
BINOMIO CON UN TERMINO COMUN (A+B)(A+C):
 En cálculos de áreas de rectángulos.
Representación Geométrica de la Multiplicación de Binomios con un Término
Común
Se consideran tres trazos “a”, “b“ y “c“ de medidas distintas, por ejemplo:
a b c
Con ellos se construyen dos trazos de longitudes “a+b“ y “a+c”:
Y a partir de estos se construye un rectángulo de lados “a+b“ y “a+c”:

5. De aquí podemos establecer la siguiente igualdad entre áreas:
a b a c a2 ab ac bc
El siguiente esquema muestra este producto:
a b a c a2 ab ac bc
EL PRODUCTO DE UNA SUMA POR UNA DIFERENCIA (A+B)(A-B):

6. A y B son dos números positivos. Un cuadrado pequeño de lado b ha sido eliminado de
un cuadrado más grande de lado a.
Calcularemos el área de los rectángulos amarillos usando dos métodos.
Primer método: encontrar la diferencia entre el área del cuadrado grande y la del
pequeño, esto es, a² - b².
Segundo método: separar las áreas que quedan al eliminar el cuadrado pequeño y
alinearlas para formar un rectángulo de dimensiones a + b y a – b, cuya área será igual a
(a + b)(a - b).
Si ambos métodos llevan a la misma solución, podemos decir que:
a2 – b2 es igual que (a + b) (a – b). Por tanto, a2 – b2 = (a + b)(a – b).
II. Aplicaciones
1. Usar productos notables para simplificar expresiones
Simplifiquemos las siguientes expresiones: (2x + 3)², (3x – 4)² y (5x + 2)(5x – 2).
(2x + 3)² = (2x)² + 2 · 2x · 3 + 3² = 4x² + 12x + 9
(3x – 4)² = (3x)² – 2 · 3x · 4 + 4² = 9x² – 24x + 16
(5x + 2)(5x – 2) = (5x)² – 2² = 25x² – 4
2. Usar los productos notables para factorizar expresiones
Ejemplo 1: factorizar las siguientes expresiones: 9x² – 12x + 4; 81 – 9x² y 16x² + 24x + 9.
9x² – 12x + 4 = (3x)² – 2 · 3x · 2 + 2² = (3x – 2)²
81 – 9x² = 9² – (3x)² = (9 + 3x)(9 – 3x)
16x² + 24x + 9 = (4x)² + 2 · 4x · 3 + 3² = (4x + 3)²
Ejemplo 2: factorizar (2x + 1)² – (5x + 3)².
Aquí podemos observar una expresión del tipo a² – b², donde a es (2x + 1) y b es (5x + 3).
Recuerda que a2 – b2 = (a + b)(a – b) y lo aplicamos: (2x + 1)2 – (5x + 3)2 = [(2x + 1) +
(5x + 3)] · [(2x + 1) – (5x + 3)] y simplificando esta última expresión, (2x + 1 + 5x + 3) ·
(2x + 1 – 5x – 3) = (7x + 4) · (– 3x – 2).
BINOMIO AL CUBO (a + b)3:
 En cálculos del volumen de un cubo.