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OPTIMIZACIÓN DE SISTEMASY
FUNCIONES
INSTITUTO UNIVERSITARIO
POLITÉCNICO
SANTIAGO MARIÑO
“EXTENSIÓN MARACAY”
ESCUELA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS
OPTIMIZACION
DE SISTEMASY
FUNCIONES
OPTIMIZACIÓN ES LA ACCIÓN Y EFECTO DE OPTIMIZAR
LA OPTIMIZACIÓN DE SISTEMAS BUSCA ADAPTAR LOS PROGRAMAS
INFORMÁTICOS PARA QUE REALICEN SUS TAREAS DE LA FORMA MÁS
RÁPIDA POSIBLE.
LA
OPTIMIZACION
DE SISTEMASY
FUNCIONES
A nivel general, la
optimización puede
realizarse en diversos
ámbitos, siempre con el
mismo objetivo: mejorar
el funcionamiento de algo
a través de una gestión
perfeccionada de los
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a encontrar la solución
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Estos problemas
involucran el uso más
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La optimización de sistemas
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Optimización de sistemas y funciones
Optimización
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CARACTERISTICAS
Es un proceso
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Nunca se deja
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LA
OPTIMIZACION
DE SISTEMASY
FUNCIONES
LA
OPTIMIZACION
DE SISTEMASY
FUNCIONES
La optimización se
puede realizar a
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Optimización
LA
OPTIMIZACION
DE SISTEMASY
FUNCIONES
ALGUNAS AREAS DE
APLICACION
• Se refiere a mejorar
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Optimización
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MÉTODO DE LAGRANGE
Briceño. (2013), Considera que es un método creado por Joseph Louis
Lagrange un matemático, físico y astrónomo Italiano. Lagrange demostró
el teorema del valor medio, desarrolló la mecánica Lagrangiana y tuvo una
importante contribución en astronomía.
Los Multiplicadores de Lagrange, son un método para trabajar
con funciones de varias variables que se interesa maximizar o
minimizar, y está sujeta a cierta restricciones.
MÉTODO DE LAGRANGE
Ejemplo 1:
¿Cuál es el área máxima que puede tener un rectángulo si la longitud de su diagonal es 4?
Solución:
Represente un rectángulo con lados x e y, base y altura respectivamente.
x
y4
22
4 yx 
22
16 yx 
La longitud de la diagonal es 4, fíjese que se forma un triangulo rectángulo.
Función a optimizar: maximizar en este caso: Área.
Área de un rectángulo: A = x.y
Condición a cumplir::
De una manera más fácil:
Al tener identificadas la función y la condición, se determinan los gradientes.
Así las ecuaciones de Lagrange son
   xyAyAxA ,, 
   yxgygxg 2,2, 
Así las ecuaciones de Lagrange son:
MÉTODO DE LAGRANGE
422
 yx
 2
2xxy 
)2( 2
yyx 
   22
22 yx   22
yx  xy 
 22
16 xx 
2
216 x
8x
8
8 8 8
…(3)
Al resolver el sistema, una de las formas puede ser:
Multiplicar la ecuación (1) por x, y también la ecuación (2) por y,
…. (4)
….. (5)
Se igualan las ecuaciones (4) y (5)
Al simplificar queda: ; Queda:
Luego una variable se expresa en función de la otra y se sustituye en la ecuación (3).
•Si y = x
Como estamos midiendo distancias, x solo puede tomar valores no negativos,
así que se tiene un único punto que es para x=
, la altura y también vale. Así se concluye que las dimensiones del rectángulo
corresponden con un cuadrado de lado . Su área será: A=
=8*
MÉTODO DE KUHN TUCKER
Albert William Tucker (1905 – 1955), fue un matemático Estadounidense
nacido en Canadá que realizó importantes contribuciones a la Topologías,
Teorías de juegos y a la Programación no Lineal.
En programación matemática, las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker
son condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un
problema de programación matemática sea optima.
Es una generalización del método de los Multiplicadores de Lagrange.
MÉTODO DE KUHN TUCKER
• Problema General de Optimización
Consideremos el siguiente problema general:
min f(x)
Sujeto a
Gi(x)≤0, i = 1,…,m
Hj(x)= 0, j= 1,…,l
Donde f(x) es la función objetivo a minimizar, Gi(x) son las restricciones de
desigualdad y Hi(x) son la restricciones de igualdad, con m y l el numero
de restricciones de desigualdad e igualdad, respectivamente.
MÉTODO DE KUHN TUCKER
Considere el problema de optimización
Sujeto a:
MÉTODO DE KUHN TUCKER
El método de solución procede de la siguiente manera. Cambiemos
cada restricción de desigualdad gi ≤0a una restricción de igualdad
introduciendo una variable si de la siguiente manera:
gi ≤0→gi +s2i = 0
De acuerdo a la técnica de los multiplicadores de
Lagrange se construye la función:
MÉTODO DE KUHN TUCKER
Los puntos que minimizan a f sujeta a las
restricciones gi ≤0(1≤i≤m) están dentro de
los puntos críticos de F:
• Que hacen cero las parciales con respecto a las variables xj(j= 1, . . . , n):
• Que hacen cero las parciales con respecto a las variables λi(i= 1, . . . , m):
MATRIZ JACOBIANA
Es una matriz de todos los derivados parciales de primer orden de una
función vectorial o con valores escalares con respectos a otro vector .
Esta matriz lleva su nombre gracias a Carl Gustav Jacob Jacobi, fue un
matemático alemán, que hizo contribuciones fundamentales a las
funciones elípticas, dinámica, ecuaciones diferenciales, y la teoría de
números. Su nombre es a veces escrito como Carolus Gustavus Iacobus
Iacobi en sus libros latinos, y su nombre se da a veces como Karl.
Jacobi fue el primer matemático judío para ser nombrado profesor en una
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MATRIZ JACOBIANA
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máximo.

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Optimización de sistemas y funciones

  • 1. J O S É A L E X A N D E R L Ó P E Z M A RT Í N E Z OPTIMIZACIÓN DE SISTEMASY FUNCIONES INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO “EXTENSIÓN MARACAY” ESCUELA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS
  • 2. OPTIMIZACION DE SISTEMASY FUNCIONES OPTIMIZACIÓN ES LA ACCIÓN Y EFECTO DE OPTIMIZAR LA OPTIMIZACIÓN DE SISTEMAS BUSCA ADAPTAR LOS PROGRAMAS INFORMÁTICOS PARA QUE REALICEN SUS TAREAS DE LA FORMA MÁS RÁPIDA POSIBLE.
  • 3. LA OPTIMIZACION DE SISTEMASY FUNCIONES A nivel general, la optimización puede realizarse en diversos ámbitos, siempre con el mismo objetivo: mejorar el funcionamiento de algo a través de una gestión perfeccionada de los recursos. La optimización le ayuda a encontrar la solución que le brinda los mejores resultados, le da la utilidad mas alta, o el resultado con el mínimo costo. Estos problemas involucran el uso más eficiente de los recursos, incluyendo tiempo, dinero, maquinaria, personal, inventario, etc. La optimización de sistemas y funciones involucra procedimientos matemáticos como la Programación Lineal (PL), Técnica Matemática de Optimización, que proporciona un método eficiente para encontrar una decisión óptima entre un gran número de decisiones posibles. La P.L. asigna recursos limitados entre actividades compitiendo por los mismos recursos en forma óptima
  • 4. ¿Cuando es necesario Optimizar?  Todos los sistemas llegan a un punto donde requiere una optimización sobre la demanda del usuario.  La perspectiva que se quiere y como en realidad es tal como se muestra en la imagen.
  • 5. ¿Que busca la Optimización de Sistemas? Aspectos fundamentales enfocados a la optimización de los sistemas computacionales.  Eficiencia  Funcionabilidad  Rendimiento
  • 7. Optimización Mejorar la forma de realizar una actividad o sistema CARACTERISTICAS Es un proceso continuo. Nunca se deja de optimizar. LA OPTIMIZACION DE SISTEMASY FUNCIONES
  • 8. LA OPTIMIZACION DE SISTEMASY FUNCIONES La optimización se puede realizar a través de varios niveles
  • 10. ALGUNAS AREAS DE APLICACION • Se refiere a mejorar el tiempo de respuesta en un sistema. Optimización de Consultas • Intentar dar respuesta a un tipo general de problemas matemáticos. Optimización Matemática • Es el proceso de modificar un sistema para mejorar su eficiencia. Optimización de Computo
  • 11. COMO SE RELACIONA CON LA ING. DE SISTEMAS LA OPTIMIZACION DE SISTEMASY FUNCIONES
  • 13. Aplicaciones Típicas: Sistemas para los que existe un buen modelo.  Componentes gases y líquidos en industrias químicas y petroquímicas.  Aplicaciones de negocio para inventario, trasporte.  En aquellos sitios donde no se permite experimentar. Aplicaciones Típicas: Desarrollo rápido de procesos poco entendidos.  Farmacéutica.  Micro-electronica.  Aplicaciones pequeñas en operaciones de planta.
  • 14. MÉTODO DE LAGRANGE Briceño. (2013), Considera que es un método creado por Joseph Louis Lagrange un matemático, físico y astrónomo Italiano. Lagrange demostró el teorema del valor medio, desarrolló la mecánica Lagrangiana y tuvo una importante contribución en astronomía. Los Multiplicadores de Lagrange, son un método para trabajar con funciones de varias variables que se interesa maximizar o minimizar, y está sujeta a cierta restricciones.
  • 15. MÉTODO DE LAGRANGE Ejemplo 1: ¿Cuál es el área máxima que puede tener un rectángulo si la longitud de su diagonal es 4? Solución: Represente un rectángulo con lados x e y, base y altura respectivamente. x y4 22 4 yx  22 16 yx  La longitud de la diagonal es 4, fíjese que se forma un triangulo rectángulo. Función a optimizar: maximizar en este caso: Área. Área de un rectángulo: A = x.y Condición a cumplir:: De una manera más fácil: Al tener identificadas la función y la condición, se determinan los gradientes. Así las ecuaciones de Lagrange son    xyAyAxA ,,     yxgygxg 2,2,  Así las ecuaciones de Lagrange son:
  • 16. MÉTODO DE LAGRANGE 422  yx  2 2xxy  )2( 2 yyx     22 22 yx   22 yx  xy   22 16 xx  2 216 x 8x 8 8 8 8 …(3) Al resolver el sistema, una de las formas puede ser: Multiplicar la ecuación (1) por x, y también la ecuación (2) por y, …. (4) ….. (5) Se igualan las ecuaciones (4) y (5) Al simplificar queda: ; Queda: Luego una variable se expresa en función de la otra y se sustituye en la ecuación (3). •Si y = x Como estamos midiendo distancias, x solo puede tomar valores no negativos, así que se tiene un único punto que es para x= , la altura y también vale. Así se concluye que las dimensiones del rectángulo corresponden con un cuadrado de lado . Su área será: A= =8*
  • 17. MÉTODO DE KUHN TUCKER Albert William Tucker (1905 – 1955), fue un matemático Estadounidense nacido en Canadá que realizó importantes contribuciones a la Topologías, Teorías de juegos y a la Programación no Lineal. En programación matemática, las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker son condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema de programación matemática sea optima. Es una generalización del método de los Multiplicadores de Lagrange.
  • 18. MÉTODO DE KUHN TUCKER • Problema General de Optimización Consideremos el siguiente problema general: min f(x) Sujeto a Gi(x)≤0, i = 1,…,m Hj(x)= 0, j= 1,…,l Donde f(x) es la función objetivo a minimizar, Gi(x) son las restricciones de desigualdad y Hi(x) son la restricciones de igualdad, con m y l el numero de restricciones de desigualdad e igualdad, respectivamente.
  • 19. MÉTODO DE KUHN TUCKER Considere el problema de optimización Sujeto a:
  • 20. MÉTODO DE KUHN TUCKER El método de solución procede de la siguiente manera. Cambiemos cada restricción de desigualdad gi ≤0a una restricción de igualdad introduciendo una variable si de la siguiente manera: gi ≤0→gi +s2i = 0 De acuerdo a la técnica de los multiplicadores de Lagrange se construye la función:
  • 21. MÉTODO DE KUHN TUCKER Los puntos que minimizan a f sujeta a las restricciones gi ≤0(1≤i≤m) están dentro de los puntos críticos de F: • Que hacen cero las parciales con respecto a las variables xj(j= 1, . . . , n): • Que hacen cero las parciales con respecto a las variables λi(i= 1, . . . , m):
  • 22. MATRIZ JACOBIANA Es una matriz de todos los derivados parciales de primer orden de una función vectorial o con valores escalares con respectos a otro vector . Esta matriz lleva su nombre gracias a Carl Gustav Jacob Jacobi, fue un matemático alemán, que hizo contribuciones fundamentales a las funciones elípticas, dinámica, ecuaciones diferenciales, y la teoría de números. Su nombre es a veces escrito como Carolus Gustavus Iacobus Iacobi en sus libros latinos, y su nombre se da a veces como Karl. Jacobi fue el primer matemático judío para ser nombrado profesor en una universidad alemana.
  • 24. Encontrar dos números que sumados el resultado sea 100 y que su producto sea máximo.