Optimización de sistemas y funciones

1. J O S É A L E X A N D E R L Ó P E Z M A RT Í N E Z
OPTIMIZACIÓN DE SISTEMASY
FUNCIONES
INSTITUTO UNIVERSITARIO
POLITÉCNICO
SANTIAGO MARIÑO
“EXTENSIÓN MARACAY”
ESCUELA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS

2. OPTIMIZACION
DE SISTEMASY
FUNCIONES
OPTIMIZACIÓN ES LA ACCIÓN Y EFECTO DE OPTIMIZAR
LA OPTIMIZACIÓN DE SISTEMAS BUSCA ADAPTAR LOS PROGRAMAS
INFORMÁTICOS PARA QUE REALICEN SUS TAREAS DE LA FORMA MÁS
RÁPIDA POSIBLE.

3. LA
OPTIMIZACION
DE SISTEMASY
FUNCIONES
A nivel general, la
optimización puede
realizarse en diversos
ámbitos, siempre con el
mismo objetivo: mejorar
el funcionamiento de algo
a través de una gestión
perfeccionada de los
recursos.
La optimización le ayuda
a encontrar la solución
que le brinda los mejores
resultados, le da la
utilidad mas alta, o el
resultado con el mínimo
costo.
Estos problemas
involucran el uso más
eficiente de los recursos,
incluyendo tiempo, dinero,
maquinaria, personal,
inventario, etc.
La optimización de sistemas
y funciones involucra
procedimientos
matemáticos como la
Programación Lineal
(PL), Técnica Matemática de
Optimización, que
proporciona un método
eficiente para encontrar una
decisión óptima entre un
gran número de decisiones
posibles. La P.L. asigna
recursos limitados entre
actividades compitiendo por
los mismos recursos en
forma óptima

4. ¿Cuando es necesario Optimizar?
 Todos los sistemas llegan a
un punto donde requiere
una optimización sobre la
demanda del usuario.
 La perspectiva que se quiere
y como en realidad es tal
como se muestra en la
imagen.

5. ¿Que busca la Optimización de
Sistemas?
Aspectos fundamentales enfocados a la optimización
de los sistemas computacionales.
 Eficiencia
 Funcionabilidad
 Rendimiento

7. Optimización
Mejorar la
forma de
realizar una
actividad o
sistema
CARACTERISTICAS
Es un proceso
continuo.
Nunca se deja
de optimizar.
LA
OPTIMIZACION
DE SISTEMASY
FUNCIONES

8. LA
OPTIMIZACION
DE SISTEMASY
FUNCIONES
La optimización se
puede realizar a
través de varios
niveles

9. UNIDADES
Unidades de la
Optimización
LA
OPTIMIZACION
DE SISTEMASY
FUNCIONES

10. ALGUNAS AREAS DE
APLICACION
• Se refiere a mejorar
el tiempo de
respuesta en un
sistema.
Optimización
de Consultas
• Intentar dar respuesta
a un tipo general de
problemas
matemáticos.
Optimización
Matemática
• Es el proceso de
modificar un sistema
para mejorar su
eficiencia.
Optimización
de Computo

11. COMO SE RELACIONA
CON LA ING. DE
SISTEMAS
LA
OPTIMIZACION
DE SISTEMASY
FUNCIONES

12. Se logra
Mejorando
aplicaciones
como
LA
OPTIMIZACION
DE SISTEMASY
FUNCIONES
COMO SE RELACIONA
CON LA ING. DE
SISTEMAS

13. Aplicaciones Típicas:
Sistemas para los que existe un
buen modelo.
 Componentes gases y
líquidos en industrias
químicas y petroquímicas.
 Aplicaciones de negocio para
inventario, trasporte.
 En aquellos sitios donde no
se permite experimentar.
Aplicaciones Típicas:
Desarrollo rápido de procesos
poco entendidos.
 Farmacéutica.
 Micro-electronica.
 Aplicaciones pequeñas en
operaciones de planta.

14. MÉTODO DE LAGRANGE
Briceño. (2013), Considera que es un método creado por Joseph Louis
Lagrange un matemático, físico y astrónomo Italiano. Lagrange demostró
el teorema del valor medio, desarrolló la mecánica Lagrangiana y tuvo una
importante contribución en astronomía.
Los Multiplicadores de Lagrange, son un método para trabajar
con funciones de varias variables que se interesa maximizar o
minimizar, y está sujeta a cierta restricciones.

15. MÉTODO DE LAGRANGE
Ejemplo 1:
¿Cuál es el área máxima que puede tener un rectángulo si la longitud de su diagonal es 4?
Solución:
Represente un rectángulo con lados x e y, base y altura respectivamente.
x
y4
22
4 yx 
22
16 yx 
La longitud de la diagonal es 4, fíjese que se forma un triangulo rectángulo.
Función a optimizar: maximizar en este caso: Área.
Área de un rectángulo: A = x.y
Condición a cumplir::
De una manera más fácil:
Al tener identificadas la función y la condición, se determinan los gradientes.
Así las ecuaciones de Lagrange son
   xyAyAxA ,, 
   yxgygxg 2,2, 
Así las ecuaciones de Lagrange son:

16. MÉTODO DE LAGRANGE
422
 yx
 2
2xxy 
)2( 2
yyx 
   22
22 yx   22
yx  xy 
 22
16 xx 
2
216 x
8x
8
8 8 8
…(3)
Al resolver el sistema, una de las formas puede ser:
Multiplicar la ecuación (1) por x, y también la ecuación (2) por y,
…. (4)
….. (5)
Se igualan las ecuaciones (4) y (5)
Al simplificar queda: ; Queda:
Luego una variable se expresa en función de la otra y se sustituye en la ecuación (3).
•Si y = x
Como estamos midiendo distancias, x solo puede tomar valores no negativos,
así que se tiene un único punto que es para x=
, la altura y también vale. Así se concluye que las dimensiones del rectángulo
corresponden con un cuadrado de lado . Su área será: A=
=8*

17. MÉTODO DE KUHN TUCKER
Albert William Tucker (1905 – 1955), fue un matemático Estadounidense
nacido en Canadá que realizó importantes contribuciones a la Topologías,
Teorías de juegos y a la Programación no Lineal.
En programación matemática, las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker
son condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un
problema de programación matemática sea optima.
Es una generalización del método de los Multiplicadores de Lagrange.

18. MÉTODO DE KUHN TUCKER
• Problema General de Optimización
Consideremos el siguiente problema general:
min f(x)
Sujeto a
Gi(x)≤0, i = 1,…,m
Hj(x)= 0, j= 1,…,l
Donde f(x) es la función objetivo a minimizar, Gi(x) son las restricciones de
desigualdad y Hi(x) son la restricciones de igualdad, con m y l el numero
de restricciones de desigualdad e igualdad, respectivamente.

19. MÉTODO DE KUHN TUCKER
Considere el problema de optimización
Sujeto a:

20. MÉTODO DE KUHN TUCKER
El método de solución procede de la siguiente manera. Cambiemos
cada restricción de desigualdad gi ≤0a una restricción de igualdad
introduciendo una variable si de la siguiente manera:
gi ≤0→gi +s2i = 0
De acuerdo a la técnica de los multiplicadores de
Lagrange se construye la función:

21. MÉTODO DE KUHN TUCKER
Los puntos que minimizan a f sujeta a las
restricciones gi ≤0(1≤i≤m) están dentro de
los puntos críticos de F:
• Que hacen cero las parciales con respecto a las variables xj(j= 1, . . . , n):
• Que hacen cero las parciales con respecto a las variables λi(i= 1, . . . , m):

22. MATRIZ JACOBIANA
Es una matriz de todos los derivados parciales de primer orden de una
función vectorial o con valores escalares con respectos a otro vector .
Esta matriz lleva su nombre gracias a Carl Gustav Jacob Jacobi, fue un
matemático alemán, que hizo contribuciones fundamentales a las
funciones elípticas, dinámica, ecuaciones diferenciales, y la teoría de
números. Su nombre es a veces escrito como Carolus Gustavus Iacobus
Iacobi en sus libros latinos, y su nombre se da a veces como Karl.
Jacobi fue el primer matemático judío para ser nombrado profesor en una
universidad alemana.

23. MATRIZ JACOBIANA
(a)

24. Encontrar dos números que sumados el resultado sea 100 y que su producto sea
máximo.