1. República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico ‘’Santiago Mariño’’
Sede Barcelona
Escuela: Ingeniería de Sistemas
Profe.: Alumno:
Pedro Beltrán José I. González G.
C.I: 28.576.187
Barcelona, 12/11/2019
2. Introducción
En las siguientes diapositivas se va a estar hablando de las ecuaciones paramétricas
como tema base de este presente trabajo en las cuales los sistemas de ecuaciones
paramétricas permite representar una curva o superficie en el espacio, mediante valores
que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable , llamada
parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente
del parámetro. Mediante este tema nos desglosaremos para hablar sobre las
generalidades del algebra vectorial en las cuales son las que se encargan de estudiar
los sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices, espacios vectoriales y sus
transformaciones lineales también realizamos una presentación de su grafica utilizando
las generalidades del algebra vectorial. En las diapositivas también se muestran lo que
es una longitud de un arco en la cual también llamada rectificación de una curva. La
longitud de una curva es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una
curva o dimensión lineal y realizamos una breve explicación de como encontrar la
longitud de una curva, mediante la transformación de las ecuaciones paramétricas a
cartesiano,
3. Generalidades del álgebra vectorial
El álgebra vectorial es una rama de las matemáticas que se encargada de estudiar los
sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices, espacios vectoriales y sus
transformaciones lineales. El algebra vectorial también se relaciona con áreas como ingeniería,
resolución de ecuaciones diferenciales, análisis funcional, investigación de operaciones,
gráficas computacionales, entre otras.
4. El estudio de figuras en el espacio se hace a través de su representación en un sistema de
referencia, que puede ser en una o más dimensiones. Entre los principales sistemas se
encuentran:
Estudio de Figuras en el espacio
Sistema unidimensional: que se trata de una recta donde un punto (O) representa el origen y otro
punto (P) determina la escala (longitud) y el sentido de esta:
Sistema de coordenadas rectangulares: está compuesto por dos rectas perpendiculares llamadas eje
x y eje y, que pasan por un punto (O) origen; de esa forma el plano queda divido en cuatro regiones llamadas
cuadrantes. En este caso un punto (P) en el plano es dado por las distancias que existen entre los ejes y P:
5. Fundamentos
El álgebra vectorial se originó del estudio de los cuaterniones 1, i, j, y k, así como también de la geometría cartesiana
promovida por Gibbs y Heaviside, quienes se dieron cuenta de que los vectores servirían de instrumento para
representar varios fenómenos físicos.
El álgebra vectorial es estudiada a través de tres fundamentos:
Geométricamente
Los vectores son representados por rectas que tienen una orientación,
y las operaciones como suma, resta y multiplicación por números reales
son definidas a través de métodos geométricos.
Analíticamente
La descripción de los vectores y sus operaciones es realizada con números, llamados componentes. Este
tipo de descripción es resultado de una representación geométrica porque se utiliza un sistema de
coordenadas.
Axiomáticamente
Se hace una descripción de los vectores, independientemente del sistema de coordenadas o de
cualquier tipo de representación geométrica.
6. Sistema de coordenadas polares: el sistema es compuesto por un punto O (origen) que es
llamado polo y una semirrecta con origen en O llamada eje polar. En este caso el punto P del plano,
con referencia al polo y al eje polar, es dado por el ángulo (Ɵ), que se forma por la distancia que
existe entre el origen y el punto P.:
Sistema tridimensional rectangular: Esta formado por tres rectas perpendiculares (x, y,
z) que tienen como origen un punto O en el espacio. Se forman tres planos coordenados: xy, xz
y yz; el espacio quedará dividido en ocho regiones llamadas octantes. La referencia de un punto
P del espacio es dada por las distancias que existen entre los planos y P.
7. Ecuaciones para métricas
En matemáticas, un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie
en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante
una variable , llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función
dependiente del parámetro.
En el espacio R3 cada punto de una curva se puede definir por un sistema de tres ecuaciones
x= x(t), y = y(t), z= z(t).
Cualquier recta r que puedas dibujar sobre una hoja de papel puede ser determinada analíticamente por
medio de punto A que forme parte de dicha recta y una dirección que se puede expresar mediante un
vector no nulo.
8. Representación paramétrica de una curva
La representación paramétrica de una curva en un espacio n dimensional consiste en n funciones de una
variable t que en este caso es la variable independiente o parámetro de la forma
donde representa la i-ésima coordenada del punto generado al asignar valores del intervalo [a, b] a t.
Por ejemplo, para representar una curva en el espacio se usan 3 funciones x = x(t), y = y(t), z = z(t)
Si x y y están expresadas como funciones:
x = f(t), y = g(t)
en un intervalo I de valores t, entonces, el conjunto de
puntos (x, y) = (f(t), g(t)) definido por estas ecuaciones es
una curva paramétrica. Las ecuaciones son ecuaciones
paramétricas de la curva.
La variable t es un parámetro de la curva y su dominio I es el
intervalo del parámetro. Si I es un intervalo cerrado, a t b,
el punto (f(a), g(a)) es el punto inicial de la curva, y (f(b), g(b))
es el punto final.
9. Solución
Elaboramos una pequeña tabla de valores (tabla 11.1), graficamos los puntos (x, y) y trazamos una curva suave que
pase por ellos (figura 11.2). A cada valor de t corresponde un punto (x, y) sobre la curva; por ejemplo, a t = 1 le
corresponde el punto (1, 2) registrado en la tabla 11.1. Si pensamos que la curva es la trayectoria de una partícula
en movimiento, entonces, la partícula se desplaza a lo largo de la curva en la dirección de las echas que se
muestran en la figura 11.2. Si bien los intervalos de tiempo son iguales en la tabla, los puntos consecutivos trazados
a lo largo de la curva no están a las mismas distancias sobre el arco de la curva. La razón es que la partícula reduce
su velocidad mientras se aproxima al eje y a lo largo de la rama inferior de la curva conforme t aumenta, y luego
acelera después de alcanzar el eje y en (0, 1) desplazándose a lo largo de la rama superior. Como el intervalo de
valores para t está compuesto por números reales, no existe un punto inicial ni uno final de la curva.
EJEMPLO 1 : Dibuje la curva definida por las ecuaciones paramétricas
11. Grafica de ecuaciones paramétricas.
Las ecuaciones paramétricas son aquellas ecuaciones en que las variables x y y, cada una separadamente, están expresadas
en función de la misma tercera variable. Según esto, designando por la letra z la tercera variable, comúnmente llamada
variable paramétrica.
Una curva plana C es un conjunto de puntos P(x, y) cuyas coordenadas están dadas por las ecuaciones paramétricas.
x = f( t ), y = g ( t ).
en donde f y g son funciones continuas en un intervalo [a,b].
Ejemplo:
12. Graficación de ecuaciones paramétricas
EJEMPLO:
Considera las ecuaciones paramétricas para
a. Grafica las ecuaciones en papel cuadriculado.
Solución
Usa las ecuaciones para calcular los valores x y y que corresponden a los valores t en el intervalo
a. Después grafica los puntos a medida que t aumenta, conectando cada punto
con el anterior.
13. Grafica Cartesiana
EJEMPLO: Obtenga la parametrización de la recta que pasa por el punto (a, b) y que tiene
una pendiente m.
Observe que una parametrización también especifica
(mediante el valor del parámetro) cuándo la partícula que
se mueve a lo largo de la curva se ubica en un punto
específico
de ésta.se llega al punto (2, 4) cuando t = 4 el punto
se alcanza “antes”, cuando t = 2
La ecuación cartesiana de la recta es y - b = m(x - a). Si establecemos
el parámetro t = x - a, encontramos que x = a + t y y - b = mt. Es decir,
Solución
14. Comparación grafica de ecuación paramétrica y de Cartesiano
En general, una curva plana se define por dos variables, a saber, x e y. Tal plano se conoce como plano
Cartesiano y su ecuación se llama ecuación Cartesiana.
Las ecuaciones paramétricas son aquellas definidas en términos de un solo parámetro, generalmente, este
parámetro es ‘t’. Una curva que represente tal ecuación es llamada curva paramétrica. Para ello, las
variables de la ecuación Cartesiana son transformadas con el fin de representar el parámetro ‘t’ como:
x = f(t) y = g(t)
Una curva paramétrica puede ser
dibujada de muchas formas
diferentes y la más
conveniente entre ellas es la
selección de ciertos valores de t y
obtener los valores
correspondientes de f(t) y g(t), es
decir, x e y. Entonces estos son
después trazados en
coordenadas Cartesianas.
15. Aplicación de ecuaciones vectoriales paramétricas para la determinación de
las características cinemáticas de una partícula en movimiento
Ejercicio1:
El movimiento de una partícula viene dado por la ecuación: x = -8 + 2t en el S.I.
A. ¿Donde se encuentra inicialmente?.
B. ¿En qué dirección se mueve y hacia donde se dirige?.
C. ¿Cual es la posición de la partícula a los 5 s?.
D. ¿Qué espacio ha recorrido en 5 s?.
R: (- 8,0); dirección del eje X, en sentido positivo; (2,0) m; 10 m
Ejercicio 2:
Una partícula efectúa un movimiento cuya ecuación vectorial está determinada por: r(t)=3ti+(2t2+3)j, expresada en
unidades del Sistema Internacional. Determinar:
a) El vector de posición en el instante inicial.
b) La posición en el instante t = 5 s.
c) La ecuación de la trayectoria.
d) El vector desplazamiento que corresponde al intervalo entre 0 y 5 s.
Respuesta:
a) 3jm
b) r5 = 15 i + 53 j (m)
c) y= 2x2/9 +3
d) ∆r = 15 i + 50 j (m)
16. Transformar las ecuaciones paramétricas a las cartesianas.
Está dada por: Ax + By + Cz + D = 0, es decir, los puntos del espacio (x, y, z) que satisfacen la
ecuación y forman un plano.
Para encontrar la ecuación cartesiana de un plano, cuando está escrita en ecuación paramétrica:
1) Se igualan las coordenadas.
2) Se escribe como un sistema de ecuaciones correspondiente.
3) Se eliminan los parámetros para encontrar una única ecuación lineal en variables (x, y, z).
Ecuación paramétrica: función que asocia un punto de la recta a cada valor del parámetro en la recta
numérica. x= x + λp + μq y= y + λp + μq z= z + λp + μq
c) λ=0, μ=0
d) λ=0, μ=1
e) λ=2, μ=2
17. Ejemplo:
Dado el plano de ecuación vectorial determinar su ecuación cartesiana
1) Escribir la representación paramétrica del plano
2) 2) Igualamos las coordenadas que satisfacen la ecuación
3) Eliminar parámetros para determinar la relación entre x, y, z.
18. Restando a la segunda ecuación la primera quedaría
El sistema se reduce a:
Por lo tanto la ecuación cartesiana del plano es:
5x - 5y + z = -3
19. Longitud de arco en ecuaciones paramétricas.
En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la
medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal.
Para encontrar la longitud de arco de una curva, construimos una integral
de la forma:
Cuando y son funciones de una nueva variable, el parámetro Para
poder usar la integral de longitud de arco, primero calculamos las derivadas de
ambas funciones y obtenemos y en términos de
Se sustituye estas expresiones en la integral y factoría el término fuera del radical.
20. Longitud de una curva paramétrica
Considera la curva parametrizada por las siguientes ecuaciones:
Si dejamos que varíe de la curva resultante se ve así:
21. Determinar la longitud de arco de una curva a través de sus
ecuaciones paramétricas.
Ejercicio:
22.
23. Conclusión
Las ecuaciones paramétricas son sistema de ecuaciones que permite
representar una curva o superficie en el espacio, mediante valores que
recorren un intervalo de números reales, mediante una variable , llamada
parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función
dependiente del parámetro. En las generalidades del algebra vectorial estudiar
los sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices, espacios vectoriales y
sus transformaciones lineales. Se relaciona con áreas como ingeniería,
resolución de ecuaciones diferenciales, análisis funcional, investigación de
operaciones y gráficas computacionales. Otra de las áreas que ha adoptado el
álgebra es la física, ya que a través de esta se ha logrado desarrollar el estudio
de fenómenos físicos, describiéndolos mediante el uso de vectores. Esto ha
hecho posible una mejor comprensión del universo. En el álgebra vectorial se
originó del estudio de los cuaterniones 1, i, j, y k, así como también de la
geometría cartesiana. En matemática la longitud de arco es la medida de la
distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Una
curva también es un conjunto de puntos que representan las distintas
posiciones ocupadas por un punto que se mueve.
25. Bibliografía
Autor: (Vincenzo Jesús D'Alessio Torres), Año (2015)
Titulo: de la pagina (Álgebra Vectorial: Fundamentos, Magnitudes, Vectores)
Dirección: https://www.lifeder.com/algebra-vectorial-fundamentos-magnitudes-vectores/
Autor: (Jesús infante murillo), Año (2002)
Titulo: (Ecuaciones paramétricas)
Dirección: https://expediente.ues.edu.sv/uiu/elementos_estudio/matematica
/Jesus%20Infante%20Murillo%20%20Geometria%20Analitica/10.
%20Ecuaciones%20Parametricas.pdf
Autor: (Cesar Ruiz), Año ( 2016)
Titulo: de la pagina (Longitud de una curva paramétrica )
Dirección: http://www.mat.ucm.es/~cruizb/MMI/Apuntes-i/Apuntes-16/Ap-Integral-18.pdf
Autor: (Math kendal), Año (2004)
Titulo: (Graficación de ecuaciones paramétricas)
Dirección: http://www.mat.ucm.es/~cruizb/MMI/Apuntes-i/Apuntes-16/Ap-Integral-18.pdf
