1. En matemáticas el teorema de Abel o teorema de
Abel-Ruffini postula que no puede resolverse por
radicales las ecuaciones polinómicas generales de
grado igual o superior a cinco.
Es decir, no es posible encontrar las soluciones de la
ecuación general:
de grado superior o igual a cinco, aplicando
únicamente un número finito de sumas, restas,
multiplicaciones, divisiones y extracción de raíces a
los coeficientes de la ecuación.

2. El contenido de este problema es generalmente mal
entendido:
El teorema no afirma que las ecuaciones polinómicas de grado
cinco o superior no tengan soluciones o que no puedan ser
resueltas. De hecho, si la ecuación polinómica tiene
coeficientes reales o complejos y permitimos soluciones
complejas, entonces cualquier ecuación polinomial tiene
soluciones; éste es el teorema fundamental del álgebra.
Aunque estas soluciones no siempre pueden ser calculadas
exactamente con un número finito de operaciones aritméticas,
pueden serlo hasta cualquier grado de exactitud deseado
usando métodos numéricos tales como el método de Newton-
Raphson o el Método de Laguerre, y de ese modo no son
diferentes de las soluciones de las ecuaciones polinómicas de
segundo, tercero y cuarto grados.

3. 2. El teorema solo se refiere a la forma que una
solución debe tomar. El contenido del teorema es que
la solución de una ecuación de grado cinco o superior
no puede siempre ser expresada comenzando por los
coeficientes y usando solo finitamente las operaciones
de suma, multiplicación,y radicación.
3. El teorema es falso para ecuaciones de grados
inferiores a cinco. Por ejemplo, las soluciones de la
ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0 pueden
ser expresadas en términos de adición, multiplicación y
extracción de raíces como:

4. Formas análogas para las ecuaciones polinómicas de
tercer y cuarto grado, usando raíces cúbicas y cuartas,
han sido conocidas desde el siglo XVI.
4. Para grados superiores o iguales a cinco, el teorema
especifica que no puede resolverse por radicales
cualquier ecuación pero hay ecuaciones particulares
que sí pueden resolverse por radicales. Así, el teorema
de Saüch-Ruffini dice que hay algunas ecuaciones de
quinto grado cuya solución no puede ser expresada de
ese modo como por ejemplo la ecuación 'x5 - x + 1 = 0
. Sin embargo, algunas otras ecuaciones de quinto
grado pueden ser resueltas mediante radicales, por
ejemplo x5 - x4 - x + 1 = 0.

5. El criterio preciso que separa aquellas ecuaciones que
pueden ser resueltas mediante radicales de aquellas que
no fue dado por Évariste Galois y es parte de la Teoría
de Galois: una ecuación polinómica puede ser resuelta
mediante radicales si y sólo si su grupo de Galois es un
grupo resoluble. En el análisis moderno, la razón por la
que las ecuaciones polinomiales de segundo, tercero
cuarto grado pueden ser resueltas siempre mediante
radicales mientras que las ecuaciones de grado superior
no es simplemente el hecho algebraico de que los
grupos simétricos S2, S3 y S4 son grupos resolubles,
mientras que Sn no es resoluble para n ≥ 5.

6. La siguiente prueba esta basada en la Teoría de
Galois. Uno de los teoremas fundamentales de la
teoría de Galois dice que una ecuación se puede
resolver en radicales si, y solo si tiene un Grupo de
Galois que se puede resolver, entonces la prueba del
teorema de Abel-Ruffini viene de computar el grupo
de Galois del polinomio general de quinto grado.
Sea y1 un número real trascendente sobre el campo
de los números racionales Q, y sea y2 un número real
trascendental sobre Q(y1), y así hasta y5 que es
trascendental sobre Q(y1,y2,y3,y4). Estos números son
llamados elementos trascendentales independientes
sobre Q. Sea E = Q(y1,y2,y3,y4,y5) y sea