1. 1. Derivadas Parciales
Competencias a desarrollarse en la unidad
El estudiante estará en la capacidad de:
- Comprender los conceptos y métodos fundamentales de la teoría de los sistemas
de ecuaciones diferenciales ordinarias, de ecuaciones diferenciales en derivadas
parciales, de la teoría de funciones analíticas.
- Transferir los conceptos y métodos fundamentales de la teoría de los sistemas de
ecuaciones diferenciales ordinarias, de ecuaciones diferenciales en derivadas
parciales y de la teoría de funciones analíticas a ciertas aplicaciones afines a la
carrera, con un grado de dificultad acorde a un tercer año.
- Afianzar la capacidad abstracción, de razonamiento lógico y reflexión crítica.
- Aumentar su capacidad para adquirir nuevos conocimientos en forma autónoma.
- Utilizar con actitudes críticas modelos matemáticos de fenómenos vinculados con
la física, biología y otras asignaturas de la carrera, planteados mediante sistemas
de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, no lineales, ecuaciones en
derivadas parciales y funciones de variable compleja.
- Simular con la computadora y el software matemático apropiado problemas del
campo de la física, biología, etc., que involucren ecuaciones diferenciales ordinarias
lineales, no lineales, ecuaciones en derivadas parciales y funciones de variable
compleja.
Interpretar los resultados de las simulaciones computacionales en el contexto del
problema real
Introducción a la unidad
En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una
relación entre una función matemática u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las
derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales
se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que
suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación
del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la
elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros. Se las conoce también como ecuaciones
diferenciales parciales. Participaron en su estudio los D'alambert, Fourier, matemáticos de
la época napoleónica.

2. Sinopsis
Devidadas
Dominio y Limites y Derivadas Regla de
Definición
Rango Continuidad Parciales Cadena
1.1. Introducción
Se abre aquí el estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: la
derivada de una función.
En este tema, además de definir tal concepto, se mostrará su significado y se hallarán las
derivadas de las funciones más usuales. Es de capital importancia dominar la derivación
para después poder abordar el trazado de curvas, así como para comprender la utilidad
del cálculo integral, que se estudiarán a continuación.
La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite aunque
actualmente se estudie aquélla inmediatamente después de éste, por razones que serán
fácilmente comprensibles.
La derivada de una función en un punto x0 surge del problema de calcular la tangente a la
gráfica de la función en el punto de abscisa x0, y fue Fermat el primero que aportó la
primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos
puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que
forman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos
en los que las tangentes fueran horizontales

3. 1.2. Derivadas de una función en un punto
Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h muy próximo a
x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la recta
secante (en rojo de la figura) que une los puntos
( x0, f(x0 ) ) y ( x0 + h, f(x0 + h) ), tiende a confundirse con la tangente (en azul de la
figura) a la curva en el punto (x0,f(x0 )).
Si es el ángulo que forma la secante con eje de abscisas, y es el ángulo que determina
la tangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices
(x0,f(x0 )), (x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0 )), se verifica:
Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento
de la tangente, es decir, si miras la figura, al hacer que h tienda a cero la línea roja se
acerca a la línea azul por lo que:
tg ah tiende a tg a, es decir, a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )).
Esto se expresa matemáticamente así:

10. 1.3. Cálculo de Derivadas

11. 1.4. Fórmulas de Derivadas

12. 1.5. Ejercicios de Derivadas – Nivel 1
Derivada de una constante
Tipo nº 1
LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero.
Ejercicio nº 1)
Sol:
Ejercicio nº 2)
Sol:
Ejercicio nº 3)

13. Sol:
Ejercicio nº 4)
Sol:
Ejercicio nº 5)
Sol:
Ejercicio nº 6)
Sol:
Ejercicio nº 7)
Sol:
Ejercicio nº 8)
Sol:
Ejercicio nº 9)
Sol:
Ejercicio nº 10)
Sol:
Derivada de una función potencial: Forma simple
Tipo nº 2

14. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL es igual al exponente
por la variable elevado a una unidad menos.
Ejercicio nº 11)
Sol:
Ejercicio nº 12)
Sol:
Ejercicio nº 13)
Sol:
Ejercicio nº 14)
Sol:
Ejercicio nº 15)
Sol:
Ejercicio nº 16)
Sol:
Ejercicio nº 17)
Sol:
Ejercicio nº 18)

15. Sol:
Ejercicio nº 19)
Sol:
Ejercicio nº 20)
Sol:
<!--[endif]-->
Ejercicio nº 21)
Sol:
Ejercicio nº 22)
Sol:
Ejercicio nº 23)
Sol:
Ejercicio nº 24)
Sol:
Ejercicio nº 25)

16. Sol:
Ejercicio nº 26)
Sol:
Ejercicio nº 27)
Sol:
Ejercicio nº 28)
Sol:
Ejercicio nº 29)
Sol:
Derivada de una función logarítmica: Forma simple
Ejercicio nº 30)
Sol:

17. Derivada de una función exponencial con base e: Forma simple
Ejercicio nº 31)
Sol:
Derivada de una función exponencial con base distinta del número e: Forma simple
Ejercicio nº 32)
Sol:
Ejercicio nº 33)
Sol:
Ejercicio nº 34)
Sol:
Ejercicio nº 35)
Sol:
Ejercicio nº 36)
Sol:

18. Derivada de una función trigonométrica tipo seno
Ejercicio nº 37)
Sol:
Derivada de una función trigonométrica tipo coseno
Ejercicio nº 38)
Derivada de una función trigonométrica tipo tangente: Forma simple
Ejercicio nº 39)
Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno: Forma simple
Ejercicio nº 41)
Sol:
Derivada de una función trigonométrica tipo arco tangente: Forma simple

19. Ejercicio nº 40)
Sol:
1.6. Ejercicios de Derivadas – Nivel 2
Regla nº 1
LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN es igual a la constante por la derivada de la
función
Derivada de una función potencial: Forma simple
Ejercicio nº 1)
Sol:
Ejercicio nº 2)
Sol:
Ejercicio nº 3)
Sol:
Ejercicio nº 4)
Sol:
Ejercicio nº 5)

20. Sol:
Ejercicio nº 6)
Sol:
Ejercicio nº 7)
Sol:
Ejercicio nº 8)
Sol:
POTENCIAS
Sigue recordando:
y
Ejercicio nº 9)
Sol:
Ejercicio nº 10)
Sol:

21. Ejercicio nº 11)
Sol:
Ejercicio nº 12)
Sol:
Ejercicio nº 13)
Sol:
Ejercicio nº 14)
Sol:
Ejercicio nº 15)
Sol:
Ejercicio nº 16)
Sol:
Ejercicio nº 18)
Sol:
Ejercicio nº 19)

22. Sol:
Ejercicio nº 20)
Sol:
Ejercicio nº 21)
Sol:
Regla nº 2
LA DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES es igual a suma de las derivadas de las funciones
Ejercicio nº 22)
Solución:
Ejercicio nº 23)
Sol:
Ejercicio nº 24)
Sol:
Ejercicio nº 25)
Sol:
Ejercicio nº 26)

23. Sol:
Ejercicio nº 27)
Sol:
Ejercicio nº 28)
Sol:
Ejercicio nº 29)
Sol:
Regla nº 3
LA DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES es igual a la derivada de la primera función por la
segunda función menos la primera función por la derivada de la segunda función
Ejercicio nº 30)
Solución:
Ejercicio nº 31)
Solución:
Ejercicio nº 32)

24. Solución:
Ejercicio nº 33)
Solución:
Regla nº 4
LA DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES es igual a la derivada de la función del numerador
por la función del denominador menos la función del numerador por la derivada de la función del
denominador, dividido todo ello por el denominador al cuadrado
Ejercicio nº 34)
Solución:
Ejercicio nº 35)
Solución:
Ejercicio nº 36)
Solución:

25. Ejercicio nº 37)
Solución:
Ejercicio nº 38)
Solución:
Derivada de una función logarítmica: Forma simple
Ejercicio nº 39)
Sol:
1.7. Ejercicios de Derivadas – Nivel 3
Ejercicio nº 1)
Sol:
Ejercicio nº 2)
Sol:
Ejercicio nº 3)

26. Sol:
Ejercicio nº 4)
Sol:
Ejercicio nº 5)
Sol:
Ejercicio nº 6)
Sol:
Ejercicio nº 7)
Sol:
LOGARITMOS
Recuerda de la ESO:
El LOGARITMO DE “a” ELEVADO A “b” es igual al exponente b multiplicado por el logaritmo de a
Ejercicio nº 8)
Sol:

27. Ejercicio nº 9)
Sol:
Ejercicio nº 10)
Sol:
Ejercicio nº 11)
Sol:
Ejercicio nº 13)
Sol:
Ejercicio nº 14)
Sol:
Ejercicio nº 15)
Sol:
Ejercicio nº 16)
Sol:

28. Ejercicio nº 17)
Sol:
Ejercicio nº 18)
Sol:
Ejercicio nº 19)
Sol:
Ejercicio nº 20)
Sol:
Ejercicio nº 21)
Sol:
TRIGONOMETRÍA
Recuerda de la ESO:
LA COTANGENTE DE UN ÁNGULO es igual al coseno de dicho ángulo dividido entre el seno del mismo
Ejercicio nº 22)

29. Sol:
Ejercicio nº 23)
Sol:
Ejercicio nº 24)
Sol:
Ejercicio nº 25)
Sol:
Ejercicio nº 26)
Sol:
Ejercicio nº 27)
Sol:
Ejercicio nº 28)
Sol:
Ejercicio nº 29)
Solución:
Ejercicio nº 30)

30. Solución:
Ejercicio nº 31)
Solución:
Ejercicio nº 32)
Solución:
Derivada de una función exponencial con base e: Forma compuesta
Tipo nº 5
LA DERIVADA DEL NÚMERO “e” ELEVADO A UNA FUNCIÓN DE x es igual al número “e” elevado a dicha
función de x multiplicado por la derivada de dicha función
Ejercicio nº 35)
Sol:
Ejercicio nº 37)
Sol:

31. 1.8. Tareas
Usando las reglas de derivación, calcular la derivada de las siguientes funciones:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g. h.
i. j.
k. l.
m.
ll.
o.
n.
q.
p.
r. rr.