O documento apresenta os conceitos de momento de força e suas aplicações em problemas de equilíbrio de corpos rígidos. É definido o momento de força em relação a um ponto e mostrado como calcular o momento resultante a partir das forças aplicadas a um sistema. Exemplos ilustram o cálculo do momento de força em diferentes situações.
1. Estática
Seção 3 – Momento de Força
Prof. Jorge Formiga
jorge.formiga@etep.edu.br
1
2. Objetivo:
O aluno deverá aplicar o
momento de força nos
problemas de equilíbrio do corpo
rígido.
2
3. Corpo Rígido
Sistema de forças equivalentes
Forças externas e internas
Princípio da transmissibilidade
Momento de força em relação a um
ponto
C
B 0.875m
Criação: DI - CETEC
A
D
E
d
0.2m
3
4. Forças externas e internas
(exemplo 1/3)
Forças externas
F N1 N2 mg1 mg2
F 1 2
Forças internas
Par ação e reação
F12 = - F21
N1 N2
F 1 F12 F21 2
P1 P2
4
5. Forças externas e internas
(exemplo 1/3)
Forças externas
F mg N1 N2
Forças e Momentos internos
Par ação e reação
F12 = - F21 M12 = - M21
M12 M21
1
F Fy12 Fy21
2 F
mg
Fx12 Fx21
mg
N2 N1 N2
N1 5
6. Momento de Força em
Relação a um ponto
Produto vetorial
M0
M0 r F
Direção: perpendicular ao
plano definido por r e F
F Sentido: regra da mão
q direita
M0
F
r
r
Módulo do produto vetorial
M 0 r F senq
6
7.
M0
F
q 0
r
r
d d
q
A
M 0 Fd m
N
senq d (braço)
Nm r senq d (braço)
r
7
8. Exemplo 1F
d
90 M0 r F
r o
0 A r Li ; F Fj
L
M 0 Li ( Fj ) FLk
d=L
M 0 FL
y
j
i x
d M0 r F
0
r Lsenqi L cos qj ; F Fj
r F
L M 0 FLsenqk
M 0 FLsenq
A
d = Lsenq q
8
9. Momento de força com relação a
origem do sistema de referência OXYZ
F
M0 r
M0 r F Y
F x
Fz
r x i y j zk F
Fy
0
r X
F Fx i Fy j Fz k y
A z
x
Z
i j k
M0 x y z (Fz y Fy z) i (Fx z Fz x ) j (Fy x Fx y)k
Fx Fy Fz M 0 x Fz y Fy z
M 0 y Fx z Fz x
M 0 M 0x i M 0 y j M 0z k
M 0 z Fy x Fx y
9
10. Exemplo 2
i j k
M0 4 1 3 1000 i 100 j 1300k ( Nm)
100 300 100
M 0 x Fz y Fy z ( 100) 1 300 3 1000 Nm
M 0 y Fx z Fz x ( 100) 3 ( 100) 4 100 Nm
M 0 z Fy x Fx y 300 4 ( 100) 1 1300 Nm
10
11. Y
Y
Fx
Fz
Fy
M0x M0y
0 F
X M X
M0 r q 0
A z M0z
y
x
Z Z
r 4 i 1 j 3k (m) F 100 i 300 j 100k ( N)
F
M 0 1000 i 100 j 1300k ( Nm)
q
M0 = 1643 Nm M 0 r F senq F d 0
r A
F = 332 N d = 4,95 m q = 103,90
11
12. Exemplo 3: Calcular o torque em
relação a origem
Y FC
FA FB
FA = 300N
0 C FB = 200N
X
A 4m
1m FC = 100N
3m
Z
A B C SI
F 300 N
M 0 Fd d 5 m
M0 1500 Nm 12 12
13. Momento de força com relação a um ponto
qualquer (ponto B) Y F Y A
F A x ’
z
FA rB B X
M B rA / B FA FAy ’
0 Z’
rA
rA / B
X
rA / B rA rB y
A z
x
rA / B x i y j zk Z
x x A x B y y A y B FA FAx i FAy j FAz k
z z A z B
i j k
M B x y z (FAz y FAy z) i (FAx z FAz x ) j (FAy x FAx y)k
FAx FAy FAz M F y F z
Bx Az Ay
M B M Bx i M By j M Bz k M By FAx z FAz x
M Bz FAy x FAx y13
14. Exemplo 4
Y Y’
FA
B FB X’ FA = 300N
FC
Z’
0 C
FB = 200N
X
A 4 FC = 100N
1m
m
3m
Z
M B Fd M B rA / B F ( Nm)
A B C SI MB i j k M0
F 300 200 N A -1200 0 0 1200
d 4 0 m B 0 0 0 0
MB 1200 0 120 Nm C 0 120 0 120
14
15. 1,5 B
2,5
2
FC = 100 N
FC = 100 N
C FCX = FCcos(53º) = 80 N
FCX FCX = FCcos(53º) = 60 N
4 53o FCY = FCsen(53º) = 60 N
FCY = FCsen(53º) = 80 N
FCY
FC
53o
3
15
16. Corpo Rígido
Sistema de forças equivalentes
Teorema de Varignon
Forças externas e internas
Binário da transmissibilidade
Princípioou Par conjugado
Representação de uma dada força
Momento de força em relação a um em
ponto força atuando num ponto O e em um
uma
binário
Redução de um sistemas de forças em
uma força e um binário
C
B 0.875m
Criação: DI - CETEC
history.mcs.st-and.ac.uk
A
D
E
d 16
0.2m
17. Teorema de Varignon
Y
F3
F1
A
r F2
0
X
Z
r (F1 F2 ...) r F1 r F2 ...
F F1 F2 ...
history.mcs.st-and.ac.uk
F : Re sul tan te das forças
17
18. Exemplo 5
F
Y F1
F1 (300 N) j
0 F2 (400 N)i
X
r 4m
A
r 3 i 1 j 4k ( m)
1m F2
Z
3m
M 0 r F1 r F2
r F1 1200i 0 j 900k
+
F1
F r F2 0i 1600 j 400k
a
M 0 1200 i 1600 j 500k
A F2
18
19. Exemplo 5
(cont.)
F 400 i 300 j 0k
F F 400 2 300 2 0 2 500 N
M0 r F
M 0 (3 i 1 j 4k ) (400 i 300 j)
M 0 1200 i 1600 j 500k
19
20. Exercício 1
Uma força de 1000 N atua na extremidade A da
estrutura da figura abaixo. Determinar o momento de
força com relação ao ponto B, a) da força de 1000N e b)
de suas componentes nas direções horizontal e vertical.
1000 N
50o
A
180 mm
B
Reposta:
240 mm a)M=292,3 Nm
b)Mx=137,9Nm e My=154,3Nm 20
20
21.
Binário ou Par conjugado M
Y B d
M 0 rA F rB ( F )
rB F rA / B
F
M 0 (rA rB ) F
A q
M 0 rA / B F M B rA
0 X
Z
M 0 M B F rA / B senq
M 0 M B M Fd d
B
M Fd F ( F ) 0
rA / B
21 A
22. Binário ou Par conjugado (cont.)
Y F
A A
F
F X M
M B
B
F
M = Fd M = Fd
F ( F ) 0
22
23. Binários Equivalentes
Binário 1
Y M1 Y
M
X X
F1 12N 5cm
d1
12N
F1 Z
Z
M = F1d1
23
24. Binários Equivalentes
Binário 2
Y M2 Y
M
F2 X 15N X
d2
4cm
F2 15N
Z Z
M = F2d2
24
26. Binário 1 Binários Equivalentes Binário 2
Y
M1 M1 M 2 Y M2
Direção F2 X
X Sentido d2
F1
d1 Intensidade F2
F1 Z
Z
Y
Y M
M
M = F1d1 = F2d2
15N X
X 4cm
12N 5c 15N
m
12N
Z Z
M = F1d1 M = F2d2 26
27. Soma de Binários
Y
M1 MB rA / B R
MB rA / B (F1 F2 )
MB rA / B F1 rA / B F2
MB M1 M 2
F2 F1 X
R M2
B Y MB
A
rA / B
R
d1 F2 M1
Z F1
M2
0 X
Z 27
28. Soma de Binários Y
Y
M1
cubo X
3 200 N
300 N 1 Z
A
n n
100 N
M i j k M
1m X
100 N
1
1 0 0 -100 100
200 N
300 N
B 2
2 0 0 300 300
2 3
3 -200 200 0 283
Z
R -200 200 200 346
M
(Nm)
28
29. Representação de uma dada força em uma
força atuando num ponto O e em um binário
M0
F F
F F
r =
F
r =
M0 r F
29
30.
F
d
M 0 FL
90
o
r
0 A
L
F F
d
90
o
r
0 A
L
F
F d
90
o
r
0 A
L
M0 30
30
31. Exercício 1
Na estrutura da figura abaixo determinar a) os momentos
dos binários 1 e 2; b) o momento resultante dos dois
binários; c) a soma dos momentos de cada uma das forças
com relação ao ponto O; OBS: Dimensões da estrutura em
centímetro. (Sugestão: livro Beer pag 159 5ª edição)
Y
0 X
C
50
A 200N
100N
2 50
B
20
Z 20
D 200N 1
100N 31
32. Exercícios
2- Para satisfazer limitações de projeto é necessário determinar o efeito da
força trativa F= 2 kN atuando no cabo, sobre o cisalhamento, tração e flexão
da viga em I engastada. Com esse propósito substitua a força por seu
equivalente em duas forças em A perpendicular e paralela a viga. Calcule o
torque exercido por F no ponto A.
30 cm
A
Respota: Ft=1,286 KN e
Fn=1,532 KN 200
T=459,6 Nm
300
F
B
33. Exercícios
03- Um pé-de-cabra é usado para remover um prego, como mostra a
figura abaixo. Determine o momento da força de 240 N em relação ao
ponto O, de contato entre o pé-de-cabra e o pequeno bloco de
suporte.
Reposta: Mo=84N.m
33
34. Exercícios
04- O elemento estrutural rígido está
submetido a um binário composto de um
par de forças de 100N. Substitua esse
binário equivalente, consistindo nas duas
forças P e –P, cada uma com módulo de
400N. Determine o ângulo θ apropriado.
Reposta: Mo=10N.m e θ=51,3°
34
35. Exercícios
05- Uma força F=50N é exercida sobre a alavanca do freio de mão
de mão de um automóvel onde x=250mm. Substitua a força por um
sistema força-binário equivalente no ponto O.
Reposta: Mo=17N.m 35
36. Exercícios
05- A figura representa duas engrenagens maciças submetidas às
forças de contato mostradas. Substitua as duas forças por um única
força equivalente R no eixo de rotação O e por um binário M
correspondente. Especifique os módulos de R e M.
Reposta:
R=3,56 kN , Mo=12N.m
36
37. Exercícios
06-Um força trativa T de módulo 10 kN é aplicada ao cabo preso no
topo do mastro rígido, em A e preso ao chão em B. Determine o
momento Mz de T em relação ao eixo z que passa pela base O.
Reposta:
Mz=-84,9 kN.m
37
38. Exercícios
07-Uma força de 40N é aplicada em
A na manivela da alavanca de
controle que está conectada ao eixo
rígido OB. Ao determinar o efeito da
força sobre o eixo em um a seção
transversal, como aquela em O,
podemos substituir a força por uma
força equivalente em O e por um
momento. Descreva esse momento
como um vetor M e a direção do
vetor no plano y-z.
Reposta:
M=-50j+80k N.m e θ=32º
38