ESTRUCTURAS DISCRETAS

UNIVERSIDAD PEDAGOGICA NACIONAL ,[object Object],P R E U F O D,[object Object],ESTRUCTURAS DISCRETAS,[object Object]

INTRODUCCION,[object Object],El ser humano, a través de su vida diaria, se comunica con sus semejantes a través de un lenguaje determinado (oral, escrito, etc.) por medio de las denominadas frases u oraciones. Estas pueden tener diferentes significados pero siempre van a resumirse a las formas de verdaderas o falsas, siendo éste el precedente fundamental para el desarrollo humano. ,[object Object],Lo importante en el presente estudio es el hecho de que, a partir de los enunciados y de acuerdo a su significado es posible establecer una proposición y a partir de un conjunto de éstas podemos llegar a una conclusión o inferencia, siendo la lógica la ciencia encargada del estudio de éstas.,[object Object],Hoy en día, la lógica proposicional tiene una importancia singular dada su aplicación en la informática.,[object Object]

QUE ES LA LOGICA?,[object Object],Disciplina que estudia los principios formales del conocimiento humano, es decir, las formas y las leyes más generales del pensamiento humano considerado puramente en sı mismo, sin referencia a los objetos. ,[object Object]

PROPOSICIONES Y ENUNCIADOS LOGICOS,[object Object],Es el significado de cualquier frase declarativa que puede ser verdadero o falso. ,[object Object],A las proposiciones o enunciados se les puede asignar uno de dos valores “1” si es verdadero o “0” si es falso, por ese motivo se le denomina logica bivalente,[object Object]

Algunosejemplos de enunciados y propocisiones,[object Object],[object Object]

“Llovera manana” es una proposicion, para conocer su valo de verdad tenemos que esperar hasta manana.

“Las rosas son rojas y la violetas azules” es un enunciado compuesto por los subenunciados “Las rosas son rojas” y “Las violetas azules”

X+2=5 es una ecuacion que adquiere un valor de verdad o falsedad cuando a X se le asignen diferentes valores, por tal razon se denomina una proposicion condicional,[object Object]

LA NEGACION (NOT ~ ),[object Object],Para negar una proposicion se emplea el simbolo ( ~ ) de tal rorma que ~p ( que se lee “ no p”),[object Object],Ejemplo: ,[object Object]

LEY DE DOBLE NEGACION (NOT ~ ),[object Object],Cuando el número de negaciones de un enunciado es par, el valor de verdad de dicho enunciado es el original de la proposición, y cuando es impar es la negación del enunciado original.,[object Object],Ejemplo.,[object Object],~ ~ p = p,[object Object],~ ~ ~ p = ~ p,[object Object],~ ~ ~ ~ p = p,[object Object],~ ~ ~ ~ ~ p = ~ p,[object Object]

PROPOSICIONES COMPUESTAS,[object Object],Una proposición compuesta es una proposicion que se puede descomponer en 2 o mas proposiciones atomicas.Una proposicion atomica es una propocion que no se puede descomponer en mas proposiciones.una proposicion atomica: P = es de nocheotra proposicion atomica: Q = esta lloviendoUna PROPOSICION COMPUESTA: P^Q= (P y Q) = Es de noche y esta lloviendo.,[object Object],Las proposiciones compuestas básicas son:,[object Object],La conjunción,[object Object],La disyunción,[object Object],La disyunción exclusiva,[object Object],La implicación,[object Object],La equivalencia,[object Object]

LA CONJUNCION,[object Object],1.- Conjunción (AND ^) significa Y.,[object Object],Da verdadero (1) si ambos valores son 1, en todo los demás casos da 0 Ejemplo:,[object Object],p: Aquiles corre velos q: La tortuga no corre velozmente,[object Object],1.- p ^ q Alquiles corre velos y la tortuga no corre velozmente,[object Object],2.- ~ p ^ q Ni Aquiles ni la tortuga corren velozmente,[object Object],3.- ~ p ^ ~ q Aquiles no corre velozmente y la tortuga corre velozmente,[object Object],Para que la expresión p ^ q sea verdadera tanto p como q deben ser verdaderas ,[object Object]

LA DISYUNCION (OR),[object Object],Disyuncion (OR v) signifiva ” o “ en español.,[object Object],Da falso cuando todas son falsas (0), en todo los demás casos da verdadero (1).,[object Object],Para que la expresión p v q sea verdadera basta que una proposición sea verdadera ,[object Object]

LA DISYUNCION EXCLUSIVA (XOR),[object Object],Es verdadera solo en el caso en el que las dos proposiciones tengan diferente valor de verdad.,[object Object],La palabra “o” tiene dos significados diferentes: En la oración “ El estudiara en la Pedagógica o en la Católica” la presunción es que puede estar en una pero no en ambas. De modo que “o” se utiliza en el sentido llamado disyunción exclusiva ,[object Object]

LA IMPLICACION O CONDICIONAL (  ),[object Object],Es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. La implicación es una conectiva que se notara con una flecha  ejemplo p  q (p implica q).,[object Object],Ejemplo: ,[object Object],1.- Sea p: -1=1 q: (-1)² = (1)²,[object Object],p es un antecedente falso,[object Object],q es un consecuente verdadero,[object Object],p -> q -1=1 ->(-2)² = (-2)² es una implicacion veradera.,[object Object],La implicaciones también reciben el nombre de teoremas, pueden ser de cuatro formas.,[object Object],1.- Implicación directa. p -> q,[object Object],2.- Implicación contraria. q -> p,[object Object],3.- Implicación reciproca. ~ p -> ~ q,[object Object],4.- Implicación contra reciproca. ~ q-> ~ p,[object Object]

Contraria y Reciproca ,[object Object],(q -> p) ↔ (~ p -> ~ q),[object Object],Ejemplo implicación,[object Object],(p -> q) ↔ (~ q -> ~ p),[object Object],Directa y Contra reciproca ,[object Object],Las tablas de verdad de la implicaciones directa y contra reciproca, y de la contraria y reciproca son iguales, por tanto estas implicaciones son equivalentes ( ↔ ) es decir.,[object Object],1.- (p -> q) ↔ (~ q -> ~ p),[object Object],2.- (q -> p) ↔ (~ p -> ~ q),[object Object],Cuando una implicación directa es verdadera y lo es además la implicación contraria las proposiciones son equivalentes ( ↔ ).,[object Object]

LA EQUIVALENCIA,[object Object],La equivalencia es una conectiva logica , p ↔ q que se dice:,[object Object],p entonces q, p si y solo q,p es necesario y suficiente para q,[object Object],La equivalencia es verdadera si ambas proposiciones son verdaderas o si ambas son falsas, es decir:,[object Object],Contingencia,[object Object],Si la tabla de verdad de las proposiciones es siempre verdadera independientemente de la verdad o falsedad de las proposiciones simples, entonces la expresión es tautológica. Si la tabla de verdad es siempre falsa será una contradicción; si es verdadera y falsa, la proposición es una contingencia. ,[object Object]

El siguiente ejemplo es una tautología usada para trasformar una implicación en una expresión equivalente(p -> q ) ↔ ~(p ^ ~q), cuya tabla de verdad es: ,[object Object],Determinar que tipo de expresión es la siguiente: (p -> q ) ↔ ~(~p v q),[object Object],La expresión lógica anterior es una contradicción,[object Object]

Para realizar las tablas de verdad de proposiciones compuestas, de tres simples se deben construir ocho renglones para cada una de las combinaciones de verdad y falsedad ,[object Object],Ejemplo:,[object Object],[ p ^ ~ (q v r ) ]-> [ ( p ^ ~ q ) v ( p ^ ~ r ) ],[object Object],haciendo : s = p ^ ~ q ,[object Object], t = p ^ ~ r ,[object Object]

Para realizar las tablas de verdad de proposiciones compuestas, de tres simples se deben construir ocho renglones para cada una de las combinaciones de verdad y falsedad ,[object Object],Ejemplo:,[object Object],[ ~ p -> ( ~ q v ~ r ) ]-> [ ~ ( p -> q ) v ~ ( p -> r ) ],[object Object],haciendo : s = p -> q,[object Object], t = p -> r,[object Object]

LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES1.- Idempotencia2.- Asociativa3.- Conmutativa4.- Distributiva5.- Identidad6.- Complemento7.- D´Morgan,[object Object]

1.- LEYES IDEMPOTENCIA,[object Object], a. p v p ↔ p b. p ^ p ↔ p ,[object Object],Disyunción,[object Object],Conjunción,[object Object],2.- LEYES ASOCIATIVA de la disyunción,[object Object], a. (p v q) v r↔ p v (q v r),[object Object]

2.- LEYES ASOCIATIVA de la conjunción,[object Object], b. (p ^ q) ^ r↔ p ^ (q ^ r),[object Object]

3.- LEYES CONMUTATIVAS,[object Object], a. p v q ↔ q v p b. p ^ q ↔ q ^ p,[object Object],Conjunción,[object Object],Disyunción,[object Object],4.- LEYES DISTRIBUTIVAS,[object Object],a. p v (q ^ r)↔ (p v q) ^ (p v r) ,[object Object]

4.- LEYES DISTRIBUTIVAS,[object Object],b. p ^ (q v r)↔ (p ^ q) v (p ^ r) ,[object Object],5.- LEYES IDENTIDAD,[object Object],a. p v 0 ↔ pp ^ 1 ↔ p,[object Object],b. p v 0 ↔ pp ^ 1 ↔ p,[object Object],Disyunción,[object Object],Conjunción,[object Object],Disyunción,[object Object],Conjunción,[object Object]

6.- LEYES COMPLEMENTO,[object Object],a. p v ~ p↔ 1p ^ ~ p ↔ 0,[object Object],b. ~ ( ~ p) ↔ p-1 = 0, -0 =1 ,[object Object],Ley doble negación,[object Object],Disyunción,[object Object],Conjunción,[object Object],7.- LEYES D´ MORGAN,[object Object],a. ~(p v q) ↔~p ^ ~ q,[object Object]

7.- LEYES D´ MORGAN,[object Object],b. ~(p ^ q) ↔~p v ~ q,[object Object]

Argumentos y Reglas de inferencia,[object Object],* ¿Qué es una implicación lógica?,[object Object],* ¿Qué es un argumento? ,[object Object],* ¿Qué es un argumento válido?,[object Object],* ¿Cómo usar las reglas de inferencia para establecer y demostrar la validez de un argumento?,[object Object]

Recuerda…,[object Object],Equivalencia significa igualdad,[object Object],Las leyes lógicas nos muestran algunas proposiciones equivalentes a otras. Eso equivale a conocer “atajos proposicionales”. ,[object Object],¿Puedes dar un ejemplo de dos proposiciones compuestas que sean lógicamente equivalentes?,[object Object], …. Pasemos a un concepto nuevo,[object Object]

¿Qué es una implicación lógica?,[object Object],Sean r y s dos proposiciones compuestas. ,[object Object],Decimos que r implica lógicamente as,[object Object],cuando r  s es una tautología y lo ,[object Object],denotamos por r  s.,[object Object],Esto significa que s es verdadera siempre que ,[object Object],r sea verdadera.,[object Object],Ejemplo: Comprueba que [(p  q)  p]  q.,[object Object],En este caso, r es [(p  q)  p] y s esq,[object Object],Piénsalo unos minutos ...!,[object Object]

¿Qué es una implicación lógica?,[object Object],Para comprobar [(p  q)  p]  q usamos la,[object Object],definición.,[object Object],Esta es una implicación lógica llamada: Modus Ponens o Modo Positivo. ,[object Object],Está relacionada con un modo de razonamiento: “Si tengo dinero, voy al cine. Y tengo dinero. Por lo tanto, … voy al cine!”,[object Object]

... implicación lógica,[object Object],Observa que:,[object Object],[object Object]

En una equivalencia lógica podemos sustituir una proposición por otra.

En la implicación lógica no podemossustituir una proposición por otra. ¿Puedes dar una razón?

Que r  s sea una tautología equivale a decir que s es cierta cada vez que r sea cierta.,[object Object]

... implicación lógica,[object Object],Ejercicio 1:,[object Object],Decide si es o no es cierto que :,[object Object],a)q  (p q)  p ,[object Object],q  (p q) p,[object Object],[ (p  q) p ] q,[object Object],Toma unos minutos para decidir ...,[object Object],a) No es cierto; es falsa si p y q son falsas.,[object Object],b) Es cierto; a esta implicación se le llama Modus Tollens.,[object Object],c) Es cierto; a esta implicación se le llama Silogismo disyuntivo.,[object Object]

¿Qué es un argumento?,[object Object],Un argumento es una proposición compuesta del ,[object Object],tipo,[object Object],Si (p1 p2  p3 .....  pk)entoncesq,[object Object], Premisas Conclusión,[object Object],Ejemplo,[object Object],Si Juan se gana la beca, viaja a París. Y Juan se ganó la ,[object Object],beca.,[object Object],Por lo tanto, viajará a París.,[object Object],Este argumento tiene dos premisas. ,[object Object],Las premisas son: “Si Juan gana la beca entonces viaja a París” y “ Juan se ganó la beca”.,[object Object],La conclusión es: “Juan viaja a París”.,[object Object]

Tabla:p  q,[object Object], p,[object Object],  q,[object Object],“Si Juan se gana la beca, viaja a París. Y Juan se ganó la ,[object Object],beca. Por lo tanto, viajará a París”.,[object Object],Este argumento puede representarse como una tabla o,[object Object],como una implicación.,[object Object],Sean las proposiciones: ,[object Object],p: “Juan gana la beca”,[object Object],q: “Juan viaja a París”.,[object Object],Implicación:,[object Object],[(p  q)  p]  q,[object Object],¿Qué es un argumento?,[object Object]

…Argumento ,[object Object],Ejercicio ,[object Object],“Fue Elisa o fue Carlos quien cometió el fraude. Pero,[object Object], Elisa estaba fuera de la ciudad cuando el crimen fue,[object Object],cometido. Si ella estuvo fuera de la ciudad, no pudo,[object Object],cometer el crimen. Eso nos conduce, lógicamente, a,[object Object],Carlos. Él es el culpable.” ,[object Object],a) ¿Cuáles son las premisas en este argumento?,[object Object],b) ¿Cuál es la conclusión?,[object Object], Proposiciones simples ,[object Object],p : “Elisa cometió el fraude”.,[object Object],q : “Carlos cometió el fraude”. ,[object Object],r : “Elisa estaba fuera de la ciudad cuando el crimen fue cometido”. ,[object Object],Hay varias premisas y la conclusión es una proposición simple.,[object Object],Premisa 1: p  q Premisa 2: rPremisa 3: r   p,[object Object],Conclusión: q,[object Object]

… Argumento ,[object Object],Tabla:p  q,[object Object],  p,[object Object],  q,[object Object],Ejemplo: Expresa simbólicamente,[object Object],“Si el hijo de Leonidas está vivo, éste se casará ,[object Object],con Ivette. Pero el hijo de Leonidas murió, por lo,[object Object],tanto, él no podrá casarse con Ivette.”,[object Object],Proposiciones simples:,[object Object],p: “El hijo de Leonidas está vivo”,[object Object],q: “El hijo de Leonidas se casa con Ivette”,[object Object],Implicación:,[object Object],{(p  q)   p}  q,[object Object],¿Es ésta una implicación lógica?,[object Object]

Se dice que:,[object Object],Un argumento es válidosi cada vez que las ,[object Object],premisas son verdaderas, la conclusión es verdadera.,[object Object],Es decir, si las premisas son ciertas, está garantizada,[object Object],la veracidad de la conclusión. De modo que un,[object Object],argumento es válido si la implicación:,[object Object],(Premisas)  (Conclusión) ,[object Object],es una implicación lógica.,[object Object],Un argumento es válido debido a su forma, no a su,[object Object],contenido.,[object Object],Argumento válido,[object Object]

[(p  q)  p]  q Este ES un ,[object Object], argumento válido,[object Object],[(p  q)   p]  q Este NO ES un,[object Object], argumento válido. ,[object Object],Para comprobar la segunda afirmación, supón que las premisas son verdaderas… y verifica que no puedes asegurar que la conclusión es verdadera,[object Object],Argumento válido,[object Object]

Argumento válido,[object Object],Un argumento puede ser válido (debido a su forma) aunque el contenido de la conclusión pueda ser falso. ,[object Object],Ejemplo,[object Object],Si Ud. invierte en la Bolsa, se hará rico.,[object Object],Si Ud. se hace rico, será feliz,[object Object],___________________________,[object Object], Si Ud. invierte en la Bolsa, será feliz.,[object Object],Comprueba que este es un argumento válido.,[object Object]

Las reglas están asociadas a formas de razonamiento.

Las reglas de inferencia tienen asociadas implicaciones lógicas.

Algunas de las más usadas son: el Modus Ponens y el Modus Tollens que ya vimos. Otras son: Silogismo, Silogismo disyuntivo, Simplificación, Amplificación, Demostración por casos.Reglas de Inferencia,[object Object]

Reglas de Inferencia,[object Object],Con estas reglas podemos ir de un lado a otro, pero no podemos regresarnos una vez que usamos la garrocha.,[object Object]

Ejemplo: Dado el argumento ,[object Object], (p q)  (r  s)]  (r  t)  (t )  q,[object Object],a) Decida si es o no válido.,[object Object],b) En caso de ser válido, demuéstrelo. Si no es válido, dé un contraejemplo.,[object Object],a) Análisis sobre la validez: ,[object Object],Debemos suponer que todas las premisas son,[object Object],ciertas y trataremos de comprobar que la,[object Object],conclusión también lo es. ,[object Object],Es conveniente empezar de la premisa más sencilla.,[object Object],Validez de argumentos,[object Object]

Hay tres premisas: ,[object Object],(p q)  (r  s)  (r  t)  (t ),[object Object],P1 P2 P3,[object Object],Comencemos por P3:t es falsa.,[object Object],Por P2:r debe ser falsa. ,[object Object],Al ver P1: si r es falsa, r  s es falsa, de modo que ,[object Object],el antecedente p q es falso. ,[object Object],Pero (p q)  (p  q), ,[object Object],por lo tanto, (p  q) es verdadera. Esto ocurre,,[object Object],cuando tanto p como q son verdaderas. De modo,[object Object],que q es verdadera. ,[object Object],Validez de argumentos,[object Object],Por lo tanto, el argumento es válido !!!,[object Object]

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