Matematica1 b

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ECUACIONES E INECUACIONES

¿Qué aprenderemos hoy? ¿Qué materiales utilizaremos?

 A resolver problemas de traducción - Libro de Matemática - 1er Grado de
simple y compleja que involucran Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú
ecuaciones lineales con una 2008.
incógnita. - Video Nº .....: Ecuaciones
 A identificar inecuaciones lineales .

ORIGEN DE LAS ECUACIONES LINEALES

La primera fase que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracterizó por la
invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un
Álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada Álgebra Geométrica, rica en métodos
geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.
La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de una nueva
etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al
desarrollo de dicha notación. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como
la teoría de los "cálculos con cantidades de distintas clases" (cálculos con
números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas,
progresiones y todo tipo de ecuaciones).
Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación ax + b = c han pasado
más de 3.000 años.
Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C-
y el de Moscú -1.850 a, de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La
mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones de la vida
diaria.
Extracto de Ecuaciones Lineales
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/14/historia.html

Investiga con tus compañeros y responde:

a) ¿Cuál es la diferencia entre una ecuación y una inecuación?
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................

b) Explica con tus palabras la diferencia entre ecuaciones e inecuaciones
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................

1
Prof. Beatriz Toledo López

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Ecuaciones

Recordando:
2do miembro

2x 4 6 x
1er miembro

Ecuaciones Ecuaciones Ecuaciones
Ecuaciones Compatibles Indeterminadas Incompatibles
Equivalentes

Cuando dos Contiene una única Contiene infinitas La ecuación no
ecuaciones contienen solución soluciones contiene solución
las mismas soluciones
4x 5 2x 3 4 x 5 4( x 1) 1 4 x 5 4( x 1)
4x 2 6 2x 8 4x 5 4x 4 1 4x 5 4x 4
8x 4 12 x 4 4x 4x 5 5 4x 4x 4 5
0x 0 0x 1
x 1 para ambos x tiene infinitas
soluciones

Actividades

1. Observa con tus compañeros el video “ Ecuaciones” y responde:
a) Explica con tus palabras ¿Qué es una ecuación?
b) ¿Qué propiedades de los números racionales utilizamos en la
resolución de ejercicios con ecuaciones? Explica con 1 ejemplo tu
respuesta.

2. Enlaza cada ecuación con su equivalente:

2x 5   3x 6
4( x 1) (3x 2)   36 x 96
6( x 3) 2   6 x 15

3. Determina que ecuaciones son compatibles, Indeterminadas e Incompatibles.

a) 5x 6 3x 2
b) 8x 7 4(2 x 2) 1

c) 6(2 x 1) 2 12 x 4

d) x (2 x 2) 4x 1

2

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Resolución de ecuaciones

Podemos resolver ecuaciones en Q, de dos formas diferentes:

Modelo tradicional Modelo de los operadores

Observemos el siguiente ejemplo: Observemos el siguiente ejemplo:

Hallar el valor de x en: 2 x 6 5 Hallar el valor de x en: 2 x 6 5
2 2

2x 6
x 5
Prop. monotonía
de la multiplicación  2 5 2
2
x2 +6 2
Prop. monotonía
de la sustracción .
 2x 6 6 10 6

Prop. monotonía
de la división 
2x
2
4
2
x 4 10 5

Realizamos
operaciones  x 2 2 –6 x2
x 2

Actividades

1. En tu cuaderno, resuelve las siguientes ecuaciones de la manera tradicional :

a) 3(1 2 x) 4(1 x) x 2(1 x) b) 3x 2( x 1) 2(3x 1) 4

c) 2x 3x d) 2( x 2) 3(1 x)
x 2(1 2 x) x 1
3 2 3 2
e) 2( x 2) 3(1 x)

I. Resuelve las siguientes ecuaciones según el modelo de operadores:
3x 4 5 5x 3 1 4x 1 1
a) b) c)
2 2 8 8 9 27

Inecuaciones

Recordando:
x 4 12
1er miembro
2do miembro

3

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Resolución de Inecuaciones
La técnica para resolver las inecuaciones es similar a la utilizamos para resolver una
ecuación. Por ejemplo: 5x 6 16

1 Se suma o resta la misma cantidad a ambos
5x 6 6 16 6
miembros
2 Se multiplica o divide por un número 5 10
x
positivo 5 5
3
Operamos respectivamente x 2
4
Hallamos el conjunto solución C.S. x/ x /x 2

Actividades

1. En tu cuaderno, resuelve las siguientes operaciones

a) 6x 24 x b) 3, 6 x 30 45

c) 8 12 x 1 28 d) 3
9 x 2 1
12 16 20 9

¿Qué aprendimos hoy?

1. Escribe verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones:

a) x 8(2 x 1) 17 x 3 es indeterminado ( )

b) 2 x 8( x 2) 3x 1 es compatible ( )

c) x 2( 4 4 x) 32 3x es incompatible ( )

d) 5x 3( x 20) 15x 2(3x 6) es incompatible ( )

2. Halla el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:
3
a) 15 6x 24 b) 21 x 2 0 c) 15 x 5 8
6

4

09

3. Resuelve los siguientes problemas:

a) María viaja en auto de Lima a Cañete con una velocidad de 100km/h. Si la distancia es
de 12 000 km y sólo avanzó 1034,5 km en medio día ¿Cuánto le falta recorrer para
llegar a su destino?

b) Rafael divide un número de cifras entre otro que tiene una cifra; el resultado de dicha
operación es 383 873 ¿Qué valores puede tomar el número de una cifra?

Reforzando lo aprendido

Reforzando lo aprendido

Desarrolla las actividades del Libro MATEMÁTICA 1er Grado – Editorial Bruño.*
(*) Si no cuentas con el libro de
 Actividad 12 y 13:Ecuaciones e Inecuaciones en Q consulta, utiliza otro material
que refuercen los temas
(Pág. 92-93) tratados.

Enlaces Web

Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web:
Pasos para resolver una ecuación
http://classtools.net/widgets/priority_chart/priority_chart51612.htm/

Conociendo más acerca de las inecuaciones
http://www.amolasmates.es/flash/inecuacion.swf

Conociendo más acerca de las ecuaciones
http://www.genmagic.net/mates2/eq1_cast.swf

5

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DIVISIBILIDAD

¿Qué aprenderemos hoy? ¿Qué materiales utilizaremos?

 A reconocer múltiplos y divisores. - Libro de Matemática - 1er Grado de
 A realizar operaciones que Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú
involucren el criterio de divisibilidad 2008.
en números naturales. - Video Nº .....: Divisores y múltiplos

UN POCO DE HISTORIA DE LOS NÚMEROS PRIMOS
Los números primos son unos números “rebeldes” que no se dejan dividir por
otros números; están, pues, vacíos de divisores entre la unidad y ellos mismos.
Estos números llamaron la atención de los estudiosos hace más de 2.000 años. Ya
Euclides (300 a.C.) demostró que el número de números primos es infinito.(..)
Eratóstenes (matemático y geógrafo griego que vivió en el s. III a. C.) se inventó
una criba para ir obteniéndolos. El método es muy sencillo, aunque muy lento:
en la lista de todos los números positivos (exceptuando el 1, que no es primo
pues sólo tiene un divisor: el propio 1), respetamos cada número que vamos
encontrando sin tachar (por ejemplo, el 2 al empezar la tarea) pero vamos
tachando todos los múltiplos de ese número, mayores que él. Así, iremos
tachando los de 2 (4, 6, 8, etc.), luego los de 3 que no hayan sido tachados antes
(9, 15, etc.); y, sucesivamente, los múltiplos de los números que van quedando
sin tachar (los de 5, 7, 11, etc.). De esta forma van quedando, filtrados y
ordenados, los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, etc.

Extracto de Divisibilidad
http://www.scribd.com/doc/3463233/divisibilidad

Investiga con tus compañeros y responde:

a) ¿Cuál es la diferencia entre un divisor y un múltiplo?
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................

b) ¿Los múltiplos de un número son infinitos? ¿Por qué?
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................

1

10

Múltiplos y divisores

Múltiplos Divisores

Un número es múltiplo de otro cuando Un número es divisor de otro cuando
el primero contiene al segundo una el primero se puede dividir
cantidad exacta de veces exactamente con el segundo.

Múltiplos de 12: {0, 12, 24, 36,48,…} Divisores de 12:{1,2,3,4,6, 12}

“0 es múltiplo de todo número” “1 es divisor de todo número”

Actividades

1. Observa con atención el video: “Divisores y múltiplos”. Luego dialoga
con tus compañeros sobre:
a) Plantea tres ejemplos con múltiplos y divisores de números naturales
b) Investiga y explica con tus propias palabras ¿Qué es divisibilidad?

2. Halla los 8 primeros múltiplos de los siguientes números:
23 = ........................................................................................................
11 = ........................................................................................................
17 = ........................................................................................................
13 = ........................................................................................................

3. Halla los divisores de los siguientes números:
64 = ........................................................................................................
88 = ........................................................................................................
111 =.......................................................................................................
128 = ......................................................................................................

4. Completa los espacios en blanco con “divisor” o “múltiplo" según corresponda:

4 es........................................... de 12 20 es ........................................ de 5
19 es .........................................de 190 369 es .......................................de 3

2

10

Números primos y compuestos

Números Primos Números Compuestos

Se denomina número primo aquel que Los números compuestos tienen más de
posee solo dos divisores: la unidad y él 2 divisores.
mismo.

2, 3 , 5, 7, 11,… 4, 6 ,18, 111, 42,…

Actividades

1. Observa con atención el video: “Números primos y compuestos”. Luego
dialoga con tus compañeros sobre:
a) Menciona tres ejemplos cotidianos de la utilización de los números
primos
b) Investiga sobra la criba de Erastótenes

2. Encierra en un círculo los números primos y en un cuadrado los números compuestos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

3. ¿Cuáles de los siguientes números son compuestos?
a) 123 b) 317
c) 583 d) 401

4. Resuelve:
La raíz cuadrada de la suma de dos números primos menores que 20 es 6 ¿Cuáles son
esos números?

3

10

Criterios de divisibilidad

Divisibilidad por 2 Divisibilidad por 3 Divisibilidad 5
Cuando la última cifra es Cuando la suma de sus cifras Cuando la última cifra
par o termina en 0 es múltiplo de 3 termina en 0 o 5.

124; 100 ; 882 ;… 369 = 3+6+9 = 10,10005, 40,60, …
18 es múltiplo de 3

Divisibilidad por 9 Divisibilidad por 11
Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de Cuando la diferencia entre la suma de las
9. cifras que ocupan lugar impar y la suma
de las cifras que ocupan lugar par ; da
468 = 4 + 6 + 8 = como resultado igual a 0 o un múltiplo de
18 que es múltiplo de 9 11. Por ejemplo:
711= 7 +1+1= 132
9 que es múltiplo de 9 (1+2)- 3 = 0

Actividades

1. Agrupa los números del cuadro según su criterio de divisibilidad.

12 25 20 16 32 18 16 11 24 300
111 500 236 222 6 99 34 82 84 14

a) Divisibles por 2:.......................................................................................................
b) Divisibles por 3:.......................................................................................................
c) Divisibles por 5:.......................................................................................................
d) Divisibles por 9:.......................................................................................................
e) Divisibles por 11:.....................................................................................................


1. Halla los divisores comunes entre los siguientes números:

f) 12 y 36 b)15 y 36 c)40 y 11

4

10

2. Escribe verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones:

a) 23 es múltiplo de 3 ( )
b) 11 es divisor de 1 234 321 ( )
c) 231 es divisible por 2 ( )
d) 171 es un número primo ( )


a) Queremos dividir en trozos iguales, de la mayor longitud posible, dos tablas de madera
de 60 y 72 cm de longitud respectivamente. Calcule la longitud de cada trozo

b) En una clase de Matemáticas hay 24 alumnos. Para realizar un trabajo grupal, se
forman en cada clase grupos del mismo número de alumnos de manera que ha el
menor número de grupos posibles ¿Cuántos alumnos conforman cada grupo?

Reforzando lo aprendido Reforzando lo aprendido
Desarrolla las actividades del Libro MATEMÁTICA 1er Grado – Editorial Bruño.*
(*) Si no cuentas con el libro de
 Actividad 13 y 14: Criterios de Divisibilidad consulta, utiliza otro material
que refuercen los temas
(Pág. 27-29) tratados.

Enlaces Web

Criterios de Divisibilidad
Si tienes Internet, ingresa
http://sauce.pntic.mec.es/jdiego/glosario/divisibilidad.swf a las siguientes páginas
web:
Juego de Divisores
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Multiplos_divisores/jgc.htm

Algo más de Divisores
http://www.aprendermatematicas.com/sama/divisibilidad.swf

5

11

FUNCIONES

Sumilla
A través del análisis de situaciones cotidianas y el conocimiento de las funciones podrás realizar
resolver ejercicios y situaciones propuestas.

¿Qué aprenderé hoy? ¿Qué materiales utilizaré?
 Identificar la gráfica de una función.  Libro de Matemática - 1er Grado de
 Representar una función mediante tablas, Secundaria - Editorial Bruño. Lima - Perú
gráficas y ecuaciones. 2008.
 Analizar las características de las gráficas de
las diversas funciones.

¿Cómo empezamos?

1. Lee el texto y completa el cuadro :
 Cierta mañana Luana desea comer manzanas para lo cual la vendedora le dice que el
kilogramo de manzanas cuesta S/. 2. ¿Cuánto le costará 2, 5, 7 y 10 kg?
Completa el cuadro:

kg 1 2 5 7 10
S/.

http://www.gifanimados

2. A partir del análisis responde a las siguientes preguntas:

 ¿Cuánto le costó si compró 3 kilos?
 ¿Cuánto le costó si compró 5 y 10 kilos respectivamente?
 Si el kilogramo de pera cuesta el doble que el de la manzana. ¿Podrá comprar con S/.10, 2 kg
de pera y 1 kg de manzana?

ESCRIBE EN TU CUADERNO TUS RESULTADOS.

1
Prof: Juana Tueros Huamaní

11

FUNCIONES

En nuestro quehacer diario siempre estamos relacionando el producto con su precio o con su peso,
etc. En realidad estamos aplicando el concepto de función. Habrás escuchado por ejemplo: El gasto
total de panes depende del número de panes; o el gasto total se expresa en función del número de
panes. Frases como “….depende del….”, “…..en función….” expresan una correspondencia o relación
entre dos sucesos o entre los elementos de dos conjuntos. ¿Pero qué es una función?

Una función f de A en B, es un conjunto de pares ordenados (x, y) en el cual dos pares
distintos no tienen la misma primera componente. Su denotación es: f(y) = axf: A → B,
y se lee; f es una función de A en B.

En toda función se distingue lo siguiente:

Conjunto de partida
Conjunto de llegada
Regla de correspondencia

FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN

Existen diversos lenguajes para expresar una función, para ello vamos partir de un caso:
Juan tiene que en ómnibus y le dice que hay que pagar S/ 10 por kilómetro. ¿Cuál es la función
que expresa el valor de cada pasaje según el número de kilómetros?

Es un texto o una frase que relaciona las 2 magnitudes.
LENGUAJE VERBAL Un ómnibus a S/. 10 el km. Depende o es función del
número de kilómetros recorridos.

Es una tabla que relaciona las dos magnitudes.
LENGUAJE NUMÉRICO km 1 2 … 70
S/. 10 20 … 700

Es una expresión que relaciona las 2 magnitudes. Si x
indica el número de kilómetros e y el valor de cada
LENGUAJE ALGEBRAICO
pasaje, la relación entre las dos variables(x e y) nos da la
siguiente expresión:
y = 10x

Se ubica los pares ordenados en el plano cartesiano, es
LENGUAJE GRÁFICO
decir se relacionan las 2 magnitudes.

2

11

¿Cómo identificar cuando una gráfica representa una función?

Al trazar rectas paralelas al eje y, si pasa sólo por un punto de la gráfica entonces podemos afirmar
que representa una función, caso contrario no es una gráfica de una función, observa la siguiente
gráfica:

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

Es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente(x). Los valores en el dominio
usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x).

Se representa por: D(f)
RANGO DE UNA FUNCIÓN

Al conjunto de todos los valores de la variable dependiente (y). Los valores en el rango usualmente
están asociados con el eje vertical. (El eje y)

Se representa por: R(f)
Ahora tú identifica el dominio y rango de la siguiente función.
Dados:
A= 3;4;5 y B= 2;4;5;6;7 , determina el dominio y rango de f: A = B / f ( x) x 1

Elaboramos una tabla de f(x)

x 3 4 5
f(x) 4 5 6

D(f) = ………………………… R(f) = ………………………………. R(f) = …………………………

Puedes también realizar diagramas sagitales.

http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/funcion.html

3

11

Tipos de Funciones

Notación
Tipos ¿Qué es? Gráfica
simbólica
Es una función de la forma
f(x)=mx+b, el dominio y el 6
4

rango de una función lineal es el -6 -4 -2
2
0
-2 0 2

conjunto de los números reales. -4
-6

Nota: Una función de la forma
En la función f(x) = 2x + 4, la
Lineal f(x)=mx también es una función f(x) = mx + b pendiente es 2, por tanto la
lineal pero su intercepto en y es
gráfica es creciente en los
cero. Su gráfica es una recta que
números reales. El dominio
siempre pasa por el origen.
y el recorrido es el conjunto
de los números reales. El
intercepto en y es (0,4).
Una función cuadrática es una
función de la forma f(x)=ax2+ bx 20

+c, con a diferente de cero, 15

donde a, b y c son números f(x) = x 2 10
5

reales. La gráfica de una función -5
0
0 5
cuadrática es una parábola. Si
a>0 entonces la parábola abre La función f(x)=x2 es una
Cuadrática hacia arriba y si a<0 entonces la función cuadrática
o de segundo parábola abre hacia abajo. El decreciente en el intervalo
grado dominio de una función de menos infinito a cero y
cuadrática es el conjunto de los creciente en el intervalo de
números reales. El vértice de la cero a infinito.
parábola se determina por la f(x) = -x 2 0

fórmula: -5 -5 0 5
-10
-15
-20

Es una función de la forma
f(x)=mx+b, el dominio y el 2
1.5
rango de una función lineal es el 1
0.5
conjunto de los números reales.
Función
0
-4 -2 0 2 4
Nota: Una función de la forma f(x) = b
constante El dominio es el conjunto de
f(x)=mx también es una función
lineal pero su intercepto en y es los números reales y el
cero. Su gráfica es una recta que recorrido es {2}.
siempre pasa por el origen.

4

11

Notación
Tipos ¿Qué es? Gráfica
simbólica
La función identidad es la
función de la forma f(x) = x. El 2

Función 1

dominio y el recorrido es el f(x) = x -4 -2
0
-1 0 2

Identidad -2

conjunto de los números -3

reales.
La función valor absoluto de x.
El dominio es el conjunto de los
Valor
números reales y el rango es el f(x) = |x|
Absoluto
cero y los números reales
positivos.

Llegó el momento de poner en práctica lo aprendido sobre
funciones.

Ejercicios

1. Identifica:
De los siguientes pares de magnitudes, indica la magnitud independiente y la dependiente.
a) La longitud del lado y el área de un terreno cuadrado.
b) El volumen de una caja de leche y la longitud de su arista.
c) La distancia recorrida por un auto y el tiempo que tarda en recorrerla.
2. Calcula:
f(x)=-3x2 Luego dibuja la gráfica.
3. Interpreta:
a) Sea la función que asocia “a cada número su mitad más dos unidades”.
 Escribe la expresión algebraica.
 Construye una tabla de valores y grafica la función.
 ¿Qué tipo de gráfica dibujaste? y ¿porqué?
b) Para realizar un paseo, tu sección acordó dar una cuota de S/.15 por cada alumno.
4. Completa la tabla y representa gráficamente.
Alumnos(x) 1 5 10 15 20
Cuota (y)
5. Identifica qué función es a partir de la tabulación:
a) f(x) = 3x+1
b) f(x) = x2
c) f(x) = x
d) f(x) =|x|
6. Sean los conjuntos A = {2; 3; 5} y B = {1; 4; 6; 8}.
DETERMINA:
R1 = {(x, y) A x B / y es múltiplo de x}
R2 = {(x, y) A x B / 3 x = y}

5

11

1. Elabora un listado de términos matemáticos que estén relacionados con el tema de funciones y
elabora un pupiletras, luego busca su significado.
2. Busca en periódicos y/o revistas tipos de gráficos y elabora un mini-álbum con su leyenda
respectiva.
3. Busca en tu entorno objetos y/o situaciones que representen los diversos tipos de funciones.

¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje?
Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes:

1. Marca V (verdadero) o F (falso) según corresponda:
a) El dominio de una función son las segundas componentes ( )
b) Toda función es una relación. ( )
c) Una gráfica lineal es decreciente cuando m es positivo. ( )
d) La función afín tiene como gráfica una curva. ( )

2. Tabula y grafica las siguientes funciones: x 2;3
a) f(x) = 3x+1
b) f(x) = x2
c) f(x) = x
d) f(x) =|x|

3. Elabora la tabla de valores y grafica las funciones. x 2;2
a) y 3x 1 b) y 2x 3 c) y 2x

e) y x 3 f) y x2 2 g) y 2x 1

i) y 2x 3 ; x 2;4 j) y 2x2 3; 1;3 k) y 2x 1;3

Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas Proyecto:
web:
“Elaboramos nuestro juego matemático”
Todo sobre funciones:
Responsables: tutor y estudiantes
http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/fun
Objetivo: Realizar un juego de dominó referido
cion.html
al tema de “función”.

6

LENGUAJE GRÁFICO

12

LA GEOMETRIA DE NUESTRO ENTORNO

Sumilla
A través del reforzamiento del tema podrás desarrollar ejercicios relacionados con la geometría en
situaciones diversas.

 Conocer los elementos básicos de la  Libro de Matemática - 1er Grado de
geometría. Secundaria - Editorial Bruño. Lima - Perú
 Graficar los elementos geométricos. 2008.
 Resolver problemas simples que involucran
conocimientos geométricos.

¿Cómo empezamos?
1. OBSERVA CADA FIGURA Y RESPONDE:

(FIG 1) (FIG 2) (FIG 3)
a) En la figura 1. ¿Cuántos planos observas?
b) En la figura 2. ¿Que tipos de líneas observas? Graficar
c) En la figura 3. ¿Grafica todos los ángulos que observas?
d) ¿Crees que los objetos de tu entorno contiene elementos geométricos?

Si tienes dificultad después de haberlo intentado, te sugiero leer la siguiente información.

ELEMENTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA

Es importante la observación de todo lo que nos rodea para poder comprender la importancia de la
geometría. La geometría se basa en tres conceptos fundamentales que se aceptan sin definirlos y
que forman parte del espacio geométrico, o sea el conjunto formado por todos los puntos.

1 1

12

¿Qué debo saber?

EJEMPLO EN EL
ELEMENTO IDEA DE DENOTACIÓN COMO SE LEE
ENTORNO

Se representa con una A Punto A La marca de un
pequeña cruz y se le designa lápiz.
PUNTO
con una letra de imprenta
mayúscula.
Se representa con una Recta AB El borde de tu
porción de la misma y se le cuaderno.
RECTA
designa con una letra Recta b
minúscula y/o mayúscula. b
Está compuesto por infinitos Plano P Una tabla de
puntos. picar.
PLANO

En la recta podemos identificar: La semirrecta y el segmento.

SEMIRRECTA SEGMENTO:
Es cuando un punto separa a la recta en 2 Es la intersección de la semirrecta de origen A
porciones. Aquel punto se llama origen. que contiene al punto B y la semirrecta de
origen B que contiene al punto.

Podemos encontrar rectas paralelas y perpendiculares.

LÍNEAS PARALELAS LÍNEAS PERPENDICULARES

Nunca se cruzan Se cortan en un punto
Su simbología es // Su simbología es

2 2

12

Recordemos:
Ángulos-construcción

Se llama ángulo a la parte del plano
delimitada por dos semirrectas que
parten de un mismo punto llamado
vértice. A cada semirrecta se le llama
lado del ángulo.

Los instrumentos que se utilizan para la construcción y medición de ángulos son compás y
transportador respectivamente. Con el compás:

Marca un punto. Coloca el compás con una abertura determinada, la que tú quieras, ni muy
pequeña ni muy grande.

Realiza un arco grande, que sobrepase los sesenta grados de sobra, al ojo lo puedes hacer de
noventa grados, media vuelta o el círculo completo. NO IMPORTA.

A continuación marca un punto en el arco o círculo que has hecho. Si es un arco, hazlo cerca de
un extremo.

Ahora, sin cambiar la abertura del compás, dejándolo exactamente igual que lo tenías, colócalo
en el punto que has marcado y haz una marca que señale sobre el propio arco.

Ahora ya está hecho, deberías tener tres puntos: Uno en el centro y dos en el arco (o círculo). Si
los unes con la regla, obtendrás un ángulo de grados en el centro.

3 3

12

Ejercicios

1. MARCA LA RESPUESTA CORRECTA:

a) ¿Cuántas rectas se pueden trazar por un punto?
(I) uno (II) finito (III) infinito
b) ¿Cuántos planos se pueden trazar por un punto?
(I) ninguno (II) finito (III) infinito
c) ¿Se pueden trazar más de una recta por dos puntos distintos?
(I) Si (II) No
d) ¿Se pueden tener más de una recta que interseque a un plano en un punto?
(I) Si (II) No

2. CONSTRUYE LOS SIGUIENTES ÁNGULOS Y DENÓTALOS CORRECTAMENTE:

a) 300 b) 600 c) 900 d) 1500 e) 1800

3. GRAFICAR:
En una recta ubica cuatro puntos y escribe todos los segmentos que puedes obtener.

4. INVESTIGAR:
Con ayuda de un texto busca la definición de los ángulos del recuadro, dibújalos y denótalos
correctamente, luego grafica objetos de tu entorno que se relacione con dichos ángulos.

AGUDO LLANO

RECTO OPUESTOS POR EL VÉRTICE

OBTUSO SUPLEMENTARIOS

4 4

12

1. Una forma de recordar lo aprendido es ponerlo en práctica en nuestro entorno. Elige a un
compañero y con una cámara fotográfica iniciarás una aventura de tomar fotos donde captures
en objetos o situaciones la idea de elementos geométricos estudiados.
2. Luego elaborarán un álbum identificando y denotando correctamente las dificultades que
encontraron.
3. Compartan sus impresiones con los demás grupos.

Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes:

1. Coloca V O F según convenga.

a) Un ángulo llano mide 90º. ( )
b) La regla nos permite medir ángulos. ( )
c) Dos rectas paralelas nunca se cortan. ( )
d) La simbología de paralelas es //. ( )
e) Un segmento no está contenido en una recta. ( )

2. Dibuja el croquis para llegar de tu casa al colegio con las respectivas calles y/o avenidas.
Identifica en ello que calles son paralelas y perpendiculares.


Todo sobre lo referente a ángulos y sus medidas:
http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/9/usr/eltanque/angulos/principal_p.html
Todo referente a ejercicios:
http://www.guiamath.net/ejercicios_resueltos/01_08_01_01-
Exponen_Ecuaciones/0_Exponen_Ecuaciones.html

5 5

13

LOS ÁNGULOS Y SU CLASIFICACIÓN

Sumilla
A través del reforzamiento del tema y el desarrollo de los ejercicios relacionados con los ángulos
encontraremos su aplicación en actividades cotidianas diversas.

 Medir correctamente los ángulos.  Libro de Matemática - 1er Grado de
 Graficar los tipos de ángulos. Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú
 Graficar bisectrices y mediatrices. 2008.

¿Cómo empezamos?
1. Observa las siguientes imágenes y completa:

a) La flecha roja indica un ángulo de…….
y se llama………………….
b) La flecha amarilla indica un ángulo
de…. y se llama……………….
c) Estima la suma de los 2 ángulos.

2. Investiga y responde:
Menciona otros ejemplos de tu vida diaria en el que se apliques la idea de ángulos.

LOS ÁNGULOS

En geometría, se define como el conjunto de puntos determinados por dos semirrectas, que tienen el
mismo punto de partida. También se puede definir a un ángulo como dos segmentos finitos con un
punto extremo común.

A
AB es una semirrecta
BC es una semirrecta
 B es el punto de partida
B C

1
Prof:Juana Tueros Huamaní

13

DENOTACIÓN DE ÁNGULOS

Con una letra minúscula o un número que se coloca los lados del ángulo en las cercanías del vértice;
por ejemplo,  a o < 1.

a 1
http://portales.educared.net/wikiEducared/images/d/df/DibujoTecnico_I-1_19.gif

Clasificación de los Ángulos

SEGÚN SU MAGNITUD SEGÚN SUS CARACTERÍSTICAS SEGÚN SU POSICIÓN
Agudo: Menor de 90º. Complementarios: Cuando 2 ángulos Ángulos Consecutivos: El
miden 90°. mismo vértice y un lado
Recto: Son aquellos común.
iguales a 90°. Sus lados Suplementarios: Cuándo 2 ángulos
son dos rayos llamados miden 80°. Ángulos adyacentes: Son dos
rayos perpendiculares. ángulos consecutivos cuyos
lados no comunes son rayos
Obtuso: Son aquellos opuestos.
mayores de 90°.
Opuestos por el Vértice: Son
Ángulos Llanos: Son aquellos cuyos lados de uno
aquellos iguales a 180°. son las prolongaciones en
Sus lados son dos rayos sentido contrario de los lados
opuestos. del otro.

Relaciona la definición con la gráfica correspondiente:

2

13

Actividades

En este espacio de la ficha desarrollarás las siguientes actividades:
 Revisando esta ficha y la anterior podrás resaltar los contenidos a tratar.
 Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen
indicado.
 Comparte con un compañero las actividades y/o ejercicios desarrollados.
Revisa la página 104 del libro Matemática 1ero - Editorial Bruño y desarrolla la
actividad 1. Te permitirá aplicar lo estudiado y retomar para el siguiente tema.

Bisectriz y mediatriz de un ángulo

BISECTRIZ MEDIATRIZ
Bisectriz: Es la recta que divide un ángulo en Dado un segmento AB, se denomina
dos partes iguales. La propiedad de cada uno mediatriz del segmento a la recta
de los puntos de una bisectriz es que equidista perpendicular a él, que pasa por el punto
de los lados del ángulo. Para trazar una medio.
bisectriz se dibuja un arco de radio arbitrario
con centro en el vértice. Este arco corta a los
lados en los puntos M y N. La bisectriz b es la
mediatriz de la cuerda MN.

3

13

Ejercicios

1. Resuelve los siguientes problemas verbales, construyendo la figura cuando sea necesario.

a) b) c)

Determina el ¿Cuántos grados resultan si al Determina el ángulo que es la
complemento de 72°. complemento de 37° se le suma cuarta parte de su suplemento.
el suplemento de 93°.

d) e) f)

Determina el Determina el ángulo que es el Determina el complemento de
complemento del triple de su complemento. 42° 18'.
suplemento de 143°.

Operaciones de ángulos con grados, minutos y segundos.

Adición y sustracción Multiplicación y división
Se debe sumar y/o restar por un lado los La multiplicación respecto de un ángulo, al igual
grados, los minutos y los segundos que la división puede realizarse respecto de un
respectivamente; y luego tener en cuenta que número natural; pero es una operación que tiene
como cada 60 segundos forman un minuto, y sentido lógico en cuanto el resultado no sea
cada 60 minutos forman un grado, debe superior a la medida máxima posible para un
hacerse el correspondiente ajuste del ángulo, que son 360°.
resultado:
Ejemplo:
Ejemplo:
ABC = 12° 45’ 13” × 5
ABC = 30° 45’ 13” + DEF = 42° 45’ 53” Multiplicación: 12° × 5 = 60°
Suma: 30° + 42° = 72° 45’ × 5 = 225’
45’ + 45’ = 90’ 13” – 5 = 65”
13” + 53” = 66” Reducción: 225’ = 3°, 45”
Reducción: 66” = 1’, 6” 65” = 1’, 5”
90+1’ = 1°, 31’ Resultado: 60°+3° = 63°, 45’ + 1°= 46’
Total: ABF = 72 + 1 = 73°, 31’, 6” Total: 63°, 46’, 5”

Ejemplo:

ABC = 125° 46’ 0” ÷ 5
Conversión previa: 46’, 0” = 45’, 60”
60” ÷ 5 = 12”
División: 45’ ÷ 5 = 9’
125° ÷ 5 = 25°
Reducción: No se requiere
Resultado: 25°, 9’, 12”

4

http://www.escueladigital.com.uy/geometria/2_angulos.htm#operaciones

13

Ejercicios

1.- Realiza las operaciones de adición, sustracción y multiplicación de ángulos.
a) 112° 24’ 55’’+ 59° 45’’ b) 35° 24’ 55’’ - 14° 14’ 48’’ c) 36° 17’ 57’’ x 3
d) 24° 35’ 13’’: 3 e) 109° 63’’- 36 20’ 2’’ f) 19° 35’ 16’’ x 4

http://www.vitutor.net/1/67.html

2.- Con ayuda de tu transportador grafica el complemento y el suplemento de los siguientes
ángulos.

SU COMPLEMENTO SU SUPLEMENTO
a) 27° a) 20°
b) 36° b) 75°
c) 79° c) 60°
d) 57° d) 57°
e) 60° e) 35°

En forma gráfica halla la bisectriz de los siguientes ángulos:

a) 46°
b) 80°
c) 100°
d) 46°


1. En esta oportunidad como verás has desarrollado actividades referente a la medición y cálculo
con ángulos. Observa a tu alrededor y elige 3 objetos que sean posibles de medir ángulos e
inventa 2 problemas cotidianos en las que se presenten al menos dos operaciones con ángulos.

5

13

1) Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes:
Coloca V o F según convenga.

a) Un ángulo llano mide 180°. ( )
b) La mediatriz no es perpendicular. ( )
c) El transportador permite medir los ángulos. ( )
d) Su complemento de 60° es 40°. ( )

2) Con ayuda de tu transportador mide todos los siguientes ángulos posibles en:

3) ¿Cuánto mide cada ángulo? Luego traza la bisectriz respectiva.


Todo sobre ángulos: Teoría y ejercicios.

http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/0inicio/bisectriz.htm

http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/rectasnotables/rnotables1.htm

6

14

CONOZCAMOS A LOS POLÍGONOS

Sumilla
Mediante la explicación de este tema y el desarrollo de los ejercicios relacionados con los polígonos
verás su aplicación en situaciones diversas.

 Conocer los elementos de los polígonos.  Libro de Matemática - 1er Grado de
 Resolver problemas simples que involucran Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú
áreas. 2008.

¿Cómo empezamos?
1. Jacinto tiene su terreno donde cría burros y chanchos.
 ¿Qué forma tienen sus terrenos?

9m 9m 8m

8m 8m
15 m

10 m
a) ¿Los lados de los terrenos son iguales?
b) ¿Puedes calcular el área del primer y segundo terreno?. De ser así ¿a cuanto asciende cada
uno?

POLÍGONOS
Los polígonos son formas bidimensionales. Están hechos con líneas rectas y su forma es "cerrada" (todas las
líneas están conectadas) y sus elementos son:
Vértice
Vértice Diagonal
Lado
Diagonal
Angulo interno Ángulo
Angulo externo Ángulo interior
exterior

Convexo Cóncavo
No tiene ángulos que apunten hacia Sus ángulos internos son mayores a 180°
dentro. En concreto, los ángulos internos (Para acordarte: cóncavo es como tener una
no son mayores que 180°. "cueva").

Fuente: http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/poligonos.html

1

14

Clasificación de los polígonos

Recordemos:
Cuando son regulares (sus lados iguales) podemos clasificarlos:

Nombre del Polígono Número de lados Imagen Angulo interno

Triángulo 3
60°

Cuadrilátero 4
90°

Pentágono 5
…………

Hexágono 6
…………

Heptágono 7
…………

Octágono 8
…………

Nonágono 9
…………

Decágono 10
…………

Undecágono 11
…………

Dodecágono 12
………..

A partir de 13 lados los polígonos no llevan un nombre especial a excepción de 15 lados
(Pentadecágono) 20 lados (Icosígono) se dice: “polígono de 13 lados” “polígono de 14 lados”.
Fuente: http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/cuadrilateros.html

2

14

ANGULOS DE LOS POLÍGONOS REGULARES

NUMERO DE
ANGULO INTERNO ANGULO EXTERNO
DIAGONALES

( n 2) x180º 360º
e n(n 3)
i n n D
2
la suma es: (n-2) x 180° La suma es: e .n

http://www.geoka.net/geometria/area.html

Los polígonos regulares tienen 2 elementos notables:

Centro Apotema
Es el punto en el interior del polígono Es el segmento que une el centro con el punto
equidistante (está a igual distancia) de medio de uno cualquiera de los lados. La
todos los vértices. apotema es perpendicular al lado del polígono.

ÁREA DE UN POLÍGONO

Recordemos que: El área de un polígono es la medida de la región o superficie encerrada por un
polígono.

l = Longitud del lado
n = Números de lados
P = Perímetro
A = Área

P nx1
PerímetroxApotema
A
2

3

14

Ejercicios

1.- Dibuja un cuadrilátero convexo y dos cóncavos.

2.- Indica cuantos triángulos se obtienen al trazar desde uno de los vértices las diagonales en cada
uno de los siguientes polígonos convexos.

a) Hexágono b) Cuadrilátero c) Pentágono

3.- Dibuja en un papel cuadriculado los siguientes polígonos e indica sus elementos:

a) Heptágono cóncavo b) Hexágono convexo c) Un decágono convexo.

4.- Resuelve las siguientes situaciones:
a) ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un dodecágono regular?
b) La suma de los ángulos interiores de un polígono es 900°. ¿Cuántos lados tiene dicho polígono?
c) ¿Cuántas diagonales tiene un triángulo, un hexágono y un octágono? Calcula y traza las
diagonales respectivas.


1. Elige un compañero de aula y dibujen un polígono cóncavo y convexo relacionado con un
objeto de tu aula y/o casa.
2. Colecciona etiquetas de productos que tengan forma poligonal e indica sus elementos.
3. Desarrolla los ejercicios de la página 109, cualquier duda consulta con tu tutor.
4. Elabora un pupiletras con todos los términos utilizados en este tema e intercambia con tu
compañero(a) y resuelve.
5. ¿Cuántos triángulos puedes obtener en los siguientes gráficos trazando sus diagonales?

6. Construye polígonos regulares a partir de un círculo.

4

14

1. Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes:

Marca V (verdadero) o F (falso) según corresponda:
a) Un polígono regular tiene sus ángulos de igual medida. ( )
b) Un polígono irregular tiene sus lados iguales. ( )
c) El triángulo no tiene diagonales. ( )
d) Todo polígono puede ser dividido en triángulos. ( )


a) Si el área de un pentágono regular es 175 m2 y su apotema mide 7 cm. Calcula la medida de su
lado. Grafica

b) Si el área de un octógono regular es de 30 m2 y su apotema mide 3 cm. Calcula la medida de su
lado. Grafica

Si tienes internet, ingresa a las páginas web:

Todo sobre polígonos:
http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geometri/poligon.htm

Todo sobre polígonos: Ejercicios.
http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/aula.htm

5

15

LAS ÁREAS DE LAS REGIONES POLIGONALES

Sumilla
A través del reforzamiento del tema y el desarrollo de los ejercicios sobre áreas poligonales podrás
comprender su aplicación en situaciones cotidianas diversas.

 Libro de Matemática - 1er Grado de
 Calcular las áreas de las regiones
Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú
poligonales .
2008.
 A resolver problemas simples que
involucran áreas.

¿Cómo empezamos?

Observa las siguientes polígonos y realiza lo que se te solicita:

(fig. 1) (fig. 2) (fig. 3) (fig. 4) (fig. 5)

a) Divide cada uno de ellos en triángulos (fig.1), rectángulos (fig.2), trapecios y triángulos (fig.3)
y trapecios (fig.4)
b) ¿Qué características en común tienen las figuras del 1 al 4?
c) ¿En qué se diferencia la figura 5 de las demás?
d) ¿Qué objetos de tu entorno tienen estas formas de las figuras?
e) Lee el siguiente fragmento y extrae los términos nuevos para ti y busca su significado.

Geometría (del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir'), rama de las matemáticas que se ocupa de las
propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas
métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de
cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva,
topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no
euclídea.

Fuente: http://www.profesorenlinea.cl/geometria/GeometriaHistoria.htm

Hoy estudiaremos todo lo referente a las áreas de regiones poligonales, presta mucha atención a
todo lo que leerás y harás.

1

15

Actividades
En este espacio de la ficha desarrollarás dos tipos de actividades:
 Revisarás el resumen de los contenidos a tratar.
 Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen
indicado.
Revisa las páginas 114 a la 123 del libro Matemática 1ero - Editorial Bruño. En
caso no cuentes con el libro puedes utilizar diferentes fuentes de información o
textos que traten los siguientes temas:
 Áreas de regiones poligonales.
 Propiedades de cuadriláteros.
 Cálculo con áreas.

ESQUEMA GENERAL DE LOS CUADRILÁTEROS

¿Cómo calcular las áreas de los cuadriláteros?

Recordemos:
Cuadrado Rectángulo Romboide Rombo Trapecio

Dxd ( B b) a
A a2 A b h A b h A A
2 2

h=a
h=a
Fuente: http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material098/geometria/geoweb/area2.htm

2

15

TRIÁNGULOS
Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de plano limitada por tres segmentos unidos, dos
a dos, por sus extremos.

Consideraciones:

La suma de los ángulos internos es de 180°.
h La longitud de cada lado es menor que la suma de los otros dos.
bxh
A
2

b

CARACTERÍSTICA Y PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS

CUADRADO Es rectángulo y rombo a la vez.
Tiene lados iguales y 4 ángulos rectos.
Tiene diagonales iguales y perpendiculares.
RECTÁNGULO Tiene ángulos rectos.
Las diagonales son iguales.
ROMBO Los lados son iguales.
Las diagonales son perpendiculares.
TRAPECIO Tiene dos lados paralelos y los otros dos no paralelos.
Los lados paralelos se llama BASE MAYOR y base menor.
La distancia entre los lados paralelos en forma perpendicular
se llama altura (h).
En el trapecio isósceles los lados no paralelos son iguales.
En el trapecio rectángulo tiene sólo un ángulo de 90°.
TRAPEZOIDE No tiene lados paralelos.
Es un cuadrilátero sin propiedades.

3

15

CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA

CÍRCULO CIRCUNFERENCIA

Es una superficie plana limitada por una Es la línea curva cerrada y plana, cuyos
circunferencia. puntos están a la misma distancia (radio)
de un punto (centro).

A= r2 Lo = 2 r

r
r

Ejemplo: Ejemplo:

El radio de un platillo (círculo) es de es 4 cm. El radio de un platillo(círculo) es de es 4 cm.

Hallar su área. Hallar la longitud de su contorno.

r2 Lo=2 r
A=
L o = 2(3, 14)(4cm)
A = (3, 14).(4cm) 2
L o = 6, 28(4cm)
A = (3, 14)16cm2
L o = 25, 12cm
A = 50, 24 cm2

4

15

Ejercicios

1. Calcula el área y el perímetro de los siguientes gráficos (usa la regla para medir).

2. Calcula el área de la región sombreada considerando que todos son cuadrados cuyo lado mide
6 cm.

3. Resuelve las siguientes situaciones aplicando tus conocimientos de área.
a) Si el área de una región rectangular mide 56 cm2 y su largo mide 8 cm. ¿Cuánto mide el ancho?
b) El piso de un dormitorio es de 4 m de largo y 3 m de ancho. ¿Cuántas cajas de losetas se necesita
para cubrir el piso, si cada caja cubre 2 m2?
c) Hay que ponerle baldosas a un patio de forma triangular cuya base mide 8 m y su altura es de 3
m. ¿Cuántas cajas de baldosas se necesita si cada caja alcanza para cubrir 3 m2?
d) Hallar la cantidad de galones de pintura que se necesita para pintar el frente de un edificio cuyas
medidas son de 20 m de largo y 10 m de ancho. Cada galón de pintura cubre 10 m2.
e) “Don Carlos necesita cercar un terreno recién sembrado para protegerlo de los animales. Si el
terreno tiene forma rectangular y mide 50 cm de largo y 20 cm de ancho”. ¿Cuántos metros de
alambre necesita?
4. Calcular el área del circulo y la longitud de la circunferencia:
a) d = 6 cm
b) r = 5 cm
5. Calcula el área del rombo sabiendo que:
a) D = 8 cm d = 4 cm
b) D = 100 cm d = La cuarta parte de la D

5

15

Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades. Refuerza tus
conocimientos realizando lo siguiente:
1. Elige un ambiente de tu casa y observa todos los objetos que tengan forma de triángulos
cuadriláteros y circulo además realiza un afiche matemático.
2. Compartan en grupo los resultados del desarrollo de los ejercicios y la resolución de problemas
de tu libro, página 123.

Marca la respuesta correcta.
1. La suma de los ángulos de un cuadrilátero vale:
A) Depende de que cuadrilátero sea. B) 180° C) 90° D) 360°
2. ¿Cuántas diagonales tiene un cuadrilátero?
A) 1 B) 4 C) 8 D) 2
3. Dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son:
A) Iguales B) 4 Complementarios C) Semejantes D) Suplementarios

Resuelve las siguientes situaciones:
1. Observa la siguiente región rectangular:
¿Cuánto mide X? A) 300 cm B) 80 cm C) 65 cm D) 12 cm

Área = 60 cm2

5 cm

X cm

Si tienes internet ingresa a la página web:

Todo referente a cuadriláteros:
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/1eso/unidad11.
pdf

6

1 16

BUSCANDO A LOS POLIEDROS

Sumilla
A través del reforzamiento de este tema y el desarrollo de los ejercicios relacionados con los poliedros
en hechos cotidianos.

 Libro de Matemática - 1er Grado de
 Identificar los principales elementos y
Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú
características de los poliedros.
2008.
 Diferencia y determina la relación entre
prisma y pirámide.
 Calcular las áreas del prisma, de la
pirámide, del cilindro, del cono y la esfera.

¿Cómo empezamos?

Relaciona las fotos (derecha) con las imágenes del centro identificando las figuras que dan origen a
los poliedros (izquierda):

Una mirada a nuestro alrededor basta para encontrarnos con cuerpos que sugieren formas
geométricas. Un libro, una caja de fósforos o un edificio son vistas imperfectas de un paralelepípedo;
una lata de conservas y una tiza sugieren un cilindro; un balón de fútbol a una esfera; un cucurucho
de helado a un cono.

a) Elabora un cuadro con: Nombre del sólido - figura que lo genera a partir de las imágenes.
b) ¿Cuántas bases tienen cada poliedro?
c) ¿Qué entiendes por poliedros?. Da tu idea.
d) Lee la página 124 de tu libro.

1
Fuente: http://jesmanzan.wordpress.com/2008/03/17/u11-longitud-capacidad-masa-y-
superficie/

1 16

Fuente: http://www.korthalsaltes.com/es/index.html

CUERPO SÓLIDO
Es todo lo que ocupa un lugar en el
espacio.

Pueden ser:

Poliedros: Cuerpos de revolución:
Sólidos limitados por caras en Sólidos limitados con una o
forma de polígono. todas sus caras curvas (cuerpos
Tetraedro redondos).
Icosaedro Cilindro
Prismas Cono
Pirámides Esfera

Todos los poliedros tienen vértice, caras y aristas además se cumple que:

C = Cara
V = Vértice
A = Arista C+V = Nº A + 2
C+V=NroA+ 2

Ejercicios

1. Aplica la fórmula de Euler:
• En los poliedros de la figura, cuenta el número de caras, vértices y aristas y escríbelos en la tabla.

Poliedro Nº de caras Nº de vértices Nº de aristas
(C) (V) (A)
(1)
(2)
(3)
(4)

2. Dibuja 3 objetos reales que sean poliedros.

Bien, estando ya familiarizado que son poliedros y conocer su suplementos pasaremos al estudio de los
poliedros más conocidos, para ello te invito a leer la página 125 de tu libro.

2

1 16

PRISMAS
CONCEPTO GRÁFICO TIPOS FÓRMULA

Es un poliedro limitado Según su base puede ser: AL PB .h
por dos caras iguales y Prisma triangular
paralelas (bases) y Prisma cuadrangular
tantos paralelogramos Prisma pentagonal PB .ap
(caras laterales) como
AB
2
lados tienen las bases. Un caso particular son los
paralelepípedos cuyas caras
AT AL 2 AB
son todas rectangulares.

V AB .h

Ejemplo:
El área lateral de un prisma de base cuadrada es 120 cm2 y su altura mide 6 cm.
Calcula el volumen del prisma.

SOLUCIÓN:

Hallamos el lado de la base: AL PB .h 120 = PB.6 PB = 20 l=5
Calculamos el volumen del prisma: V AB .h V = 52 .6 = 150
El volumen es 150m3 .

Ejercicios

1. Calcula el volumen de un prisma de 25 cm2 de base y 8cm de altura.
2. Las aristas de una caja de zapatos miden 12 cm y 35 cm. Calcula la longitud de la diagonal de la
caja.

PIRÁMIDE
CONCEPTO GRÁFICO TIPOS FÓRMULA

Es un poliedro que Según su base puede ser: PB . Ap
tiene por base un Pirámide triangular AL
polígono cualquiera, Pirámide cuadrangular
2
y sus caras laterales Pirámide Pentagonal
son triángulos que AT AL AB
concurren en un
vértice común.
AB .h
V
3

3

1 16

Ejemplo:
Calcula el área lateral, total y volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista y 12 cm de altura.

Ap 2 122 52
AP 122 52 13cm
PB 4.10 40cm
40.30
AL 260cm 2
2
AT 260 102 360cm 2
100.2
V 400cm3
3
2 2
1. El volumen de una pirámide es 48 cm y el área de su base es 16 cm . Calcula la altura de la pirámide.
2 . Halla la apotema y el área total de una pirámide triangular regular de 10 cm de arista.

Ejercicios

CUERPOS DE REVOLUCIÓN:

CILINDRO CONO ESFERA
Se obtiene al girar un rectángulo Se obtiene al girar un triángulo Se obtiene al girar un
alrededor de uno de sus lados. rectángulo alrededor de uno de semicírculo alrededor de su
sus catetos. diámetro.

AL 2 rg AL rg A 4 r2

AT AL 2 AB AT AL AB

AT 2 rg 2 r2 AT AL AB

VC .r 2 .h AT rg r2

.r 2 .h
V
3

4

1 16

Ejemplo:
Calcular el volumen de un cilindro si su radio mide 5 cm y su altura 12 cm.

SOLUCIÓN:

VC .r 2 .h 3, 14.52.12 = 942 cm

Ejercicios

1. Calcula el volumen de un tanque de un camión cisterna sabiendo que su diámetro, mide 2, 70 m
y su altura 5, 5 m.

2. Un cilindro contiene petróleo hasta la tercera parte. ¿Qué volumen falta llenar si la altura es el
triple del radio de la base que mide 21 cm?

DESARROLLO DE LAS PLANTILLAS

Un desarrollo de cada sólido
platónico
Dibújalos en una cartulina, recórtalos y constrúyelos.

1. En parejas inventa 2 problemas cotidianos con poliedros que hay en tu zona.
2. Luego intercambien los ejercicios con otras parejas, resuélvanlos y escriban las dificultades que
encontraron.
3. Para profundizar el tema lee las páginas 126 y 129 de tu libro y resuelve los casos propuestos.
4. Reproduce las plantillas de los poliedros, ármalos e identifica sus elementos.

5

1 16


1. Explica razonadamente cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuales falsas.
a) El cilindro es un poliedro.
b) Hay poliedros con 3 caras.
c) El número de aristas de un poliedro que concurren en un vértice es como mínimo 4.

2. Calcula el volumen de una esfera de 6 cm de radio. Grafica.

3. Se tiene un gorro de fiesta infantil en forma de cono cuyas dimensiones son: 12 cm de altura y
16 cm de diámetro. Calcula la cantidad de papel que se usó para forrarlo.

4. Calcula el área total del envase de la figura.

8 cm

10cm

5. Calcula la generatriz de un cilindro cuya área total es 408, 2 cm2, si el radio de la base mide 5
cm.

6. Calcula la superficie esférica de una pelota que tiene 30 cm de diámetro.

7. Investiga de que poliedros están hechas las pelotas de fútbol.

8. Haz un listado de los minerales que tienen forma de poliedro y dibújalos.


Todo sobre poliedros:
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/esfera.html

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/
poliedros/poliedros.htm

http://www.vitutor.net/2/2/3.html

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