Tema ii calculo de raices de polinomios y numeros complejos uney

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN
INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL
PROFESOR: JULIO C BARRETO G TRAYECTO INICIAL MATEMÁTICA
TEMA II
CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS Y NÚMEROS COMPLEJOS
ANTECEDENTES HISTÓRICOS
Pedro Rothe (Petrus Roth), en su libro Arithmetica Philosophica (publicado en 1608),
escribió que una ecuación polinómica de grado n (con
coeficientes reales) puede tener n soluciones. Alberto Girardo, en su libro L'invention
nouvelle en l'Algebre (publicado en 1629), aseveró que una ecuación de
grado n tiene n soluciones, pero no menciona que dichas soluciones deban ser números
reales. Más aún, él agrega que su aseveración es válida "salvo que la ecuación sea
incompleta", con lo que quiere decir que ninguno de los coeficientes del polinomio sea
igual a cero. Sin embargo, cuando explica en detalle a qué se está refiriendo, se hace
evidente que el autor piensa que la aseveración siempre es cierta; en particular, muestra que
la ecuación: .344
 xx A pesar de ser incompleta, tiene las siguientes cuatro soluciones
(la raíz 1 tiene multiplicidad 2): 21,1,1 i y .21 i Leibniz en 1702 y más
tarde Nikolaus Bernoulli, conjeturaron lo contrario.
Como se mencionará de nuevo más adelante, se sigue del teorema fundamental del álgebra
que todo polinomio con coeficientes reales y de grado mayor que cero se puede escribir
como un producto de polinomios con coeficientes reales del cual sus grados son 1 ó 2. De
todas formas, en 1702 Leibniz dijo que ningún polinomio de tipo
44
ax  (con a real y
distinto de 0) se puede escribir en tal manera. Luego, Nikolaus Bernoulli hizo la misma
afirmación concerniente al polinomio ,4424 234
 xxxx , pero recibió una carta
de Euler en 1742 en el que le decía que su polinomio pasaba a ser igual a:
       712712 22
xxxx
Con  igual a raíz cuadrada de .724 Igualmente mencionó que:
  222244
22 axaxaxaxax 
El primer intento que se hizo para demostrar el teorema lo hizo d'Alembert en 1746. Su
demostración tenía un fallo, en tanto que asumía implícitamente como cierto un teorema

TEMA II: CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS Y NÚMEROS COMPLEJOS
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 MATEMÁTICA
(actualmente conocido como el teorema de Puiseux) que no sería demostrado hasta un siglo
más tarde. Entre otros Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772)
y Laplace (1795) intentaron demostrar este teorema. A finales del siglo XVIII, se
presentaron dos nuevas pruebas, una por James Wood y otra por Gauss (1799), pero ambas
igualmente incorrectas. Finalmente, en 1806 Argand publicó una prueba correcta para el
teorema, enunciando el teorema fundamental del álgebra para polinomios con coeficientes
complejos. Gauss produjo otro par de demostraciones en 1816 y 1849, siendo esta última
otra versión de su demostración original. El primer libro de texto que contiene la
demostración de este teorema fue escrito por Cauchy. Se trata de Course d'anlyse de l'École
Royale Polytechnique (1821). La prueba es la debida a Argand, pero sin embargo en el
texto no se le da crédito. Ninguna de las pruebas mencionadas más arriba son constructivas.
Es Weierstrass quien por primera vez, a mediados del siglo XIX, menciona el problema de
encontrar una prueba constructiva del teorema fundamental del álgebra. En 1891 publica
una demostración de este tipo. En 1940 Hellmuth Knesser consigue otra prueba de este
estilo, que luego sería simplificada por su hijo Marin Kneser en 1981.
CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS
DESPEJE DIRECTO: Esto se basa en la transposición de términos en una ecuación.
Comúnmente es denominado despeje de manera física. Y se cambian al cambiar de los
lados del miembro de una ecuación las operaciones básicas ( , ) por sus respectivas
opuesta e inversa multiplicativa ( , ), además la potenciación y su inversa la radicación y
viceversa. En general existen más operaciones o funciones inversas para cada una de las
funciones definidas, lo cual va a depender del dominio de definición. Vea los ejemplos:
 
   
399
125553223
16445995
4822424
2
222
2
222
2
4
4
16
16431941934
22
33
3333
22





xxx
xxxxx
xxxxx
xx
xxx
xxxxx

FACTOR COMÚN DE UN MONOMIO: Veamos geométricamente la Figura:
Figura: Acepción geométrica de la Factorización sacando Factor Común, la cual tiene relación
con la propiedad distributiva del producto respecto a la adición asociada algebraicamente.
De lo geométrico obtenemos que:
 .baccbca 
Ejemplos de Sacar Factor común:
1. Buscamos el factor común de a2 y .4 Como el factor común de a2 y 4 es ,2
procedemos a factorizarlo:
 2242
22242


aa
aa
Notemos que en cierto sentido aquí existe una descomposición de los factores de cada
sumando:
aa
a 2
1
2
2
2
1
2
4
Luego, el factor común es el 2 y los términos que van en el paréntesis y que llevan el
signo de la suma son una a y un 2 en ese mismo orden.
2. Buscamos el factor común de
32
543 a+aa + . Como el factor común de
,3a 2
4a y
3
5a es ,a procedemos a factorizarlo.

 .543543
543543
232
232
aa+aaaa +
aaaaa +aaa +


Notemos que en cierto sentido aquí existe una descomposición de los factores de cada
sumando:
aa
a 3
1
3
a
a
a
a
a
a
2
2
1
2
4
2
2
2
a
a
a
a
a
a
a 5
1
5
2
3
3
Luego, el factor común es la a y los términos que van en el paréntesis y que llevan el
signo de la suma o de la resta son el producto de los restantes que son un ,3 a4 y
2
5a en
ese mismo orden.
RESOLVENTE CUADRÁTICO
En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función
polinómica definida como: .2
cbxaxy  Una función cuadrática es aquella que puede
escribirse de la forma:   .2
cbxaxxf  Donde ba, y c c son números reales
cualquiera y a distinto de cero ya que si es cero nunca será una parábola.
Este tipo de funciones tiene como característica que cuando 0a el vértice de
la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma y cuando 0a el vértice se
encuentra en la parte superior. La representación gráfica en el plano cartesiano de una
función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas.
La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso
contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos
muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

Por ejemplo, sea la función ,822
 xxy verificar que los puntos de cortes con el eje
son: 21 x y ,42 x y con el eje y es el punto ,8y de acuerdo con la grafica de
abajo:
Gráficas de la función cuadrática.
RAÍCES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de ,x
para los cuales   .0xf Por tratarse de un polinomio de grado 2, habrá a lo sumo 2
raíces, denotadas habitualmente como: 1x y 2x dependiendo del valor
del discriminante  definido como .42
acb 
 Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo:
a
b
x
2
1

 y
a
b
x
2
2


 Una solución real doble si el discriminante es cero:
a
b
xx
2
21


 Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo:
a
i
a
b
x
22
1



 y
a
i
a
b
x
22
2





REPRESENTACIÓN ANALÍTICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Hay tres formas de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se le quiera
dar a la función, un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una
interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc.
FORMA DESARROLLADA
La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del
polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como:
  cbxaxxf  2
con .0a
FORMA FACTORIZADA
Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces
como:     .21 xxxxaxf 
Siendo a el coeficiente principal de la función, y 1x y 2x las raíces de  .xf En el caso
de que el discriminante  sea igual a 0 entonces 21 xx  por lo que la factorización
adquiere la forma:
   2
1xxaxf 
En este caso a 1x se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2. Si el
discriminante es negativo, las soluciones son complejas.
RUFFINI: DIVISIÓN POR  x Y ESQUEMA DE RUFFINI
Es el caso en particular de que    , xxD la división queda planteada en los
siguientes términos:        x+ RxQx=xP 
Demostración: Ejercicio.

Esta regla se aplica en general para dividir un P(x) entre un divisor que tenga o adopte las
siguientes formas: ;bx  ;bax  y .baxn

 Cuando su forma general es: bx  se opera así:
1. Se escriben los coeficientes del dividendo en línea horizontal;
2. Se escribe el término independiente del divisor, con signo cambiado, un
lugar a la izquierda y abajo del coeficiente del primer término del dividendo;
3. Se divide teniendo presente que el primer coeficiente del cociente es igual al
primer coeficiente del dividendo.
4. Para obtener el cociente, se separa la última columna que viene a ser el resto.
Ejemplo: Obtener el cociente y el resto en la división:
1
232 45


x
xxx
Solución: Escribimos los coeficientes en el cuadro (completamos con ceros los términos
que faltan):
Entonces:   xxxxxQ 2234
 (cociente obtenido) y   0xR (residuo
obtenido)
6520entonces,0Si 23
 xxxy
Por división sintética: Los factores de 6 son: .6,3,2,1  Usemos Ruffini según el
Anexo B.
Por lo tanto, f tiene un factor de la forma x-1.
)6()1(652)( 223
 xxxxxxxf
Cocientes del dividendo
1 2 0 0 3 2
- 1 -1 -1 1 -1 - 2
1 1 -1 1 2 0
Coeficiente del cociente Resto
Termino
Independiente
del divisor con
signo
cambiado.
1 -2 -5 6
1 1
1
-1
-1
-6
-6
0

El factor 62
 xx , puede descomponerse en:
)2()3(62
 xxxx
Finalmente: 0)2()3()1(,decires,0652entonces,0 23
 xxxxxxySi
Los valores de x por despeje directo son:
202
303
101



xx
xx
xx
La curva corta al eje x en los puntos: (-2, 0), (1, 0) y (3, 0)
Ejercicio 1: Determinar cociente y resto de dividir:
   93522 234
x +x+xxxP  entre    .2 xxD
   5323 234
x +x+xxxP  entre    .1 xxD
   1432 23
x +x+xxP  entre    .2 xxD
   43 24
x+xxP  entre    .1 xxD
 Verificar las operaciones anteriores.
Ejercicio 2:
 Dado   ,322 234
ax +x+xxxP  determinar “a” para que al dividirlo entre
   2 xxD dé por resto 5
 Dado   ,53 23
ax + bxxxP  determinar “a” y “b”, sabiendo que es divisible
entre  1x y al dividirlo por  2x da por resto 9.
Observaciones:
a. Cuando su forma general es: .bax 
1. Se transforma el divisor, extrayendo factor común, el primer término del divisor, es
decir :







a
b
xabax
2. Se divide entre ,






a
b
x como en el primer caso.

3. Los coeficientes del cociente obtenido se dividen entre el primer coeficiente del
divisor.
4. El resto obtenido no sufre alteración.
b. Cuando el divisor es de la forma: .baxn
 En este caso para que la división se
pueda efectuar los exponentes de la variable del dividendo, deben ser múltiplos del
exponente de la variable del divisor
NÚMEROS COMPLEJOS
Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el
mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números
complejos se designa como ,C siendo R el conjunto de los reales en donde se cumple que
.CR  Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia
de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número
real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica
con la letra i ), o en forma polar.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de
ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones
diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además
los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de
la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en
la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas
electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como
puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los
imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es
el teorema fundamental del álgebra — pero que se demuestra aún en un curso de variable
compleja —, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n
soluciones complejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números
complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

UNIDAD IMAGINARIA
El número imaginario más conocido es .1 Euler lo representó por el símbolo i que aún
se usa en la literatura. Así, la unidad imaginaria es el número 1 y se designa por la
letra .i Esto es: .1 i O sea que i será aquella cantidad que elevada al cuadrado
resulta .1 Claramente:   .11
22
 iii Las leyes formales de operación para i
son sencillas. En efecto, utilizando la Ley de los Signos, se tiene:
.==ii=iiii
i;× i =i =i = iii
;=i = ii
= i;--i
= -i;-i
= i;+i
111
1
1
1
1
1
22
2
2






Con lo anterior se puede construir una tabla de las potencias de la unidad imaginaria:
1
i i
3
i i
5
i i
7
i i
 
2
i 1
4
i 1
6
i 1
8
i 1
 
Esta tabla indica que las potencias impares de i son iguales a i o i y que las potencias
pares de son iguales a 1 o .1 Se cumple además que: .10
i
Nota: Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una
determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la
potencia equivalente a la dada. Debemos destacar que el “sobrante” o “resto” que oscilará
entre 0 y 3 (lo cual es lo que nos importa para realizar los cálculos como vemos en el
ejemplo de abajo).
Ejemplos: Hallar .22
i
Solución: Como haciendo la división, tenemos que: ,
52
422
entonces:
        11111
525422
 iii

Ejercicio: Demostrar que: ii 27
RAÍZ CUADRADA DE CUALQUIER NÚMERO NEGATIVO
Podemos hallar la raíz cuadrada de cualquier número negativo como el siguiente:
  .214144 i
Ejercicio: Demostrar que:
a) i 39
b) i
2
10
2
5
Podemos definir a los números imaginarios de forma general:
NÚMEROS IMAGINARIOS
Un número imaginario se denota por ,bi donde:
 b es un número real
 i es la unidad imaginaria
Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo.
Ejemplo: Hallar las raíces de la ecuación 092
=+x
Solución: Tenemos que: 9909 22
 x=x=+x
Es decir:     ixxx  319199 111
Y     ixxx  319199 111
NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA
Al número a+biz  le llamamos número complejo en forma binómica. En donde:

El número a es la parte real del número complejo, y se denotará como   .Re az 
El número b es la parte imaginaria del número complejo, denotado como   .Im bz 
Además:
 Si 0=b el número complejo se reduce a un número real ya que ,0 aia+  con
  .0Im z
 Si 0=a el número complejo se reduce a bi+bi ,0  y se dice que es un número
imaginario puro, es decir,   .0Re z
El conjunto de todos números complejos se designa por .C Se expresa:
 RbabiaC  ,/
Y tenemos que:
 Los números complejos a+bi y bia  se llaman opuestos.
 Los números complejos a+biz  y biaz  se llaman conjugados.
De lo anterior se concluye que el conjunto de los Números Reales es un subconjunto de los
Números Complejos. Demos así la siguiente definición:
Definición: (Igualdad de Complejos): Dos números complejos 1z y 2z son iguales
siempre que:
   21 ReRe zz  y    .ImIm 21 zz 
Ejemplo: Verificar para cuales valores de x e y los números complejos ixz 621  y
yiz 3102  sean iguales.
Solución: Debe cumplirse que las partes reales y complejas de los números deben ser
iguales, es decir:
5
2
10
102 

 xxx y yyy  2
3
6
36
PLANO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS O DIAGRAMA DE ARGAND
El concepto de plano complejo permite interpretar geométricamente los números
complejos. Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de
los polos y los ceros de una función en el plano complejo.

Definición (El Plano Complejo):El plano complejo es un sistema de coordenadas
rectangulares o cartesianas con la particularidad que en el eje X o de las abscisas se
representará la parte real del complejo (EJE REAL), y en el eje Y o de las ordenadas se
representará la parte imaginaria del mismo (EJE IMAGINARIO).
NOTAS: En el plano complejo los números imaginarios pueden ser representados como
puntos o como vectores. Además, la suma de números complejos se puede relacionar con
la suma con vectores, y la multiplicación de números complejos puede expresarse
simplemente usando coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto
de las magnitudes de los términos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la
suma de los ángulos de los términos.
REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos.
 El eje X se llama eje real.
 El eje Y se llama eje imaginario.
El número complejo a+biz  se representa:
1. Por el punto  ba, que se llama
su afijo.
2. Mediante un vector de origen
 0,0 y extremo  .,ba
 Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, .X
 Los afijos de los números imaginarios se sitúan sobre el eje imaginario, .Y
En este sentido, los Números Complejos se pueden expresar de varias formas:
1. FORMA BINÓMICA: Es la manera como se han presentado hasta ahora:
Ejemplos: 321 i;+=z
3
1
2 i;=z  9
2
1
3 ;i=z  24 ;=z .105 i=z

2. FORMA CANONICA O DE PAR ORDENADO: Se colocan, entre paréntesis
y separadas por una coma, primero la parte real y segundo la parte imaginaria del
complejo en cuestión.
Ejemplos:  ;=z 3,21 1,
3
1
2 ;=z 






2
1
,93 ;=z 





  ;=z 0,24  .10,05=z
Nota: En los ejemplos anteriores que 4z es real y que 5z es imaginario puro.
3. FORMA TRIGONOMÉTRICA O POLAR (Será explicada más adelante).
Ejercicio: Representar los números complejos anteriores, tanto en forma binómica como en
forma canónica o como par ordenado.
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
Sean a+biz 1 y c+diz 2 dos numero complejos, entonces se pueden realizar las
siguientes operaciones:
1. SUMA Y DIFERENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS:
La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales
y las partes imaginarias entre sí, respectivamente.
        ib+d+a+c=dic+a+bi 
        ib -d+a -c=c+di-bia 
Ejemplo: Sean ,251 i+z  i+-z 382  y ,243 i-z  hallemos .321 zzzz 
          i+i = -++--=i--i+-i+z 77232485243825 
Ejercicio: Dados ;531 i+z  ;42 iz  ;23  iz  0,34 z y  .3,04 z Halla
el resultado de: .54321 zzzzzz 
2. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS:
El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del
producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que .12
i

       iad+bc+dbac=dica+bizz  21
Ejemplo: Sean i+z 251  y ,322 iz  hallemos .21 zzz 
         
   
1116
415610
223532253225
i-=
i+=
i-+--=i-i+z


Ejercicio: Dados  2,31 z y  ,5,22 z halla el valor de .21 zzz 
CONJUGADO DE UN COMPLEJO: Llamaremos conjugados a dos complejos
denotados como z y z que tengan sus partes reales idénticas pero sus partes
imaginarias opuestas. Esto será: a+biz  y .biaz 
Ejemplos:
En forma binómica: En forma canoníca:
PROPIEDAD DE LOS COMPLEJOS CONJUGADOS:
Al multiplicar dos complejos conjugados, el resultado es un número real positivo.
Ejemplo: Si ,2 iz  halla el producto de .zz
Resolución:
       522)1(422.  iiizz
Por lo tanto: 5. zz
Vamos a probar ahora la propiedad para cualquier par de complejos conjugados (Fórmula):
Si tenemos que a+biz  y ,biaz  entonces:
z z
 1,3   1,3
 5,  5,
 3,0  3,0 
 0,e  0,e
 0,0  0,0
z z
i53 i53
i 2 i 2
i3 i3
8 8

      iabbababiabiazz .).()(. 22

   ibababazz ... 22

  ibazz 0. 22
 
22
. bazz  (Fórmula)
(Al estudiante se le deja verificar la propiedad resolviendo el ejemplo anterior).
3. DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS:
El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por
el conjugado de este.
i
dc
adbc
+
dc
bdac
=
dic
a+bi










 2222
Ejemplo: Sean i+z 231  y ,212 iz  calcule .
2
1
z
z
z 
 
   
 
   
 
i+
i+
i+
i+=
i
i+
z
5
8
5
1
5
8
5
43
41
62
41
43
21
2312
21
2213
21
23
2222































Nota: Para dividir números complejos multiplicamos el numerador y el denominador por el
conjugado del denominador. Realice la demostración de esta fórmula.
Ejercicios: Halla el valor de:

i
iz


2
23

i
iz
65
827



NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Y TRIGONOMÉTRICA
MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO
El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el
origen de coordenadas y su afijo. Se designa por .z Es dado por: .22
bazr 
Ejemplo: Halla el módulo de .43 iz 
Solución: De la fórmula tenemos que:
251694)3( 22
z
Por lo tanto: 5z
ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se
designa por  .zArg El argumento de un complejo puede tomar infinitos valores que se
diferencian entre sí por un número enteros de vueltas:
  .con,2 ZkkzArg   Llamaremos argumento principal al que está
comprendido entre  2,0 , o sea una vuelta; y se calcula usando cualquier función
trigonométrica como por ejemplo:
,
r
b
arcSen
r
b
Sen   ,
r
a
arcCos
r
a
Cos   .
a
b
arcTg
a
b
Tg  
Para calcular el argumento, calculamos el arcotangente de
a
b
prescindiendo de los signos,
para ubicar el cuadrante en que se encuentra tendremos en cuenta:




























IVcuadranteelen,360
0y0si,270
IIIcuadranteelen,180
0y0si,180
IIcuadranteelen,180
0y0si,90
Icuadranteelen,
0y0si,0
0
0
0
0
0
0
0





ba
ba
ba
ab
a
b
arctg
Ejemplos: Halla el argumento de los siguientes complejos: iz .221  y
iz .572 
Solución:
Argumento de z1:  1
2
2


 arcTgTg 
Por lo tanto: )º360(2º135:2
4
3
kbienok  


Argumento de z2: 714286,0
7
5
arcTgTg 


 
Por lo tanto: )º360(2º5376,215:28809,1 kbienokrad  
FORMA TRIGONOMÉTRICA O POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO:
En la figura se tiene que:


 SenbdondedebSen . ;

Y también: 

 CosadondedeaCos . .
Ahora, como ,bz=a+i sustituyendo obtenemos:
   iSenCosz ...   ,
Lo cual organizándolo nos queda:  SeniCosz ..  , y ahora sacando el factor
común resulta:   SeniCosz . , y por último llamando a la expresión
 SeniCos . = Cis se tiene la “Forma Trigonométrica o Polar de Z”:
 Cisz .
Ejemplo 1: Convierta de la forma polar a la forma binómica: 120º2z
Solución: Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a
la forma trigonométrica. Tomando en cuenta que:  .isenααrrz α  cos Así,
 
00
00
1202120cos2z
120120cos2
isen
isenz


De aquí que la parte real es dada por: .1
2
1
2120cos2 0






a
Y la parte imaginaria es: .3
2
3
21202 0








 senb
Por tanto, el número complejo en forma binómica es dado por: i31z 
Nota: Reales e imaginarios puros de módulo unidad:
z =10º = 1 z =1180º = −1 z =190º = i z =1270º = −i
Ejemplo 2: Pasar a la forma polar: i31z 
Solución: Notemos que su modulo y argumento viene dados por:
     .2z4z31z31z
22

 .60
1
3
arcTg 0








 

Y por tanto nos queda que:
60º2z
UNA FÓRMULA MARAVILLOSA
Relaciona los números imaginarios (i = raíz cuadrada de (–1)), con las potencias (número
e y logaritmos neperianos) y con las funciones trigonométricas. Permite recordar, sin
esfuerzo, fórmulas trigonométricas como la del seno o coseno de una suma de ángulos, del
ángulo doble o mitad, y calcular, con facilidad, derivadas de funciones trigonométricas.
Esta es la Fórmula de Euler: 
isene i
 cos
Y cuando ,  tenemos que: 1i
e
o bien 01i
e
Para finalizar, se enunciará la opinión que emitió alrededor de la cuarta década del siglo
XX el eminente científico John von Neumann acerca de los números complejos: “Hace 150
años, uno de los problemas más importantes de la ciencia aplicada -de la que dependía el
desarrollo de la industria, comercio y gobierno- era el problema de salvar vidas en el mar.
Las estadísticas sobre esas pérdidas eran terribles. El dinero y los esfuerzos empleados en
resolver el problema eran también terríficos, los matemáticos desarrollaban una
herramienta que salvaría más vidas que las que esperaba salvar el grupo de excéntricos
inventores. Esa herramienta se llegó a conocer como la teoría de Funciones de Variable
Compleja. Entre las muchas aplicaciones de esta noción puramente matemática, una de las
más fructíferas es la Teoría de la Comunicación por Radio.”
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 Baldor, A. “Álgebra”. Distribuidora Cultural Venezolana S.A.
 Barreto, J. (2014). La recta numérica y el plano cartesiano: Un estudio desde los
números naturales hasta los números complejos. Colección de Secundaria. (6).
https://www.createspace.com/5137020
 Churchill, R. (1992). Variable Compleja y Aplicaciones. Quinta Edición. McGraw-
Hill, México.
 Edminister, J. (1981). Circuitos eléctricos. Serie de Compendios Schaum, McGraw-
Hill/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.
 Mendiola, E. “Matemáticas 4to. Año”. Editorial Biosfera S.R.L. Capítulo VII
 Jiménez, J y Salazar, J. “Matemáticas Primer Año, Ciclo Diversificado.”. Ediciones
CO-BO. Caracas.
 Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra
lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades.
Editorial Reverté.
INTERNET: http://www.vitutor.com/di/c/a_11.html#

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