Tema iii integral definida y aplicaciones uney

PROFESOR: JULIO C BARRETO G ESC: 71, 76 MATEMÁTICA II
PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN
INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL
TEMA III: LA INTEGRAL DEFINIDA
Arquímedes calculó el área de un círculo por medio de aproximaciones sucesivas,
inscribió rectángulos dentro del círculo, calculó el área de cada rectángulo y sumó todas
éstas. Después construyó rectángulos más estrechos de modo que la suma de las áreas de
los rectángulos se aproximaba cada vez más al área del círculo.1
Para una función, la idea
intuitiva de continuidad es que la curva que represente a la gráfica debe dibujarse con un
trazo continuo, o sea, que no tenga saltos. Por ejemplo: sea A el área de una región limitada
por el eje “ x ” y la gráfica de una función no negativa  ,xfy  la cual está definida en un
cierto intervalo cerrado a, b, como se observa en la siguiente figura.
y
0 x
El cálculo del área A se lleva a cabo dividiendo dicha área en un determinado número
de rectángulos, es decir, en “n” rectángulos sobre el intervalo a, b. Lo anterior se
representa en la gráfica siguiente:
0
La gráfica anterior representa las áreas de los rectángulos, la cual es una
aproximación al área real. Generalmente dichas áreas se representan en unidades cuadradas
(u2
).
1
Bosch Giral, Carlos. Et al. “Cálculo Diferencial e Integral”. p.p. 171-173
A = área
y = f (x)
a b
a b x
)(xfy 
y

TEMA II: INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 MATEMÁTICA I
Como podrás observar, la suma de todas las áreas de los rectángulos son una
aproximación al área bajo la curva, esta área se representa con la siguiente definición,
donde el símbolo  (sigma) indica una suma.
DEFINICIÓN: Sea f una función continua en el intervalo cerrado a, b y   ,0xf
para toda “ x ” en el intervalo a, b. Se define el área bajo la gráfica en el intervalo
como:


n
k
kk xxfA
1
*
)(
De la fórmula anterior, *
kx , kx y )( *
kxf , se representan en la siguiente gráfica.
y
kx
Donde *
kx representa el punto que será evaluado por la función y )( *
kxf representa la
altura del rectángulo, el valor x representa la base de cada rectángulo.
A partir de la gráfica, se tienen las siguientes condiciones:
Al dividir el área en “n” rectángulos, el lado derecho de cada uno éstos, está
representado por *
kx .
La amplitud (base del rectángulo) en cada uno de ellos es igual a x .
La altura del rectángulo construido bajo la curva se representa por: )( *
kxf .
)( *
kxf
f (x)
a b x*
kx

Para utilizar la fórmula de la definición 1.1, es conveniente realizar los siguientes
pasos:
PASO 1: Divide el intervalo a, b en “n” subintervalos, esto es:
n
ab
x


PASO 2: Haz que los *
kx sean los lados derecho de cada subintervalo. Si x0 = a, entonces
para efectuar los cálculos se utiliza la siguiente fórmula:





 

n
ab
axxx 110
*
1





 

n
ab
axxx 220
*
2





 

n
ab
axxx 330
*
3





 

n
ab
kaxkxxk 0
*
baba
n
ab
naxnxxn 




 
 0
*
Es importante revisar la sustitución de los valores, así como sus signos y realizar
correctamente las operaciones. Por otra parte el ultimo valor de *
kx depende del valor de
“n”, por ejemplo si n = 4, entonces *
kx debe calcularse hasta n-1, en esta caso *
3x .
Para obtener la altura de cada uno de los rectángulos )( *
kxf , se sustituyen los valores
de ,, *
2
*
1 xx ... *
1kx en la función.

Las condiciones anteriores no siempre se satisfacen en la solución de problemas. Por
esto es necesario generalizar los conceptos a los siguientes casos2
:
La función puede ser discontinua en algunos puntos de a, b.
f (x) puede ser negativo para alguna “x” en el intervalo a, b.
Las longitudes de los subintervalos  k1, xxk pueden ser diferentes entre sí.
El número kw puede ser cualquier número en  k1, xxk .
Una partición P de un intervalo cerrado a, b, es una descomposición cualquiera del
intervalo a, b en subintervalos de la forma:
x0,, x1, x1, x2, x2, x3, ...xn-1, xn
Donde “n” es un número entero positivo y los kx son números tales que:
a = x0  x1  x2  x3  ...  xn-1  xn = b
La longitud del k-ésimo subintervalo xk-1, xk, se denota por kx , es decir:
1 kkk xxx
La partición x contiene “n” subintervalos, donde uno de éstos es el más largo, sin
embargo puede haber más de uno. La longitud del subintervalo más largo de la partición
x se le llama Norma de la Partición P y se denota por P .
En la siguiente figura se observa una partición del intervalo a, b.
El siguiente concepto la suma de Riemann, es llamado así en honor del matemático B.
Riemann, y es un concepto fundamental para la definición de la Integral definida.
2
Cfr. Swokowski W., Earl. “Introducción al Cálculo con Geometría Analítica” p.p. 226 – 231.
a = x0 x1 x2 ..... x k-1 xk ... xn-1 xn = b

DEFINICIÓN: Sea f una función definida en un intervalo cerrado a, b y sea P
una partición de a, b. Una suma de Riemann de f para P es cualquier expresión
Rp de la forma:


n
k
kkp xwfR
1
)(
Donde wk es un número en el intervalo xk-1, xk.
La siguiente es la representación gráfica de la integral definida.
y

)(xfy 
x0 x1 xn
x
1kx wk kx
Las flechas indican donde se localizan estos puntos.
Observa en la gráfica que la altura de los rectángulos está dada por la función
evaluada en el punto wk, o sea f(wk). Se debe tomar en cuenta que un área es positiva si está
por arriba del eje x y se le asigna un signo menos a las áreas que están por debajo del eje x.
DEFINICIÓN: “Sea f una función definida y acotada para a ≤ x ≤ b. Dividamos en intervalo
[a, b] en n sub intervalos de longitudes xi (i = 1, 2, …, n) y tomemos en cada uno de estos sub
intervalos un punto muestra ci. Formemos la suma de Riemann


n
i
ii xcf
1
)(
 kwf

La cual dependerá tanto de la partición realizada en el intervalo [a, b] como de la selección
realizada de los puntos muestra. Si al tender todos los xi a cero, las sumas de Riemann convergen a
un límite independientemente de la forma de la partición y de la selección de los puntos muestras,
entonces este límite se llama integral definida de f desde a hasta b y se denota:

b
a
dxxf )(
En este caso, la función se dice integrable (Riemann) en [a, b]. En forma breve:
 


n
i
ii
n
b
a
xcfdxxf
1
)(lim)(
Si el límite existe”.
Aclárese que, cuando f es continua en [a, b] entonces es integrable y, por los tanto, el
problema se puede simplificar pues al calcular el límite puede escogerse la partición y los puntos
muestra de la forma más sencilla posible, por ejemplo, tomar sub intervalos de la misma longitud y
tomar los puntos muestra en los mismos puntos de la partición.
CÁLCULO DE ÁREAS ENTRE GRÁFICAS DE FUNCIONES3
Consideremos las curvas )()( xgyyxfy  con ambas funciones sobre el intervalo
.bxa  Ellas determinan la región que se muestra a continuación:
Y )(xgy 
)(xfy 
a b X
3
Purcell, Edwin, J. Varberg, Dale. “Cálculo Diferencial e Integral”, p.p. 284-287.

Observa que )()( xgyxf son funciones continuas en el intervalo cerrado  ba, . El
área de )(xf en el intervalo  ba, está dada por  dxxf
b
a
)( . Si g es otra función y
)()( xgxf  para toda x en  ba, , entonces el área A de la región acotada por las gráficas
de )()( xgyxf , bxyax  , está dada por
     dxxgxfdxxgdxxfA
b
a
b
a
b
a
)()()()(
Es importante que conozcas que para encontrar los puntos de intersección, estos se
calculan resolviendo simultáneamente las ecuaciones; es decir se igualan las dos funciones
y se resuelven éstas, encontrando los límites de integración.
Observa como se calcula el área entre dos curvas en el siguiente ejemplo:
Encontraremos el área de la región acotada por las gráficas 62
 xy y 032  xy y
realizaremos la gráfica.
PASO 1: Una forma de encontrar los límites de integración es realizando la gráfica.
La otra forma es igualando las dos funciones. Para este ejemplo, encontraremos los límites
de integración de las dos formas.
Sea 62
 xy Ecuación (1)
032  xy Ecuación (2)
Despejando “y” de la ecuación (1) y (2), tenemos que:
De la ecuación (1)
62
 xy Ecuación (3)
De la ecuación (2)
32  xy Ecuación (4)

Igualando las ecuaciones (3) y (4), se tiene:
0320632326 222
 xxxxxx
Factorizando esta ecuación:
0)1)(3(322
 xxxx
Igualando a cero cada factor:
303  xx
101  xx
Por lo tanto, los límites de integración es:  3,1 . La otra forma es realizando la
gráfica. De la ecuación (1) se despeja a la incógnita “y”, y se elabora una tabla dando
valores a “x” para encontrar el respectivo valor de “y”.
x 6 xy  yx,
-3 -(-3)2
+ 6 = -9 + 6 = - 3 (-3, -3)
-2 -(-2)2
+ 6 = - 4+6 = 2 (-2, 2)
-1 -(-1)2
+ 6 = -1 +6 = 5 (-1, 5)
0 -(0)2
+ 6 = 6 (0, 6)
1 -(1)2
+ 6 = -1 +6 = 5 (1, 5)
2 -(2)2
+ 6 = - 4 +6 = 2 (2, 2)
3 -(3)2
+ 6 = - 9 + 6 = - 3 (3, -3)
De la ecuación (2) se despeja la incógnita “y” y se elabora otra tabla dando valores a
“x” para encontrar su respectivo valor de “y”.

x 32  xy  yx,
-3 -2(-3) + 3 = 6 + 3 = 9 (-3, 9)
-2 -2(-2) + 3 = 4 + 3 = 7 (-2, 7)
-1 -2(-1) + 3 = 2 + 3 = 5 (-1, 5)
0 -2(0) + 3 = 0 + 3 = 3 (0, 3)
1 -2(1) + 3 = - 2 + 3 = 1 (1, 1)
2 -2(2) + 3 = -4 + 3 = -1 (2, -1)
3 -2(3) + 3 = -6 + 3 = -3 (3, -3)
PASO 2: Se realiza la gráfica con los valores obtenidos de las dos tablas.
y
32  xy
Como puedes observar en la gráfica los puntos donde se intersectan las dos gráficas
son (-1, 5) y (3, -3), esto nos indica que 31  xyx son los límites de integración.
PASO 3: La gráfica que está por encima de la región es la que tiene por ecuación
62
 xy , como se observa en la gráfica, y la que está por debajo del área a determinar
es la que tiene por ecuación 32  xy . Esto nos indica que el área A entre las curvas está
dada por la diferencia de las funciones, es decir, la ecuación 62
 xy menos la
ecuación 32  xy , esto se representa por la integral siguiente:
-4
-2
0
2
4
6
8
-4 -2 2 4 x
(3, -3)
(-1, 5)
62
 xy

     

dxxx 3262
3
1
PASO 4: Se calcula la integral anterior.
    
   
2
2
3
2
3
3
1
23
2
3
1
2
3
1
3
32
3
1
1131
3
1
9
31
3
1
999
19(3)1(
3
)1(
333
3
)3(
3
2
2
3
)32(326
u
x
xx
dxxxdxxx




















Por lo tanto el área es: 2
3
32
uA 
Ejercita tus conocimientos y calcula el área entre las curvas de las siguientes funciones:
2
2)( xxxf  y 4
)( xxg  , realiza las gráficas correspondientes.
SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN.
Si una región plana situada completamente a un lado de una línea fija en su plano,
gira alrededor de ésta, entonces se genera un Sólido de revolución. La recta fija se llama
eje del sólido de revolución. Por lo tanto el volumen del sólido de revolución se define de la
siguiente manera: Sea f una función continua en el intervalo cerrado  ba, y sea R la región
acotada por la gráfica de f, el eje “x” y las rectas x=a y x=b. El volumen V del sólido de
revolución generado al girar R alrededor del eje “x” es:
  dxxfV
b
a
2
)(

Para calcular el volumen de un sólido revisa con atención el siguiente ejemplo:
Sea 1)( 2
 xxf , observa como se calcula el volumen del sólido de revolución
generado al girar la región bajo la gráfica de f(x) con x = -1 y x = 1 alrededor del eje “x”.
PASO 1: Se gráfica la función 1)( 2
 xxf , en el intervalo que se indica.
y
x
PASO 2: Se aplica la fórmula para encontrar el volumen, en el intervalo  1,1 .
     

dxxxdxxV 121 24
1
1
2
1
1

PASO 3: Se integra y se evalúa dicha integral, obteniendo de esta manera el volumen
del sólido de revolución.
1
1
35
3
2
5 






 x
xx
V 
PASO 4: Se calcula la integral anterior.
1
-1
1)( 2
 xxf

   









































1
3
2
5
1
1
3
2
5
1
1
3
2
5
1
1
3
2
5
1
)1()1(
3
2
5
)1(
)1(1
3
2
5
1 3
5
3
5



V
V
V
Por lo tanto el volumen del sólido de revolución es: 
15
56
V
Ejercita tus conocimientos y calcula el volumen del sólido de revolución generado al
girar la región bajo la gráfica de 2)( xf , en el intervalo  3,0 . Realiza la gráfica.
EJERCICIOS:
1. Calcula el área entre las gráficas de las funciones que se indican y realiza la gráfica
correspondiente.
a) 42
)(,2)( xxgxxxf 
b) 5)(,1)( 2
 xgxxf
c) xxgxxf  )(,)( 2
2. Calcula el volumen generado por el sólido de revolución alrededor del eje “x”,
dado en cada una de las siguientes funciones, en el intervalo que se indica. Realiza
la gráfica correspondiente.
d)  2,0)( xxf 
e)  1,1)( 2
 ttg
f)  4,0)( tth 
g)  0,33  xy

TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de pregunta Respuesta correcta
a)
 1,0)(2)( 42
xxgxxxf 
       242
1
0
42
1
0 15
7
2)(2 udxxxxdxxxx
y
b)
 2,25)(1)( 2
 xgxxf
      

22
2
2
2
2
2 3
32
415 udxxdxx
y
-2
-1
0
1
2
3
4
-2 -1 1 2 3 4 x
-2
0
2
4
6
8
-3 -2 -1 1 2 3 x

c)
 1,0)()( 2
xxgxxf 
   







 222
11
0
2
1
0 3
1
udxxxdxxx
y
d)
 2,0)( xxf 
    3
2
0
22
0
2 udxxdxxV 
y
x
e)  1,1)( 2
 ttg   

322
1
1 5
2
udttV 
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 x

y
19.
f)
 4,0)( tth     32
4
0 3
64
udttV 
g)
 0,33  xy   

32
0
3
93 udxxV 
Sugerencias
Si te equivocaste en los reactivos del 1 al 6, revisa los ejercicios resueltos y consulta
el libro de Edwin J. Purcell y Dale Varberg. “Cálculo Diferencial e Integral”, p.p.
270-273.
-4
-2
0
2
4
-4 -3 -2 -1 1 x
y
-4
-2
0
2
4
-1 1 2 3 4
x
-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -0.5 0.5 1 x
y

Si te equivocaste en los reactivos del 7 al 13, revisa los ejercicios resueltos y
consulta el libro de Earl W. Swokowski. “Cálculo con Geometría Analítica”, p.p.
460-485.
Si te equivocaste en los reactivos del 14 al 20 revisas los ejercicios resueltos y
consulta el libro de Edwin J. Purcell y Dale Varberg. “Cálculo Diferencial e
Integral”, p.p. 281-301.
Recuerda que   cu
u
du
ln
APLICACIONES A LA FÍSICA
Muchas leyes físicas se descubrieron durante el mismo período histórico en el que
estaba siendo desarrollado el cálculo. Durante los siglos XVII y XVIII existía poca
diferencia entre ser un físico o un matemático.
ESPACIO RECORRIDO EN UN MOVIMIENTO RECTILÍNEO
Para un objeto con movimiento rectilíneo la función posición,  ,ts y la función velocidad,
 ,tv se relacionan por     .dttvts De este hecho y del teorema fundamental del cálculo
se obtiene:        .
2
1
2
12
12 
t
t
t
t
tststsdttv
La posición del objeto en el instante t1 está expresada por s(t1) y s(t2) es la posición
en el instante t2, la diferencia s(t2) - s(t1) es el cambio de posición o desplazamiento del
objeto durante el intervalo de tiempo [t1, t2]. Un desplazamiento positivo significa que el
objeto está más hacia la derecha en el instante t2 que en el instante t1, y un desplazamiento
negativo significa que el objeto está más hacia la izquierda. En el caso en que   0tv en
todo el intervalo de tiempo [t1, t2], el objeto se mueve en la dirección positiva solamente, de
este modo el desplazamiento s(t2) -s(t1) es lo mismo que la distancia recorrida por el objeto.

En el caso en que   0tv en todo el intervalo de tiempo, el objeto se mueve en la
dirección negativa solamente, por tanto, el desplazamiento s(t2) -s(t1) es el negativo de la
distancia recorrida por el objeto. En el caso en que v(t) asuma valores tanto positivos como
negativos durante el intervalo de tiempo [t1, t2], el objeto se mueve hacia adelante y hacia
atrás y el desplazamiento es la distancia recorrida en la dirección positiva menos la
distancia recorrida en la dirección negativa. Si quiere encontrarse la distancia total recorrida
en este caso (distancia recorrida en la dirección positiva más la distancia recorrida en la
dirección negativa) debe integrarse el valor absoluto de la función velocidad, es decir:
Distancia total recorrida durante el
intervalo de tiempo [t1, t2]
=   .
2
1
dttv
t
t

PROBLEMA: Un objeto se mueve con movimiento rectilíneo de modo tal que su
velocidad en el instante t es   tttv 22
 metros por segundo. Halle:
a) El desplazamiento del objeto durante los tres primeros segundos.
b) La distancia recorrida durante ese tiempo.
SOLUCIÓN:
a)     0
3
2
3
0
2
33
0
2
3
0






  t
t
dtttdttv
Esto significa que el objeto se encuentra en la misma posición en el instante t=3 que
en el instante t= 0.
b) La velocidad puede escribirse como    2 tttv de modo que   0tv si 32  t y la
velocidad es negativa si .20  t 0

La distancia recorrida es:
     
 
3
8
33
22
3
2
2
3
2
0
2
33
0
3
2
2
2
0
2
3
0
















t
t
t
t
dttv
dtttdtttdttv
Podemos asegurar que la distancia recorrida es de
3
8
metros.
TRABAJO
El concepto de trabajo es importante para los científicos e ingenieros cuando
necesitan determinar la energía necesaria para realizar diferentes tareas físicas. Es útil
conocer la cantidad de trabajo realizado cuando una guía eleva una viga de acero, cuando se
comprime un muelle, cuando se lanza un cohete o cuando un camión transporta una carga
por una carretera. En el lenguaje cotidiano, coloquial, el término trabajo se una para indicar
la cantidad total de esfuerzo requerido para realizar una tarea. En física tiene un significado
técnico que está en relación con la idea de fuerza. Intuitivamente se puede pensar una
fuerza como el hecho de empujar un objeto o tirar de él. Decimos que se hizo un trabajo
cuando una fuerza mueve un objeto. Si la fuerza aplicada al objeto es constante, tenemos la
definición siguiente de trabajo.
 TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE
Si un objeto se mueve una distancia d en la dirección de una fuerza
constante F aplicada sobre él, entonces el trabajo w realizado por la fuerza se define
como .dFw  Existen muchos tipos de fuerzas: centrífuga, gravitacional, etc. Una fuerza
cambia el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo. Para las fuerzas gravitacionales
en la tierra se suelen utilizar unidades de medida correspondientes al peso de un objeto.
Cuando la fuerza es constante todo parece sencillo pero cuando se aplica una fuerza
variable a un objeto se necesita el cálculo para determinar el trabajo realizado ya que la
fuerza varía según el objeto cambia de posición.

 TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE
Si un objeto se mueve a lo largo de una recta debido a la acción de una fuerza que
varía continuamente F(x), entonces el trabajo realizado por la fuerza conforme el objeto se
mueve desde x= a hasta x=b está dado por  
b
a
dxxFw .
PRESIÓN Y FUERZA EJERCIDAS POR UN FLUIDO
 PRESIÓN DE UN FLUIDO
Los nadadores saben que cuanto más profundo se sumerge un objeto en un fluido
mayor es la presión sobre el objeto. Las compuertas de las represas se construyen más
gruesas en la base que en la parte superior porque la presión ejercida contra ellas se
incrementa con la profundidad. Para calcular la presión de un fluido se emplea una ley
física importante que se conoce como el principio de Pascal. Muchos de los trabajos de
Pascal fueron intuitivos y carentes de rigor matemático pero anticiparon muchos resultados
importantes. El principio de Pascal establece que la presión ejercida por un fluido a una
profundidad h es la misma en todas direcciones. La presión en cualquier punto depende
únicamente de la profundidad a la que se halla el punto. En un fluido en reposo, la
presión p a una profundidad h es equivalente a la densidad w del fluido por la
profundidad, p= w . h. Definimos la presión como la fuerza que actúa por unidad de área
sobre la superficie de un cuerpo.
 FUERZA EJERCIDA POR UN FLUIDO SOBRE UNA SUPERFICIE CON
PROFUNDIDAD CONSTANTE
Dado que la presión de un fluido aparece en términos de fuerza por unidad de área, ,
A
F
p 
la fuerza total que ejerce el fluido contra la base en un recipiente con base plana horizontal
se puede calcular multiplicando el área de la base por la presión sobre
ella  ApF presión . área . Teniendo en cuenta la fórmula para calcular la presión
resulta el valor de la fuerza .AhwF 

 FUERZA EJERCIDA POR UN FLUIDO SOBRE UNA SUPERFICIE CON
PROFUNDIDAD VARIABLE
Supongamos que una placa sumergida verticalmente en un fluido de densidad w se
desplaza desde y=a hasta y=b sobre el eje y. La fuerza ejercida por el fluido contra un lado
de la placa es    dyyLyhwF
b
a
 donde  yh es la profundidad y  yL es la longitud
horizontal medida de izquierda a derecha sobre la superficie de la placa al nivel y.
Sólo se enuncian algunas de las muchas aplicaciones de la integral definida a la
resolución de problemas, sólo se pretende motivar para una indagación e investigación
más profunda.
REGLA DE BARROW
Regla de Barrow: Si f (x) es una función continua en [a, b] y G(x) es una primitiva suya,
entonces:

b
a
dxxf )( = G(b) – G(a)
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 González, J., Ortiz, J., Acosta, A., Azocar, A. (1995). MATEMÁTICA I. Estudios
Generales. Tomo II. Sexta Edición. UNA. Caracas, Venezuela.
 Pulcell, E. y Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica. Segunda edición,
Prentice Hall Hispanoamericana, S. A. México-Englewood cliffs.
 Saenz, J. (1995). Cálculo Diferencial para ciencias e ingeniería. Primera Edición.
Hipotenusa Barquisimeto- Venezuela.
Dirección Electrónica: http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/AplicacionesFisica.htm

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