1.
Estudio de Funciones
1º Dominio de Definicion = Df
f(x) =
h(x)
g(x)
AA f existe si y solo si h(x) ! 0
f(x) = h(x)2n
AA f existe si y solo si h(x) $ 0
f(x) = loga h(x)6 @ AA f existe si y solo si h(x) 2 0
f(x) = arcsen h(x)6 @ AA f existe si y solo si - 1 # h(x) # 1
f(x) = arccos h(x)6 @ AA f existe si y solo si - 1 # h(x) # 1
f(x) = arctag h(x)6 @ AA f existe siempre Df = Dh
f(x) = h(x)6 @g(x)
AA f existe si y solo si h(x) 2 0
2º Simetria o periocidad
1º f(- x) = f(x) ( f es una funcion par
2º f(- x) =- f(x) ( f es una funcion impar
3º f(x + a) = f(x) ( f es una funcion periodica de periodo a
3º Continuidad
a f es continua en a , lim
x"a
f(x) = f(a) = n d R
b f es continua en a , lim
x"a+
f(x) = lim
x"a-
f(x) = f(a) = n d R
la b se utiliza en funciones a trozos,tambien para ver si la funcion
es continua o no en el punto que esta excluido del dominio de definicion
casos de continuidad evitable
1 lim
x"a
f(x) ! f(a)
2 lim
x"a
f(x) = n y f(a) no existe
Teorema de BOLZANO
si
f a^ h es de distinto signo que f b^ h
f x^ h es continua en a,b6 @
( ( 7 c d a,b@ 6tal que f c^ h = 0
4º Derivabilidad
para que una funcion sea derivable en x = a antes tiene que ser continua en x = a
lf a^ h = lim
x"a x - a
f x^ h - f a^ h
ó
lf a-^ h = lim
h"0- h
f a + h^ h - f a^ h
lf a+^ h = lim
h"0+ h
f a + h^ h - f a^ hZ
[
]]]]]]
]]]]]]
si lf a+
^ h = lf a-
^ h & f es derivable en a
f derivable en a & f continua en a
f continua en a ( f derivable en a
en lo ultimo de este resumen de funciones se encuentra la tabla de derivadas
que habra que memorizar muy bien porque seran muy valiosos para los integrales
5º Corte con los ejes
** corte con el eje y
x = 0 , y = f(0)
** corte con el eje x
y = 0 , f(x) = 0 se resuelve sacando los valores de x
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

2.
Algunos casos particulares
si y = h(x)n
; y = 0 , h(x) = 0
si y = loga h(x)6 @ ; y = 0 , h(x) = 1
si y = sen h(x)6 @ ; y = 0 , h(x) = kr k d Z
si y = cos h(x)6 @ ; y = 0 , h(x) =!
2
r + 2kr k d Z
si y = tag h(x)6 @ ; y = 0 , h(x) =
h(x) = kr k d Z
h(x) !!
2
r + 2kr k d Z
*
si y = arcsen h(x)6 @ ; y = 0 , h(x) = 0
si y = arccos h(x)6 @ ; y = 0 , h(x) = 1
si y = arctan h(x)6 @ ; y = 0 , h(x) = 0
6º Asintotas
*** Asintotas verticales
se fija en los puntos que estan excluidos de D f por ejemplo D f = R - a" ,
pues si lim
x"a
f(x) = 3 ( x = a es la asintota vertical
se calcula :
lim
x"a+
f(x) =+3 ; lim
x"a-
f(x) =+3 asi ver el sentido de la curva respecto a la asintota vertical
(ver imagen de abajo para entenderlo).
- -
lim
x"a-
f(x) =+3 lim
x"a+
f (x) =+3
$ asintota vertical
a eje x
lim
x"a+
f(x) =-3 ; lim
x"a-
f(x) =-3 asi ver el sentido de la curva respecto a la asintota vertical
(ver imagen de abajo para entenderlo).
a eje x
$ asintota vertical
lim
x"a-
f(x) =-3 lim
x"a+
f (x) =-3
. .
** Asintota horizontal
se calcula (lim
x"3
f(x) = a ; a d R) ( y = a es la asintota horizontal
** Posicion de la curva respecto a la asintota Horizontal
si lim
x"+3
(f(x) - a) = b 1 0 & la curva va por debajo de la asintota cuando x "+3
si lim
x"-3
(f(x) - a) = b 1 0 & la curva va por debajo de la asintota cuando x "-3
(ver imagen de abajo para entenderlo)
Y
lim
x"-3
(f(x) - a) = b 1 0 lim
x"+3
(f(x) - a) = b 1 0
a
$ asintota Horizontal
X
eje y
eje y
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

3.
si lim
x"+3
(f(x) - a) = b 2 0 & la curva va por encima de la asintota cuando x "+3
si lim
x"-3
(f(x) - a) = b 2 0 & la curva va por encima de la asintota cuando x "-3
(ver imagen de abajo para entenderlo)
Y
lim
x"-3
(f(x) - a) = b 2 0 lim
x"+3
(f(x) - a) = b 2 0
a
$ asintota Horizontal
X
Los puntos de corte entre f x^ hy la asintota horizontal es: calcular f x^ h = a & x = c & c,f c^ h^ hes el punto de corte.
** Asintota Oblicua
si a = 3 , es decir lim
x"3
f(x) = 3 & no hay asintota horizontal asin que habra que estudiar
la asintota oblicua que es de la forma y = mx + n tal que
m = lim
x"3 x
f(x)
; m ! 0 ; m ! 3
n = lim
x"3
(f(x) - mx) ; n ! 3
Z
[
]]]]]
]]]]]
si
n = lim
x"3
f x^ h - mx6 @ = 3 & la curva tiene una rama parabolica de direccion la recta y = mx
m = lim
x"3 x
f(x)
= 0 & la curva tiene una rama parabolica de direccion el eje ox
m = lim
x"3 x
f(x)
= 3 & la curva tiene una rama parabolica de direccion el eje oy
Z
[
]]]]]]]]
]]]]]]]]
*** Aveces es mejor hallar los puntos de corte entre la curva y la asintota oblicua que se hace de la
seguiente manera:
y = mx + n
y = f x^ h
' ( f x^ h = mx + n & x = c & c,f c^ h^ h es el punto de corte
*** Siempre hay que calcular la posicion de la curva respecto a la asintota oblicua
f x^ h - mx + n^ h 2 0 & la curva esta por encima de la asintota oblicua
o bien
lim
x"+3
f x^ h - mx + n^ h6 @ = b 2 0 ; lim
x"-3
f x^ h - mx + n^ h6 @ = b 2 0
lim
x"+3
f x^ h - mx + n^ h6 @ = b 2 0
X
$ asintota oblicua y = mx + n
lim
x"-3
f x^ h - mx + n^ h6 @ = b 2 0
f x^ h - mx + n^ h 1 0 & la curva esta por debajo de la asintota oblicua
o bien
lim
x"+3
f x^ h - mx + n^ h6 @ = b 1 0 ; lim
x"-3
f x^ h - mx + n^ h6 @ = b 1 0
lim
x"+3
f x^ h - mx + n^ h6 @ = b 1 0
X
asintota oblicua y = mx + n "
lim
x"-3
f x^ h - mx + n^ h6 @ = b 1 0
Observacion:
** si hay asintota horizontal & no hay oblicua
** si no hay asintota horizontal & puede que haya oblicua
Y
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4.
7º Monotonia,Puntos criticos
Maximo,Minimo,Creciente y Decreciente
Supongamos que D f = R - b" ,
1 hallaremos lf x^ h
2 calcular lf x^ h = 0 ( x = a
3 hacer la tabla donde aparecen todos los valores excluidos de D f y los que anulan lf x^ h_ i
x - 3 a b + 3 se coge un nº de los intervalos
lf x^ h 5 0 6 5 y se remplaza en lf x^ hpara ver si es
f x^ h 3 f a^ h 4 3 +& f es creciente 3
a,f a^ h^ h maximo -& f es decreciente 4
x - 3 a b + 3
lf x^ h 6 0 5 5
f x^ h 4 f a^ h 3 3
a,f a^ h^ h minimo
** si lo que queremos es hallar sólo los maximos y minimos
1 calcular lf x^ h
2 lf x^ h = 0 ( x = a
3 hallar mf x^ h,luego si
** mf a^ h 1 0 ( a,f a^ h^ hes un maximo
** mf a^ h 2 0 ( a,f a^ h^ hes un minimo
** mf a^ h = 0 y nf a^ h ! 0 ( a,f a^ h^ hes un punto de inflexion
** Ahora si nf a^ h = 0
......asi sucesivo
f
4
a^ h 2 0 ( a,f a^ h^ hminimo
f
4
a^ h 1 0 ( a,f a^ h^ hmaximo
*
8º Concavidad,Punto inflexion
1 calcular mf x^ h
2 hallar los valores que anulen mf x^ h = 0 ( x = a
3 ponemos la tabla de signos de mf x^ h donde aparecen los valores que anulen mf x^ h y los valores que s D f
* en los intervalos donde mf x^ h 2 0 & f x^ hdirige su concavidad hacia la parte + del eje oy
* en los intervalos donde mf x^ h 1 0 & f x^ hdirige su concavidad hacia la parte - del eje oy
a,f a^ h^ h es el punto de inflexion donde hay cambio de concavidad^ h
x - 3 b a + 3
mf x^ h 5 5 0 6
f x^ h , , f a^ h +
a,f a^ h^ h es el punto de inflexion
porque hay cambio de concavidad
** Ecuacion de la recta tangente en x = a
y - f a^ h = lf a^ h x - a^ h A pendiente de la recta es mt = lf a^ h
** Ecuacion de la recta Normal en x = a
y - f a^ h =
lf a^ h
-1
x - a^ h A pendiente de la recta es mn =
lf a^ h
-1
** Observación: mt .mn =- 1
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

5.
** ** Observación
** nos dan un punto a,b^ h por el que pasa la funcion f x^ h ( f a^ h = b
** extremo en x = a ( lf a^ h = 0
** extremo en a,b^ h ( lf a^ h = 0 y f a^ h = b
** punto de inflexion en x = a ( mf a^ h = 0
** punto de inflexion en a,b^ h ( mf a^ h = 0 y f a^ h = b
-----------------------------------
Aprended la tabla de derivadas como si fuera 1 + 1 = 2
Tabla de Derivadas
1 y = k cte^ h ( ly = 0
2 y = f x^ h6 @n
( ly = n. f x^ h6 @n-1
. lf x^ h
3 y = k.f x^ h ( ly = k. lf x^ h
4 y = f x^ h ! g x^ h ( ly = lf x^ h ! lg x^ h
5 y = f x^ h.g x^ h ( ly = lf x^ h.g x^ h + f x^ h. lg x^ h
6 y =
g x^ h
f x^ h
( ly =
g x^ h6 @2
lf x^ h.g x^ h - f x^ h. lg x^ h
7 y = fog x^ h ( ly = lf og x^ h6 @. lg x^ h
8 y = f-1
x^ h ( ly =
lf of-1
x^ h
1
9 y = loga
f x^ h ( ly =
f x^ h
lf x^ h
Ln a^ h
1
10 y = a
f x^ h
( ly = a
f x^ h
. lf x^ h.Ln a^ h
11 y = e
f x^ h
( ly = e
f x^ h
. lf x^ h
12 y = senf x^ h ( ly = cosf x^ h. lf x^ h
13 y = cosf x^ h ( ly =- senf x^ h. lf x^ h
14 y = tagf x^ h ( ly =
cos
2
f x^ h
1
lf x^ h = 1 + tag
2
f x^ h6 @. lf x^ h
15 y = cotgf x^ h ( ly =
sen
2
f x^ h
-1
lf x^ h =- 1 + cotg
2
f x^ h6 @. lf x^ h
16 y = arcsenf x^ h ( ly =
1 - f x^ h6 @2
1
lf x^ h
17 y = arcosf x^ h ( ly =
1 - f x^ h6 @2
-1
lf x^ h
18 y = arctagf x^ h ( ly =
1 + f x^ h6 @2
1
lf x^ h
19 y = arcotgf x^ h ( ly =
1 + f x^ h6 @2
-1
lf x^ h
20 y = f x^ h6 @g x^ h
A para esta formula se utiliza eLna
= a
asi que y = eln f x^ h7 A
g x^ h
= eg x^ hLnf x^ h
AA solo queda aplicar formulas anteriores
Ahora veremos algunos ejercicios de distinta clase para saber como resolverlos.
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6.
EJERCICIOS RESUELTOS
1 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =
x + 1
x - 2^ h2
2 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =
x
Lnx
y halla el area comprendida
entre f(x) y el eje ox comprendida entre 1 # x # e.
3 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =
x - 1
x + 1
4 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =
4 - x
2
x
5 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = 2x
2
+ 4x^ h.e-x
y halla el area limitada por la curva
de f(x),el eje ox y las rectas x = 0 , x = 6
Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva en el punto de abscisa x = 0
6 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =!
x
2 - x
7 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = x
2x
8 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =
x
2
+ 2x + 4
x + 1
y halla el area comprendida
entre f(x) y el eje ox comprendida entre - 1 # x # 2.
9 Ejercicio:
sea f una función numerica de variable real x definida por f x^ h =
1 - x
1 + x
a Estudie la función f y haz la grafica de la función
b Calcule
1 - x
dx
2
4
#
c Halla el area de la curva limitada por las rectas y =- 1 , x = 2 y x = 4
10 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = Ln 2x
2
- 3x + 1^ h
Halla el area comprendida entre f x^ h y el eje ox comprendida entre las abscisas x =
2
3
y x = 4
11 Ejercicio:
Sea f:
2
-r
,
2
3rB 8$ R tal que f x^ h =
1 + senx
cosx
** a estudiar la función y representar la grafica.
** b ecuación de la recta tangente y la normal en el punto de abscisa x =
2
r
** c area comprendida entre la función , el eje x y las rectas x = 0 y x =
2
r
12 Ejercicio:
Sea f: -r,r6 @ $ R tal que f x^ h =
1 - cosx
1 + cosx
Estudiar y graficar la función.
13 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = x
2
- 2x
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7.
14 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = x
2
e
x
Calcula el Area del recinto comprendido entre la gráfica de f y la recta y = e.x
15 Ejercicio:
f: 0, + 36 6$ R / f x^ h =
f 0^ h = 0 si x = 0
xLnx si x 2 0
%
a Estudiar continuidad y la derivabilidad de f sobre 0, + 36 6
b estudiar la función y construir la fráfica de f
c ecuacion de la recta tangente en x = 1
d area comprendida entre el eje de las abscisas y la función f
16 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = Ln senx^ h
17 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =
1 - cosx
cos 2x^ h + sen
2
x
18 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = Ln 3x
2
- x - 2
19 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =
cx + d si x d -2,
2
-1B 8
ax + b si x d
2
-1
,1B 8
x
2
+ x - 2 si x d -3, - 2@ @, 1, + 36 6Z
[
]]]]]]]
]]]]]]]
a halla los valores de a,b,c y d para que f sea continua en R
¿es derivable para los valores hallados?
b estudia la función con los valores hallados.
Pasos a seguir para la construcción de la curva
1º Dibujar los ejes luego señalizar D f y los puntos de corte con los ejes.
2º Dibujar las asintotas y el sentido de la curva y su posición respecto a la asintotas.
3º señalizar puntos maximos,minimos, y puntos de inflexión.
4º trazar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
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8.
1 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =
x + 1
x - 2^ h2
** Campo de existencia = dominio de definición
f x^ h esxiste si y sólo si x + 1 ! 0 , x !- 1
luego D f = R - -1" ,
** simetria
f -x^ h =
-x + 1
-x - 2^ h2
!! f x^ h , luego f(x) no es ni par ni impar
** Corte con los ejes
- Eje x ( y = 0 (
x + 1
x - 2^ h2
= 0 ( x - 2^ h2
= 0 ( x = 2
luego 2,0^ h es el punto de corte de la funcion con el eje x
- Eje y ( x = 0 ( y =
0 + 1
0 - 2^ h2
( y = 4
luego 0,4^ h es el punto de corte de la funcion con el eje y
** Asintotas
- Asintotas horizontales
lim
x"3
f(x) = lim
x"3 x + 1
x - 2^ h2
= lim
x"3 x + 1
x
2
- 4x + 4
a k = lim
x"3 x
x
2
= lim
x"3
x =
lim
x"-3
x =-3
lim
x"+3
x =+3
*
como el limite no es un nº real finito ( no hay asintota horizontal
- Asintotas vertical (se fija en D f)
lim
x"-1
f(x) = lim
x"-1 x + 1
x - 2^ h2
=
lim
x"-1- x + 1
x - 2^ h2
=
0-
9
=-3
lim
x"-1+ x + 1
x - 2^ h2
=
0+
9
=+3
Z
[
]]]]]]
]]]]]]
- Asintotas oblicuas y ramas parabolicas
una asintota oblicua es de la forma y = mx + n siendo
n = lim
x"3
f(x) - mx6 @
m = lim
x"3 x
f(x)Z
[
]]]]]
]]]]
m = lim
x"3 x
f(x)
= lim
x"3 x
x + 1
x - 2^ h2
= lim
x"3 x
2
+ x
x - 2^ h2
= lim
x"3 x
2
+ x
x
2
- 4x + 4
= lim
x"3 x
2
x
2
= lim
x"3
1 = 1 = m
n = lim
x"3
f(x) - mx6 @ = lim
x"3 x + 1
x - 2^ h2
- x; E = lim
x"3 x + 1
x
2
- 4x + 4 - x
2
- x
= lim
x"3 x
-5x
= -5 = n
luego la asintota oblicua es y = x - 5
Puntos de corte entre la curva y la asintota oblicua
y = x - 5
y =
x + 1
x - 2^ h2
*
(
x + 1
x - 2^ h2
= x - 5 , x
2
- 4x + 4 = x
2
- 4x - 5 , 4 =- 5 A absurdo
esto implica que la curva no corta la asintota oblicua
Posición de la curva respecto a la asintota oblicua
lim
x"3
f(x) - y6 @ = lim
x"3 x + 1
x - 2^ h2
- x - 5^ h; E = lim
x"3 x + 1
x
2
- 4x + 4 - x
2
+ 4x + 5
= lim
x"3 x + 1
9
= lim
x"3 x + 1
9
=
lim
x"-3 x + 1
9
= 0- $ f(x) esta por debajo de la asintota oblicua cuando x "-3
lim
x"+3 x + 1
9
= 0+ $ f(x) esta por encima de la asintota oblicua cuando x "+3
Z
[
]]]]]
]]]]
** Maximos,Minimos,int ervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f(x) =
x + 1
x - 2^ h2
( lf x^ h =
x + 1^ h2
2 x - 2^ h x + 1^ h - x - 2^ h2
=
x + 1^ h2
2 x
2
- x - 2^ h - x
2
+ 4x - 4
=
x + 1^ h2
x
2
+ 2x - 8
lf x^ h = 0 & x
2
+ 2x - 8 = 0 T = 4 - 4.1. -8^ h = 36 & T = 6
x1 =
2
-2 - 6
=- 4 ( y =
-3
-6^ h2
=- 12
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9.
x2 =
2
-2 + 6
= 2 ( y =
3
0
= 0
Ahora toca hacer la tabla donde aparecen los valores que anulan lf y los excluidos de D f
x - 3 - 4 - 1 2 + 3 los signos se hallan cogiendo valores
lf x^ h + 0 - - 0 + al azar de los intervalos
f(x) 3 - 12 4 4 0 3
lf -5^ h =
16
7
2 0 A+ ; lf -2^ h =
1
-8
1 0 A- ; lf 0^ h =- 8 1 0 ; lf 3^ h =
16
7
2 0 A+
punto -4, - 12^ h es un maximo , punto 2,0^ h es un minimo
** Puntos de inf lexión y concavidad.
lf (x) =
x + 1^ h2
x
2
+ 2x - 8
( mf x^ h =
x + 1^ h4
2x + 2^ h x + 1^ h2
- 2 x
2
+ 2x - 8^ h x + 1^ h
=
x + 1^ h3
18
mf x^ h = 0 ,
x + 1^ h3
18
= 0 ( 18 = 0 absurdo , luego no hay ningún valor que anule mf x^ h
Ahora toca hacer la tabla donde aparecen los valores que anulan mf y los excluidos de D f
x - 3 - 1 + 3
mf x^ h - +
f x^ h + ,
si mf (x) 2 0 & f(x) dirige su concavidad hacia la parte + del eje oy
si mf (x) 1 0 & f(x) dirige su concavidad hacia la parte - del eje oy
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10.
2 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =
x
Lnx
y halla el area comprendida
entre f(x) y el eje ox comprendida entre 1 # x # e.
** Campo de existencia = dominio de definición
f x^ h esxiste si y sólo si
x 2 0
x ! 0
$ ( x ! R*
+
Luego D f = R*
+
** simetria
f -x^ h =
-x
Ln -x^ h
!- f(x) asi que f(x) no es ni par ni impar
** Corte con los ejes
- Eje x ( y = 0 ,
x
Lnx
= 0 , Lnx = 0 , x = 1
luego 1,0^ hes el punto de corte entre la curva y el eje x
- Eje y ( x = 0 g D f
luego la funcion f(x) no corta el eje y
** Asintotas
- Asintotas horizontales
lim
x"+3
f(x) = lim
x"+3 x
Lnx
=
+3
+3 forma indeterminada,aplicando l´hopital
lim
x"+3
f(x) = lim
x"+3 1
x
1
= lim
x"+3 x
1
=
+3
1
= 0
+
nos indica que la curva esta encima de la asintota^ h
y = 0 es la asintota horizontal
- Asintotas vertical (se fija en D f= 0, + 3@ 6)
lim
x"0+
f(x) = lim
x"0+ x
Lnx
= lim
x"0+ x
1
Lnx =+3. -3^ h =-3
- Asintotas oblicuas no hay al haber asintota horizontal^ h
** Maximos,Minimos,intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f(x) =
x
Lnx
( lf (x) =
x
2
x
1
x - Lnx
=
x
2
1 - Lnx
lf (x) = 0 ,
x
2
1 - Lnx
= 0 , 1 - Lnx = 0 , Lnx = 1 , x = e
x 0 e + 3 lf (1) = 1 2 0 A +
lf (x) + 0 - lf (e
2
) =
e
4
-1
1 0 A -
f(x) 3
e
1
4
como se observa en la tabla e,
e
1
` j es el punto maximo
** Puntos de inflexión y concavidad.
lf (x) =
x
2
1 - Lnx
( mf (x) =
x
4
x
-1
x
2
- 2x 1 - Lnx^ h
=
x
4
-x - 2x 1 - Lnx^ h
=
x
3
-3 + 2Lnx
mf (x) =
x
3
-3 + 2Lnx
= 0 ,- 3 + 2Lnx = 0 , Lnx =
2
3
, x = e 2
3
= e
3
y f(e 2
3
) =
e 2
3
Lne 2
3
=
2 e
3
3
luego el punto de inf lexion es ( e
3
,
2 e
3
3
)
x 0 e
3
+ 3
mf (x) - 0 + asi que e
3
,
2 e
3
3
c m es el punto de inflexión
f(x) +
concava
S 2 e
3
3
,
convexa
S que es donde hay cambio de concavidad.
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

11.
** Calculo del Area.
Area = f(x).dx =
1
e
# x
Lnx
.dx
1
e
# Integrando por partes
dv =
x
1
dx & v = Lnx
u = Lnx & du =
x
1
dx
* & Area =
x
Lnx
.dx
1
e
# = Lnx^ h2
6 @1
e
-
x
Lnx
.dx
1
e
#
Area = Lnx^ h2
- Area , 2.Area = Lnx^ h2
, Area =
2
Lnx^ h2
; E
1
e
=
2
1 - 08 B =
2
1
u
2
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

12.
3 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =
x - 1
x + 1
** Campo de existencia
f x^ h esxiste si y sólo si
x - 1 ! 0
x - 1
x + 1
$ 0
*
,
x ! 1
x - 1
x + 1
x - 1
x - 1
$ 0)
,
x ! 1
x - 1^ h2
x
2
- 1
$ 0
*
,
x ! 1
x
2
- 1 $ 0%
,
x ! 1
x
2
$ 1
% , x
2
= 1 +
x =- 1
x = 1
$ luego x - 3 - 1 1 + 3
x
2
$ 1 # 1 $ 1
Por último Df = -3, - 1@ @, 1, + 3@ 6
** Corte con los ejes
- Eje x ( y = 0 ,
x - 1
x + 1
= 0 ,
x - 1
x + 1
= 0 , x + 1 = 0 , x =- 1
la curva corta el eje x en el punto -1,0^ h
- Eje y ( x = 0 g Df lo que significa que la curva no corta el eje de ordenadas.
** Asintotas
- Asintota Horizontal.
lim
x"3
f(x) = lim
x"3 x - 1
x + 1
= lim
x"3 x - 1
x + 1
` j = lim
x"3 x
x
= 1_ i = 1
luego la asintota horizontal es y = 1
- Posición de la curva respecto a la asintota horizontal
lim
x"3
f(x) - y6 @ = lim
x"3 x - 1
x + 1 - 1: C = lim
x"3 x - 1
x + 1 - 1a k
x - 1
x + 1 + 1
x - 1
x + 1 + 1
J
L
KKKKKKKK
N
P
OOOOOOOO
R
T
SSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWW
= lim
x"3
x - 1
x + 1 + 1
x - 1
x + 1 - 1
J
L
KKKKKKK
N
P
OOOOOOO
R
T
SSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWW
lim
x"3
x - 1
x + 1 + 1
x - 1
2J
L
KKKKKKK
N
P
OOOOOOO
R
T
SSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWW
=
lim
x"-3
x - 1
x + 1 + 1
x - 1
2J
L
KKKKKKK
N
P
OOOOOOO
R
T
SSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWW
lim
x"+3
x - 1
x + 1 + 1
x - 1
2J
L
KKKKKKK
N
P
OOOOOOO
R
T
SSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWW
Z
[
]]]]]]]]]]]
]]]]]]]]]]]
=
lim
x"-3 2
0-
` j8 B
lim
x"+3 2
0+
a k: C
Z
[
]]]]]
]]]]]
= 0- U la curva esta debajo de la asintota
0+ U la curva esta encima de la asintota'
- Asintota vertical. se fija en D f " valores del borde de dominio^ h
lim
x"1+ x - 1
x + 1: C = lim
x"1+ 0
+
2
: C =+3 luego x = 1 es la asintota vertical
- Asintota oblicua. no hay oblicua porque hay asintota horizontal
** Maximos,Minimos,puntos de crecimiento y decrecimiento.
f x^ h =
x - 1
x + 1
( lf (x) =
2
1
x - 1
x + 1
` j 2
-1
x - 1^ h2
x - 1^ h - x + 1^ h
< F =
x - 1^ h2
-1
x + 1
x - 1
# 0 porque
x + 1
x - 1
$ 0 y
x - 1^ h2
-1
1 0
luego f(x) es decreciente en todo D f,y como se ve lf (x) no esta definida en x = 1
lim
x"-1-
lf (x) = lim
x"-1- x - 1^ h2
-1
x + 1
x - 1
=
4
-1
0-
-2
=
4
-1 +3^ h =-3
esto nos indica que la curva tiene una tangente vertical en el punto -1,0^ h
x - 3 - 1 1 + 3
lf (x) - -
f(x) 4 0 4
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

13.
4 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =
4 - x
2
x
** Campo de existencia
f x^ h esxiste si y sólo si 4 - x
2
2 0 , x
2
1 4 ,- 2 1 x 1 2
luego D f = -2,2@ 6
** simetria
f -x^ h =
4 - -x^ h2
-x
=
4 - x
2
-x
=- f(x) ( f es una función impar
posee una simetria rotacional con respecto al origen de coordinadas^ h
asi que es mas que suficiente hacer un estudio en el intervalo 0,26 6
** Corte con los ejes
- Eje x ( y = 0 ,
4 - x
2
x
= 0 , x = 0
luego el 0,0^ h es el punto de corte entre la curva y el eje de las abscisas X
- Eje y ( x = 0 ( y =
4 - 0
2
0
= 0
luego el 0,0^ h es el punto de corte entre la curva y el eje de las ordenadas Y
** Asintotas
- Asintotas horizontales: no hay ( ya que la funcion no esta definida en los 3)
- Asintotas oblicuas: no hay ( ya que la funcion no esta definida en los 3)
- Asintotas vertical (se fija en D f en los bordes , los limites)
como la funcion es impar y el D f se ha reducido a la mitad 0,26 6basta en hallar
lim
x"2-
f(x) = lim
x"2- 4 - x
2
x
=
0+
2
=+3 ( x = 2 es asintota vertical
y como la funcion es impar ( lim
x"-2+
f(x) =-3 ( x =- 2 es asintota vertical
** Maximos,Minimos,intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f(x) =
4 - x
2
x
, f(x) = x. 4 - x
2
^ h 2
-1
( lf x^ h = 4 - x
2
^ h 2
-1
+ x.
2
-1` j 4 - x
2
^ h 2
-3
-2x^ h
, lf x^ h =
4 - x
2
1 +
4 - x
2
^ h 4 - x
2
x
2
=
4 - x
2
1
1 +
4 - x
2
^ h
x
2
; E haciendo division de polinomios
x
2
4 - x
2
g
x
2
- 4 - 1 asi que
4 - x
2
^ h
x
2
=- 1 +
4 - x
2
4
----
4
luego lf x^ h =
4 - x
2
1
4 - x
2
4
= 4 4 - x
2
^ h-1
4 - x
2
^ h 2
-1
= 4 4 - x
2
^ h 2
-3
=
4 - x
2
^ h3
4
2 0
( f(x) es creciente en todo el intervalo
- Tabla de valores:
x - 2 2
lf x^ h +
f(x) 3
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

14.
** Puntos de inflexión y concavidad.
lf (x) = 4 4 - x
2
^ h 2
-3
( mf x^ h = 4.
2
-3` j -2x^ h 4 - x
2
^ h 2
-5
=
4 - x
2
^ h5
12x
mf x^ h = 0 ,
4 - x
2
^ h5
12x
= 0 , 12x = 0 , x = 0 ( f 0^ h = 0
x - 2 0 2 mf -1^ h =
3
5
-12
1 0
mf x^ h - 0 + mf 1^ h =
3
5
12
2 0
f x^ h + 0 ,
en el intervalo -2,0@ @ f(x) dirige su concavidad hacia la parte negativa del eje oy.
en el intervalo 0,26 6 f(x) dirige su concavidad hacia la parte positiva del eje oy.
el punto 0,0^ h es el punto de inf lexión de la curva
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

15.
5 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = 2x
2
+ 4x^ h.e-x
y halla el area limitada por la curva
de f(x),el eje ox y las rectas x = 0 , x = 6
Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva en el punto de abscisa x = 0
** Campo de existencia = dominio de definición
f x^ h esxiste para 6 x d R,luego D f = R
** Corte con los ejes
- Eje x ( y = 0 , 2x
2
+ 4x^ h.e-x
= 0 , x 2x + 4^ h = 0 ,
2x + 4 = 0
x = 0
$ ,
x =- 2
x = 0
$
asi que la curva corta el eje x en 0,0^ h y -2,0^ h
- Eje y ( x = 0 ( y = 0
asi que la curva corta el eje y en 0,0^ h
** Asintotas
- Asintotas horizontales
lim
x"3
f(x) = lim
x"3
2x
2
+ 4x^ h.e-x
6 @ =
lim
x"-3
2x
2
+ 4x^ h.e-x
6 @ " B
lim
x"+3
2x
2
+ 4x^ h.e-x
6 @ " A
*
A = lim
x"+3
2x
2
+ 4x^ h.e-x
6 @ =+3.0 F.I (forma indeterminada)
lim
x"+3
2x
2
+ 4x^ h.e-x
6 @ = lim
x"+3 e
x
2x
2
+ 4x^ h
; E =
+3
+3
F.I aplicando la regla de l´Hopital queda asi
lim
x"+3 e
x
4x + 4^ h
; E =
+3
+3
F.I aplicando la regla de l´Hopital^ h = lim
x"+3 e
x
4
8 B = 0+
" asintota horizontal en eje x +
y significa que la curva esta encima del ox +
B = lim
x"-3
2x
2
+ 4x^ h.e-x
6 @ = lim
x"-3
x
2
2 +
x
4
` j.e-x
8 B =+3. + 3 =+3 " no hay asintota horizontal en eje x -
- Asintotas vertical (se fija en D f) en los valores excluidos,como no hay ( no hay asintota vertical
** Maximos,Minimos,intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f(x) = 2x
2
+ 4x^ h.e-x
( lf x^ h = 4x + 4^ h.e-x
- 2x
2
+ 4x^ h.e-x
= -2x
2
+ 4^ h.e-x
lf x^ h = 0 , -2x
2
+ 4^ h.e-x
= 0 ,- 2x
2
+ 4 = 0 ,
x =- 2 $ f(- 2) = 4 - 4 2^ he
2
x = 2 $ f( 2) = 4 + 4 2^ he- 2
=
)
x - 3 - 2 2 + 3 lf -2^ h = -8 + 4^ he
2
=- 4e
2
1 0
lf x^ h - 0 + 0 - lf 0^ h = 4 2 0
f x^ h 4 2,35 3 -6,81 4 lf 2^ h =- 4e-2
1 0
punto - 2,2,35^ h es un minimo , punto 2, - 6,81^ h es un maximo
** Puntos de inflexión y concavidad.
lf (x) = -2x
2
+ 4^ h.e-x
( mf x^ h =- 4x.e-x
- -2x
2
+ 4^ h.e-x
= 2x
2
- 4x - 4^ h.e-x
mf x^ h = 0 , 2x
2
- 4x - 4 = 0 , x
2
- 2x - 2 = 0 ,
x =
2
2 - 2 3
= 1 - 3 .- 0,73 $ f 1 - 3^ h c- 3,86
x =
2
2 + 2 3
= 1 + 3 . 2,73 $ f 1 + 3^ h c 1,683
Z
[
]]]]]
]]]]]
x - 3 1 - 3^ h 1 + 3^ h + 3 mf -1^ h = 2e 2 0
mf x^ h + 0 - 0 + mf 0^ h =- 4 1 0
f x^ h , -3,86 + 1,683 , mf 3^ h = 2e
-3
2 0
asi que los puntos -0,73 ; - 3,86^ h y 2,73 ; 1,683^ h son los puntos de inflexión
ver grafica de abajo
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

16.
Grafica de la función
** area limitada por la curva de f(x),el eje ox y las rectas x = 0 , x = 6
Area = 2x
2
+ 4x^ h.e-x
.dx
0
6
# integrando por partes
dv = e-x
.dx & v =- e-x
u = 2x
2
+ 4x & du = 4x + 4^ h.dx
'
Area = - 2x
2
+ 4x^ h.e-x
6 @0
6
+ 4x + 4^ he-x
.dx
0
6
# resolviendo otra vez por partes
dv = e-x
.dx & v =- e-x
u = 4x + 4 & du = 4.dx
$
= - 2x
2
+ 4x^ h.e-x
6 @0
6
+ - 4x + 4^ h.e-x
6 @0
6
+ 4e-x
.dx
0
6
# = - 2x
2
+ 4x^ h.e-x
6 @0
6
+ - 4x + 4^ h.e-x
6 @0
6
+ - 4^ h.e-x
6 @0
6
= -2x
2
- 8x - 8^ h.e-x
6 @0
6
= -72 - 48 - 8^ he-6
+ 86 @ = 7,68 u
2
** Ecuaciones de la tangente y la normal
Ecuacion de la recta tangente en x = a es y - f a^ h = lf a^ h x - a^ h
luego en x = 0 es y - f 0^ h = lf 0^ h x - 0^ h y como f 0^ h = 2.0
2
+ 4.0^ h.e-0
= 0 ; lf 0^ h = -2.0
2
+ 4^ h.e-0
= 4
Ecuacion de la recta tangente queda de la seguiente manera y = 4x
Ecuacion de la recta Normal en x = a es y - f a^ h =
lf a^ h
-1
x - a^ h
Remplazando queda de la seguiente forma: 4y + x = 0
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

17.
6 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =!
x
2 - x
** Campo de existencia
f x^ h esxiste si y sólo si
x ! 0
x
2 - x
$ 0)
,
x ! 0
x
2 - x
x
x
$ 0)
,
x ! 0
x
2
2 - x^ hx
$ 0*
,
x ! 0
2 - x^ hx $ 0
'
2 - x^ hx (
x = 2
x = 0
$
x - 3 0 2 + 3
x - 0 + 2 + luego D f = 0,2@ @
2 - x^ h + 2 + 0 -
2 - x^ hx - 0 + 0 -
** simetria
! nos indica que la curva es simetrica respecto del eje ox.esto nos permite representar la curva
y =
x
2 - x
y después hallar su simetrica respecto de ox(como si doblaramos el folio sobre el eje x)
** Corte con los ejes
- Eje x ( y = 0 ,
x
2 - x
= 0 ,
x
2 - x
= 0 , 2 - x = 0 , x = 2
luego f(x) corta el eje x en el punto (2,0)
- Eje y ( x = 0 z D f , luego f(x) no corta el eje y
** Asintotas
- Asintotas horizontales no hay porque f(x) no esta definida cuando x " 3
- Asintotas oblicuas no hay porque f(x) no esta definida cuando x " 3
- Asintotas vertical
lim
x"0+
f(x) = lim
x"0+ x
2 - x
= lim
x"0+ x
2 - x` j =
0+
2
=+3
luego x = 0 es la asintota vertical
** Maximos,Minimos,intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f(x) =
x
2 - x
=
x
2 - x` j2
1
( lf x^ h =
2
1
x
2 - x` j 2
-1
x
2
-x - 2 - x^ h
c m =
x
2
-1
2 - x
x
1 0
luego la función f(x) strictamente decreciente en el intervalo 0,2@ 6
lf x^ h no esta definida en x = 2 , lim
x"2- x
2
-1
2 - x
x
a k = lim
x"2-
-
x
4
2 - x^ h
x
a k = lim
x"2-
-
x
3
2 - x^ h
1
c m
= lim
x"2-
-
x
3
2 - x^ h
1
c m = -
0+
1
a k =-3 ( lf 2^ h " 3 ( la curva tiene una tangente vertical en 2,0^ h
recuerde: pendiente de una recta vertical es 3
pendiente de una recta horizontal es 0
x 0 2
lf x^ h -
f x^ h 4 0
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

18.
lf x^ h =
x
2
-1
2 - x
x
=- x
3
2 - x^ h6 @ 2
-1
( mf x^ h =
2
1
x
3
2 - x^ h6 @ 2
-3
3x
2
2 - x^ h - x
3
6 @ =
2
1
x
3
2 - x^ h6 @ 2
-3
6x
2
- 4x
3
6 @
mf x^ h =
x
3
2 - x^ h6 @3
3x
2
- 2x
3
mf x^ h = 0 ,
x
3
2 - x^ h6 @3
3x
2
- 2x
3
= 0 , 3x
2
- 2x
3
= 0 , x
2
3 - 2x^ h = 0 ,
x =
2
3
x = 0 g D f
)
x 0
2
3
2 mf x^ h = 1 2 0
mf x^ h + 0 - mf 1,75^ h 1 0
f x^ h ,
3
3
+
convexa concava
el punto
2
3
,
3
3
c m es el punto de inf lexion ya que hay cambio de concavidad
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

19.
7 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = x
2x
** Campo de existencia
hay que saber que 6 función de la forma f x^ h6 @g(x)
existe Ssi f(x) + do min io de definición de g(x)6 @
asi que x
2x
esxiste si y sólo si x 2 0 y D(2x) = R : luego D f = R*
+
** simetria
no es simetrica ni respecto al origen de cordenadas ni respecto al eje oy(ni impar ni par),por estar definida solo para x 2 0.
** Corte con los ejes recuerda: a = e
Lna
siendo a 2 0
- Eje x ( y = 0 + x
2x
= 0 + e
Lnx2x
= 0 imposible que e
Lnx2x
sea nula
lo que significa que la ecuacion x
2x
= 0 no tiene solucion , asi que f(x) no corta el eje x.
- Eje y ( x = 0 g D f=R*
+ ( f x^ hno corta el eje y
** Asintotas
- Asintotas vertical. se fija en D f en los bordes^ h , recuerda: lim
x"a
a
f x^ h
= a
lim
x"a
f x^ h
lim
x"0+
f(x) = lim
x"0+
x
2x
= lim
x"0+
eLnx2x
= lim
x"0+
e2xLnx
= e lim
x"0+
2xLnx
sea A = lim
x"0+
2x.Lnx^ h = 0. -3^ h F.I forma indeterminada.^ h
A = lim
x"0+
2x.Lnx^ h = 2 lim
x"0+
x
1
Lnx
=
+3
-3
F.I forma indeterminada.^ h aplicando L´hopital.
A = 2 lim
x"0+
x
1
Lnx
= 2 lim
x"0+
x
2
-1
x
1
=
x ! 0
?
- 2 lim
x"0+
x =- 2.0 = 0 ; luego lim
x"0+
f(x) = e0
= 1 & no hay assintota vertical.
- Asintotas horizontales
lim
x"+3
f(x) = lim
x"+3
x
2x
= +3^ h+3
=+3 ( no hay asintota horizontal
al no haber la asintota horizontal puede que exista la asintota oblicua
- Asintotas oblicua: es de la forma : y = mx + n siendo
n = lim
x"3
f(x) - mx6 @
m = lim
x"3 x
f(x)Z
[
]]]]]
]]]]
lim
x"+3 x
f(x)
= lim
x"+3 x
x
2x
= lim
x"+3
x
2x-1
= +3^ h+3
=+3 ( no hay asintota oblicua
nos indica que la curva tiene una rama parabolica de direccion el eje oy.
** Maximos,Minimos,intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f(x) = x
2x
= e
Lnx2x
= e
2xLnx
( lf x^ h = e
2xLnx
. 2xLnx^ hl= e
2xLnx
. 2Lnx +
x
2x
` j = e
2xLnx
. 2Lnx + 2^ h = 2x
2x
. Lnx + 1^ h
luego lf x^ h = 2x
2x
. Lnx + 1^ h , lf x^ h = 0 , 2x
2x
. Lnx + 1^ h = 0 ( Lnx + 1 = 0 , Lnx =- 1 , e
Lnx
= e-1
, x = e-1
f(e-1
) = e-1
^ h2e-1
= e e
-2
x 0
e
1 + 3 lf 1^ h = 2 2 0
lf x^ h 0 lf
e
2
1
a k = 2
e
2
1
a k
e2
2
-2 + 1^ h 1 0
f x^ h e e
-2
de 0,e-1
@ @ f(x) decrece 4 y de e-1
, + 36 6 f(x) creciente 3 y el punto
e
1
,e e
-2
` j es el minimo.
** Puntos de inflexión y concavidad.
lf (x) = 2x
2x
. Lnx + 1^ h ( mf x^ h = 2 Lnx + 1^ h 2x
2x
Lnx + 1^ h6 @ + 2x
2x
x
1
mf x^ h = 2x
2x
.
x
1 + 2 Lnx + 1^ h2
8 B y como 2x
2x
2 0 , x
1
2 0 , 2 Lnx + 1^ h2
$ 0
luego mf x^ h 2 0 (
no hay punto de inflexión
dirige su concavidad hacia el eje oy
%
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

20.
8 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =
x
2
+ 2x + 4
x + 1
y halla el area comprendida
entre f(x) y el eje ox comprendida entre - 1 # x # 2.
** dominio de definición
f x^ h esxiste si y sólo si x
2
+ 2x + 4 2 0 , x
2
+ 2x + 1 - 1 + 4 2 0 , x + 1^ h2
+ 3 2 0
el resultado es verdadero para 6 valor de x asi que D f = R
** simetria
f -x^ h !! f x^ h , luego f(x) no es ni par ni impar
** Corte con los ejes
- Eje x ( y = 0 ,
x
2
+ 2x + 4
x + 1
= 0 , x + 1 = 0 , x =- 1 , luego f(x) corta eje x en -1,0^ h
- Eje y ( x = 0 ( y =
0
2
+ 2.0 + 4
0 + 1
= 1 , luego f(x) corta eje y en 0,1^ h
** Asintotas
- Asintotas horizontales recordad: a
2
= a , a =
-a si a # 0
a si a $ 0
$
lim
x"3
f(x) = lim
x"3 x
2
+ 2x + 4
x + 1
= lim
x"3
x
2
1 +
x
2 +
x
2
4
a k
x 1 +
x
1
` j
= lim
x"3
x 1 +
x
2 +
x
2
4
a k
x 1 +
x
1
` j
lim
x"3
f(x) = lim
x"3
x 1 +
x
2 +
x
2
4
a k
x 1 +
x
1
` j
=
lim
x"-3
-x 1 +
x
2 +
x
2
4
a k
x 1 +
x
1
` j
=- 1
lim
x"+3
x 1 +
x
2 +
x
2
4
a k
x 1 +
x
1
` j
= 1
Z
[
]]]]]]]]]]]]
]]]]]]]]]]]]
quiere decir que cuando
x 1 0 la asintota horizontal es y =- 1
x 2 0 la asintota horizontal es y = 1
%
Posición de la curva respecto a la asintota horizontal. saber si f(x) - y^ h es 1 ó 2 a cero^ h
cuando x 2 0
f(x) - y6 @ =
x
2
+ 2x + 4
x + 1 - 1; E , sabemos que x
2
+ 2x + 4 = x + 1^ h2
+ 3 2 x + 1 & 0 1
x + 1^ h2
+ 3
x + 1
1 1
y como estamos trabando en R+
& 0 1
x + 1^ h2
+ 3
x + 1
1 1 &
x + 1^ h2
+ 3
x + 1 - 1 1 0
luego f(x) - y^ h 1 0 ( la grafica de f x^ h esta por debajo de y = 1 cuando x $ 0
cuando x 1 0
f(x) - y6 @ =
x
2
+ 2x + 4
x + 1 + 1; E , sabemos que x
2
+ 2x + 4 = x + 1^ h2
+ 3 2 x + 1 &- 1 1
x + 1^ h2
+ 3
x + 1
1 0,
y como estamos trabando en R-
&- 1 1
x + 1^ h2
+ 3
x + 1
1 0 &
x + 1^ h2
+ 3
x + 1 + 1 2 0
luego f(x) - y^ h 2 0 ( la grafica de f x^ h esta por encima de y =- 1 cuando x # 0
- Asintotas verticales: no hay al no haber bordes en dominio de definicion
- Asintotas horizontales: no hay porque existe la horizontal
** Maximos,Minimos,intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f(x) =
x
2
+ 2x + 4
x + 1
( lf x^ h =
x
2
+ 2x + 4
x
2
+ 2x + 4 - x + 1^ h
2 x
2
+ 2x + 4
2 x + 1^ h
=
x
2
+ 2x + 4
x
2
+ 2x + 4
x
2
+ 2x + 4 -
x
2
+ 2x + 4
x + 1^ h2
lf x^ h =
x
2
+ 2x + 4^ h x
2
+ 2x + 4
3
2 0
asi que la función f x^ h es creciente 3 en todo R y no tiene ni maximo ni minimo.
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

21.
** Puntos de inflexión y concavidad.
lf (x) =
x
2
+ 2x + 4^ h x
2
+ 2x + 4
3
, x
2
+ 2x + 4^ h x
2
+ 2x + 4^ hl= 2x + 2^ h x
2
+ 2x + 4 + x
2
+ 2x + 4^ h
2 x
2
+ 2x + 4
2 x + 1^ h
x
2
+ 2x + 4^ h x
2
+ 2x + 4^ hl=
x
2
+ 2x + 4
2 x + 1^ h x
2
+ 2x + 4^ h
+
2 x
2
+ 2x + 4
2 x + 1^ h x
2
+ 2x + 4^ h
=
2
3
x
2
+ 2x + 4
2 x + 1^ h x
2
+ 2x + 4^ h
( mf x^ h =
x
2
+ 2x + 4^ h2
x
2
+ 2x + 4^ h
-3.3
x
2
+ 2x + 4
x + 1^ h x
2
+ 2x + 4^ h
=
x
2
+ 2x + 4^ h2
x
2
+ 2x + 4
-9 x + 1^ h
mf x^ h = 0 , x + 1^ h = 0 , x =- 1 , f -1^ h = 0
x - 3 - 1 + 3
mf x^ h + 0 - f -2^ h 2 0
f x^ h , 0 + f 0^ h 1 0
convexa concava -1,0^ h punto de inflexión.
area comprendida entre f(x) y el eje ox comprendida entre - 1 # x # 2
A =
x
2
+ 2x + 4
x + 1
c m.dx
-1
2
# , haciendo cambio variable u = x
2
+ 2x + 4 ( du = 2x + 2^ h.dx = 2 x + 1^ h.dx &
2
du
= x + 1^ h
asi que A =
u
2
du
f p
-1
2
# =
2
1
u^ h 2
-1
-1
2
# .du =
2
1
2
-1 + 1
1
u^ h 2
-1 +1
= G
-1
2
=
2
1
2 u^ h2
1
7 A-1
2
= x
2
+ 2x + 46 @-1
2
= 4 + 4 + 4 - 1 - 2 + 46
A = 12 - 3^ h u
2
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

22.
9 Ejercicio:
sea f una función numerica de variable real x definida por f x^ h =
1 - x
1 + x
a Estudie la función f y haz la grafica de la función
b Calcule
1 - x
dx
2
4
#
c Halla el area de la curva lim itada por las rectas y =- 1 , x = 2 y x = 4
a estudio de la función y su grafica
** Campo de existencia = dominio de definición
f x^ h esxiste si y sólo si
1 - x ! 0
x $ 0
' ,
x ! 1
x $ 0
' ,
x ! 1
x $ 0
$ , luego D f = R+
- 1" ,
** Corte con los ejes
- Eje x ( y = 0 ,
1 - x
1 + x
= 0 , 1 + x = 0 , x =- 1 absurdo(imposible)
luego la función f x^ h no corta el eje x
- Eje y ( x = 0 ( y =
1 - 0
1 + 0
= 1
luego 0,1^ h es el punto de corte de la funcion con el eje y
** Asintotas
- Asintotas horizontales
lim
x"+3
f(x) = lim
x"+3 1 - x
1 + x
= lim
x"+3 - x
x
= lim
x"+3
-1^ h =- 1 & y =- 1 es la a sin tota horizontal
al existir la a sin tota horizontal ( no existe la a sin tota oblicua
- Posición de la curva respecto a la Asintotas horizontales. averiguar si f x^ h - y6 @ es 2 o 1 0^ h
1º calculemos f x^ h - y6 @ =
1 - x
1 + x
+ 1 =
1 - x
2
con la ayuda de la tabla hallaremos su signo
x 0 1 + 3
- x 0 - - 1 -
1 - x 1 + 0 -
1 - x
2
2 + -
significa
si x d 1, + 36 6( f x^ h - y6 @ 1 0 ( la curva se encuentra debajo de la asintota y =- 1
si x d 0,16 6( f x^ h - y6 @ 2 0 ( la curva se encuentra encima de la asintota y =- 1
(
- Asintotas vertical (se fija en D f)
lim
x"1
f(x) = lim
x"1 1 - x
1 + x
d n =
lim
x"1- 1 - x
1 + x
d n =
0+
2
=+3
lim
x"1+ 1 - x
1 + x
d n =
0-
2
=-3
Z
[
]]]]]]]
]]]]]]]
, luego x = 1 a sin tota vertical
** Maximos,Minimos,intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f x^ h =
1 - x
1 + x
( lf x^ h =
1 - x^ h
2
2 x
1
1 - x^ h - 1 + x^ h
2 x
-1
c m
=
1 - x^ h
2
2 x
1 -
2
1 +
2 x
1 +
2
1
=
1 - x^ h
2
x
1
=
x 1 - x^ h
2
1
asi que lf x^ h =
x 1 - x^ h
2
1
2 0 ( la funcion f x^ h es creciente en todo D f
y como se ve que la funcion lf x^ h no esta definida en x = 0 y f 0^ h = 1, calculemos su limite.
lim
x"0+
lf x^ h = lim
x"0+
x 1 - x^ h
2
1
=
0+
1
=+3 ( la curva tiene una tan gente vertical en el punto 0,1^ h
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

23.
** Puntos de inflexión y concavidad.
lf x^ h =
x 1 - x^ h
2
1
, antes de nada hallemos la derivada de x 1 - x^ h
2
x 1 - x^ h
2
7 Al=
2 x
1
1 - x^ h
2
+ x .2. 1 - x^ h.
2 x
-1
c m =
2 x
1
1 - x^ h
2
- 1 - x^ h = 1 - x^ h
2 x
1 - x^ h
- 1< F
= 1 - x^ h
2 x
1 - x - 2 x^ h
< F =
2 x
1 - x^ h 1 - 3 x^ h
( mf x^ h =
x 1 - x^ h
4
-
2 x
1 - x^ h 1 - 3 x^ h
=
2.x. x 1 - x^ h
4
- 1 - x^ h 1 - 3 x^ h
mf x^ h = 0 , 1 - x^ h 1 - 3 x^ h = 0 (
1 - 3 x = 0
1 - x = 0
( ,
x =
9
1
x = 1 b D f
)
f
9
1
` j =
1 -
9
1
1 +
9
1
=
1 -
3
1
1 +
3
1
=
3
2
3
4
= 2
x 0
9
1
1 + 3 mf
16
1
` j 1 0
mf x^ h - 0 + - mf
4
1
` j 2 0
f x^ h 1 + 2 , + mf 4^ h 1 0
concava convexa concava
el punto
9
1
,2` j es el punto de inf lexión
b Calcular
1 - x
dx
2
4
# , haciendo cambio de variable
x " 4 & t " 2
x " 2 & t " 2
x = t
2
& dx = 2t.dt
*
1 - x
dx
2
4
# =
1 - t
2t.dt
2
2
# = -2 +
1 - t
2.dt
` j
2
2
# = -2.
2
2
# dt - 2
1 - t
-dt
` j
2
2
# = -2t6 @ 2
2
- 2 Ln 1 - t6 @ 2
2
=- 4 + 2 2 + 2Ln 1 - 2
c area de la curva limitada por las rectas y =- 1 , x = 2 y x = 4
segun la grafica de arriba la funcion y =- 1 esta encima de la funcion f x^ h asi que
Area = A = -1 -
1 - x
1 + x
d n
2
4
# .dx =
1 - x
-1 + x - 1 - x
d n
2
4
# .dx =
1 - x
-2
c m
2
4
# .dx =- 2
1 - x
dx
2
4
#
En el apartado anterior
1 - x
dx
2
4
# =- 4 + 2 2 + 2Ln 1 - 2 luego
Area = A =- 2 -4 + 2 2 + 2Ln 1 - 2^ h . 5,86864 u
2
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

24.
10 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = Ln 2x
2
- 3x + 1^ h
Halla el area comprendida entre f x^ h y el eje ox comprendida entre las abscisas x =
2
3
y x = 4
** Campo de existencia
f x^ h esxiste si y sólo si 2x
2
- 3x + 1 2 0 , hallemos las raices de 2x
2
- 3x + 1 = 0
2x
2
- 3x + 1 = 0 , 3= b
2 - 4.a.c = 9 - 4.2.1 = 1 & 3 = 1 , luego x =
4
3 - 1
=
2
1
4
3 + 1
= 1
*
2x
2
- 3x + 1 = 0 + 2 x - 1^ h x -
2
1
` j = 0 + x - 1^ h 2x - 1^ h = 0
ponemos la tabla de signos
x - 3
2
1
1 + 3
x - 1^ h - - 0 +
2x - 1^ h -
2
1 + +
x - 1^ h 2x - 1^ h + 0 - 0 +
luego D f = -3,
2
1
B 8, 1, + 3@ 6
** Corte con los ejes
- Eje x ( y = 0 + Ln 2x
2
- 3x + 1^ h = 0 + 2x
2
- 3x + 1 = 1 + 2x
2
- 3x = 0 + x 2x - 3^ h = 0
+ x 2x - 3^ h = 0 +
x =
2
3
x = 0
) luego los puntos de corte con el eje x son 0,0^ h y
2
3
,0` j
- Eje y ( x = 0 ( y = Ln 2.0
2
- 3.0 + 1^ h = Ln +1^ h = 0
luego el punto de corte con el eje y es 0,0^ h
** Asintotas
- Asintotas horizontales
lim
x"3
f(x) = lim
x"3
Ln 2x
2
- 3x + 1^ h = lim
x"3
Ln x
2
^ h =
lim
x"-3
Ln x
2
^ h =+3
lim
x"+3
Ln x
2
^ h =+3
* & no hay a sin tota horizontal
- Asintotas verticales(se fija en D f en los bordes)
lim
x" 2
1c m
-
f(x) = lim
x" 2
1c m
-
Ln 2x
2
- 3x + 1^ h = Ln0+
=-3
lim
x"1+
f(x) = lim
x"1+
Ln 2x
2
- 3x + 1^ h = Ln0+
=-3
luego x =
2
1
y x = 1 son las asintotas verticales
- Asintotas oblicuas y ramas parabolicas
una asintota oblicua es de la forma y = mx + n siendo
n = lim
x"3
f(x) - mx6 @
m = lim
x"3 x
f(x)Z
[
]]]]]
]]]]
m = lim
x"3 x
f(x)
= lim
x"3 x
Ln 2x
2
- 3x + 1^ h
=
3
3 F.I aplicando l´hopital
m = lim
x"3 1
2x
2
- 3x + 1
4x - 3
= lim
x"3 2x
2
- 3x + 1
4x - 3
= lim
x"3 2x
2
4x
= lim
x"3 2x
4
= 0
( la curva tiene una rama parabolica de dirección el eje ox
** Maximos,Minimos,intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f(x) = Ln 2x
2
- 3x + 1^ h ( lf x^ h =
2x
2
- 3x + 1
4x - 3
lf x^ h = 0 + 4x - 3 = 0 + x =
4
3
b D f
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

25.
x - 3
2
1
4
3
1 + 3 lf 0^ h 1 0
lf x^ h - - 0 + + lf 2^ h 2 0
f(x) 4 3
Entonces f x^ h decrece 4 en el int ervalo -3,
2
1
B 8 y crece 3 en el int ervalo 1, + 3@ 6
pero como lf x^ h ! 0 en D f ( no tiene ni maximo ni minimo
** Puntos de inflexión y concavidad.
f(x) = Ln 2x
2
- 3x + 1^ h ( lf x^ h =
2x
2
- 3x + 1
4x - 3
( mf x^ h =
2x
2
- 3x + 1^ h2
4 2x
2
- 3x + 1^ h - 4x - 3^ h2
( mf x^ h =
2x
2
- 3x + 1^ h2
-8x
2
+ 12x - 5
=
2x
2
- 3x + 1^ h2
-4 2x
2
- 3x + 1^ h
es + en Df
6 7 844444444 44444444
- 1
1 0 en todo el dominio de definición.
esto nos indica que en el
1, + 3@ 6 f x^ h dirige su concavidad hacia la parte - del eje oy
-3,
2
1
B 8 f x^ h dirige su concavidad hacia la parte - del eje oy
*
** area comprendida entre f x^ h y el eje ox comprendida entre las abscisas x =
2
3
y x = 4
A = Ln 2x
2
- 3x + 1^ h.dx
2
3
4
# dv = dx ( v = x
u = Ln 2x
2
- 3x + 1^ h ( du =
2x
2
- 3x + 1
4x - 3
dx
)
A = x.Ln 2x
2
- 3x + 1^ h6 @
2
3
4
-
2x
2
- 3x + 1
4x
2
- 3x
dx
2
3
4
# = x.Ln 2x
2
- 3x + 1^ h6 @
2
3
4
- 2 +
2x
2
- 3x + 1
3x - 2
a k dx
2
3
4
#
A = x.Ln 2x
2
- 3x + 1^ h6 @
2
3
4
- 2 +
2x
2
- 3x + 1
4x - 3 - x + 1
a k dx
2
3
4
# = x.Ln 2x
2
- 3x + 1^ h - 2x6 @
2
3
4
-
2x
2
- 3x + 1
4x - 3 - x + 1
a k dx
2
3
4
#
A = x.Ln 2x
2
- 3x + 1^ h - 2x - Ln 2x
2
- 3x + 1^ h6 @
2
3
4
+
x - 1^ h 2x - 1^ h
x - 1
a k dx
2
3
4
#
A = x - 1^ h.Ln 2x
2
- 3x + 1^ h - 2x6 @
2
3
4
+
2
1
2x - 1^ h
2.dx
2
3
4
#
A = x - 1^ h.Ln 2x
2
- 3x + 1^ h - 2x +
2
1
Ln 2x - 18 B
2
3
4
. 4,76 u
2
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

26.
11 Ejercicio:
Sea f:
2
-r
,
2
3rB 8$ R tal que f x^ h =
1 + senx
cosx
** a estudiar la función y representar la grafica.
** b ecuación de la recta tangente y la normal en el punto de abscisa x =
2
r
** c area comprendida entre la función , el eje x y las rectas x = 0 y x =
2
r
a estudio de la función y la representación grafica.
** dominio de definición:
f x^ h esxiste si y sólo si 1 + senx ! 0 asi que 1 + senx = 0 + senx =- 1 = sen
2
-r_ i
senx = sen
2
-r_ i (
x = r -
2
-r_ i+ 2kr
x =
2
-r + 2kr
* +
x =
2
3r + 2kr b
2
-r
,
2
3rB 8
x =
2
-r + 2kr b
2
-r
,
2
3rB 8
Z
[
]]]]]
]]]]
k d Z
luego f(x) existe en todo
2
-r
,
2
3rB 8
** Corte con los ejes Recuerda: cosa = cosb +
a =- b + 2kr
a = b + 2kr
$ siendo k d Z
- Eje x ( y = 0 ,
1 + senx
cosx
= 0 , cosx = 0 , cosx = cos
2
r
,
x =
2
-r + 2kr
x =
2
r + 2kr
k d Z*
las posibles soluciones dentro de D f son: x =
2
-r
b D f x =
2
3r
b D f x =
2
r
d D f
asi que el punto
2
r
,0_ i es el punto de corte entre eje x y f x^ h
- Eje y ( x = 0 , f 0^ h =
1 + sen0
cos0
= 1 ( que el punto 0,1^ h es el punto de corte entre eje y e f x^ h
** Asintotas
- Asintotas horizontales no hay porque x no esta definido para 3,o bien porque no aparece 3 en D f
- Asintotas oblicuas no hay por la misma razón que la anterior.
- Asintotas vertical(se fija en D f en los bordes) Recuerda: lim
x"a
f x^ h = b significa que cuando x se acerca a a la y se acrca a b
lim
x" 2
-ra k
+
f(x) = lim
x" 2
-ra k
+ 1 + senx
cosx
_ i =
0
0
F.I aplicando l´Hopital
lim
x" 2
-ra k
+
f(x) = lim
x" 2
-ra k
+ cosx
-senx_ i =
0+
1
=+3 para ver de donde sale 0+
ver grafica de cosx $
entonces x =
2
-r
es una asintota vertical
lim
x" 2
3rc m
-
f(x) = lim
x" 2
3rc m
- 1 + senx
cosx
_ i =
0
0
F.I aplicando l´Hopital
lim
x" 2
3rc m
-
f(x) = lim
x" 2
3rc m
- cosx
-senx_ i =
0-
1
=-3 para ver de donde sale 0-
ver grafica de cosx $
entonces x =
2
3r
es una asintota vertical
** Maximos,Minimos,intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Recuerda: -1 # senx # 1
f(x) =
1 + senx
cosx
( lf x^ h =
1 + senx^ h2
-senx 1 + senx^ h - cosx cosx^ h
=
1 + senx^ h2
-senx - 1
=
1 + senx^ h2
- 1 + senx^ h
=
1 + senx^ h
-1
porque x !
2
-r
y como en D f - 1 1 senx 1 1 asi que lf x^ h 1 0 ( f x^ hes decreciente en todo el intervalo
2
-r
,
2
3rB 8.
** Puntos de inflexión y concavidad.
lf (x) =
1 + senx^ h
-1
( mf x^ h =
1 + senx^ h
cosx
mf x^ h = 0 , cosx = 0 , cosx = cos
2
r
,
x =-
2
r + 2kr
x =
2
r + 2kr
* siendo k d Z , x =
2
r + kr siendo k d Z
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

27.
2
las soluciones posibles son: -
2
r
b D f ,
2
r
d D f ,
2
3r
b D f ..........la unica solucion d D f es
2
r
x -
2
r
2
r
2
3r
mf x^ h + 0 -
f(x) , 0 +
convexa concava y el punto
2
r
,0_ i es punto de inflexión.
LA GRAFICA
b Ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x =
2
r
Ecuacion de la recta tangente en x =
2
r
es de la forma: R: y - f
2
r
_ i = lf
2
r
_ i x -
2
r
_ i
y como f
2
r
_ i = 0 ; lf
2
r
_ i =
2
-1
asi que R: y =
2
-1
x -
2
r
_ i
b Ecuación de la recta normal en el punto de abscisa x =
2
r
Ecuacion de la recta Normal en x =
2
r
es de la forma: S: y - f
2
r
_ i =
lf
2
r
_ i
-1
x -
2
r
_ i
y como f
2
r
_ i = 0 ; lf
2
r
_ i =
2
-1
asi que S: y = 2 x -
2
r
_ i
c area comprendida entre la función , el eje x y las rectas x = 0 y x =
2
r
sea A = area = f x^ h
0
2
r
# .dx =
1 + senx
cosx
0
2
r
# .dx = Ln 1 + senx^ h6 @0
2
r
= Ln2 u
2
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

28.
12 Ejercicio:
Sea f: -r,r6 @ $ R tal que f x^ h =
1 - cos x
1 + cos x
Estudiar y graficar la función.
** dominio de definición
D f = x/x d -r,r6 @ y 1 - cos x^ h ! 0 y
1 - cosx
1 + cosx
$ 0$ .
* 1 - cosx ! 0 , cos x ! 1 = cos 0 , cos x ! cos 0 ,
x !- 0 + 2kr
x ! 0 + 2kr
% , x ! 2kr siendo k d Z
*
1 - cosx
1 + cosx
$ 0 ,
1 - cosx
1 + cosx
1 + cosx
1 + cosx
$ 0 ,
1 - cos
2
x
1 + cos x^ h2
$ 0 ,
sen
2
x
1 + cosx^ h2
$ 0 verdadero siempre.
asi que el D f = -r,06 6, 0,r@ @
** simetria
f -x^ h =
1 - cos -x^ h
1 + cos -x^ h
=
1 - cosx
1 + cosx
= f x^ h ( la función f x^ h es par.asi que basta con hacer
un estudio en el intervalo 0,r@ @ sabiendo que una función par es simetrica con respecto al eje y
** Corte con los ejes
- Eje x ( y = 0 ,
1 - cosx
1 + cosx
= 0 ( 1 + cosx = 0 , cosx =- 1 = cosr ,
x =-r + 2kr
x = r + 2kr
$ con k d Z
x = 2k + 1^ hr con k d Z los valores posibles en el D f son r y - r
luego los puntos de corte con el eje x son r,0^ h y -r,0^ h
- Eje y ( x = 0 b D f ( f x^ h no corta el eje y
** Asintotas
- Asintotas horizontales: no hay porque 3 b D f
- Asintotas oblicuas: no hay porque 3 b D f
- Asintotas verticales:(se fija en D f en los bordes)
lim
x"0+
f(x) = lim
x"0+ 1 - cosx
1 + cosx
= lim
x"0+ 1 - cosx
1 + cosx
=
0+
2
=+3 $
sale el 0+
V
ver de donde
6 7 8444 444
luego por ser f x^ h par & lim
x"0-
f(x) =+3
** Maximos,Minimos,intervalos de crecimiento y de decrecimiento.recordad: -1 # cos x # 1
f(x) =
1 - cosx
1 + cosx
=
1 - cosx
1 + cosx
` j
2
1
( lf x^ h =
2
1
1 - cosx
1 + cosx
` j
- 2
1
1 - cosx^ h2
-senx 1 - cos x^ h - 1 + cos x^ hsenx
=
& lf x^ h =
1 + cos x
1 - cos x
` j
1 - cosx^ h2
-senx
=-
1 + cosx
1 - cosx
1 - cosx^ h4
sen
2
x
=-
1 + cosx
1 - cosx
1 - cosx^ h4
1 - cosx^ h 1 + cosx^ h
con x ! r ( lf x^ h =-
1 - cosx^ h2
1
=-
1 - cosx
1
1 0 ( f es decreciente
lim
x"r-
lf x^ h = lim
x"r-
-
1 - cosx
1
` j =
2
-1
luego la función f es derivable a la izquierda de r & lf r^ h =
2
-1
Tabla de variación
x 0 r x - r 0 r
lf x^ h - ( lf x^ h - -
f(x) 4 f(x) 4 4
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

29.
Grafica
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

30.
13 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = x
2
- 2x
** Campo de existencia = dominio de definición
f x^ h esxiste si y sólo si x
2
- 2x $ 0 para ello vamos a estudiar su signo.
x
2
- 2x = 0 , x x - 2^ h = 0 ( x =
2
0
$
x - 3 0 2 + 3
x - 0 + 2 +
x - 2^ h - - 2 - 0 +
x x - 2^ h + 0 - 0 +
luego D f = -3,0@ @, 2, + 36 6
** Corte con los ejes
- Eje x ( y = 0 , x
2
- 2x = 0 , x x - 2^ h = 0 ( x =
2
0
$
asi que la curva corta el eje x en los puntos 0,0^ h y 2,0^ h
- Eje y ( x = 0 , f 0^ h = 0 luego la curva corta el eje y en el punto 0,0^ h
** Asintotas
- Asintotas horizontales Recuerda: lim
x"a
f x^ h = lim
x"a
f x^ h
lim
x"3
f(x) = lim
x"3
x
2
- 2x^ h = lim
x"3
x
2
^ h =+3 ( no hay asintota horizontal
- Asintotas vertical (se fija en D f bordes excluidos) como no hay & no hay asintota vertical
- Asintotas oblicuas y ramas parabolicas
una asintota oblicua es de la forma y = mx + n siendo
n = lim
x"3
f(x) - mx6 @
m = lim
x"3 x
f(x)Z
[
]]]]]
]]]]
m = lim
x"3 x
f(x)
= lim
x"3 x
x
2
- 2x
= lim
x"3 x
x 1 -
x
2
=
lim
x"+3 x
x 1 -
x
2
= lim
x"-3
- 1 -
x
2
a k
lim
x"+3 x
x 1 -
x
2
= lim
x"+3
1 -
x
2
Z
[
]]]]]]]]
]]]]]]]]
m =
lim
x"-3
- 1 -
x
2
a k =- 1 $ cuando x "-3 m =- 1
lim
x"+3
1 -
x
2
= 1 $ cuando x "+3 m = 1
Z
[
]]]]]
]]]]]
n = lim
x"+3
x
2
- 2x - x^ h = lim
x"+3
x
2
- 2x - x^ h
x
2
- 2x + x^ h
x
2
- 2x + x^ h
= G = lim
x"+3
x. 1 -
x
2 + 1a k
-2x
= G = lim
x"+3
1 -
x
2 + 1a k
-2
= G =- 1
n = lim
x"-3
x
2
- 2x + x^ h = lim
x"-3
x
2
- 2x + x^ h
x
2
- 2x - x^ h
x
2
- 2x - x^ h
= G = lim
x"-3
-x. 1 -
x
2 + 1a k
-2x
= G = lim
x"-3
1 -
x
2 + 1a k
2
= G = 1
asi que en
OX negativo la asintota oblicua es y =- x + 1
OX positivo la asintota oblicua es y = x - 1
%
Posición de la curva respecto a la asintota oblicua
OX positivo
lim
x"+3
f(x) - y6 @ = lim
x"+3
x
2
- 2x^ h - x - 1^ h6 @ = lim
x"+3
x
2
- 2x^ h - x - 1^ h6 @
x
2
- 2x^ h + x - 1^ h6 @
x
2
- 2x^ h + x - 1^ h6 @
) 3
= lim
x"+3 x
2
- 2x^ h + x - 1^ h6 @
x
2
- 2x - x - 1^ h2
6 @
= lim
x"+3
x 1 -
x
2
a k+ x 1 -
x
1
` j: C
x
2
- 2x - x - 1^ h2
6 @
= lim
x"+3
x 1 -
x
2 + 1 -
x
1
` ja k: C
-1
=
+3
-1
= 0-
lim
x"+3
f(x) - y6 @ = 0-
1 0 ( la curva se encuentra por debajo de la asintota oblicua en ox + .
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

31.
OX negativo
lim
x"-3
f(x) - y6 @ = lim
x"-3
x
2
- 2x^ h - -x + 1^ h6 @ = lim
x"-3
x
2
- 2x^ h - -x + 1^ h6 @
x
2
- 2x^ h + -x + 1^ h6 @
x
2
- 2x^ h + -x + 1^ h6 @
) 3
= lim
x"-3 x
2
- 2x^ h + -x + 1^ h6 @
x
2
- 2x - -x + 1^ h2
6 @
= lim
x"-3
-x 1 -
x
2
a k- x 1 -
x
1
` j: C
x
2
- 2x - -x + 1^ h2
6 @
== lim
x"-3
-x 1 -
x
2 + 1 -
x
1
` ja k: C
-1
=
+3
-1
lim
x"-3
f(x) - y6 @ = 0-
1 0 ( la curva se encuentra por debajo de la asintota oblicua en ox - .
** Maximos,Minimos,intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f(x) = x
2
- 2x ( lf x^ h =
2 x
2
- 2x
2x - 2
=
x
2
- 2x
x - 1
como se ve lf x^ h no esta definida ni en x = 0 ni en x = 2
lim
x"0-
lf x^ h = lim
x"0-
x
2
- 2x
x - 1
= lim
x"0-
x x - 2^ h
x - 1
=
0+
-1
=-3 , f(0) = 0
luego el punto 0,0^ h la curva tiene una recta tangente vertical.
lim
x"2+
lf x^ h = lim
x"2+
x
2
- 2x
x - 1
= lim
x"2+
x x - 2^ h
x - 1
=
0+
1
=+3 , f(2) = 0
luego el punto 2,0^ h la curva tiene una recta tangente vertical.
lf x^ h =
x
2
- 2x
x - 1
= 0 , x - 1 = 0 , x = 1 b D f luego lf x^ h no se anula en D f
x - 3 0 2 + 3
lf x^ h - + lf -1^ h 1 0
f(x) 4 0 0 3 lf 3^ h 2 0
la función f no tiene nio maximo ni minimo
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

32.
14 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = x
2
e
x
Calcula el Area del recinto comprendido entre la gráfica de f y la recta y = e.x
** dominio de definición
f x^ h esxiste siempre ya que las funciones x
2
y e
x
sus dominios es R , luego D f = R
** simetria
f -x^ h = -x^ h2
e-x = x
2
e-x
!! f x^ h , luego f(x) no es ni par ni impar
** Corte con los ejes
- Eje x ( y = 0 , x
2
e
x
= 0 , x
2
= 0 , x = 0
asi que la curva corta el eje x en 0,0^ h
- Eje y ( x = 0 , y = 0
2
e
0
= 0
luego la curva corta el eje y en 0,0^ h
** Asintotas
- Asintotas horizontales
lim
x"3
f(x) = lim
x"3
x2
ex
^ h =
lim
x"-3
x2
ex
^ h =+3.0 F.I forma indeterminada^ h
lim
x"+3
x2
ex
^ h =+3. + 3 =+3
*
lim
x"-3
x2
ex
^ h = lim
x"-3 e-x
x2
a k =
hopital
?
lim
x"-3 -e-x
2x
` j =
hopital
?
lim
x"-3 e-x
2
` j = 0
asi que para el eje x - negativo^ h la curva tiene una asintota horizontal y = 0
Posición de la curva respecto a la asintota horizontal
x2
ex
- 0 = x2
ex
$ 0 verdadero , luego la curva se encuentra por encima de la asintota.
- Asintotas vertical (se fija en D f) no hay.
- Asintotas oblicuas y ramas parabolicas
en el eje x negativo no hay asintota oblicua porque hay horizontal;asi que queda por ver
si la hay en la parte del eje x positivo.
m = lim
x"+3 x
f x^ h
a k = lim
x"+3 x
x2
ex
a k = lim
x"+3
xex
^ h =+3
( la curva tiene una rama parabolica de dirección el eje oy +
** Maximos,Minimos,intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f(x) = x
2
ex
( lf x^ h = 2xex
+ x
2
ex
= ex
x
2
+ 2x^ h
lf x^ h = 0 , x
2
+ 2x = 0 , x x + 2^ h = 0 , x =
-2
0
$
x - 3 - 2 0 + 3 lf -3^ h = 3e-3
2 0
lf x^ h + 0 - 0 + lf -1^ h =- e-1
1 0
f(x) 3 e
2
4
4 0 3 lf 1^ h = 3e
1
2 0
creciente decreciente creciente
maximo -2,
e
2
4
a k minimo 0,0^ h
** Puntos de inflexión y concavidad.
lf x^ h = ex
x
2
+ 2x^ h ( mf x^ h = ex
x
2
+ 2x^ h + ex
2x + 2^ h = ex
x
2
+ 4x + 2^ h
mf x^ h = 0 , x
2
+ 4x + 2 = 0 T = b
2
- 4.a.c = 16 - 4.1.2 = 8 & T = 2 2
x =
2a
-b - T
=
2
-4 - 2 2
=- 2 - 2
2a
-b + T
=
2
-4 + 2 2
=- 2 + 2
Z
[
]]]]]
]]]]]
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

33.
x - 3 - 2 - 2 - 2 + 2 + 3 mf -4^ h = 2 2 0
mf x^ h + 0 - 0 + mf -1^ h =- 1 1 0
f(x) , 0,38 + 0,191 , mf 0^ h = 2 2 0
convexa concava convexa
los puntos de inflexión son -2 - 2, 6 + 4 2^ he-2- 2
^ hy -2 + 2, 6 - 4 2^ he-2+ 2
_ i
** Area del recinto comprendido entre la gráfica de f y la recta y = ex
lo 1º es hallar la intersección de las dos funciones.
x
2
ex
= e.x , x xe
x
- e^ h = 0 ,
xe
x
= e
x = 0
$ ,
x = 1
x = 0
$ son los limites inferior y superior.
A = funcion arriba - funcion de abajo^ h
a
b
# dx = e.x - x
2
ex
^ h.dx
0
1
# =
2
e
x
2
7 A0
1
- x
2
ex
.dx
0
1
#
A =
2
e
x
2
7 A0
1
- x
2
ex
.dx
0
1
# dv = ex
.dx & v = ex
u = x
2
& du = 2x.dx
%
A =
2
e
x
2
- x
2
ex
7 A0
1
+ 2x.ex
.dx
0
1
# dv = ex
.dx & v = ex
u = x & du = dx
$
A =
2
e
x
2
- x
2
ex
+ 2xex
7 A0
1
- 2ex
.dx
0
1
# =
2
e
x
2
- x
2
ex
+ 2xex
- 2ex
7 A0
1
= -
2
e + 2_ iu2
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

34.
15 Ejercicio:
f: 0, + 36 6$ R / f x^ h =
f 0^ h = 0 si x = 0
xLnx si x 2 0
%
a Estudiar continuidad y la derivabilidad de f sobre 0, + 36 6
b estudiar la función y construir la fráfica de f
c ecuacion de la recta tangente en x = 1
d area comprendida entre el eje de las abscisas y la función f
** a Estudiar continuidad y la derivabilidad de f sobre 0, + 36 6
Continuidad:
x.lnx es continua en 0, + 3@ 6
lim
x"0+
f x^ h = lim
x"0+
x.Lnx^ h = 0. - 3 F.I
lim
x"0+
x.Lnx^ h = lim
x"0+
x
1
Lnx
e o =
+3
-3
F.I
lim
x"0+
x
1
Lnx
e o =
aplicando L´Hopital
?
lim
x"0+
x
2
-1
x
1
=- x
J
L
KKKKKKKK
N
P
OOOOOOOO
= 0 = f 0^ h ( f es continua en x = 0
luego la función f es continua en todo el dominio 0, + 36 6
derivabilidad:
f x^ h = x.Lnx ( lf x^ h = Lnx +
x
x
= 1 + Lnx si x ! 0
calculemos la derivabilidad en x = 0
lim
x"0+ x - 0
f x^ h - f 0^ h
= lim
x"0+ x - 0
x.Lnx - 0
= lim
x"0+
Lnx =-3 & f no es derivable en x = 0
luego f es derivable en 0, + 3@ 6
b estudio de la función y construir la fráfica de f
** Corte con los ejes
- Eje x ( y = 0 , x.Lnx = 0 aqui no puede decir que x = 0 porque Ln0 no existe^ h ( Lnx = 0 ( x = 1
y como sabemos también que f 0^ h = 0 & x = 0 es otra solución
luego los puntos de corte entre la curva y el x son 0,0^ h y 1,0^ h
- Eje y ( x = 0 y f 0^ h = 0 ( corte entre la curva y el eje y es 0,0^ h.
** Asintotas
- Asintotas horizontales
lim
x"+3
f(x) = lim
x"+3
x.Lnx =+3 ( no hay asintota horizontal.
- Asintotas oblicuas
lim
x"+3 x
f(x)
= lim
x"+3 x
x.Lnx
= lim
x"+3
Lnx =+3 & no hay oblicua
y que la curva tiene una rama parabolica de dirección el eje y +
- Asintotas verticales se fija en D f en los bordes^ h
como la función esta definida en 0 asi que no hay asintota vertical
** Maximos,Minimos,intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f(x) = x.Lnx ( lf x^ h = Lnx +
x
x
= 1 + Lnx siendo x ! 0
lf x^ h = 0 , 1 + Lnx = 0 , Lnx =- 1 , x = e-1
y f e-1
^ h = e-1
.Lne-1
=- e-1
x 0 e-1
+ 3
lf x^ h - 0 +
f(x) 0 4 - e-1
3
decreciente creciente
e-1
, - e-1
^ hMinimo
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

35.
c ecuacion de la recta tangente en x = 1
la ecuación de una recta tangente en x = a es de la forma: r:y - f a^ h = lf a^ h x - a^ h
lf x^ h = 1 + Lnx & lf 1^ h = 1 + Ln1 = 1 , f(x) = x.Lnx & f(1) = 1.Ln1 = 0
r: y = x - 1 ecuación de la recta tangente en x = 1
d area comprendida entre el eje de las abscisas y la función f
para ello lo 1º es sacar puntos de int er sec ción entre el eje de las abscisas y = 0 y la f
si x 2 0 ( f(x) = 0 , x.Lnx = 0 , Lnx = 0 , x = 1
si x = 0 ( f(0) = 0 & x = 0
luego lim ite inf erior es 0 y el sup erior es 1
Area = A = función arriba - función de abajo^ h fijandonos en la grafica se concluye que:
a
b
#
Area = A = 0 - xLnx^ h
0
1
# dx =- xLnx.
0
1
# dx pero resulta que la función g x^ h = x.Lnx
no esta definida en 0 ( que la int egral es impropia luego A = lim
a"0
xLnx.
a
1
# dx
I = x.Lnx.dx resolviendo por partes#
dv = x.dx & v =
2
1
x
2
u = Lnx & du =
x
1
dx
*
I =
2
1
x
2
.Lnx -
2
1
x.dx =# 2
1
x
2
.Lnx -
4
1
x
2
asi que
Area =- lim
a"0 2
1
x
2
.Lnx -
4
1
x
2
8 Ba
1
=- lim
a"0
-
4
1
` j -
2
1
a
2
.Lna -
4
1
a
2
` j8 B =
4
1 + lim
a"0 2
1
a
2
.Lna -
4
1
a
2
` j
Area =
4
1 + lim
a"0 2
1
a
2
.Lna` j
F.I
6 7 8444444 444444
=
4
1 +
2
1
lim
a"0
a
2
1
Lna
e o
=
4
1 +
2
1
lim
a"0
a
2
1
a
1J
L
KKKKKKKK
N
P
OOOOOOOO
=
4
1 +
2
1
lim
a"0
a^ h
Area =
4
1
u
2
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

36.
16 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = Ln senx^ h
** dominio de definición
f x^ h esxiste si y sólo si senx 2 0 , x d 0 + 2kr,r + 2kr@ 6 siendo k d Z ver figura de abajo
luego D f = x/x d 0 + 2kr,r + 2kr@ 6con k d Z" ,
** simetria
f x + 2r^ h = Ln sen x + 2r^ h^ h = Ln senx^ h = f x^ h luego la funcion es periodica de periodo 2r.
asi que es mas que suficiente reducir el int ervalo de trabajo a 0,r@ 6ya que f es periodica.
** Corte con los ejes recordad:
sena = senb ,
a = r - b + 2kr
a = b + 2kr
$ siendo k d Z
cosa = cosb ,
a =- b + 2kr
a = b + 2kr
$ siendo k d Z
- Eje x ( y = 0 , Ln senx^ h = 0 , senx = 1 = sen
2
r
,
x = r -
2
r
2
r
G
+ 2kr
x =
2
r + 2kr
Z
[
]]]]]]]
]]]]]]]
siendo k d Z
asi que la funcion corta el eje x en ..........,x =
2
-3r
,x =
2
r
,x =
2
5r
,x =
2
9r
etc.
como la funcion es periodica y estamos trabajando en 0,r@ 6este int ervalo lo corta en
2
r
.
- Eje y ( x = 0 b D f
** Asintotas
- Asintotas horizontales
ya que hemos reducido el D f a 0,r@ 6y como no aparece el 3 & no hay asintotas horizontales.
- Asintotas vertical (se fija en D f " 0,r@ 6en los bordes)
lim
x"0+
f(x) = lim
x"0+
Ln senx^ h = Ln 0+
^ h =-3 ver imag^ h.
lim
x"r-
f(x) = lim
x"r-
Ln senx^ h = Ln 0+
^ h =-3 ver imag^ h.
luego x = 0 y x = r son a sin totas verticales en 0,r@ 6
conclusion x = 2kr y x = r + 2kr = 2k + 1^ hr son las a sin totas verticales en D f .
- Asintotas oblicuas y ramas parabolicas
ya que hemos reducido el D f a 0,r@ 6y como no aparece el 3 & no hay asintotas oblicuas.
** Maximos,Minimos,intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f(x) = Ln senx^ h ( lf x^ h =
senx
1
cos x =
senx
cos x
= cotgx
lf x^ h = 0 ,
senx
cosx
= 0 , cosx = 0 = cos
2
r
,
x =-
2
r + 2kr
x =
2
r + 2kr
* siendo k d Z
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

37.
aqui la solucion va dando saltos de r rad. ver imag.
asi que la solución es x =
2
r
en 0,r@ 6y en el D f x =
2
r + kr con k d Z
x 0
2
r
r
lf x^ h + 0 -
f(x) 3 0 4
luego la función crece en 0,
2
r
A A en D f crece en los int ervalos 2kr,
2
r + 2krA A k d Z
luego la función decrece en
2
r
,r7 7 en D f decrece en los intervalos
2
r + 2kr,r + 2krA A k d Z
** Puntos de inflexión y concavidad.
lf (x) =
senx
cosx
( mf x^ h =
sen
2
x
-sen
2
x - cos
2
x
=
sen
2
x
-1
1 0 ( f es concava
GRAFICA de la función
1º haremos la frafica en el intervalo 0,r@ 6y después la de 2r,3r@ 6, la de -2r,r@ 6....etc.
siempre guiandonos por el D f .
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

38.
17 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =
1 - cos x
cos 2x^ h + sen
2
x
** Campo de existencia
f x^ h esxiste si y sólo si 1 - cosx ! 0 , cosx ! 1 = cos0 ,
x =- 0 + 2kr
x = 0 + 2kr
$ , x = 2kr , k d Z
luego D f = x/x d R - 2kr" ,,siendo k d Z" ,
** simetria
f x + 2r^ h =
1 - cos x + 2r^ h
cos 2x + 4r^ h + sen
2
x + 2r^ h
=
1 - cosx
cos 2x^ h + sen
2
x
= f x^ h
asi que la función f es periodica de periodo 2r,luego es suficiente hacer el estudio sobre 0,2r6 @
y como se ve en el dominio de definición 2kr g D f asi que el estudio sera sobre 0,2r@ 6
** Corte con los ejes
- Eje x ( y = 0 ,
1 - cosx
cos 2x^ h + sen
2
x
= 0 , cos 2x^ h + sen
2
x = 0 , cos
2
x - sen
2
x + sen
2
x = 0
, cos
2
x = 0 , cosx = 0 = cos
2
r
,
x =-
2
r + 2kr
x =
2
r + 2kr
* , con k d Z
, x =
2
r + kr
ver imag abajo
6 7 8444444 444444
, con k d Z ya que la solución va saltando de r en r.
pero como estamos trabajando en 0,2r@ 6asi que la solucion es x =
2
3r
2
r
*
- Eje y ( x = 0 b 0,2r@ 6( tampoco pertenece al D f ( no corta el eje y
** Asintotas
- Asintotas horizontales y oblicuas $ no hay ya que el intervalo 0,2r@ 6no esta el 3.
- Asintotas vertical (se fija en 0,2r@ 6en los bordes)
lim
x"0+
f(x) = lim
x"0+ 1 - cosx
cos 2x^ h + sen
2
x
=
0+
1
=+3 ver Imag.
lim
x" 2r^ h-
f(x) = lim
x" 2r^ h- 1 - cosx
cos 2x^ h + sen
2
x
=
0+
1
=+3
** Maximos,Minimos,intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
recordad: sen2x = 2senx. cos x cos 2x = cos
2
x - sen
2
x cos
2
x + sen
2
x = 1
-1 # senx # 1 -1 # cos x # 1
sena = senb ,
a = r - b + 2kr
a = b + 2kr
$ k d Z
cos a = cos b ,
a =- b + 2kr
a = b + 2kr
$ k d Z
----------------------------
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

39.
f(x) =
1 - cosx
cos 2x^ h + sen
2
x
( lf x^ h =
1 - cos x^ h2
-2sen2x + 2senx. cos x^ h
-2senx.cosx
6 7 844444444444444 44444444444444
1 - cos x^ h - cos 2x + sen
2
x^ h
cos2x
6 7 8444444444 444444444
.senx
lf x^ h =
1 - cosx^ h2
-2senx. cos x + 2senx. cos
2
x - cos
2
x.senx
=
1 - cosx^ h2
-2senx. cos x + senx. cos
2
x
lf x^ h =
1 - cos x^ h2
positivo
1 2 3444444 444444
senx. cos x -2 + cos x^ h
negativo
6 7 8444444 444444
el signo de lf x^ h depende del signo senx. cos x
lf x^ h = 0 ,
-2 + cosx = 0 " imposible
senx.cosx = 0
% ( senx.cosx = 0 (
cos x = 0 = cos
2
r
senx = 0 = sen0
)
cosx = cos
2
r
,
x =-
2
r + 2kr
x =
2
r + 2kr
4 , x =
2
r + kr*
senx = sen0 ,
x = r + 2kr
x = 2kr
. , x = kr$
Z
[
]]]]]]]]
]]]]]]]]
siendo k d Z
asi que las soluciones en 0,2r@ 6son
2
r
,r,
2
3r
lf x^ h =
1 - cosx^ h2
positivo
1 2 3444444 444444
senx.cosx -2 + cosx^ h
negativo
6 7 8444444 444444
f
2
r
_ i = 0 , f r^ h =
2
1
, f
2
3r
` j = 0
x 0
2
r
r
2
3r
2r
lf x^ h - 0 + 0 - 0 +
f(x) 4 0 3 2
1
4 0
decreciente creciente decreciente
punto minimo
2
r
,0_ i punto maximo r,
2
1
` j $ en 0,2r@ 6
punto minimo
2
r + 2kr,0_ i punto maximo r + 2kr,
2
1
` j $ en D f
Gráfica de f x^ h
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

40.
18 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h = Ln 3x
2
- x - 2
** Campo de existencia
f x^ h esxiste si y sólo si 3x
2
- x - 2 ! 0 , x - 1^ h 3x + 2^ h ! 0 , x !
3
-2
1
)
luego D f = R - 1,
3
-2$ . , todas las funciones de valor absoluto son en realidad funciones a trozos.
asi que averiguemos esa función: pero antes averiguemos el signo de 3x
2
- x - 2 = x - 1^ h 3x + 2^ h
x - 3
3
-2
1 + 3
x - 1^ h - - 0 +
3x + 2^ h - 0 + +
3x + 2^ h x - 1^ h + 0 - 0 +
por ultimo f x^ h =
f2 x^ h = Ln - 3x + 2^ h x - 1^ h6 @ si x d
3
-2
,1B 8= Df2
f1 x^ h = Ln 3x + 2^ h x - 1^ h6 @ si x d -3,
3
-2B 8, 1, + 3@ 6= Df1
Z
[
]]]]]
]]]]
** Corte con los ejes se estudia por separado f1 y f2^ h
f1 x^ h = Ln 3x + 2^ h x - 1^ h6 @ , Df1 = -3,
3
-2B 8, 1, + 3@ 6
- Eje x ( y = 0 , f1 x^ h = 0 , Ln 3x + 2^ h x - 1^ h6 @ = 0 , 3x
2
- x - 2 = 1 , 3x
2
- x - 3 = 0
x =
6
1 - 37
.- 0,85 d Df1
6
1 + 37
. 1,18 d Df1
Z
[
]]]]]
]]]]]
luego los puntos de corte con el eje x son
6
1 + 37
,0c my
6
1 + 37
,0c m
- Eje y ( x = 0 b Df1 ( no corta el eje y.
f2 x^ h = Ln - 3x + 2^ h x - 1^ h6 @ , Df2 =
3
-2
,1B 8
- Eje x ( y = 0 , f2 x^ h = 0 , Ln - 3x + 2^ h x - 1^ h6 @ = 0 ,- 3x
2
+ x + 2 = 1 ,- 3x
2
+ x + 1 = 0
x =
-6
-1 - 13
. 0,76 d Df2
-6
-1 + 13
.- 0,434 d Df2
Z
[
]]]]]]
]]]]]]
luego los puntos de corte con el eje x son
-6
-1 + 13
,0c my
-6
-1 - 13
,0c m
- Eje y ( x = 0 ( f 0^ h = Ln2 . 0,693 luego punto de corte con el eje y es 0,Ln2^ h
** Asintotas se estudia por separado f1 y f2^ h
f1 x^ h = Ln 3x + 2^ h x - 1^ h6 @ , Df1 = -3,
3
-2B 8, 1, + 3@ 6
- Asintotas horizontales
lim
x"3
f(x) = lim
x"3
3x
2
- x - 26 @ = lim
x"3
x
2
3 -
x
1 -
x
2
2
: C =+3 ( no hay asintota horizontal.
- Asintotas verticales(se fija en D f1)
lim
x" 3
-2c m
-
Ln 3x
2
- x - 26 @ = lim
x"
3
-2c m
-
Ln 3x + 2^ h x - 1^ h6 @ = Ln 0-
3
-2 - 1` j8 B = Ln 0+
6 @ =-3
lim
x"1+
Ln 3x
2
- x - 26 @ = lim
x"1+
Ln 3x + 2^ h x - 1^ h6 @ = Ln 5 . 0+
6 @ = Ln 0+
6 @ =-3
f2 x^ h = Ln - 3x + 2^ h x - 1^ h6 @ , Df2 =
3
-2
,1B 8
- Asintotas horizontales
no hay asintota horizontal.por no existir 3 en Df2
- Asintotas verticales(se fija en D f2)
lim
x" 3
-2c m
+
Ln -3x
2
+ x + 26 @ = lim
x"
3
-2c m
+
Ln - 3x + 2^ h x - 1^ h6 @ = Ln -0+
3
-2 - 1` j8 B = Ln 0+
6 @ =-3
lim
x"1-
Ln -3x
2
+ x + 26 @ = lim
x"1-
Ln - 3x + 2^ h x - 1^ h6 @ = Ln -5 . 0-
6 @ = Ln 0+
6 @ =-3
ver imagen de abajo para ver sentido de la curva respecto a las asintotas verticales.
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

41.
** Maximos,Minimos,intervalos de crecimiento y de decrecimiento. se estudia por separado f1 y f2^ h
*** f1 x^ h = Ln 3x + 2^ h x - 1^ h6 @ , Df1 = -3,
3
-2B 8, 1, + 3@ 6
f1 (x) = Ln 3x
2
- x - 26 @ ( lf 1 x^ h =
3x
2
- x - 2
6x - 1
lf 1 x^ h =
3x
2
- x - 2
6x - 1
= 0 , 6x - 1 = 0 , x =
6
1
b D f1
En el intervalo -3,
3
-2B 8, 1, + 3@ 6 , 3x
2
- x - 2 2 0
estudiemos el signo de 6x - 1^ h
6x - 1^ h 2 0 si x d 1, + 3@ 6( lf 1 x^ h 2 0 ( f1 creciente.
6x - 1^ h 1 0 si x d -3,
3
-2B 8( lf 1 x^ h 1 0 ( f1 decreciente.
*
*** f2 x^ h = Ln - 3x + 2^ h x - 1^ h6 @ , Df2 =
3
-2
,1B 8
f2 (x) = Ln -3x
2
+ x + 26 @ ( lf 2 x^ h =
-3x
2
+ x + 2
-6x + 1
lf 2 x^ h =
-3x
2
+ x + 2
-6x + 1
= 0 ,- 6x + 1 = 0 , x =
6
1
d D f2
En el intervalo
3
-2
,1B 8 , - 3x
2
+ x + 2 2 0 , estudiemos el signo de -6x + 1^ h
x
3
-2
6
1
1
-6x + 1^ h + 0 -
lf 2 x^ h 3 0 4
** Construcción de la Gráfica.
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

42.
19 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =
cx + d si x d -2,
2
-1B 8
ax + b si x d
2
-1
,1B 8
x
2
+ x - 2 si x d -3, - 2@ @, 1, + 36 6Z
[
]]]]]]]
]]]]]]]
a halla los valores de a,b,c y d para que f sea continua en R
¿es derivable para los valores hallados?
b estudia la función con los valores hallados.
a hallar los valores de a,b,c y d para que f sea continua en R
la función f esta formada por polinomios, luego los únicos puntos de posible discontinuidad son los bordes laterales.
- 2- d -3, - 2@ @, 1, + 36 6( f x^ h = x
2
+ x - 2
lim
x"-2-
f x^ h = lim
x"-2-
x
2
+ x - 26 @ = lim
x"-2-
x - 1^ h x + 2^ h6 @ = 0
- 2+
d -2,
2
-1B 8( f x^ h = cx + d
lim
x"-2+
f x^ h = lim
x"-2+
cx + d6 @ =- 2c + d
como la función es continua ( lim
x"-2+
f x^ h = lim
x"-2-
f x^ h (- 2c + d = 0 ( d = 2c
1+
d -3, - 2@ @, 1, + 36 6( f x^ h = x
2
+ x - 2
lim
x"1+
f x^ h = lim
x"1+
x
2
+ x - 26 @ = lim
x"1+
x - 1^ h x + 2^ h6 @ = 0
1-
d 2
-1
,1B 8( f x^ h = ax + b
lim
x"1-
f x^ h = lim
x"1-
ax + b6 @ = a + b
como la función es continua ( lim
x"1+
f x^ h = lim
x"1-
f x^ h ( a + b = 0 ( a =- b
2
-1 -
d -2,
2
-1B 8( f x^ h = cx + d
lim
x" 2
-1-
f x^ h = lim
x"
2
-1-
cx + d6 @ =
2
-1
c + d
2
-1 +
d 2
-1
,1B 8( f x^ h = ax + b
lim
x"
2
-1+
f x^ h = lim
x" 2
-1+
ax + b6 @ =
2
-1
a + b
como f es continua & lim
x" 2
-1+
f x^ h = lim
x"
2
-1-
f x^ h = f
2
-1` j =
2
-3
, luego
2
-1
c + d =
2
-1
a + b =
2
-3
2
-1
c + d =
2
-3
2
-1
a + b =
2
-3
a =- b
d = 2cZ
[
]]]]]]]]
]]]]]]]]
,
d =- 2
c =- 1
b =- 1
a = 1Z
[
]]]]]
]]]] , Por último f x^ h =
-x - 2 si x d -2,
2
-1B 8
x - 1 si x d
2
-1
,1B 8
x
2
+ x - 2 si x d -3, - 2@ @, 1, + 36 6Z
[
]]]]]]]
]]]]]]]
¿ derivabilidad para los valores hallados?
f x^ h =
-x - 2 si x d -2,
2
-1B 8
x - 1 si x d
2
-1
,1B 8
x
2
+ x - 2 si x d -3, - 2@ @, 1, + 36 6Z
[
]]]]]]]
]]]]]]]
( lf x^ h =
-1 si x d -2,
2
-1B 8
1 si x d
2
-1
,1B 8
2 x
2
+ x - 2
2x + 1
si x d -3, - 2@ 6, 1, + 3@ 6
Z
[
]]]]]]]]]
]]]]]]]]]
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

43.
f es derivable en todo el dominio solo falta averiguar si lo es en los laterales del dominio.
1+
d -3, - 2@ @, 1, + 36 6( f x^ h = x
2
+ x - 2
lim
x"1+ x - 1
f x^ h - f 1^ h
= lim
x"1+ x - 1
x
2
+ x - 2 - 0
= lim
x"1+ x - 1
x - 1^ h x + 2^ h
en 1+
x - 1^ h x + 2^ h 2 0 ( x - 1^ h x + 2^ h = x - 1^ h x + 2^ h asi que
lim
x"1+ x - 1
x - 1^ h x + 2^ h
= lim
x"1+
x - 1^ h
x + 2^ h
=
0+
3
=+3 & no es derivable en 1 ;pero aún asi calculemos lim en 1-
1-
d
2
-1
,1B 8( f x^ h = x - 1
lim
x"1- x - 1
f x^ h - f 1^ h
= lim
x"1- x - 1
x - 1 - 0
= lim
x"1-
1 = 1 aunque llegara a ser 3 no seria derivable.
- 2-
d -3, - 2@ @, 1, + 36 6( f x^ h = x
2
+ x - 2
lim
x"-2- x + 2
f x^ h - f -2^ h
= lim
x"-2- x + 2
x
2
+ x - 2 - 0
= lim
x"-2- x + 2
x - 1^ h x + 2^ h
en - 2- x - 1^ h x + 2^ h 2 0 ( x - 1^ h x + 2^ h = - x - 1^ h - x + 2^ h asi que
lim
x"-2- x + 2
x - 1^ h x + 2^ h
= lim
x"-2- - x + 2^ h^ h
2
- x + 2^ h - x - 1^ h
= lim
x"-2- - x + 2^ h
- x - 1^ h
=
0+
3
=+3
asi que ya podemos decir que f no es derivable en - 2
2
-1 +
d 2
-1
,1B 8( f x^ h = x - 1
lf -
2
1 -
` j = lim
x"- 2
1-
x +
2
1
f x^ h - f
2
-1` j
= lim
x"-
2
1-
x +
2
1
x - 1 +
2
1 + 1
= lim
x"- 2
1-
x +
2
1
x +
2
1
= 1
2
-1 -
d -2,
2
-1B 8( f x^ h =- x - 2
lf -
2
1 +
` j = lim
x"- 2
1 +
x +
2
1
f x^ h - f
2
-1` j
= lim
x"-
2
1 +
x +
2
1
-x - 2 -
2
1 + 2
= lim
x"-
2
1 +
x +
2
1
-x -
2
1
=- 1
como lf -
2
1 +
` j ! lf -
2
1 -
` j ( f no es derivable en x =-
2
1
b estudio la función con los valores hallados.
f x^ h =
f3 x^ h =- x - 2 si x d -2,
2
-1B 8
f2 x^ h = x - 1 si x d
2
-1
,1B 8
f1 x^ h = x
2
+ x - 2 si x d -3, - 2@ @, 1, + 36 6Z
[
]]]]]]]
]]]]]]]
** corte con los ejes se estudia por separado - por intervalos^ h
en -3, - 2@ @, 1, + 36 6( f x^ h = f1 x^ h = x
2
+ x - 2
eje x ( y = 0 , x
2
+ x - 2 = 0 , x
2
+ x - 2 = 0 , x - 1^ h x + 2^ h = 0 , x =
-2
1
$
luego 1,0^ hy 2,0^ h son los puntos de corte entre la curva y el eje x
eje y ( x = 0 b -3, - 2@ @, 1, + 36 6( f1 no corta el eje y
-----------------------
en
2
-1
,1B 8( f x^ h = f2 x^ h = x - 1
eje x ( y = 0 , x - 1 = 0 , x = 1 ( 1,0^ h punto de corte entre f2 y el eje x.
eje y ( x = 0 ( f2 0^ h =- 1 ( 0, - 1^ h punto de corte entre f2 y el eje y.
-----------------------
en -2,
2
-1B 8( f x^ h = f3 x^ h =- x - 2
eje x ( y = 0 ,- x - 2 = 0 , x =- 2 ( -2,0^ h punto de corte entre f3 y el eje x.
eje y ( x = 0 b -2,
2
-1B 8( f3 no corta el eje y.
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

44.
** Asintotas se estudia por separado - por intervalos^ h
Asintota Horizontal
*** en -3, - 2@ @, 1, + 36 6( f x^ h = f1 x^ h = x
2
+ x - 2
lim
x"3
f1 x^ h = lim
x"3
x
2
+ x - 2 = lim
x"3
x 1 +
x
1 -
x
2
2
=
lim
x"-3
-x^ h =+3
lim
x"+3
x^ h =+3
* ( no hay a sin tota horizontal.
*** en
2
-1
,1B 8y en -2,
2
-1B 8 no hay asintota horizontal. por no existir 3
Asintota Vertical
lim
x"-2-
f x^ h = lim
x"-2-
f1 x^ h = lim
x"-2-
x
2
+ x - 2 = lim
x"-2-
x - 1^ h x + 2^ h = 0
lim
x"-2+
f x^ h = lim
x"-2+
f3 x^ h = lim
x"-2+
-x - 2^ h = 0
_
`
a
bbbbb
bbbb
& no hay vertical
lim
x"1+
f x^ h = lim
x"1+
f1 x^ h = lim
x"1+
x
2
+ x - 2 = lim
x"1+
x - 1^ h x + 2^ h = 0
lim
x"1-
f x^ h = lim
x"1-
f2 x^ h = lim
x"1-
x - 1^ h = 0
_
`
a
bbbbb
bbbb
& no hay vertical
lim
x"
2
-1+
f x^ h = lim
x" 2
-1+
f2 x^ h = lim
x" 2
-1+
x - 1^ h =-
2
3
lim
x"
2
-1-
f x^ h = lim
x" 2
-1-
f3 x^ h = lim
x" 2
-1-
-x - 2^ h =-
2
3
_
`
a
bbbbbbb
bbbbbbb
& no hay vertical
** Maximo,minimo,crecimiento,decrecimiento
f x^ h =
-x - 2 si x d -2,
2
-1B 8
x - 1 si x d
2
-1
,1B 8
x
2
+ x - 2 si x d -3, - 2@ @, 1, + 36 6Z
[
]]]]]]]
]]]]]]]
( lf x^ h =
lf 3 x^ h =- 1 si x d -2,
2
-1B 8
lf 2 x^ h = 1 si x d
2
-1
,1B 8
lf 1 x^ h =
2 x
2
+ x - 2
2x + 1
si x d -3, - 2@ 6, 1, + 3@ 6
Z
[
]]]]]]]]]
]]]]]]]]]
lf 1 x^ h =
2 x
2
+ x - 2
2x + 1
= 0 , 2x + 1 = 0 , x =
2
-1
g -3, - 2@ @, 1, + 36 6
como 2 x
2
+ x - 2 2 0 en -3, - 2@ 6, 1, + 3@ 6 asi que el signo de lf 1 x^ h depende del signo de 2x + 1
En conclusión
lf 1 x^ h 1 0 en -3, - 2@ 6 ( f decreciente , lf 1 x^ h 2 0 en 1, + 3@ 6 ( f creciente
lf 2 x^ h 2 0 en
2
-1
,1B 8( f creciente , lf 3 x^ h 1 0 en -2,
2
-1B 8( f decreciente
ESTUDIO DE FUNCIONES BANHAKEIA-TRUSPA

45.
20 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x^ h =
x
senx
** Campo de existencia = dominio de definición
f x^ h esxiste si y sólo si x ! 0 , luego D f = R*
** simetria
f -x^ h =
-x^ h
sen -x^ h
=
- x^ h
-sen x^ h
=
x
senx
= f x^ h ( la función es par,asi que vamos a hacer
un estudio sobre el intervalo 0, + 3@ 6ya que la función es simetrica respecto al eje de ordenadas.
** Corte con los ejes
- Eje x ( y = 0 ,
x
senx
= 0 , senx = 0 = sen0 , x = kr siendo k d Z*
- Eje y ( x = 0 b D f ( la curva no corta el eje y
** Asintotas
- Asintotas horizontales Recordad: no existe lim
x"3
de senx y cosx pero si que estan acotados
-1 # cosx # 1
-1 # senx # 1
$
lim
x"+3 x
senx
= ??? útilizando el metodo de la guardia civil
sabemos que - 1 # senx # 1 y x d 0, + 3@ 6 luego
x
-1
#
x
senx
#
x
1
x
-1
#
x
senx
#
x
1
( lim
x"+3 x
-1
# lim
x"+3 x
senx
# lim
x"+3 x
1
( 0 # lim
x"+3 x
senx
# 0
luego podemos confirmar que lim
x"+3 x
senx
= 0 ( y = 0 es la asintota horizontal.
- Asintotas vertical (se fija en D f " ya que f es par nos fijaremos en 0, + 3@ 6)
lim
x"0+ x
senx
=
0
0
F.I aplicando L´Hopital $ lim
x"0+ x
senx
= lim
x"0+ 1
cosx
= 1
y como f es par podemos concluir que lim
x"0- x
senx
= 1
por último f no tiene asintota vertical en x = 0
** Maximos,Minimos,intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f(x) =
x
senx
( lf x^ h =
x
2
x.cosx - senx
lf x^ h = 0 ,
x
2
x.cosx - senx
= 0 , x.cosx - senx = 0 , x =
cosx
senx
= tagx
para resolver la ecuación x = tagx es haciendo la grafica de las dos funciones g x^ h = x y h x^ h = tagx
la solución son los puntos de intersección de las curvas de las funciones g y h
viendo las graficas de h y g se ve que tienen infinitas soluciones,pero siempre
seguiendo una pauta en
2
-r
,
2
r7 Ahay una solución,en
2
r
,
2
3r
8 Bhay una solución
en
2
3r
,
2
5r
8 Bhay una solución,en
2
5r
,
2
7r
8 Bhay una solución,......asi sucesevamente hasta el 3
se observa que siempre tenemos un intervalo de longitud r lo que nos indica que siempre hay una solución
de la ecuacion en el intervalo
2
-r + kr,
2
r + kr7 A siendo k d Z*
Tabla de variación
x 0
2
3r
- b_ i
2
5r
- c_ i
2
7r
- c_ i..................
lf x^ h - 0 + 0 - 0 + ..........
f(x) 4 3 4 3 ..............
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