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  1. PROYECTO DE AULA Sistema Nacional de Nivelación y Admisión (SNNA) Área de Educación Comercial y Administración Carrera: Ingeniería en Marketing Materia: Matemáticas Estudiante:ArelysAlburqueque Viviana Castro Karen Jatti Viviana Niño JamilexRodriguez YomiraRodriguez Docente: Licdo. Víctor Chicaiza
  2. PROYECTO DE AULA Contenido SIMPLIFICAR FRACCIONES ALGEBRAICAS...................................................................................... 3 SIMPLIFICAR FRACIONES CON EXPONENTES ................................................................................ 4 SIMPLIFICAR FRACIONES CON RADICALES.................................................................................... 5 SUMA O DIFERENCIAS DE POTENCIAS IMPAR. ............................................................................. 7 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICCIÓN Y SUSTRACIÓN .............................................. 8 RACIONALIZACIÓN ........................................................................................................................ 9 EXPRESIONES CON DENOMINADORES CON RADICALES (SUMA O RESTA DE RADICALES)........ 10 ECUACIONES................................................................................................................................ 11 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNICA ........................................................... 11 PROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO. ................................................................. 12 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES CUADRÁTICAS..................................................... 14 INECUACIONES LINEALES ............................................................................................................ 18 INECUACIONES CUADRATICAS.................................................................................................... 19 SISTEMA DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO........................................................................ 20 SISTEMA DE DOS ECUACIONES ................................................................................................... 21 METODO GRÁFICO ...................................................................................................................... 21 METODO DE REDUCCIÓN............................................................................................................ 23 METODO DE IGUALACIÓN........................................................................................................... 24 METODO DE SUSTITUCIÓN ......................................................................................................... 25 MÉTODO DETERMINANTE........................................................................................................... 26 SISTEMA DE TRES ECUACIUONES CON UNA INCOGNICA ........................................................... 27 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ................................................................................................. 29 CONJUNTOS................................................................................................................................. 31
  3. SIMPLIFICAR FRACCIONES ALGEBRAICAS DEFINICIÓN: Es convertirla en una fracción equivalente cuyos términos sean primos entre sí. Cuando los términos de una fracción son primos entre sí, la fracción es irreducible y entonces la fracción está reducida a su más simple expresión o su mínima expresión. PASOS: 1. Podemos resolver por partes ósea el numerador primero y después el denominador o todo al mismo tiempo. 2. Procedemos a verificar si nos encontramos con unos de los casos de factorización y lo resolvemos. 3. Luego realizamos la suma o la diferencia de fracciones. Tomamos un numerador que le corresponda tanto al primer factor como en el segundo factor. MCD. Con el denominador común se divide para el denominador y se multiplica por el numerador. 4. Se multiplica extremos con extremos, medios con medios. 5. Si se puede se reduce términos semejantes. 6. Obtenemos la respuesta. EJEMPLO: 1.- X+2 3 X2 _ 1 X+1 4X – 1 X2 + 2x -3 X + 2 3(X-1) (X+1) (X-1) (X+1) (X-1) 4X - 1 (X+3) (X-1)
  4. (X + 2) + 3 (X - 1) (X - 1) (X + 1) (4X - 1) (X + 3) (X - 1) X + 2 + 3X - 3 (X - 1) (X + 1) 4X – 1 (X + 3) (X -1) 4X – 1 (X - 1) (X + 1) 4X – 1 (X + 3) (X -1) (4X – 1) (X + 3) (X - 1) (X-1) (X+1) (4X-1) X – 3 X + 1 R// SIMPLIFICAR FRACIONES CON EXPONENTES 2-4 -2 2-2 - 2-3 1 -2 24 1 1 2 2 8
  5. 1 -2 24 1 1 4 8 -2 1 24 1 8 -2 23 24 -2 2-1 22 = R// SIMPLIFICAR FRACIONES CON RADICALES Es reducir a su más simple expresión. Un radical esta reducido a su más simple expresión cuando la cantidad su radical es entera y del menor grado posible. Para simplificar radicales debe tenerse muy presente (361) que para extraer una raíz a un producto se extrae dicha raíz a cada uno de los factores, o sea. En la simplificación de radicales consideramos. Pasos: 1.- Convertimos los radicales a exponentes. 2.- Cuando tenemos una multiplicación con exponentes, los exponentes se suman.
  6. 3.-Al momento que nos queda un factor así (21/2 )1/3 los exponentes se deben de multiplicar. 4.- Luego que tenemos una fracción con la misma base se procede a restar los exponentes. 5.- Luego con el resultado que nos queda multiplicamos y nos da el resultado. En este caso cuando se multiplica una base con exponente los exponentes se deben multiplicar. Ejemplo: 2 . 23 2 . 4 = 32 21/2 . 23 21/2 . = 25 1/4 2 1/2 +3 21/2 . = 25/4 2 7/2 1/2 21/2 . = 25/4 2 7/4 21/2 . = 25/4 2 1/2 + 7/4 – 5/4 = 22/2 = 2
  7. SUMA O DIFERENCIAS DE POTENCIAS IMPAR. Se presenta cuando no es factor común o diferencias de cuadrados perfectos se prueba la suma o diferencia de potencias impares, cuya regla es que se sumen o resten los términos que tengan potencias iguales pero impares. ESTRUCTURA Tienen dos términos de los cuales por lo general se puede extraer la raíz quinta o séptima y están separados por el signo más o menos Si el signo es positivo en la respuesta van alternados Si el signo es negativo en la respuesta van todos positivos PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER UNA SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IMPARES. 1) Se extrae la raíz a la cantidad que están elevados los términos. 2) A las raíces se las opera con el mismo signo, multiplicando por las raíces pero en un orden, siempre que es el primer término elevada a una potencia menos que la inicial y la segunda elevada a la cero. La primera potencia va bajando hasta llegar a cero mientras que la segunda sube hasta llegar a la potencia menos que la inicial. Ejemplo: 1+ 128X14 = 1+ 2X2 (1)6 + (1)5 (2X2 )-(1)4 (2X2 )2 + (1)3 (2X2 )3 – 12X2 (1)2 (2X2 )4 + (1) (2X2 )5 - (2X2 )6 R// 16 -2X2 +4X4 -8X6 +16X8 -32X10 +64X12
  8. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICCIÓN Y SUSTRACIÓN Pasos: 1.- La raíz cuadrada del primer término y la raíz cuadrada del segundo término y el doble producto de esas raíces y vemos que ese trinomio no es cuadrado perfecto. 2.- Para que sea un cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo término se convierta lo mismo del segundo pero que el trinomio novaría hay que resaltarle la mínima cantidad que se suma. Se la suma y se la resta. 3.- Luego las raíces las elevamos al cuadrado menos la cantidad restada. 4.- Se nos presenta una diferencia de cuadrados perfectos y procedemos a resolverlo. Ejemplo: 121X4 – 133X2 Y2 + 36Y8 11X2 6Y4 2 (11X 2 . 6Y4 ) = 132X2 Y4 121X4 – 133X2 Y2 + 36Y8 X2 Y2 - X2 Y2 121X4 – 132X2 Y2 + 36Y8 - X4 Y4 (11X 2 . 6Y4 ) – (X2 Y4 ) (11X2 - 6Y4 – XY2 ) (11X2 - 6Y4 – XY2 ) (11X2 – XY2 - 6Y4 ) (11X2 + XY2 - 6Y4 ) R//
  9. RACIONALIZACIÓN Definición: Es convertir una fracción cuyo denominador es irracional en una fracción equivalente cuyo denominador sea racional cuando se racionaliza el denominador irracional de una fracción desaparece todo signo radical del denominador. PROCEDIMIENTO PARA RACIONALIZAR. 1) El ejercicio dado se lo multiplica por una diferencia de cuadrados del denominador según el signo que tenga por ejemplo si es positivo se lo multiplica por un signo negativo. 2) El resultado de la multiplicación será el denominador por la diferencia obtenida y en denominador sus términos serán elevados al cuadrado y el numerador tendrá dicha raíz por la base que tiene. 3) Resuelvo la multiplicación planteada y como las raíces del denominador están elevados al cuadrado esto significa que se simplificaran. 4) Entonces nuestro denominador se encontrara sin radicales que estarán separados por el signo menos esto se debe a que es una diferencia. 5) Se resuelve lo que queda establecido en el denominador. Ejemplo: 7 7 . 5 + 3 = = 5 - 3 5 + 3 5 - 3 7 5 + 7 3 = 5 - 3 7 5 + 7 3 = 5 - 3
  10. 7 5 + 7 3 = 2 EXPRESIONES CON DENOMINADORES CON RADICALES (SUMA O RESTA DE RADICALES) 10 4 1 + 3 2 - 2 10 1- 3 4 2 + 2 1 + 3 1- 3 2 - 2 2 + 2 10 (10 – 1 3) 4 (2 + 2) (1)2 - 3 (2)2 – ( 2 2 ) 10 - 10 3 8 – 4 2 2 2 - 105 (1 – 3) 42 (2 + 2) 21 21 - 5 ( 1 - 5 ) - 2 ( 2 + 2 2 )
  11. - 5 + 5 3 - 4 - 2 2 - 9 + 5 3 - 2 3 R// ECUACIONES ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNICA Esta es una operación importantísima que consiste en convertir una ecuación fraccionaria en una ecuación equivalente entera, es decir, sin denominadores. La supresión de denominadores se funda en la prioridad, ya conocida de las igualdades. Pasos: 1.- Primero pasamos a un lado todas las x y al otro los números enteres. 2.- Procedemos a multiplicar las fracciones dadas 3.- En caso de que se puedas implicar lo hacemos 4.- Para resolver la suma o diferencia de fracciones escogemos un denominador que satisfaga a cada fracción. 5.- Dividimos el numerador por el denominador multiplicado por el numerador. 6.- Luego igualamos todo a cero, para que se elimine el numerador multiplicamos tanto del lado derecho como izquierdo. 7.- Volvemos a dejar x a un lado y los números enteros al otro, siempre cuando pasa un número al otro lado su signo debe ser cambiado. 8.- Como x está multiplicando pasa a dividir y obtenemos el valor de x. 3 2X – 1 - 4 3X + 2 - 1 X - 2 + 1 = 0 5 6 3 4 5 3 5
  12. 6X – 3 - 12X + 8 - X – 2 = 1 30 12 15 5 1 6X – 3 - 4 (3X + 2) - X – 2 = 1 30 12 15 5 3 6X – 3 - 3X + 2 - X – 2 - 1 = 0 30 3 15 5 2 ( 6X - 3) - 5 ( 3X + 2) - ( X - 2 ) + 3 = 0 15 12X - 6 - 15X - 10 - X - 2 - 3 12 X - 15X - X = 6 + 10 - 2 + 3 - 4X = 16 X = 16 4 X = 4 PROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO. Definición: Existen numerosos problemas cuya resolución se reduce a la de una ecuación de primer grado con una incógnita.
  13. PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER PROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO. 1) Plantear conforme consista las condiciones del problema, el cual debe tener una incógnita a buscar. 2) Luego se unen los datos obtenidos y se iguala al valor que nos proporciona el problema. 3) Se despeja la incógnita en la ecuación planteada. 4) Se comprueba si la solución hallada satisface el problema. PROBLEMA. El costo de producción por ejemplar de una revista semanal es de $28. El ingreso de distribuidor es de $24 por copias más un 20 % de los ingresos por concepto de publicidad anunciada en publicación y venderse cada semana para obtener utilidades semanales de $ 1.000,00 Solución: Número de ejemplares 20 24x 6x 100 100 125 Costo total por semana 28 x + 3000 100 Ingreso total por semana 24 x + 3.000 6x 100 125 24 x + 3.000 6x 28 x + 3.000 = 1.000 100 125 100 500 24 x + 3.000 6x 28 x + 3.000 = 1.000 100 125 100
  14. 500 -4 x + 3.000 + 6x = 1.000 100 125 -20 (x + 3.000) + 24x = 500.000 -20 x - 60.000) + 24x = 500.000 4x = 500.000 + 60.000 X = 560.000 4 X = 140.000 Debería vender 140.000 para obtener $ 1000,00 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES CUADRÁTICAS. PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES CUADRÁTICAS mediante un trinomio de la forma 1) Los números de los dos extremos tienen raíces cuadráticas es un trinomio de la forma 2) Cada respuesta obtenida se la iguala a cero para despejar y los resultados obtenidos será el valor que se le dará a estas expresiones que es donde cortara la parábola en el eje de las x.
  15. 3) Se determina la vértice es por donde va a pasar la parábola en x con la formula y mediante la formula . Vértice. Discriminante
  16. POR LA FORMULA GENERAL. 1) Se resuelve la ecuación mediante la fórmula para esto es necesario ordenar la ecuación. 2) Se le da orden alfabético a la ecuación. 3) Para comprobar se está bien se saca la discriminante mediante la siguiente formula que será igual al número que está en la raíz. Y 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 ## 1 X -8 - 7 - 6 - 5 - 4 -3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 (-2,5 ; 12,5) -12 -Y
  17. X2 + 5X - 6 X2 + 5X - 6 (1) 2 + 5(1) - 6 (0)2 + 5(0) - 6 =0 1 + 5 - 6 = 0 - 6 6 -6 =0
  18. INECUACIONES LINEALES PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER INECUACIONES LINEALES. 1) Se resuelve las operaciones establecidas en el ejercicio. 2) Se iguala toda la inecuación a cero. 3) Se reducen términos semejantes. 4) El número que estaba multiplicando a la x pasa a dividir al lado contrario. Ejemplo 2X - 6 + 3X 8X + 21 2X - 3X - 8X 21 + 6 - 3X 27 3X - 27 9 X - 27 9 1 X -9 -00 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 00+ -00, -9
  19. INECUACIONES CUADRATICAS. PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER INECUACIONES CUADRATICAS. 1) Paso todos los términos de la ecuación al lado izquierdo igualándolo a cero. 2) Los números de los dos extremos tienen raíces cuadráticas es un trinomio de la forma 3) Cada respuesta obtenida se la iguala a cero para despejar x y los resultados obtenidos serán los que van a ir graficados en la recta. Ejemplo: X2 + X - 6 0 (X + 3) (X - 2) O X1 X + 3 = 0 X = - 3 X2 X - 2 = 0 X = 2 -00 -3 -2 -1 0 1 2 3 00+
  20. (-00, 2) U (-3, 00+) ( -3, 00+) (-00, 2) R // SISTEMA DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO. Definición: la solución del sistema es, en cada caso, la intersección de los conjuntos definidos por cada inecuación que lo constituye. PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER UN SISTEMA DE INECUACIONES. 1) Se procede a despejar la incógnita de la primera inecuación con el resultado obtenido será el primer punto de la recta. 2) Se despeja la segunda inecuación con el resultado se obtiene el punto donde se va a corta la recta por segunda vez. 3) Se une los dos resultaron que cortaron la recta y mediante una comprobación se sabrá si va incluido o no este será nuestro resultado del sistema de dos inecuaciones. Ejemplo: 4X - 1 8X + 7 X + 5 3X - 1 4X - 8 7 + 1 X + 5 3X - 1 4X -8 X - 3X - 5 -1 (-1) – 2X -6 (-1) X - - 8 2X 6 4 X 6 X -2 2 X 3
  21. -00 -3 -2 -1 0 1 2 3 00+ -00 -3 -2 -1 0 1 2 3 00+ -2, 3 SISTEMA DE DOS ECUACIONES METODO GRÁFICO 1) Se iguala a cero las x y las y de las primera ecuación para obtener valores para graficar. 2) Lo mismos se hace en la segunda ecuación se iguala a cero las x y las y de las primera ecuación para obtener valores. 7X + 9Y = 42 12X + 10Y = - 4 X Y X Y 0 5 0 0.4 6 0 -0.33 0 1 3,88 X= 0 X = 0
  22. 7 (0) + 9 Y = 42 12 (0) + 10 Y - 4 9Y = 42 10 Y = 4 Y = 42 Y = 4 9 10 Y = 0 Y= 0 7 X + 9(0) = 42 12X + 10 (0) - 4 X = 42 X = 4 7 12 Y = 1 7(1) + 9 Y = 42 9Y = - 7 + 42 Y = 53 9 Y 7 6 5 4 3 2
  23. -X 1 X -7 -6 -5 -4 -3 -2 .1 0 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 METODO DE REDUCCIÓN 1) Se multiplica las ecuaciones por un número conveniente, para igualar el valor absoluto de los coeficientes de una misma incógnita. 2) Según que dichos coeficientes resultan de igual o distinto signo, se restan o suman las ecuaciones, con lo que se consigue eliminar dicha incógnita. 3) Se resuelve la ecuación de primer grado en la otra incógnita que así resulta. 4) Se reemplaza esta por su valor en una de las ecuaciones dadas y se obtiene el valor de la primera incógnita o bien se calcula esta incógnita por el mismo método. -10 7X + 9Y = 42 -70X – 90Y = - 420 9 12X + 10Y = - 4 108X +90Y = -36 38X // = 456 X= -456 38 X=-12 12(-12) + 10 Y = -4 10Y =140 -144 + 10Y = -4 10 10Y = -4 +144 Y = 14
  24. METODO DE IGUALACIÓN 1) Se despeja una de las incógnitas en las dos ecuaciones. 2) Se igualan las expresiones obtenidas. De ahí el nombre de método de igualación. 3) Se resuelve la ecuación de primer grado en la otra incógnita que así resulta. 4) Se reemplaza el valor obtenido de esta última incógnita en cualquiera de las dos expresiones que resultaron al despejar la primera, y se obtiene así su valor. 7X + 9Y = 42 7X = -9Y + 42 12X + 10Y = - 4 X = -9Y + 42 7 12X + 10Y = - 4 X = - 10Y - 4 12 -9Y + 42 = -10 - 4 7 12 -9Y + 42 -10 - 4 =0 7 12 (84) 12 (-9Y + 42) – 7 (-10Y – 4) = 0 (84) 84 - 108Y + 504 + 70Y + 28 = 0 -38Y + 532 = 0 -38Y = -532 Y= -532 -38 Y= 14 12X + 10(14)=-14
  25. 12X + 140 = -4 12X = -140 -4 X = - 144 12 X= -12 METODO DE SUSTITUCIÓN 1) Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones del sistema. 2) Se sustituye en la otra ecuación dicha incógnita por la expresión obtenida. De ahí el nombre de método de sustitución- 3) Se resuelve la ecuación con una incógnita, que así resulta. 4) Esta incógnita se reemplaza por el valor el valor obtenido, en la expresión que resulto al despejar la primera y se calcula así el valor de esta. 7X + 9Y = 42 7X = -9Y + 42 12X + 10Y = - 4 X = -9Y + 42 7 12X + 10Y = - 4 X = - 10Y - 4 12 -9Y + 42 = -10 - 4 7 12 12(-9Y + 42) – 7 (- 4 – 10 Y) 84 -108Y + 504 + 28 + 70Y -108Y + 70Y = -504 – 28
  26. - 38Y = - 532 Y= - 52 -38 Y= 14 X= - 4 – 10 (14) 12 X= - 4 – 140 12 X= - 144 12 X= -12 MÉTODO DETERMINANTE Para estudiar este método es necesario definir previamente que se entiende por: Determinante de segundo orden dados 4 números: la notación simbólica. Se llama determinantes de segundo orden y significa la diferencia entre el producto y el producto . 7X + 9Y = 42 12X + 10Y = - 4 42 9
  27. X= -4 10 42(10) – (-4) (9) = 420 + 36 = 456 =-12 7 9 7(10) - 12 (9) 70 – 108 -38 12 10 7 42 Y= 12 -4 7(-4) – 12(42) = -28 - 504 = -532 =14 7 9 7(10) - 12 (9) 70 – 108 -38 12 10 SISTEMA DE TRES ECUACIUONES CON UNA INCOGNICA DEFINICION: Se llama sistema de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas a tres ecuaciones de primer grado con las mismas incógnitas cada una, deben admitir simultáneamente las mismas raíces. Dichas raíces constituyen la solución del sistema. 5X – 2Y + Z = 24 2X + 5Y – 2Z =-14 X - 4Y + 3Z = 26 5X – 2Y + Z = 24 2X + 5Y – 2Z =-14 5X = 2Y – Z + 24 X= 2Y - Z + 24 1Y 2
  28. 5 REMPLAZO X EN LA SEGUNDA ECUACION 2(2Y – Z + 24) + 5Y - 2Z + 14 = 0 5 (5) 4Y – 2Z + 48 + 5Y - 2Z + 14 = 0(5) 5 4Y - 2Z + 48 + 25Y – 10 Z +70 =0 29Y - 12Z + 118 CUARTA ECUACIÓN 2X + 5Y – 2Z =-14 X - 4Y + 3Z = 26 X= -5Y + 2Z - 14 = 0 2 (2) -5Y + 2Z - 14 - 4Y + 3Z -26 =0 (2) 2 -5Y + 2Z – 14 - 8Y + 6Z - 52 -13Y + 8Z - 66 29Y - 12Z = - 118 232Y – 96Z = - 944 -13Y + 8Z = 66 -156Y + 96Z = 792 76Y // = -152 Y= -152 76 Y = -2 -13 (-2) + 8 Z = 66 26 + 8 Z = 66 8Z = -26 + 66 Z = 40 8 2Y 3
  29. Z= 5 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ENCONTRAR LA PENDIENTE DE LA RECTA QUE PASA POR LOS PUNTOS (-5,2 ) ; (4, -2 ), LA ECUACIÓN DE LA RECTA, LA DISTANCIA ENTRE ESTOS DOS PUNTOS Y LA DISTANCIA DEL PUNTO (4,-2) A LA RECTA 2x- y-2=0. En el siguiente caso es recomendado seguir el orden de las formulas dadas. Pendiente. Ecuación de la recta.
  30. Distancia entre el punto (-5,2) ; (4, -7). Distancia entre el punto (7,9) a la recta 2x-y+1. X Y
  31. 0 -2 -1 0 CONJUNTOS 1.- Debemos saber cuánto vale cada conjunto 2.- y por cuanto esta el RE 3.- saber cuántas intersecciones hay 4.- Saber cuántas uniones hay 5.- Luego lo reemplaza en la formula. Ejemplo: Se hizo una encuesta a 100 personas acerca de la película que les gusta y se obtuvieron por: y 7 6 5 4 3 3,44 2 1 ## - 7 - 6 -5 - 4 -3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 x -1 -2 2X-Y-2 -3 -4 -5 -6 -7 ##
  32. 620 veían JARRY; 400veian batalla; 590 veían pince, 195 veían JARRY y batalla, 190 preferían ver batalla y pince, 400 ven JARRY pince, 300 prefieren JARRY y pince pero no batalla. Determine el número de personas que no ven estas películas. 125 95 115 100 300 90 590 N (J)= =620 N (B)= =400 N (BA)= =590 N (J n BA)= 400 N (B n BA) = 190 N (J n B) = 195 N ( J n B ) - N ( J n B n B A ) = 300 400 100 1: Simplificación algebraica SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Es convertirla en una fracción equivalente cuyos términos sean primos entre sí:
  33. PROCEDIMIENTO: Se dividen el numerador y denominador por sus factores comunes hasta que sean primos entre si Sacamos mínimos común múltiplo y pasamos a realizar la operación Términos polinomios: Se descomponen en factores los polinomios todo lo posible y se suprimen los factores comunes al numerador y denominador. Ejemplo: Polinomios: R// Se descomponen en factores los polinomios todo lo posible y se suprimen los factores comunes al numerador y denominador. 2.- Factorización “trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción. Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto, la raíz cuadrado de es la raíz cuadrada de es y el doble producto de estas raíces es luego este trinomio no es cuadrado perfecto.
  34. para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo término se convierte en lo cual se consigue sumándole , pero para que el trinomio no varie hay que restarle la misma cantidad y tendremos:
  35. ) )R// 3.- Factorización” suma o diferencia de potencias iguales impares” Factorar + 32 este es una expresión que puede escribirse + , dividiendo por x+2 tendremos: - R// 4.- La suma de 2 números es 59 y si el mayor se divide por el menor el cociente es 2 y el residuo 5. Hallar los números. X=número mayor 59-y y el número menor Cociente=2 Residuo=5 x-5=2(59-x) comprobación= 59-y=59-41=18 x-5=118-2x x+2x=118+5 3x=123 X=41 Números hallados 41 y 18 //R 4.- RACIONALIZACION Se trata de eliminar las raíces del denominar.
  36. Y lo hacemos, multiplicando el denominador con la fracción que nos dan y procedemos a realizar la facción: 6.- Problemas con ecuaciones de primer grado con una incógnita. 5x+6=10x+5 5x-10x=-6+5 (-1)-5x=1(-1) 5x=-1 X=- 7.- Inecuación lineal Procedemos a realizar la ecuación normal en donde el resultado lo vamos a graficar en la recta 3x-14<7x-2 3x-7x<-2+14 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 (-1)-4x<12(-1) (-3,+∞) X>-3 8.- Inecuación cuadrática Cuando las ecuación esta elevada al cuadrado y la respuesta es cuadrado 9.-representacion grafica de una ecuación cuadrática
  37. 15x-11x+5+ =(0) +4x+5=0 (x+5)(x-1) +4x+5 0+5 Y= Y= Y= 7 VERTICE: X= Y= 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 -1 -2 -3 -4 -5
  38. -6 -7 -8 -9 10.- ECUACIONES CON 3 INCOGNITAS 6X+3Y+2Z=12 9X-Y+4Z=37 10X+5Y+3Z=21 1Y2 6X+3Y+2Z 9X-Y+4Z=37 X= 9 +3+2Z=37 –Y +4Z-37=0(2) 36-9Y-6-2+8Z+74=0 2Y3 9X-Y+4Z=37 10X+5Y+3Z=21 X= 9 -5Y+4Z-37=0(10) –Y+4Z-37=0(10) 180-45Y-27+10Y+40Z-370=0
  39. -55Y-181+13Z 4Y5 -13 -11Y+2Z=38 2 -55Y+13Z=181 143Y-26Z=-494 -110+ 26 =362 33Y =-132 Y= - 4 -11(-4)+2Z=38 6x+3(-4)+2(-3)=12 +44+2Z=38 6x=12+12+6 2Z=38-44 x= 30/6 x= 5 2Z= Z=-3 Método determinante -3x+7y=29 5x-9y=-35 X= = Y= -3 29
  40. 5 -9 -3 7 5 -9
  41. Encuentre la ecuación de la recta con pendiente -4 y que pasa por el origen. Determine el punto de la recta que tiene coordenada x=2 y- =m(x- ) y-0=-4(x-0) y-0=-4x y=-4x x=2 x=-4(2) x=8 x=1 x=-4(1) x=-4 Calcula la distancia 2,1 a la recta de la ecuación. 3x+4y-2=0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
  42. 4y=-3x+2 Y=mx+b D= D= se hizo una encuesta a 100 personas acerca del canal de tv donde prefieren ver programas documentales y se obtuvieron los siguientes resultados. 640 veían tele amazonas 400 veían canal 1 540 veían ecu avisa 195 veían tele amazonas y canal uno 190 preferían canal 1 y ecu avisa 100 veían amazonas y ecu avisa 300 veían tele amazonas y ecu avisa pero no canal uno Determinar el número de personas que no ven estos estos canales
  43. RE:1000 E C1 590=100 195=95 400=115 100 400=300 190=90 620=195 T N(t)=620 N(cu)=400 N(e)=590 N(t e)=400 N(u E)=190 N(t u)=195 N(t e)-n(t)(u e)
  44. CONJUNTOS: B RE: 1 C 2 3 A 5 6 7 8 4 9 10 11 12 A= (A-B ) (C-D) B= (A B C )C E= (CC A) – B C – A B
  45. . SIMPLIFICAR EXPRESIONES ALGEBRAICAS (CARATULA, NUMERACION, ENCABEZADO) Una expresión es Algebraica si contiene en su denominador y/o denominador expresiones algebraicas. Para simplificar una fracción algebraica el denominador y el denominador deben estar expresado en factores no en sumandos es decir no pueden estar escritos en forma polinomica. La simplificación de fracciones algebraicas se basa en la siguiente propiedad. Cada vez que se simplifica una fracción algebraica, se está obteniendo una fracción equivalente. 2. FACTORIZACION SUMA O RESTA DE POTENCIAS IMPARES IGUALES Cuando no es factor común ó diferencia de cuadrado perfecto se prueba la suma o diferencia de potencias impares iguales, la primera regla es que sea suma ó resta, que tengan potencias iguales pero impares. 1. Primero se extrae la raíz igual a la cantidad que están elevados los términos. 2. A Las raíces se las opera con el mismo signo, multiplicado por las raíces pero en un orden siempre que es el primer término elevado a una potencia menos a la inicial y la segunda elevado a la 0, la primera va bajando hasta llegar a 0 y la segunda sube hasta que hasta llegar a una potencia menos que la potencia inicial. + - = = = R.
  46. 3. PROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Hallar tres números enteros consecutivos tales que la suma de los del mayor con los del número intermedio equivalga al número menor disminuido en 8. Número menor = x Número intermedio = x+1 Número mayor = x+2 Los del número mayor serán (x+ 2) Los del número intermedio serán (x +1) El menor disminuido en 8 será x-8 (X+2) + (X+1) = x-8 = x-8 6(x+2) + 26(x+1) =39(x-8) 6x+12+26x+26= 39x -312 6x+ 26x -39x = -12 -26 -312 -7x = -350 X= - X= 50 R. 4. RACIONALIZAR La racionalización de radicales es un proceso en donde se tiene que eliminar la raíz o raíces que están en el denominador de una fracción. Racionalizar una fracción con raíces en el denominador, es encontrar otra expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador. Para ello se multiplica el numerador y el denominador por una expresión adecuada, de forma que al operar, se elimine la raíz del denominador.
  47. 5. REPRESENTACION GRAFICA DE UN INTERVALO Un subconjunto de la recta real se llama intervalo, y contiene a todos los números reales que están comprendidos entre dos cuales quiera de sus elementos. Geométricamente los intervalos corresponden a segmentos de recta, semirrectas o la misma recta real. Los intervalos de números correspondientes a segmentos de recta son intervalos finitos, los intervalos correspondientes a semirrectas y a la recta real son intervalos infinitos. Los intervalos finitos pueden ser cerrados, abiertos o semiabiertos. Sean a y b dos números reales tales que a b. La notación a < x < b se usa solamente cuando x está entre a y b, y a es menor que b. Por ejemplo, al resolver: La solución en notación de intervalo es [-1, 2) cuya gráfica es:
  48. 6. INECUACION LINEAL En matemática, una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad.1 2 Si la desigualdad es del tipo o se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo o se denomina inecuación en sentido amplio.3 Del mismo modo en que se hace la diferencia entre igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todos las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales.4 Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones. -2x + 1 ≤ x – 3 -2x – x ≤ - 3 – 1 ∞ ∞ (-1) - 3≤ - 4 (-1) 0 3x ≥ 4 X ≥ 7. INECUACIONES CUADRATICAS Una inecuación cuadrática o de segundo grado es una desigualdad donde la variable tiene exponente 2 y es en su forma general de una de las formas siguientes ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c > 0 ó ax2 + bx + c ; 0, también puede tener el signo de desigualdad (d≥ bx + c), pero se puede llevar a una de las formas anteriores haciendo transformaciones equivalentes. – 6x + 8 > 0 (X -4) (X -2) > 0 X-4 >0 x -2 > 0 x=4 x=2 (-∞, 2) U (4, +∞) 8. ECUACIONES CUADRATICAS
  49. Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x. Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad. Ese valor es la solución de la ecuación. Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0 El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación. Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna). Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma: ax2 + bx + c = 0 Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular. Ejercicio Tienes la ecuación si das un valor a x obtienes otro para y, este valor lo llevábamos al eje de coordenadas y fijábamos un punto. Dábamos otro valor a x y obteníamos el correspondiente a y .Con estos dos valores conseguíamos el segundo punto. Al unir los dos puntos determinábamos la recta. Todos los puntos de la recta son respuestas de la ecuación. En el caso de las ecuaciones de 2º grado su representación gráfica es muy diferente. Supongamos una ecuación de 2º grado (el exponente de x debe ser 2): Vamos a dar valores a la variable independiente x y conseguiremos que la variable dependiente y tome los suyos: En primer lugar damos a x el valor 3, luego 2, después 0, seguidamente – 2 y por fin, – 3. La variable dependiente y recibirá los valores: 9,4,0, 4 y 9 Podemos escribir:
  50. Colocamos en el eje de coordenadas los puntos: y luego, unimos esos puntos tal como lo ves en la figura siguiente: 9. DETERMINANTES -3x + 7y= 29 5x – 9y = -35 29 7 -35 -9 (29) (-9) (-7) (-35) - 261+ 245 -16 X= = = = = 2 -3 7 (-3) (-9) -7 (5) 27 - 35 8 5 -9
  51. -3 29 5 -35 (-3) (-35) – (29) (5) 105- 145 -40 Y= = = = = 5 -3 7 -8 -8 8 5 -9 REDUCCIÓN Y-3y + 2 = x+18 = -y – 3y +2 = x+18 = 0 7 10 7 10 x- 4x +1 = 2y – 5 = 70y – 10 (3y+2) -7 (x+18) = 0 9 3 70 X – 4x+1 -2y-5 = 0 70y-30y-20-7x-126 = 0 5 -7x+40y= 146 -35x+200y =730 7 7 5x-6y= -14 35x - 42y = -98 9x-4x-1-6y+15 = 0 4 // 158y=632 9 316 Y= 632 = 4 158 79 1 Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas de 1er grado (CORREGIR GRAFICO) 3x+2y+z = 1 5x+3y+4z =2
  52. x+ y-z = 1 1 Y 2 3x+2y+z=1 5 1-2y-7 + 3y +4z= 2 -y+7z-1=0 5x+3y+4z=2 3 3x= 1-2y -z 5-10y-5z + 3y+4z – 2= 0 X= 1-2y-z 3 5- 10y-5z+9y+12z-6 = 0 2 Y 3 4 Y 5 5x+3y+4z = 2 -y + 7z =1 -2y+14z = 2 X+ y-z =1 -2y+9z=-3 2y - 9z =3 X=1-y+z // 5z = 5 5(1-y+z) +34+4z-2=0 z=1 5-5y+5z+3y+4z-2=0 -2y+9z+3=0 -y +7(1) =1 -y + 7=1 -y= 1-7 Y=6 X= 1-2 (6) -1 x= - 4 3 y= 6 X= 1-12-1 z= 1 3 X= -12 3 X= - 4 Conjuntos Considere el Re = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10
  53. Y los conjuntos A B = 1, 2, 7 (B C) - A = 8, 9 (A B C) c = 5, 6 N (A)= N (B) = 6 Entonces es verdad que A: 1, 2, 3,4, 5 B: 5, 6, 7 C: N (A C) = 2 D: (B C) U (A C) Simplificación con fracciones Es convertirla en una fracción equivalente cuyos términos sean primos entres si Cuando los términos de una fracción son primos entre sí, la fracción es irreducible y entonces la fracción esta reducida a su más simple expresión a su mínima expresión REGLA. Si sus términos son polinomios , se descomponen en factores los polinomios todo lo posible y se suprimen los factores comunes al numerador y denominador. Resolvemos los casos de factorización que tengamos Reducimos términos semejantes // Simplificar con exponentes Cualquier factor del numerador de una expresión se puede pasar al denominador y viceversa con tal de cambiarle el signo a su exponente Re:
  54. = //R. SIMPLIFICAR CON RAICES Simplificar un radical es reducirlo a su más simple expresión cuando la cantidad subradical es entera y del menor grado menor grado posible .para simplificar radicales debe tenerse muy presente que para extraer una raíz a un producto se extrae dicha raíz a cada uno de sus factores ósea en la simplificación de radicales consideramos los dos casos 1° cuando la cantidad subradical contiene factores cuyo exponente es divisible por el índice //R. 2|cuando los factores de loa cantidad subradical y el índice tienen su divisor común = = //R. Simplificar = //R: RACIONALIZAR Operar para eliminar los radicales del denominador de una fracción = =
  55. = //R Factorar una suma diferencia de potencia impares iguales Esta expresión puede escribirse Dividendo por x +2 tenemos Luego Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción La raíz cuadrada de es La raíz cuadrada de 36 es 6 Para que fuera cuadrado perfecto su 2° termino debería ser -2 . y es - 16 Pero - 16 se convierte en sumándole 4 Pues tendremos - 16 + 4 = Y para que no cambie les restamos lo mismo 2 -4a2 b2 =
  56. //R PROBLEMA CON ECUACIONES A tiene 1 más que B si B gastara 8 tendría 4 menos que los de lo que tiene A ¿Cuánto tiene cada uno? Datos =-4(x+1) Sistema de ecuaciones de 2 incógnitas Es la reunión de dos ecuaciones con dos incógnitas. Reducimos para que una educación lineal 3x + y = 8 (2) 3x – 4y = 12 Método de igualación; 1°despejamos cualquiera de las incógnitas, 2°Se igualan entre si los dos valores a que hemos obtenidos 3°ya tenemos una sola ecuación con una incógnita, Método por sustitución 1° despejamos cualquiera de las incógnitas, por ejemplo x
  57. Resolvemos por cualquier método REMPLAZAMOS LAS Y EN CUALQUIERA DE LAS DOS ECUACIONES 3x + = 8 Sistema de inecuaciones Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que solo se verifica para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones se llaman también desigualdades de condición Resolver una inecuación es hallar los valores de las incógnitas que satisfacen la inecuación. -oo Método por reducción 1° se hacen iguales los coeficientes de una incógnita 2°como los coeficientes que hemos igualados tienen distintos signos, se suman estas ecuaciones por ello se elimina 3°sustituyendo en cualquiera de las dos ecuaciones dadas
  58. SISTEMA DE ECUACIONES DE 3 INCOGNITAS ESCOGEMOS DOS ECUACIONES Y LA RESOLVEMOS POR CUALQUIER METODO PARA TENER UNA ECUACION DE DOS INCOGNITAS ESCOGEMOS LA (1) Y (3)Obtenemos la (4) ecuación Escogemos la ecuación que no habíamos escogidos con cualquiera de las otras dos Escogemos la (1) y (3) para obtener la (5) ecuación Escogemos la 4 y 5 para encontrar el valor de3 las variables, lo hacemos por cualquier método Encontramos el valor de Z Remplazamos el valor encontrado en la ecuación 4 o 5, para encontrar el siguiente valor
  59. Y= Y= encontramos valor de Y Remplazamos los valores encontrados en cualquiera de las ecuaciones originales 44x+64-42-1=0 44x=-64+42+1 44x=21 X= hemos encontrado el valor de x X= Y= Resolución grafica de un sistema de dos ecuaciones de dos ecuaciones con dos incógnitas En se tiene X=0 y=-3
  60. Y=0 x=6 En se tiene X=0 y=-1 Y=0 x= 2 Funciones (Parábolas) Formula Representar gráficamente la ecuación = = Y= 12 -6(-1)+5 y = o - 6 (0) + 5 Y=1 + 6 +5 y= 5 Y=12 Valores X=1 y=12 X=0 Y =5 Las líneas son paralelas, no hay puntos de intersección, luego el sistema no tiene solución; las ecuaciones son incompatibles x y
  61. En ella se ve Que la curva corta el eje de las x en dos puntos cuyos abscisas son 1 y 5 que son la raíces del trinomio x =1 y=5 Con fracciones 1: Agrupación de términos semejantes en el numerador. 2: En el denominador sacamos el factor común. 3x 3 -12x-x2 y+4y (3x3 -12x)-(x2 y-4y) X4 - 5x3 – 14x2 x2 (x2 -5x-14x) 3: En los términos del numerador sacamos el factor común de cada término. 3x(x2 -4)- y(x2 -4) x2 (x-7) (x+2) 4:En el denominador realizamos el caso de trinomio de la forma ax 2 +bx+ c. (x 2 -4) (3x-4)
  62. X 2 (x-7) (x+2) 5:En el siguiente procedimiento descomponemos el x2 -4 en dos factores (x+2) (x-2) (3x-4) x2 (x-7) (x+2) 6: Simplificamos los términos que son iguales. (x+2) (x-2) (3x-4) x2 (x-7) ( x+2) 7: Y finalmente nos queda este resultado, simplificado en su mas mínima expresión. (x-2) (3x – y) x2 (x-7) 1) SIMPLIFICAR EXPRESIONES CON FRACCIONES Procedimiento 1) realizamos la parte superior del ejercicio, sacamos el factor común y Dividimos numerador y denominador por el máximo común divisor. 2) procedemos a cambiar el signo ya que el paréntesis esta precedido de un signo negativo y nos queda 3) escribimos el mismo denominador y simplificamos lo de la parte superior.
  63. 4) al simplificar nos queda 5) realizamos la parte inferior del ejercicio, sacamos el factor común y Dividimos numerador y denominador por el máximo común divisor. 6) multiplicamos y nos queda y en denominador el mismo factor común que es 7) se procede a simplificar y nos queda y el mismo denominador. 8) unimos el resultado de la parte inferior con la superior y resolvemos, se multiplica extremos con extremos y medios con medios y nos queda 2) Con raíces = R/ PROCEDIMIENTO 1)resolvemos las fracciones superior del numerador de la division invirtiendo el tercer termino que tiene como exponente negativo a convertirlo en positivo y el denominador que da igual. 2) Y la parte inferior queda de igual por el momento. 3) sacamos el maximo comun divisor de los terminos superior que es 10 y nos queda sumamos el numerador y el denominador queda igual . 4) resolvemos las fracciones del denominador de la division 2. Libro Fundamento de Matemáticas para bachillerato ESPOL (pág. 142) 3) EXPONENCIALES
  64. = = = = = = // PROCEDIMIENTO 1. Los términos elevados a las expresión negativa pero par se invierte el termino y queda elevado al cuadrado y la parte inferior se divide el termino en un quebrado pero su numerador y denominador al cuadrado. 2. El quebrado en general se rompe paréntesis y por ende los exponentes cambian al término 3. queda resultado o ya está roto los paréntesis. 4. En la parte posterior o denominador se restan las “X “ 5. 6. 7. Se simplifica términos semejantes 8. respuesta después de simplificar los términos. 3. Libro Fundamento de Matemáticas para bachillerato ESPOL (pág. 135) 2: Factorización 2)Trinomio cuadrado perfecto por addicion o sustraccion 11 6 132
  65. R/ PROCEDIMIENTO luego es un trinomio no es un cuadrado perfecto. + 25 -25 - 25 = - 25 Factorizando la diferencia de cuadrado= ) ) Ordenando= ) 4. Algebra Valor – Ejercicio 96 pág. 157 Suma o resta de potencias iguales impares
  66. PROCEDIMIENTO 1) hay que multiplicar el numerador y el denominador por este resultado es elque da el producto notable de los binomios conjugados. . Ahora, se procede al despeje de las raíces cuadradas del denominador y nos queda 5) http://es.scribd.com/doc/14528113/RACIONALIZACION-DE-RADICALES 1:Se procede a sacar las raícescorrespondientes de cada factor. X 5 + 32 = (x + 2) X+2 2: Descomponemos cada termino el número de veces a la que este elevada la raíz en el primer termino va disminuyendo y en el segundo va aumentando. X 5 + 32 = x 4 – x3 (2) + x2 ( 2 2 ) – x ( 2 3 ) + 2 4 X+2 3:Procedemos a realizar la multiplicación de cada termino. = x 4 – 2x 3 + 4x 2 – 8x + 16 4: En un factor se dejan las raíces y en otro se pone el producto de cada multiplicación. x 5 + 32 = (x+2) (x4 – 2x3 +4x2 - 8x + 16)
  67. 3.Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción 1: Sacamos las raíces del primer y tercer termino 25x 4 – 139x 2 y 2 + 81y 4 5x 2 9y 2 2: Procedemos a multiplicar las raíces por 2 2(5x 2 ) (9y 2 ) = 90x 2 y 2 3: Como el resultado no es el mismo al segundo término del ejercicio procedemos a sumar y a restar la cantidad que falta para que sea igual al segundo término. 25x 4 – 139x 2 y 2 + 81y 4 +49x2y2 -49x2y2 25x 4 – 90x 2 y 2 + 81y 4 – 49x 2 y 2 4:Una vez obtenido el resultado de la suma o resta, separamos en 2 factores. (25x 4 – 90x 2 y 2 + 81y 4 ) – 49x 2 y 2 5: En un factor resolvemos el caso que se presente en este caso es el T.C.P
  68. (5x 2 – 9y 2 ) – 49x 2 y 2 6: Como el resultado que nos quedo es una diferencia de cuadrados la dividimos en 2 factores en donde uno va a ser positivo y el otro negativo. ((5x 2 – 9y 2 ) + 7xy)((5x 2 – 9y 2 ) – 7xy) (5x 2 +7xy-9y 2 ) (5x 2 -7xy – 9y 2 ) 4:Racionalización R/ PROCEDIMIENTO 1) hay que multiplicar el numerador y el denominador por este resultado es elque da el producto notable de los binomios conjugados. Ahora, se procede al despeje de las raíces cuadradas del denominador y nos queda 6. http://es.slideshare.net/sita.yanis/gua-racionalizacion-complementaria Suma o resta de raíces 1: Multiplicamos todo el ejercicio por el mismo término que el denominador pero con signo diferente. 2 4 X 2 - 2 4 X 6 3 x - 1 x + 1 x - 1 2:Procedemos a realizar la multiplicación tanto del numerador como del denominador. (x - x3 )(x - 1) ( x) 2 – (1)2
  69. 3: Simplificamos las expresiones semejantes. (x-x 2 ) – ( x – x 3 ) (1 – x)(x- x ) - (x - x ) 1 - x 1-x 5: Problemas de 1er grado con una incógnita Sandra pago $66.oo por una pasta dental, un jabón y un shampoo. Si el costo de la pasta excede en $15 al del jabón y en $3.oo al del shampoo, determinar el costo de cada uno de los artículos. DATOS Costo de pasta de diente= X por lo tanto Costo de jabón X-15 el costo de la pasta dental $28 Costo del shampoo x-13 jabón $13 y el shampoo $25 Se plantea la Ecuación -(X-15)+(x-3)=66 3X-18=66 3X=66+13 3X=84 X= X=28 R// A puede hacer 1 obra en 3 días y B en 5 días en cuanto tiempo pueden hacer la obra trabajando los 2 juntos? A= 3 días El tiempo en que A hace la obra es 1/3 y el de B es de 1/5 B= 5 días Sumamos el tiempo de A y el de B 1 + 1 = 1 = 8 = 1
  70. A y B = x 3 5 x 5 x 8x = 15 x=15/8 días x= 17/8 = 1 día y 21 horas 6: Sistema de Inecuaciones 1:Dejamos de un lado las x y del otro lado los términos sobrantes con sus signos cambiados. 3x – 1<5x + 7 = 3x – 5x <7 + 1 x +4 >2x – 1= x-2x= -1- 4 2:Procedemos a realizar la ecuación dada. -2x <8 2x >- 8 X >- 4 3:Realizamos el mismo procedimiento con la otra ecuación X -2x >-1 - 4 -x >- 5 x < 5 4:Una vez obtenidos los 2 puntos lo planteamos en la recta.
  71. 7: Inecuaciones Lineales 1: Resolvemos el caso dado en este caso es un Trinomio de la forma x 2 + bx + c 2: Luego al valor independiente lo igualamos a 0 y lo graficamos en la recta. x 2 + x – 132 R: ( -00,-12) U ( 11,+00) (x + 12) (x -11) > 0 X +12 = 0 -00 +00 X = - 12 -12 011 X – 11 = 0 X = 11 8: Inecuaciones Cuadráticas X=5 5 4 3 2 1 1 - X X
  72. Y X= Y=-3 Y=(6)-6(6)+5 X= Y=36-36+5 X= Y=5 X=-3 PROCEDIMIENTO 1) resolver el trinomio de cuadrado perfecto y nos queda igualamos y aplicamos esta formula y remplazmos con un numero sea a las x o las y. y asi cuando x=5 y=0 cuando x=1 y=0 cuando x=2 y=-3 cuando x=6 x=5 y lo graficamos. 8Algebra de baldor ejercicio 11 pag 312 x 2 - x 3 (2x – 6) (2x + 1) = 0 210 2 x 2 x 3 (x -3) (2x+1) = 0 5 2 10 x-3= 0 2x + 1 x y 5 0 1 0 2 -3 6 5 6 134 2 5 5 2 2 1 4 1 3 3 4 - Y
  73. 2x 2 – 5x - 3 = 0 x1=3 x2=-1/2 10 (-1/2) 2 -1/23¼ + 1 3 1 + 1 3 5 2 10 54 10 20 4 10 3 1+5 3 6 3 3 3 2010 20 10 10 10 10 X Y Y= (2-1) 2 -5(-1)-3 Y= 2X 2 - 5X - 3 0 -3 =2+5-3 =2(1) 2 -5(1) -3 1 -6 =4 =2-5-3 - 1 4Y= 2(-2) 2 –5(-2)-3 = -6 - 2 15 =8+10-3 Y= 2(2)2 – 5(2)-3 2 -5 =15 =8-10-3 3 0 = -5 - 1 0 Y= 2(3) 2 -5(3)-3 =18-15-3 = 0 4
  74. 2 3 3 5 6 9:Función (0,4) Y=2x+4 = f (x) =2x+4 4 YX Y= 2 (0) + 4 4 0 y= +4 0 -2 0=2X+4 -2 2x= 4 (-2, 0) x= 4/2 x= -2 10: Determinantes -3x + 7y= 29 5x – 9y = -35 29 7 -35 -9 (29) (-9) (-7) (-35) - 261+ 245 -16 X= = = = =2 -3 7 (-3) (-9) -7 (5) 27 - 35 8 5 -9
  75. -3 29 5 -35 (-3) (-35) – (29) (5) 105- 145 -40 Y= = = = = 5 -3 7 -8 -8 8 5 -9 11:Reducción Y-3y + 2 = x+18 = -y – 3y +2 = x+18 = 0 7 10 7 10 x- 4x +1 = 2y – 5 = 70y – 10 (3y+2) -7 (x+18) = 0 9 3 70 X – 4x+1 -2y-5 = 0 70y-30y-20-7x-126 = 0 9 3 5 -7x+40y= 146 -35x+200y =730 7 5x-6y= -14 35x - 42y = -98 9x-4x-1-6y+15 = 0 4 // 158y=632 9 316 Y= 632 = 4 158 79 1
  76. 12: Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas de 1er grado 3x+2y+z = 1 1 5x+3y+4z =2 2 x+ y-z = 1 3 Seleccionamos las ecuaciones 1 Y 2 y despejamos una variable Método de reducción 3x+2y+z=1 51-2y-7 + 3y +4z= 2 -y+7z-1=0 5x+3y+4z=2 3ecuación Nº 4 3x= 1-2y -z 5-10y-5z + 3y+4z – 2=0 X= 1-2y-z 3 3 5- 10y-5z+9y+12z-6 = 0 Seleccionamos las ecuaciones 2 y3 y despejamos una variable. 5x+3y+4z = 2 X=1-y+z 5(1-y+z) +34+4z-2=0 5-5y+5z+3y+4z-2=0 -2y+9z+3=0 ecuación Nº 5
  77. Seleccionamos las ecuaciones 4 y 5 y despejamos una variable. -y + 7z =1 -2y +14z = 2 -2y+9z=-3 2y - 9z =3 // 5z = 5 Z = 1 Primera incógnita Reemplazo z en 4 -y + 7(1) =1 -y + 7 = 1 -y= 1-7 Y = 6 Segunda incógnita X= 1-2 (6) -1 3y= 6 X= 1-12-1z= 1 3 X= -12 3 X= - 4 Tercera incógnita grafico de funciones
  78. Y –3X+2=9 Y=9+3X-2 Y=-3X+7 10) INTERACCION DE RECTA EN EL PLANO 2X-Y=5 X+Y=7 2X-Y=5 X+Y=7 (-1)-Y=5-2X (-1) 0+Y=7 Y=2X-5 Y=7 Y=2(0)-5 Y –3X=9 X+Y=7 Y=-5 X+0=7 Y=2X-5 X=7 0=2X-5 X Y 0 -5 5/2 0 X Y 0 7 7 0 9 8 7 6 5 4 Y=-3(0)+7 Y=0+7 Y=7 Y=-3(1)+7 Y=-3+7 Y=4 3 2 1 1 52 3 414 35 2 - X X 1 1 2 3 5 4 Y=-3(2)+7 Y=-6+7 Y=1 Y=-3(-1)+7 Y=3+7 Y=10 - Y
  79. -2X=-5 X= =2.5 10. inventado por Jamiilex Rodríguez 11) INECUACIÓN LINEAL 6X-10>3X+5 6X-3X>5+10 6(6)-10>(6)+5 3X>15 36-10>18+5 26>23 X> X>5(5, +oo) PROCEDIMIENTO Al realizar la inecuación pasamos todos los términos con variable X a lado izquierdo y los términos sin variables a lado derecho y asi al resolver el lado izquierdo nos quedan 3x y al otro lado 15 al despejar x nos queda que al simplificar nos da X>5 y lo representamos en la recta. Y 9 8 Y=7-Y 7 6 4 (4.3) 3 2 1 7 X1 - X 5 4 3 2 1 Y=2X- 5 2 3 4 5 6 7 865432 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8-3 -2 -1-4-5-6-7-8 -oo
  80. 11. http://calculo.cc/Problemas/Problemas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/inecua ciones/probl_inecuaciones.html 12) INECUACIÓN CUADRATICA (X-6)(X+1)>0 X-6>0 X+1>0 X>6 X>-1 (-oo, -1) (6,+oo) 1) Al resolver la inecuación cuadrática resolvemos el trinomio cuadrado perfecto que esta en el lado izquierdo de signo que lo separa del 0 y no queda (X-6)(X+1)>0 2) a ambos termino los hago mayor que 0 y nos da la respuesta de X>6 y X>-1 3) lo representamos en la recta y ponemos los intervalos. 12.http://google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&sou=web&cd=OCE4QFJAM&=htt p%3ª%”gauss.acatian.unam.mx%2Fresource%Fview.php%3Fid%3D103%62redirect %3D1&el=txjE4_8QTVuoC4C4CQCNFP9YLxTUr7holfMsnOGCWSBsiqlQ 13) SITEMA DE ECUACIONES LINEALES 2X -X<-1-2 -oo 0 1 2 3 4 5 6 7 8-3 -2 -1-4-5-6-7-8 +o o -oo
  81. 2X -X<-3 X X>3 13Algebra de Baldor ejercicio 176 pág. 352 14) SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES METODO DE IGUALACIÓN 6X-3Y=6 8X=7Y-9+5 X= 6X-3(4)=6 8X=7Y-4 6X-12=6 X= 6X=6+12 (6)(7Y-4)=(8)(3Y+6) 6X=18 42Y-24=24Y+48 X=3 42Y-24Y=48+24 18Y=72 Y= Y=4 METODO DE SUSTITUCIÓN 6 =3Y+6 8X-7Y=-4 8X-7(4)=-4 21Y-12=(4)(3Y+6) 8X-28=-4 0 1 2 3 4 5 6 7 8-3 -2 -1-4-5-6-7-8
  82. 21Y-12=12Y+24 8X=-4+28 21Y-12Y=24+12 X= 9Y=36 Y= = Y=4 METODO DE REDUCCIÓN 8X-7Y=-4 Y= = Y=4 PROCEDIMIENTO Al realizar la reducción hay que tener en cuenta que numero hay que multiplicar para así poder reducir X y hallar el valor de Y. para encontrar el valor X hay que sustituir lo que vale Y para así poder encontrar el valor de X METODO GRAFICO X Y 3 4 4 3 X Y 1 0 3 4 X= 3 12 8X-7(4)=-4 8X-28=-4 8X=-4+28 8X=24 X= X=3 8(4)-7Y=-4 32-7Y=-4 -7Y=-4-24 (-1)-7Y=-28(-1) 7Y=28 Y= 1 1 2 2 2 3 4 5 3 4 5345 X- X 1 1 2 3 6 4 7 8 9
  83. DETERMINANTE X= = =3 X=3 Y= = = PROCEDIMENTO Para resolver el determinante hay que primero encontrar el valor de X hay que escoger los numero de la tercera fila con el segunda fila sombre el primera fila con la segunda fila y se multiplicar cruzado y se restan. Así mismo se encuentra el valor de Y pero la primera fila con la tercera fila sobre el primera fila con la segunda fila y se multiplicar cruzado y se restan. Y al restar se llega al valor de x. 14Algebra de Baldor ejercicio 176 pág. 352 15) ECUACIONES DE 2do GRADO CON 3 INCOGNITAS 6X-3(0)=6 X= X=1 6(3)-3Y=6 18-3Y=6 -3Y=6-18 (-1)-3Y=-12(-1) 3Y=12) Y= Y=4
  84. Y=9-X-2Z 3X+6(9X-2Z)-5Z=1 3X+54-6X-12Z-5Z=1 4Y=1-2X+3Z -3X-17Z+53=0 Y= (2)3X+6 6X+3-6X+9Z-10Z-2=0 - Z+1=0 y 3X=36 Z=1 X= X=12 Y=9-X-2Z Y=9-12-2(1) Y=9-2-2 Y=5 15. Algebra de Baldor Ejercicio 1 Pág. 179 16)DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS d= d= d= d= 4 5 4 5 1 2 -2 3 4 - 3 -45 6 1 2 3 4 5 78 Y 1 2 3 5 4 6 7 8 (4,5) (3, 2)
  85. d= 16. Inventado por Jamilex Rodrìguez 17) CONJUNTO En una empresa de servicio medioambiental va ampliar su red comercial, y por ello necesita incorporar a 25 comerciales. La empresa requiere fundamentalmente personas que posean, al menos una de las características siguientes. a) Alguna experiencia en el área de ventas b) Formación técnica c) Conocimientos en ingles En concreto, la empresa ofrece 12 plazas para lo de la característica a) 14 para los de la característica b) 11 plazas para los de las características para los de las características c) ahora bien, la empresa quiere que 5 comerciales posean la característica a) y b), que 3 comerciales posean a) y c), que 6 comerciales posean b) y c). Se pregunta 1) ¿Cuántos de esos 25 comerciales quiere la empresa que posean las tres características citadas? 2) ¿A cuántos comerciales se les exige nada más que la característica: tener conocimiento de inglés? 3) ¿Cuántos tiene alguna experiencia en ventas y tienen conocimiento de inglés, pero no tienen formación técnica? 4) ¿Cuántos comerciales tienen nada más que una de las características pedidas? SOLUCIÓN N(V)+N(T)+N(I)-N(V.T)-N(V.I)-N(T.I)+(V.T.I) 25=12+14+11 5 3 6N(V.T.I) 25-23+N(V.T.I)
  86. Así pues, N(V.T.I.=2 lo que quiere decir que la empresa requiere a dos personas con conocimiento de inglés, formación técnica y alguna experiencia en la área de ventas. Se exige tener conocimientos de inglés nada más que a 4 personas, es decir, esas cuatro personas no tienen por qué tener formación técnica, ni experiencia en ventas. Hay una persona con conocimientos de inglés y con experiencia en ventas, pero no tiene formación técnica 6 con experiencia en ventas 5 con formación técnica 4 con conocimiento de ingles 15 comerciales tienen nada más que una de las características pedidas 17. Libro Fundamento de Matemáticas para bachillerato ESPOL (Pág. 135) 18. ENCONTRAR LA REGIÓN SOMBREADA Re T V I <<<<<<<< <<<< 5 2 3 0 5 2 8 4 41 B A C 1 2 8 9 12 5 3 4 10 76 1 1
  87. A= {4, 5, 6, 7, 8} B= {1, 3, 7, 8, 10, 11} C={4, 5, 6, 7, 8} C-A={2,3,9, 10} (C-A) A-B{4, 5, 6} [(C-A) {3, 4, 5, 6, 10} 13: Conjuntos Considere el Re = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10 Y los conjuntos A B = 1, 2, 7 (B C) - A = 8, 9 (A B C) c = 5, 6 N (A)= N (B) = 6 Entonces es verdad que A: 1, 2, 3,4, 5 B: 5, 6, 7 Re:
  88. C: N (A C) = 2 D: (B C) U (A C)
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