最急降下法で制約つき最適化問題を解いてみた

きっかけ
解法
結果
.
.
最急降下法で
制約つき最適化問題を解いてみた
Kazuhiro HISHINUMA (@kazh98)
明治大学情報科学科数理最適化研究室
at 私立・プログラミング 2013 (8/18)
Kazuhiro HISHINUMA (@kazh98) 最急降下法で制約つき最適化問題を解いてみた

きっかけ
解法
結果
研究室紹介で・・・

きっかけ
解法
結果
研究室紹介で・・・
数理計画問題の例（生産計画）
2種類の原料 M1,
M2

から、3種類の製品P1,
P2,
P3

を生産し、利潤を最大にしたい。

決定変数：P1,
P2,
P3

の生産量
（トン） → 最大化

条件：

P1

P2

P3
利用可能量

(トン)

M1

(トン)
3

5

2

500

M2 (トン)

2

7

4

400
利潤 (万円/トン)

4

5

3

きっかけ
解法
結果
おぺにゃん
解いてっ( ・ヮ＜)-♡

きっかけ
解法
結果
おぺにゃん
「

きっかけ
解法
結果
おぺにゃん
「x1 = 150, x2 = 0, x3 = 25」

きっかけ
解法
結果
＼終了／

きっかけ
解法
結果
ということで、
1
最適化ソルバ lp-solve

きっかけ
解法
結果
おぺにゃんが飛び道具1を
持ちだして悔しいので、
1

きっかけ
解法
結果
おぺにゃんが飛び道具1を
持ちだして悔しいので、
Schemeで解き返そう！！
1

きっかけ
解法
結果
制約なし最適化問題
制約あり最適化問題へ
射影の定義
手元にあるのは・・・1
1
PC 絶不調のためウェブが使えない！！

きっかけ
解法
結果
射影の定義
手元にあるのは・・・1
の解法のみ
1
PC 絶不調のためウェブが使えない！！

きっかけ
解法
結果
射影の定義
最急降下法
Minimize f(x) に対して，
x(n+1) = x(n) −λ(n)∇f(x(n))
lim
n→∞
λ(n)
= 0 だと嬉しいなぁ・・・

きっかけ
解法
結果
射影の定義
方針は・・・

きっかけ
解法
結果
射影の定義
方針は・・・
飛び出た部分を
ぶっ叩け！！！

きっかけ
解法
結果
射影の定義
制約つき最適化問題に対する最急降下法
Maximize f(x) のために，
λ(n)
= 1
(n+1)
0.45 として，
x(n+1)
= P2
(
P1
(
P0
(
x(n)
+ λ(n)
∇f(x(n)
)
)))
P0 は題意からの条件 x ∈ R3
+ に，
P1 は制約条件① 3x1 + 5x2 + 2x3 ≤ 500 に，
P2 は制約条件② 2x1 + 7x2 + 4x3 ≤ 400 に，
それぞれ対応。

きっかけ
解法
結果
射影の定義
題意からの条件
P0(x) =


max{0, x1}
max{0, x2}
max{0, x3}


P0 は x ∈ R3
+ に対応

きっかけ
解法
結果
射影の定義
制約条件①
3x1 + 5x2 + 2x3 > 500 のとき，
a = 3, b = 5, c = 2, d = 500 として，
P1(x) =
1
(abc)2
{
(ab)2
+ (bc)2
+ (ca)2
}
× (ax1 + bx2 + cx3 − d)


a
b
c


3x1 + 5x2 + 2x3 ≤ 500 であれば，P1(x) = x

きっかけ
解法
結果
射影の定義
制約条件②
2x1 + 7x2 + 4x3 > 400 のとき，
a = 2, b = 7, c = 4, d = 400 として，
P2(x) =
1
(abc)2
{
(ab)2
+ (bc)2
+ (ca)2
}
× (ax1 + bx2 + cx3 − d)


a
b
c


2x1 + 7x2 + 4x3 ≤ 400 であれば，P2(x) = x

きっかけ
解法
結果
x1, x2, x3 各値
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 100 200 300 400 500 600 700 800
x1
x2
x3

きっかけ
解法
結果
目的関数値
0
100
200
300
400
500
600
700
0 100 200 300 400 500 600 700 800
value

きっかけ
解法
結果
結果まとめ
10000 回の反復計算で，
x =


150.095
0.000
24.887

 , f(x) = 675.042
17.0 秒 on 2.3GHz Intel Core i5

きっかけ
解法
結果
最適化ソルバになんか、
負けないんだからねっ！！
(震え声)

きっかけ
解法
結果
Thanks for
Your Listening!

最急降下法で制約つき最適化問題を解いてみた

Recommended

Recommended

More Related Content

More from Kazuhiro Hishinuma

More from Kazuhiro Hishinuma (14)

最急降下法で制約つき最適化問題を解いてみた