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Position Based Fluids Simulation Techniques
- 1. Position Based Fluids SIGGRAPH 2013 2013/06/11 ked
- 2. Authors Miles Macklin, Matthias Muller
- 3. Overview Smoothed particle hydrodynamics (SPH) Scalar density constraint Position based dynamics (PBD) Artificial pressure & Vorticity confinement Position based fluids
- 4. Overview Smoothed particle hydrodynamics (SPH) Scalar density constraint Position based dynamics (PBD) Artificial pressure & Vorticity confinement Position based fluids
- 5. Smoothed particle hydrodynamics “Particle-Based Fluid Simulation for Interactive Applications” M. Muller, D. Charypar, M. Gross Symposium on Computer Animation 2003
- 15. Surface tracking Marching cubes Point splatting upsampling
- 16. Overview Smoothed particle hydrodynamics (SPH) Scalar density constraint Position based dynamics (PBD) Artificial pressure & Vorticity confinement Position based fluids
- 17. Traditional approaches to simulation 1. All forces are accumulated 2. Using the density, the forces are transformed into accelerations 3. Compute velocities from the accelerations and then positions from the velocities
- 19. Euler’s method
- 20. Problems of Euler’s method
- 21. Stability “Position Based Dynamics” M. Muller, B. Heideberger, M. Hennix, J. Ratcliff Workshop in Virtual Reality Interactions and PHYsical Simulation (VRIPHYS) 2006
- 22. Framework
- 23. Framework
- 24. Implicit / explicit “The integration does not fall clearly into the category of implicit or explicit schemes.” 1 iteration: explicit More iteration: implicit
- 25. Advantages “The scheme is unconditionally stable.” Steps (13) and (14) do not extrapolate blindly into the future as traditional explicit schemes do
- 26. Numerical computing The same as “Position Based Fluids”
- 27. Overview Smoothed particle hydrodynamics (SPH) Scalar density constraint Position based dynamics (PBD) Artificial pressure & Vorticity confinement Position based fluids
- 28. Density constraint : target density “Constraint Fluids” K. Bodin, C. Lacoursiere, M. Servin TVCG 2011
- 29. Comparison
- 30. Overview Smoothed particle hydrodynamics (SPH) Scalar density constraint Position based dynamics (PBD) Artificial pressure & Vorticity confinement Position based fluids
- 31. Density constraint : : target density
- 34. Final equation
- 36. Results – performance Frame time = 16ms
- 37. Surface tracking Anisotropic kernel “Reconstructing Surfaces of Particle-Based Fluids Using Anisotropic Kernels” J. Yu, G. Truk TOG 2013
- 38. Overview Smoothed particle hydrodynamics (SPH) Scalar density constraint Position based dynamics (PBD) Artificial pressure & Vorticity confinement Position based fluids
- 41. Demo 128k particles, 2 steps/frame, 3 iters/step
- 42. Thx.
Notes de l'éditeur
- 大家好，我是 ked ， 我今天要介紹的是發表在 SIGGRAPH 2013 的論文， Position Based Fluids ， 他們的方法大幅地提升了流體模擬的 time step ， 使得 real-time 的流體模擬成為可能。
- 本文的作者都是 nVIDIA 的員工，負責開發 PhysX ， 第一作者 Macklin 是 programmer ； 第二作者 Muller 則是他們的 research lead 。
- 這是我的 outline ， 會依照歷史的順序來介紹 Position based fluids 的演化， 其中 SPH 和 PBD 都是 Muller 提出來的方法， 後來加入了 density constrain 才變成現在的結果。
- 我們先從 SPH 說起。
- 查字典 hydrodynamics 是流體力學的意思， 不過弔詭的是，雖然 SPH 在 1977 年就已經被提出， 但是一開始它是被應用在星球運行的模擬上， 然後是被運用在火、氣體、和軟性物體等等， 直到 2003 年， Muller 才針對流體在做處理。
- SPH 也是一種 particle system ， 它把要模擬的 system 用大量的 particles 去逼近它， 每個 particle 有自己的特性，譬如質量、位置、速度、和生命周期等， system 的整體行為就可以由這些 particles 推斷出來。
- Particles 之間可以有互動，也可以沒有互動， 例如水花，因為 particles 之間沒有互動，所以可以做快速的模擬， 但是一般的流體它的 particles 是會互相牽制影響的， 這時候為了加速模擬，通常會給 particles 設定一個區域性， 區域以外就沒有影響力。
- SPH 是 particle system 的延伸， 就像剛剛講的，每一個 particle 的影響力是根據 kernel function 來決定。
- 這樣一來，這些 kernel function 就可以內插出一個 smooth 的 field ， 相對於 particle 的質量，我們將這個 field 稱為 density 。
- 有了 density 之後，各個位置的 attribute 都可以內插求得； 另外 attributes 的 gradient 也可以內插得到， 不過不同的是，這次是內插 kernel function 的微分。
- 接著就要利用這些內插得到的 attributes 求解 Navier-Stokes equation 。 上面這個式子是不可壓縮流的 Navier-Stokes equation ， 因為 particles 都隨著流體在動，所以式子左邊的對流項可以忽略掉， 然後改寫成 dv/dt ，也就是加速度 a 。 式子的右邊則是各種力的描述， Pg 是重力；第二項是壓力；最後一項是黏滯力。 所以整個 Navier-stokes equation 用 SPH 來求解， 就會退化到我們熟悉的牛頓第二定理 f = ma ， 這裡的 m 就是 density 。 先用 SPH 求得 f 和 density 之後，可以算出 a ； 用 a 更新 SPH ，然後再算出 f 和 density ， 如此疊代下去。
- 各個力都可以用 SPH 求出， 因為他們要求 particles 之間的作用力是對稱的， 所以壓力的內插方式如中間的式子所示。 而壓力和密度成正比， 所以 pi = k pi 。
- 重力不需要改寫； 黏滯力則如同壓力的形式。
- 用 SPH 模擬之後，還是要把 surface 畫出來， 他們提到了 2 個可行的方法， 分別是 marching cubes 和 splatting ， 各有各的優缺點，結果如圖所示。
- 接下來要介紹 PBD 。
- 如同之前的投影片所說的， 傳統模擬的計算方式大概都是這幾個步驟： 首先先算出所有外部和內部的力； 然後用受力推算出加速度； 最後再由加速度反推回速度，再由速度得到最後的位置。
- 由加速度得到速度，或由速度得到位置，其實都是對時間的積分。 假設要由速度積分位置， 如果把時間和速度當成座標軸，那就會形成一個向量場， 而向量場中的路徑就會是速度積分的結果。
- 以前的方法遇到的問題就是， 積分的結果受到 time step 很大的影響， 如圖所示，不同的 time step 會產生不同的路徑。
- 這樣的影響可以歸納成兩大類， 第一種是，積分的結果是錯的； 第二種則是，積分的結果不穩定，像圖這樣亂跳。
- Muller 2006 年發表在 VRIPHYS 的文章就是要解決不穩定的問題， 事後來看，這一篇文章其實很重要， 它對所有的動態系統提供個一個計算上的 framework ， 也詳細說明了可行的最佳化方式， Position Based Fluids ，用的其實就是它的計算方法。
- 這就是它提出的 framework 。
- 他們主要的想法就是， 將原本外插的動作改變成： 先做最佳化的預測，然後再做內插。
- 做模擬的人時常會問的一個問題是， algorithm 是 implicit method 還是 explicit method ， 一般來說 implicit method 因為考慮了現在與下一個 time step ， 所以 time step 可以拉大，模擬也會比較準。 那他們的方法是屬於 implicit 還是 explicit 呢， 根據作者的說法， solver iteration 如果只有一次，就越接近 explicit function ； 如果越多，就越接近 implicit function 。
- 就像剛剛講的， 這個方法改善了傳統方法的穩定性， 但是並不能保證模擬的正確性， 不過穩定性這個因素已經讓它在遊戲界和動畫界成為受歡迎的方法。
- 至於他們的計算方式， 我把它留到介紹 Position Based Fluids 的時候再來說明。
- Muller 雖然在 PBD 提出了計算的 framework ， 不過不同的物體用到的 constraint 也必須跟著改變， 他在文章中雖然有說明如衣服和鋼體的模擬， 卻沒有提到流體， 這一部分到了 density constraint 才將它補足。
- 2011 年 Bodin 在 TVCG 發表了一篇名為 Constraint Fluids 的文章， Bodin 在文章中首次提到以固定的 density 作為流體模擬的 constraint ， 並且完全取代了 Navier-Stoke equation 。
- 這是他們跟 SPH 的比較， 流體的 density 應該是固定的， SPH 模擬的結果，越深的地方 density 卻會越來越大； 而他們的方法卻可以維持一致性。
- 在這裡我先講 Position Based Fluids 在計算上所做的改進， 然後再講其他加入的因素。
- Position Based Fluids 就是以固定的 density 作為 constraint ， 計算上則是沿用 PBD 的方式。 P1 到 Pn 是 particles 的位置； C 則是它的 constraint ， density 為常數， 所以當 particle 在適當的位置時，相減等於 0 。
- 這個 constraint 可以用一次的泰勒展開去逼近。
- 然後再用牛頓法來求解 delta p 。 牛頓法是沿著方程式的 gradient 去找最佳解， 所以 delta p 可以用 C 的一次微分乘上一個常數項取代。 C 的一次微分可以用 SPH 的方法計算， 因此可以得到 particles 的位移常數如下所示。
- 最後做一個總結， 他們 particles 位置的計算其實很簡單， 得到位移常數 s 之後， 再兩兩計算 particles 之間的改變量，就可以得到最後的結果。
- 另為值得一提的是， 模擬後 surface 的繪製，他們是用 anisotropic 的 kernel 來重建。
- 純粹 Position Based Fluids 的計算結果還有一些可以改進的地方， 他們使用 artificial pressure 和 vorticity confinement 來修正。
- Artificial pressure 是在改善 particle 過於稀疏的時候所發生估算不正確的問題，加入這個 term 之後會加強 surface tension 的效果，如圖所示。