計算幾何入門
Androidアプリでの応用
東海大学
大西建輔

自己紹介
 大西建輔(おおにし
けんすけ)
 興味のある分野
 データ構造とアルゴリズム(特に計算幾何)
 データベース(索引構造, データ工学)
 iPhoneアプリやAndroidアプリの作成(学生と)
 パズル・ゲーム関係
問題自動生成やクライアント作成(学生と)

目次
1. 右か左か？
⇒ 線分のどちら側に点があるかを判定
2. どこで交わっている？
⇒ 多数の線分があるとき,
交差している組を発見
3. 中か外か？
⇒ 多角形の内部に点が含まれるかを判定
4. 近くのトイレは？
⇒ 平面上に多数の点がある.
問合せ点がどの点に近いかを判定

右か左か？(1)
 学生作成アプリ
 出発地点と到着地点を指定
 Google乗換案内から経路
データを取得
 曲がる場所とそれを結ぶ
線分を描画
 曲がる場所に近づくと
どちらに曲がるかを提示
曲がる場所⇒点,
経路
⇒線分(辺)
計算幾何の対象！

右か左か？(2)
a (a.x,a.y)
[問題] 点は線分に対し
どこにあるか
c'
c (c.x, c.y)
入力: (向きあり)線分と点
出力: 右側か、左側か、
線分を含む直線上か
b (b.x, b.y)
c’’

符号付面積(三角形の面積)
a (a.x,a.y)
3点 a, b, cが
 反時計周りに並ぶ ⇒正
 時計回りに並ぶ
⇒負
 同一直線上にある ⇒ 0
という値をとる.
a.x a. y 1
-
c(c.x,c.y)
+
c'
b(b.x,b.y)
1
1
b.x b. y 1  (a.x - c.x)(b. y - c. y )  (b.x - c.x)(c. y - a. y ) 
2
2
c.x c. y 1

どこで交わっている？(1)
画像管理アプリ(作成中)
斜めから取ったスクリーン
を長方形に
 画像から線分を抽出
 線分から四角形になる
ものを探す
 線分のふるい落とし
 真ん中にある線分 ×
 中心付近で交差してい
る線分 ×
線分の交差は？
計算幾何の対象！

どこで交わっている？(2)
交差とは
a
2線分が交差
d
⇔ 一方の線分の点が
他方に含まれる.
(線分に端点は含まれる)
例えば,
1. 線分を含む2直線から
交点を計算
c
b
a
d
b
2. 交点が線分に含まれる
か判定
c

どこで交わっている？(3)
符号付き面積による交差判定
a
2線分が交差
⇔ 線分abに対し, 点c,dが
線分abの異なる側
かつ
線分cdに対し, 点a,bが
線分cdの異なる側
d
c
b
a
符号付き面積で計算可能
△cda, △cdb の積が負
d
b
[同一直線上の場合]
x座標かy座標が2点間に
入っているか？
c

どこで交わっている？(4)
Point2G.Class Javaでの実装
public double signedArea(Point2G second, Point2G third){
double x2=second.x; double y2 = second.y;
double x3 = third.x; double y3 = third.y;
return (x-x3)*(y2-y3)+(x2-x3)*(y3-y);
Segment.Class
}
public boolean onSegment(Point2G point){
return point.between(top, bot);
}
public double isRight(Point2G point){
return top.signedArea(bot, point);
}
public boolean intersect(Segment seg){
if (onSegment(seg.top) || onSegment(seg.bot)
|| seg.onSegment(top) || seg.onSegment(bot)) return true;
else if ((isRight(seg.top)*isRight(seg.bot)<0)
&& (seg.isRight(top)*seg.isRight(bot)<0)) return true;
else return false;
}

どこで交わっている？(5)
n本の線分の交差判定(問題)
[問題]
n本の線分が与えられてい
る場合に, 交差する線分
の組を全て計算する.
入力: n本の線分
出力: 交差する線分の組
全ての線分の組をチェック
O(n2)時間

どこで交わってる？(6)
n本の線分の交差判定(アイデア)
平面走査法
水平線(走査線)を上から下に移動し, 変化が
起こる場所を探す
イベント
⇒ 連続である必要はない.
計画
⇒ 変化は, 交点でのみ発生.
走査線計画
走査線と線分の交差状況を表すデータ構造
⇒ 線分の状態を保持. この中で, 隣り合う
線分の交差判定のみをおこなう.

どこで交わっている？(7)
アルゴリズムの動作 ヒープ作成
S1 1
S5
ヒープ H
5
1
1
S3
2
3
1
S2 2
5
2
4 S4
4
3
2
3

どこで交わっている？(7)
アルゴリズムの動作 ヒープ作成
S1 1
S5
ヒープ H
5
1
3
S3
2
3
1
S2 2
5
4
2
4 S4
4
3
2
1
5
3
4

どこで交わっている？(8)
アルゴリズムの動作 ヒープ作成
S1 1
S5
ヒープ H
5
1
S3
3
1
S2 2
5
2
3
5
3
2
1
4 2 5
4 S4
4
イベント
計画
3
4

どこで交わっている？(7)
アルゴリズムの動作 (上端点の場合)
S1 1
S5
ヒープ H
5
5
S3
3
5
2
3
1
二分探索木 T
4 S4
4
3
2
3
4 2 5
1
S2 2
1
１
4

どこで交わっている？(7)
アルゴリズムの動作 (上端点の場合)
S1 1
S5
ヒープ H
5
3
2
S3
3
4
1
S2 2
5
5
2
1
5
二分探索木 T
2
3
交差判定
１
5
4 S4
4
4
3
出力 (S1,S5)

どこで交わっている？(7)
アルゴリズムの動作 (交点の追加)
S1 1
S5
ヒープ H
5
1
S3
15
3
5
2
2
5
二分探索木 T
2
3
１
5
4 S4
4
4
3
4 15
1
S2 2
3
出力 (S1,S5)

どこで交わっている？(7)
アルゴリズムの動作 (交点の追加)
S1 1
S5
ヒープ H
5
3
S3
15
3
5
5
二分探索木 T
2
4 S4
4
1
2
3
4
3
4 2
1
S2 2
15
5
出力 (S1,S5)
１
5

どこで交わっている？(7)
アルゴリズムの動作 (交点の追加)
S1 1
S5
ヒープ H
5
1
3
5
2
5
二分探索木 T
2
4 S4
3
4
3
4
1
4
2
S3
15
S2 2
3
5
出力 (S1,S5)
交差判定
１
3

どこで交わっている？(7)
アルゴリズムの動作 (下端点の場合)
S1 1
S5
ヒープ H
5
5
S3
15
3
1
S2 2
5
1
2
2
4
二分探索木 T
2
3
交差判定
5
3
4 S4
4
4
3
出力 (S1,S5)

どこで交わっている？(7)
アルゴリズムの動作 (上端点の場合)
S1 1
S5
ヒープ H
5
5
S3
15
3
S2 2
1
25
5
2
3
2
4
4
二分探索木 T
4 S4
4
2
交差判定
2
25
3
5
3
出力 (S1,S5) (S2,S5)

どこで交わっている？(7)
アルゴリズムの動作 (終了)
S1 1
S5
ヒープ H
5
3
4
3
S3
15
3
S2 2
1
25
5
4
二分探索木 T
23 2
34
3
4 S4
3
4
3
出力 (S1,S5) (S2,S5) (S2,S3)
(S3,S4)

どこで交わってる？(8)
n本の線分の交差判定(アルゴリズム)
1.
線分の端点を y座標をキーとしてヒープHに挿入;
2.
二分探索木 T を空にする;
3.
While (Hが空でない) do
1.
H から最大要素 pを取り出す;
2.
p が線分 l の上端点 ⇒ l を T に挿入;
T で lと隣接する2本の線分と l に交点があれば出力;
交点を新しい線分の上端点として, H に入力;
3.
p が線分 l の下端点 ⇒ l を T から削除;
l の削除で隣接する線分の間に交点があれば出力;
交点を新しい線分の下端点として, H に入力;

どこで交わっている？(9)
アルゴリズムの性能
[定理] (Bently-Ottmann, 1979)
n本の線分に対して, 全ての交差を
O((n+k)log n)時間で計算可能. ただし, k は交点数.
[証明]
 “隣り合った線分だけが交差”かつ“全ての隣接
関係を調査“⇒ 全ての交点を出力
 イベント点の数は, O(n+k) 個
 各イベント点で
 二分探索木への挿入, からの削除, ヒープからの取り出し,
挿入が行われる. どの操作も O(log n) 時間必要.

交点数が k  Wn2) となる例
n/2本
n/2本

どこで交わっている？(10)
さらに速いアルゴリズム
[定理] (Chazelle-Edelsbrunner, 1992)
n本の線分の集合に対して, 全ての交差を
O(nlog n + k) 時間で計算可能.
ただし, k は交点数.

中か外か？(1)
学生作成アプリ
 タブレットに自由に描画(軌跡を赤く表示)
 傾けながら, 黒いボールをスタートからゴールへ
ただし, 赤の外側にボールを出すと終了.
 軌跡は多角形と見なせる
⇒ ボールの重心が多角形内部に入っているか？

中か外か？(2)
問題設定
[入力] Q: 多角形, n頂点
p: 点
[出力] Q の内部にpが含
まれているかどうか？
p
多角形Qは, 点の配列
(p0,p1, …, pn-1)
と表現
p’

中か外か？(3)
ジョルダンの閉曲線定理
自己交差のない
始点と終点が同じ曲線,
[定理]
(ジョルダンの閉曲線定理)
c: 平面上の単純閉曲線
cにより, 平面は閉曲線の
内部と外部に分割される

中か外か？(4)
アイデア
点 pをある方向に移動
⇒ 内部から外部も
外部から内部も
必ず辺を通る
⇒ 中ならば, 奇数回
外ならば, 偶数回
交差あり.
p
p’

中か外か？(5)
アルゴリズム
[入力] p: 点,
Q : 単純多角形, (p0,p1, …, pn-1)
[出力] p が Qに含まれるかどうか?
l : pからでる半直線(どの方向でもよい)
1. Qの全ての辺 pi pi+1 とl の交差の回数を計算
2. もし, 回数が奇数ならば, 内部の点
そうでなければ, 外部の点
…… 時間計算量 O(n)時間

多角形の
内部が
凸集合
中か外か？(6)
凸多角形の場合
p’
[入力] p: 点,
Q: 凸多角形, (p0,p1,…, pn-1)
1. △gp0p1の符号付き面積を
計算. 符号をsign;
2. △gpi pi+1に対し, 符号付き
面積を計算.
もし, signと符号が違う
⇒ 内点でない.
3. 全ての三角形が同符号
⇒ 内点
計算時間 ……O(n)時間
4
3
5
p
6
2
1
7
0

中か外か？(5)
凸多角形の場合, 前準備あり
 凸多角形を錐に分割
p’
4
 重心gを計算
 gから各頂点への
偏角を計算
3
5
p
 偏角をキーとし,
二分探索木で管理
構成時間…O(n log n)時間
g
6
2
6
4
3
1
0
5
7
7
1
2
0

中か外か？(6)
凸多角形の場合、検索
 検索時
p’
4
 点pのgからの偏角を計算
 偏角をキーにpが含まれ
る錐を探索
3
5
p
 gと同じ側なら内点,
そうでないなら外点
計算時間……O(log n)時間
g
6
2
6
4
3
5
p
1
0
7
7
1
2
0

近くのトイレは？(1)
 多目的トイレマップ
http://wc.m47.jp/
 みんなで作るトイレ
マップ(Androidアプリ)
 〇〇トイレマップ
……
 東海大のトイレマップ
を作成中

近くのトイレは？(2)
ボロノイ図
 それぞれの点に最も
近い領域で分割
 自然界に多く存在
人間の皮膚,蜂の巣,
砂浜の模様
 様々な分野で応用
社会学, 数学, 生物学,
物理学, 考古学など

近くのトイレは？(3)
最近点の検索
1. 点を適当に選ぶ. この点と問
合せ点 qとの距離を計算;
2. 隣り合った領域の点とq
との距離を計算;
3. If (最初の距離が最も小さい)
then 最近点を発見
else もっとも距離の小さな
点に移動. Step 2へ
q

近くのトイレは？(4)
ボロノイ図の定義
 P={p0,p1, ..., pn-1} : 点集合
 d(p,q): ユークリッド距離
ボロノイ領域
母点
 V(pi) : 点piに関する
ボロノイ領域
V ( pi )    x | d ( x, pi )  d ( x, p j )
j i
 V(pi) (i=1,.., n)をボロノイ
図と定義. V(P)と表現
ボロノイ辺
ボロノイ頂点

近くのトイレは？(5)
ボロノイ図の性質
 ボロノイ領域は凸
 ボロノイ頂点は
3つのボロノイ辺の交点
 ボロノイ頂点を中心とする円は,
対応する3頂点以外を含まない
 piがpjに最も近い母点
⇒ V(pi)とV(pj)は隣接
 n点に対するボロノイ図
 高々2n-5個のボロノイ頂点
 高々3n-6本のボロノイ辺

近くのトイレは？(6)
ボロノイ図の構成法(分割統治法)
1.
n点集合 Sを x座標の中央値でSl, Srに分割;
2.
V(Sl)とV(Sr)を再帰的に構成;
3.
Sl と Srを分離する折れ線列sを構成;
4.
sの左にあるV(Sr)の辺, sの右にあるV(Sl)の辺
を全て除去 ⇒ 残った構造が V(S)
T(n) : このアルゴリズムの計算時間
もし, Step3, 4が O(n)時間で終了するならば,
T(n) = 2T(n/2)+O(n)
が成立. よって,
T(n)=O(n log n)

[定理]
pl pr : sの左右側の平面
V(S)は, V(Sl)∩pl と V(Sr)∩pr の和集合
Sl
Sr
Sl
Sr

近くのトイレは？(7)
ボロノイ図の構成法(折れ線列)
s(Sl,Sr) : V(S)の辺で, V(pi),
V(pj)に共有される辺.
ただし, pi  Sl, pj  Sr
補題 s(Sl,Sr) は線分の列
となる. それをsと書く
補題 sは単調な折れ線列
y座標が必ず減少している)
Sl
Sr

近くのトイレは？(7)
ボロノイ図の構成法(折れ線列)
e t1
pl
er
el
t2
pr

近くのトイレは？(7)
ボロノイ図の構成法(折れ線列)
e t1
pl
er
el
t2
pr

近くのトイレは？(7)
ボロノイ図の構成法(折れ線列)
e t1
pl
er
el
t2
pr

近くのトイレは？(7)
ボロノイ図の構成法(折れ線列)
e t1
pl
er
el
t2
pr

近くのトイレは？(7)
ボロノイ図の構成法(折れ線列)
e t1
pl
er
el
t2
pr

折れ線列sの構成
y(e,e') : 直線e,e'の交点のy座標
1. 上部外接線 t1と下部外接線 t2を計算
pl (pr) : Sl (Sr)の上部外接線に含まれる点
el , er : t1と交わるV(pl), V(pr)の辺
e に pl と prの垂直二等分線を代入
2. do
1.
while (eとelが交わらない) elに時計回りで次の辺を代入
2.
while (eとerが交わらない) erに反時計回りで次の辺を代入
3.
if ( y(e, el) > y(e, er) ) plにelのもう一つの母点を代入
else prにerのもう一つの母点を代入
4.
eに plと prの垂直二等分線を代入
while (plprの垂直二等分線 ≠ t2)

[補題] 折れ線列sはO(n)時間で構成できる.
(証明)
sのサイズ: O(n)
Step 1. 縮小法で傾きの中央値
を計算…O(n)時間で計算可能
Step2. 二重のwhile文
⇒全体で, どの辺も高々2回
しか交差判定されない.
⇒ O(n)時間で計算可能
Sl
Sr

最後に
 計算幾何(特に2次元)の対象は, 様々なところで利
用可能
 線分, 交差, ボロノイ図(今日の話)
 凸包, デローネ三角形分割, アレンジメント,
区分木, パラメトリック探索など
 ライブラリとして, CGAL, LEDA, Boost
Geometry, OpenCVなどもあり.
 Androidアプリを作るのは結構面白い.
 (アルゴリズム+Androidアプリの本でも)