1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
ตรีโกณมิติ
(เนื้อหาตอนที่ 7)
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
โดย
รองศาสตราจารย์ จิตรจวบ เปาอินทร์
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง ตรีโกณมิติ
สื่อการสอน เรื่อง ตรีโกณมิติ มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 15 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
2. เนื้อหาตอนที่ 1 อัตราส่วนตรีโกณมิติ
- สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและทฤษฎีบทพีทาโกรัส
- อัตราส่วนตรีโกณมิติ
- อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60
3. เนื้อหาตอนที่ 2 เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติและวงกลมหนึ่งหน่วย
- เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
- วงกลมหนึ่งหน่วย การวัดมุม และหน่วยของมุม
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริงและของมุม
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
- ความแตกต่างและความสัมพันธ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
กับฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคต่าง ๆ
6. เนื้อหาตอนที่ 5 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวก และผลต่างของมุม
- สูตรผลคูณ ผลบวก และผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
7. เนื้อหาตอนที่ 6 กฎของไซน์และกฎของโคไซน์
- กฎของไซน์
- กฎของโคไซน์
8. เนื้อหาตอนที่ 7 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- การเปิดตารางหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
9. เนื้อหาตอนที่ 8 ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
- สมบัติและความสัมพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
8. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
9. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
10. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3)
11. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 4)
12. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
13. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง มุมบนวงกลมหนึ่งหน่วย
14. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
15. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กฎของไซน์และกฎของโคไซน์
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรีโกณมิติ
นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่น ๆ ที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว
ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้า ยของ
คู่มือฉบับนี้
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตรีโกณมิติ (กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 7 (7 / 8)
หัวข้อย่อย 1. การเปิดตารางหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
2. กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. สามารถหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติจากการเปิดตารางได้
2. สามารถเขียนกราฟฟังก์ชันตรีโกณมิติได้
3. เข้าใจสมบัติต่าง ๆ ของฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยพิจารณาจากกราฟได้
ผลการเรียนรู้
ผู้เรียนสามารถ
1. หาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติจากการเปิดตารางได้
2. เขียนกราฟฟังก์ชันตรีโกณมิติได้
3. หาแอมพลิจูดและคาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติได้
4. เขียนกราฟของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ เมื่อกาหนดแอมพลิจูดและคาบมาให้ได้
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาทั้งหมด
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. การเปิดตารางหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. การเปิดตารางหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ในการเขียนกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้น เราต้องทราบค่าฟังก์ชันของมุมต่าง ๆ หรือของค่าจริง
ต่าง ๆ กันก่อน และตอนนี้นักเรียนได้ศึกษาสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหลายมาพอสมควรแล้ว จะเห็น
ได้ว่าค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมต่าง ๆ หรือของค่าจริงต่าง ๆ สามารถหาได้จากค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

ตังแต่ 0 ถึง 90 หรือ ของค่าจริงตั้งแต่ 0 ถึง
้ ซึ่งแสดงในตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้
2
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
วิธีอ่านค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติจากตาราง
ต่อไปเป็นตัวอย่างการเปิดตารางหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ถ้าตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ ไม่มีค่าที่เราต้องการ เราสามารถหาค่าได้ดังตัวอย่างต่อไปนี้
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
 
ต่อไปเป็นตัวอย่างการหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริงที่อยู่ในช่วง  0, 2 
 
ที่ผ่านมา เราหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมหรือของค่าจริงที่กาหนดให้ แต่ในทางกลับกันเราจะหาค่ามุมหรือ
ค่าจริง เมื่อทราบค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมหรือของค่าจริงนั้น ๆ
ตอนนี้เมื่อนักเรียนหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมต่าง ๆ ได้ ก็สามารถทาตัวอย่างต่อไปนี้ได้
ตัวอย่าง ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม B เป็นมุมฉาก มุม A มีขนาด 25
และมีด้านตรงข้ามมุม A ยาว 5 เซนติเมตร จงหาความยาวด้านประกอบมุม A ทั้งสอง
5
วิธีทา C หาความยาว AB จาก tan 25 =
AB
5
5 หาความยาว AC จาก sin 25 =
AC
25
จากตารางเราได้ tan 25 = 0.4663
A B sin 25 = 0.4226
5 5
ดังนั้น AB =  11.2 เซนติเมตร และ AC =  11.8 เซนติเมตร
0.4463 0.4226
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4 
ตัวอย่าง ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มุม A มีขนาด เรเดียน มุม C มีขนาด เรเดียน
9 5
จาก A ลากเส้นตั้งฉากมายังด้านตรงข้าม พบ BC ที่จุด D จงหาความยาวด้าน AD, AC, BD และ DC
ถ้า AB ยาว 12 เซนติเมตร
A 
 4   16
วิธีทา 4
A BC =     เรเดียน
9
 9 5 45
12
 16  AD
หาความยาว AD จาก sin   
  45  12
5
C  16  BD
B D หาความยาว BD จาก cos   
 45  12
 16 
จากตารางเราได้ sin   = sin 64 = 0.8988 ดังนั้น AD  10.7856 เซนติเมตร
 45 
 16 
cos   = cos 64 = 0.4384 ดังนั้น BD  5.2608 เซนติเมตร
 45 
 AD  AD
ต่อไป หาความยาว AC จาก sin  และหาความยาว DC จาก tan 
5 AC 5 DC

จากตารางเราได้ sin = sin 36 = 0.5878 ดังนั้น AC  18.3491 เซนติเมตร
5

tan = tan 36 = 0.7265 ดังนั้น DC  14.8640 เซนติเมตร
5
ตัวอย่าง จงหาขนาดของมุมของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วซึ่งมีฐานยาว 14 นิ้ว และด้านที่เหลือยาว
ด้านละ 10 นิ้ว
วิธีทา ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มี A เป็นมุมยอด ลากจุด A ไปตั้งฉากกับ BC ที่จุด D
14  7
จะได้ BD ยาว = 7 นิ้ว จะหาขนาดของ A BC จาก cos B = = 0.7
2 10
A
จากตารางเราได้ cos 46 40 = 0.6988
10 cos 46 30 = 0.7009
ค่าโคไซน์ต่างกัน 0.0021 มาจากมุมต่างกัน –10
B 7 D 7 C
10  0.0009
ค่าโคไซน์ต่างกัน – 0.0009 มาจากมุมต่างกัน = 4.2857
0.0021

ดังนั้น A BD มีขนาด 46 30 + 4.2857 = 46 3417
มุมยอดมีขนาด 2(43 25 43) = 86 5126 และมุมที่เท่ากันมีขนาด 46 3417
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง
การเปิดตารางหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
1. จงเปิดตารางหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้
1.1 sin 75 1.2 cos 140
1.3 tan 59 1.2 cot 305
25 5
1.5 sec 1.6 cosec
24 18
1.7 sin 0.5 1.8 cos 1
2. จงหาค่ามุม  องศาในช่วง (0, 90) ที่ทาให้
2.1 sin  = 0.2588 2.2 cos  = 0.5446
2.3 tan  = 0.2 2.4 cot  =4
 
3. จงหาค่าจริง  ในช่วง  0,  ที่ทาให้
 2
3.1 tan  = 0.3249 3.2 cot  = 1.9626
3.3 sin  = 0.8 3.4 cos  = 0.3
4. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม B เป็นมุมฉาก มุม A มีขนาด 38 30 และมีด้านตรงข้าม
มุมฉากยาว 4 เซนติเมตร จงหาความยาว AB และ BC
5 
5. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มุม A มีขนาด เรเดียน มุม C มีขนาด เรเดียน จาก A ลากเส้น
9 18
ตั้งฉากมายังด้านตรงข้ามพบ BC ที่จุด D แล้ว AD ยาว 3 เซนติเมตร จงหาความยาวด้าน AB, AC,
BD และ DC
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ต่อไปจะใช้ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติจากตารางและใช้ความรู้ต่าง ๆ ที่ได้จากตรีโกณมิติตอนก่อน ๆ
ในการเขียนกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
  
ถ้านักเรียนเขียนกราฟ y = sin  x   ซึ่งก็คือการเลื่อนกราฟ y = sin x ไปทางซ้ายมือ หน่วย
 2 2
 
จะได้กราฟ y = cos x นั่นเอง ดังนั้น
sin  x   = cos x
 2
         
แต่ sin  x   = sin     x    = sin   x  จะได้ sin   x  = cos x
 2   2  2  2 
 
และทานองเดียวกันถ้าเขียนกราฟ y = cos  x   ซึ่งก็คือการเลื่อนกราฟ y = cos x ไปทางขวามือ
 2
  
หน่วย จะได้กราฟ y = sin x นั่นเอง ดังนั้น
cos  x   = sin x
2  2
         
แต่ cos  x   = cos    x    = cos   x  จะได้ cos   x  = sin x
 2   2  2  2 
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
  
ถ้านักเรียนเขียนกราฟ y = cosec  x   ซึ่งก็คือการเลื่อนกราฟ y = cosec x ไปทางซ้ายมือ หน่วย
 2 2
 
จะได้กราฟ y = sec x นั่นเอง แล้วจะได้ cosec   x  = sec x
2 
  
และทานองเดียวกันถ้าเขียนกราฟ y = sec  x   ซึ่งก็คือการเลื่อนกราฟ y = sec x ไปทางขวามือ หน่วย
 2 2
 
จะได้กราฟ y = cosec x นั่นเอง แล้วจะได้ sec   x  = cosec x
2 
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย

ส่วนกราฟ y = tan x ต้องสะท้อนกับแกน X ก่อน แล้วค่อยเลื่อนไปทางขวามือ หน่วย จะได้กราฟ
2
     
y = cot x ดังนั้น tan    x    = cot x แล้วจะได้ tan   x  = cot x
  2  2 

และทานองเดียวกัน กราฟ y = cot x ต้องสะท้อนกับแกน X แล้วเลื่อนไปทางขวามือ หน่วย จะได้กราฟ
2
     
y = tan x ดังนั้น cot    x    = tan x แล้วจะได้ cot   x  = tan x
  2  2 
ต่อไปเราจะพิจารณาสมบัติหนึ่งที่เหมือนกันของฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหลาย
สมบัติที่เหมือนกันก็คือ การเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิตที่มีคาบ หรือฟังก์ชันที่เป็นคาบนั่นเอง
ิ
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
บทนิยามของฟังก์ชันที่มีคาบ หรือ ฟังก์ชันที่เป็นคาบ (periodic function) มีดังนี้
หมายเหตุ คาบของฟังก์ชันไม่ได้มีค่าเดียว แต่เราสนใจคาบที่มีค่าน้อยสุด เพราะถ้า p เป็นคาบ
แล้ว np จะเป็นคาบด้วย เมื่อ n 
ตัวอย่าง จงหาคาบและแอมพลิจูดของฟังก์ชันต่อไปนี้
1. f(x) = 3 sin x
วิธีทา เนื่องจาก f(x) = 3 sin x = 3 sin (x + 2) = f(x + 2) ดังนั้น 2 เป็นคาบของ f
1
และแอมพลิจูด = (3 – (– 3)) = 3
2
2. g(x) = cos 3x
  2    2 
วิธีทา เนื่องจาก g(x) = cos 3x = cos (3x + 2) = cos  3  x     g  x  
  3   3 
2
ดังนั้น เป็นคาบของ g และแอมพลิจูดของ g = 1 (1 – (– 1)) = 1
3 2
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต่อไปเป็นตัวอย่างการเขียนกราฟของฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์แบบต่าง ๆ
จากตัวอย่าง 2 ข้อหลังสรุปได้ว่า
ถ้าต้องการเขียนกราฟ y = k sin (nx) หรือ y = k cos (nx)
โดยพิจารณาจากคาบและแอมพลิจูด สามารถทาได้ โดยพิจารณาในกรณีทั่วไปของค่าจริงบวก k และ n
2 1
เนื่องจาก คาบของฟังก์ชันคือ และแอมพลิจูดเท่ากับ (k – (– k)) = k
n 2
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่างการเขียนกราฟจากการหาคาบและแอมพลิจูดก่อน
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่างเพิ่มเติม
x
ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของ y = 2 cos บนช่วง [–2, 2]
2
2
วิธีทา จากสูตร y = k cos nx คาบคือ และแอมพลิจูดเท่ากับ k
n
1
จากโจทย์ n= , k=2 ดังนั้นคาบคือ 4 และแอมพลิจูดเท่ากับ 2
2
y  cos x
x
y  cos
2
x
y  2cos
2
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
1. จงเขียนกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้อย่างคร่าว ๆ
   
1.1 y = sin  x   1.2 y = cos  x  
 2  2
   
1.3 y = tan  x   1.4 y = cot  x  
 2  2
1.5 y = sin x + 1 1.6 y = cos x – 1
1.7 y = sec (– x) 1.8 y = – cosec x
2. จงหาแอมพลิจูดและคาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้
1 x
2.1 y = sin x 2.2 y = 5 cos
3 3
5x
2.3 y = sin 2.4 y = – 3 cos 3x
2
3. จงเขียนกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้อย่างคร่าว ๆ
1 x x
3.1 y = sin 3.2 y = – cos
2 2 2
x 1
3.3 y = 2 sin 3.4 y = cos x
2 2
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
23

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
24

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เอกสารอ้างอิง
1. ดารงค์ ทิพย์โยธา, เสริมความรู้มุ่งสู่โอลิมปิกคณิตศาสตร์โลกตรีโกณมิติ,
โรงพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2550.
25

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด / เนื้อหาเพิ่มเติม
26

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดระคน
1. กราฟของ y = tan x เหมือนกับกราฟของข้อใดต่อไปนี้
   
ก. y = tan  x   ข. y = cot  x  
 2  2
   
ค. y = cot  x   ง. y = cot   x 
 2 2 
2. กราฟของ y = sec (– x) ไม่เหมือนกับกราฟของข้อใดต่อไปนี้
ก. y = sec x ข. y = – sec (x – )
ค. y = – sec (x + ) ง. y = – sec x
x
3. คาบของ y = 2 sin คือข้อใด
3
ก. 6 ข. 6 ค. 3 ง. 3
4. แอมพลิจูดของ y = – 3 cos x + 1 คือข้อใด
ก. 3 ข. 6 ค. 4 ง. 7
5. กราฟต่อไปนี้เป็นของฟังก์ชันใดต่อไปนี้
 x 
ก. y = 2 cos   
 2 
ข. y = 2 sin (x + 1)
 x 
ค. y = 2 sin   1
 2 
x
ง. y = – 2 cos
2
6. กราฟต่อไปนี้เป็นของฟังก์ชันใดต่อไปนี้
 
ก. y = 3 sin  x  
 2
 
ข. y = 3 cos  2x  
 4
ค. y = 3 sin (– 2x)
 
ง. y = 3 cos   x 
2 
27

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
จงจับคู่ฟังก์ชันตรีโกณมิติในข้อต่อไปนี้
7. y = 2 cos 2x
x
8. y = cos
2
 x
9. y = 3 sin   
 2
x
10. y = 2 sin
2
กับกราฟในข้อต่อไปนี้
ก. ข.
ค. ง.
28

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด
29

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง
การเปิดตารางหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
1. 1.1 0.9659 1.2 – 0.7660 1.3 1.6643 1.4 – 0.7002
1.5 – 1.0087 1.6 1.3055 1.7 0.4795 1.8 0.5403
2. 2.1 15 2.2 57 2.3 11 18 40 2.4 14 2 12
3. 3.1 0.3142 3.2 0.4712 3.3 0.9273 3.4 1.2661
4. AB = 3.13 , BC = 2.49
5. AB = 3.19 , AC = 17.28 , BD = 1.09 , DC = 17.01
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
1. 1.1 1.2
30

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1.3 1.4
1.5 1.6
1.7 1.8
31

33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.
ข้อ 2.1 2.2 2.3 2.4
แอมพลิจูด 1 5 1 3
3
คาบ 2 6 4 2
5 3
3. 3.1 3.2
3.3 3.4
32

34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัดระคน
1. ง 2. ง 3. ก 4. ก 5. ง
6. ค 7. ค 8. ง 9. ก 10. ข
33

35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
34

36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ วมน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
35

37. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
36

38. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
37