A brief explanation of Causal Entropic Forces
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- 1. A brief explana-on of “Causal Entropic Forces” 2014/03 @_kohta 1
- 2. 目次 • Causal Entropic Forces • 意味と定式化 – Entropic Force – Entropy and Causal Entropy – Causal Entropic Force • シミュレーション • 反論と考察 2
- 3. Causal Entropic Forces • A. Wissner-‐Gross and C. Freer, Phys. Rev. LeM. 110, 168702 (April, 2013). Cameron Freer Postdoctoral Associate, MIT Brain and Cogni-ve Sciences Research Scien-st, Gamelan Labs Alexander D. Wissner-‐Gross Research Affiliate, MIT Media Lab. Ins-tute Fellow, Ins-tute for Applied Computa-onal Science, Harvard University SEAS Expert In Residence, Harvard Innova-on Lab Founder, President, and CTO, Gemedy, Inc. 3
- 4. 主張 • Causal Entropy最大化という原理を導入 • それを認めると、Causal Entropyに基づくエントロ ピー力により「知的な」行動が自発的に生起する！ • 知性の物理モデルを捉える最初の一歩！ 4
- 5. 主張 • Causal Entropy最大化という原理を導入 • それを認めると、Causal Entropyに基づくエントロ ピー力により「知的な」行動が自発的に生起する！ • 知性の物理モデルを捉える最初の一歩！ 5 間違ってるんじゃないの？ H. J. Kappen “Comment: causal entropic forces” hMp://arxiv.org/abs/1312.4185 (2013)
- 6. Entropic Force • Entropic Force – 熱力学の第二法則（エントロピー増大則）が成り立つよう に物理系の巨視的状態は自発的に変化する – そのような方向に「力」が働いたとみなすことができる – Entropic Force = 系のエントロピーが増える方向に働く現 象論的な力 拡散: 広く拡散した状態の方が状態数が多い Polymer elas-city: 丸まった状態の方が状態数が多い hMp://www.chem.ufl.edu/~itl/4411L_f96/rubber/rubber_sav.html hMp://en.wikipedia.org/wiki/Entropic_force 6
- 7. Entropic Force • （ある巨視的状態Xに対する）起こりうる様々な微視 的状態の生起確率 に対して、統計力学的エント ロピーは、 • 巨視的状態Xの変化に対するEntropic Forceは、 – Tは温度： エントロピー変化に対する力の大きさの係数 • 高温ほど力が大きい！ Pj S(X) = kB X j Pj(X) log Pj(X) F(X) = TrX S(X) 7
- 8. Entropy and Causal Entropy • 「普通の」エントロピー – ある固定した巨視的状態に対して、それを実現する微視 的状態の数を数える • 体積Vの気体 <-‐-‐> Vの中を飛び回る気体分子の取り得る状態 • Causal Entropy – 現在の状態Xから、ある将来までの状態変化経路（パス） の確率に基づいてエントロピーを定義する Sc(X, ⌧) = kB Z P(X(t)|X(0)) log P(X(t)|X(0))DX(t) 経路積分 パス確率（測度） ： X(0)から出発して経路X(t)で 時刻τだけ変化する確率 8
- 9. Causal Entropy • Causal Entropyの意味 – 現在状態Xによって将来辿り得るパスの分布が変化する （という主張） • 似たようなパスしか辿り得ない = Causal Entropy低 • 多様なパスを辿り得る = Causal Entropy高 – Time Horizon τ • 「将来を予測可能な」時間間隔 – 「知的な」系： τが大 – 「知的でない」系： τが小 – 非平衡系での関係式！ t X X’ 低Causal Entropy 高Causal Entropy τ 9
- 10. Causal Entropic Force • Causal Entropyを増大させる力 – 式展開 Fj(X0, ⌧) = Tc @Sc(X, ⌧) @qj(0) X=X0 Fj(X0, ⌧) = kB Z @P(X(t)|X(0)) @qj(0) log P(X(t)|X(0))DX(t) Z 1 1 @P(X(t)|X(0)) @qj(0) dqj(0) = 0 となるから。 ？？？ 着目する領域から出るパスの確率はゼロとするため、 特定の成分（自由度）にのみ作用する場合も考える X(t) = (q(t), p(t)) 状態変数（位相空間） 10
- 11. Causal Entropic Force • （巨視的）ブラウン運動する系を考える • 時間分割近似でパス確率を定義する qj(✏) = qj(0) + pj(0) 2mj ✏ + fj(0) + hj(0) 2mj ✏2 ガウスノイズ(分散 mjkBTr/ε2) 内力（決定論的） 微小時間 P(X(t)|X(0)) = N 1Y n=0 P(X(tn+1)|X(tn)) 11
- 12. Causal Entropic Force • Causal Entropic Force – 時刻0でのガウスノイズfj(0)に対して、その方向に力が加 わった初期条件の下で発生するパス確率P(X(t)|X(0))で決 まる重みP(X(t)|X(0)) log P(X(t)|X(0))が付いて足し合わさ れる @P(X(t)|X(0)) @qj(0) = N 1Y n=1 P(X(tn+1)|X(tn)) · @P(X(✏)|X(0)) @qj(0) = 2fj(0) kBTr N 1Y n=0 P(X(tn+1)|X(tn)) Fj(X0, ⌧) = 2Tc Tr Z fj(0)P(X(t)|X(0)) log P(X(t)|X(0))DX(t) 12
- 13. シミュレーション（著者による） • 箱の中の粒子 – 箱の周辺部はパスの多様性(variaty)が小さく、中心部は 多様性が大きい 13 Causal entropic forces, Supplemental Material: hMp://math.mit.edu/~freer/
- 14. シミュレーション（著者による） • 倒立振子 – 重力の下で倒立した状態の方がパスの多様性が大きい • ぶら下がった状態は安定停留点 14 Causal entropic forces, Supplemental Material: hMp://math.mit.edu/~freer/
- 15. シミュレーション（著者による） • 道具を使って物を取り出す 15 ・大円（動物の単純化）は自力では箱の 中の小円2を取り出すことができない ・大円の下部にある小円1（道具の単純化） を利用すると取り出すことができる ・小円2を取り出した方がパスの多様性が 高まる Causal entropic forces, Supplemental Material: hMp://math.mit.edu/~freer/
- 16. シミュレーション（著者による） • Social Coopera-on 16 ・2つの小円（動物の単純化）はそれぞれ の中円に作用する（紐を引く）ことができる ・大円は、上半分領域にいるときは直接 アクセスすることはできないが、2匹の動 物が強調して紐を引っ張ることで、下半分 領域に引っぱり込むことができる ・大円を引っぱり込めると、アクセスできる 自由度が増えるため、パスの多様性が 増す Causal entropic forces, Supplemental Material: hMp://math.mit.edu/~freer/
- 17. 反論と考察 • 問題点 – この経路積分をどうやって処理するのか？ • H. J. Kappenの反論(Dec 2013) – causal entropyは（マルコフ的）ガウスノイズの下では常に 一定であり、causal entropic forceはゼロ！ 17 Fj(X0, ⌧) = 2Tc Tr Z fj(0)P(X(t)|X(0)) log P(X(t)|X(0))DX(t)
- 18. 反論と考察 • H. J. Kappenの反論(Dec 2013) – パス確率を時間分割近似で考えると、causal entropyは 18 S(X0) = Z NY i=1 P(Xi|Xi 1) log NY j=1 P(Xj|Xj 1)dX1 · · · dXN = NX j=1 Z NY i=1 P(Xi|Xi 1) log P(Xj|Xj 1)dX1 · · · dXN = NX j=1 Z P(XN |XN 1) · · · P(Xj+1|Xj)P(Xj|Xj 1)P(Xj 1|Xj 2) · · · P(X1|X0) ⇥ log P(Xj|Xj 1)dX1 · · · dXN Z P(XN |XN 1) · · · P(Xj+1|Xj)dXj+1 · · · dXN = 1 S(X0) = NX j=1 Z P(Xj|Xj 1)P(Xj 1|Xj 2) · · · P(X1|X0) log P(Xj|Xj 1)dX1 · · · dXj なので
- 19. 反論と考察 • H. J. Kappenの反論(Dec 2013) 19 Z P(Xj 1|Xj 2) · · · P(X1|X0)dX1 · · · dXj 2 = P(Xj 1|X0) なので S(X0) = NX j=1 Z P(Xj|Xj 1)P(Xj 1|X0) log P(Xj|Xj 1)dXj 1dXj sj 1(Xj 1) = Z P(Xj|Xj 1) log P(Xj|Xj 1)dXj と定義すると S(X0) = NX j=1 Z P(Xj 1|X0)sj 1(Xj 1)dXj 1
- 20. 反論と考察 • H. J. Kappenの反論(Dec 2013) – これの値はガウスノイズによるマルコフ的遷移の場合は 常に一定 – 従ってS(X0)は常に一定で、Causal Entropic Forceはゼロ 20 sj 1(Xj 1) = Z P(Xj|Xj 1) log P(Xj|Xj 1)dXj
- 21. 反論と考察 • 考察 – 時間分割近似の各時点を個別に処理してしまう方法は本 当に正しいか？ – 少なくとも、パスの多様性（「似た」パスが多いかそうでな いか）という観点が陽には入らないように見える – Time Horizonの効果もない – 「似た」パス <-‐-‐> パス空間のσ加法族の要素 • これを明確に定義することは可能かどうか • 経路積分自体は数学的にあまり正当化されていない – 著者によるシミュレーションではどう処理されているのか • 実装が公開されていない 21
- 22. まとめ • 一般の時間発展に関するエントロピーであるCausal Entropyの考え方を紹介した • Causal Entropy最大化という原理を仮定することで得 られるCausal Entropic Forceにより、秩序のある系の 振る舞いが得られることを見た • Causal Entropic Forceの考え方に対する反論を取り 上げ、それについての考察を示した 22