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Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合論のごく基本的な事項
- 1. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果 に必要な記述集合論のごく基本的な事項 石井大海 筑波大学数理物質科学研究科 数学専攻 博士前期課程一年 November 20, 2014 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 2. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 目次 1 事前知識 2 記述集合論：解析的集合と木 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 3. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 内容と動機 動機：Lebesgue 可測性の無矛盾性に関する Solovay-Shelah の 結果を理解したい 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 4. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 内容と動機 動機：Lebesgue 可測性の無矛盾性に関する Solovay-Shelah の 結果を理解したい Solovay 「ZFC+到達不能基数の存在」が無矛盾なら， 「ZF + DC+ 任意の実数の集合が Lebesgue 可 測」も無矛盾 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 5. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 内容と動機 動機：Lebesgue 可測性の無矛盾性に関する Solovay-Shelah の 結果を理解したい Solovay 「ZFC+到達不能基数の存在」が無矛盾なら， 「ZF + DC+ 任意の実数の集合が Lebesgue 可 測」も無矛盾 Shelah 上の逆が成り立つ．即ち「ZFC+到達不能基数 の存在」と「ZF + DC+ 任意の実数の集合が Lebesgue 可測」は無矛盾等価である． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 6. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 内容と動機 動機：Lebesgue 可測性の無矛盾性に関する Solovay-Shelah の 結果を理解したい Solovay 「ZFC+到達不能基数の存在」が無矛盾なら， 「ZF + DC+ 任意の実数の集合が Lebesgue 可 測」も無矛盾 Shelah 上の逆が成り立つ．即ち「ZFC+到達不能基数 の存在」と「ZF + DC+ 任意の実数の集合が Lebesgue 可測」は無矛盾等価である． 今回：Solovay-Shelah そのものには立ち入らず，現在勉強中 の前提知識について 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 7. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 内容と動機 動機：Lebesgue 可測性の無矛盾性に関する Solovay-Shelah の 結果を理解したい Solovay 「ZFC+到達不能基数の存在」が無矛盾なら， 「ZF + DC+ 任意の実数の集合が Lebesgue 可 測」も無矛盾 Shelah 上の逆が成り立つ．即ち「ZFC+到達不能基数 の存在」と「ZF + DC+ 任意の実数の集合が Lebesgue 可測」は無矛盾等価である． 今回：Solovay-Shelah そのものには立ち入らず，現在勉強中 の前提知識について ⋆ 特に記述集合論の基本知識について 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 8. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 内容と動機 動機：Lebesgue 可測性の無矛盾性に関する Solovay-Shelah の 結果を理解したい Solovay 「ZFC+到達不能基数の存在」が無矛盾なら， 「ZF + DC+ 任意の実数の集合が Lebesgue 可 測」も無矛盾 Shelah 上の逆が成り立つ．即ち「ZFC+到達不能基数 の存在」と「ZF + DC+ 任意の実数の集合が Lebesgue 可測」は無矛盾等価である． 今回：Solovay-Shelah そのものには立ち入らず，現在勉強中 の前提知識について ⋆ 特に記述集合論の基本知識について 動機を見据えて，以下選択公理は制限された従属選択公理 （DC）のみを用いる 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 9. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 基本的な事項 I Definition 1 κ が正則 def ⇐==⇒ κ は長さ・濃度 κ 未満の列で近似出来ない κ が強極限基数 def ⇐==⇒ ∀λ < κ [2λ < κ] κ が到達不能基数 def ⇐==⇒ κ は非可算で正則な強極限基数． 次の言明を従属選択公理（DC）と呼ぶ： ∀A∀R ⊆ A × A [∀x ∈ A∃y ∈ A (y R x) −→ ∃{xn}n<ω ⊆ A ∀n < ω (xn+1 R xn)] 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 10. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 基本的な事項 II Fact 2 選択公理の下で，Lebesgue 非可測な実数の集合が存在する． κ を到達不能基数とすると，Vκ |= ZFC．従って到達不能基 数から ZFC の無矛盾性が出るので，不完全性定理より到達 不能基数の存在は ZFC から証明出来ない． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 11. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 目次 1 事前知識 2 記述集合論：解析的集合と木 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 12. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 記述集合論：解析的集合と木 I 記述集合論は実数の定義可能集合を扱う集合論の一分野 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 13. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 記述集合論：解析的集合と木 I 記述集合論は実数の定義可能集合を扱う集合論の一分野 扱う性質の多くは一般のポーランド空間についても成立する 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 14. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 記述集合論：解析的集合と木 I 記述集合論は実数の定義可能集合を扱う集合論の一分野 扱う性質の多くは一般のポーランド空間についても成立する Definition 3 位相空間 X がポーランド空間 def ⇐==⇒ X は可分完備距離化可能空間 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 15. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 記述集合論：解析的集合と木 I 記述集合論は実数の定義可能集合を扱う集合論の一分野 扱う性質の多くは一般のポーランド空間についても成立する Definition 3 位相空間 X がポーランド空間 def ⇐==⇒ X は可分完備距離化可能空間 その中でも専ら扱うのは Baire 空間やその直積である． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 16. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 記述集合論：解析的集合と木 II Definition 4 (Baire 空間) 自然数の可算列全体 ωω = { f : ω → ω } に次の形の集合を基本開 集合とする位相を入れた空間を Baire 空間と呼び，N で表す． O(s) := { σ ∈ ω ω : σ ⊇ s } (s ∈ <ω ω) Fact 5 Baire 空間はポーランド空間である．d(f , f ) = 0， d(f , g) = 1 n+1（但し n = min { k : f (k) ̸= g(k) }）は距離の例 Baire 空間の基本開集合は閉集合の可算共通部分で書け， 従って閉集合でもある：O(s) = ∩ t∈lh(s)ω,t̸=s O(t)c 「一致する桁数が多いほど近い」位相になっている． Baire 空間は連分数展開を通じて無理数の空間と同相となる． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 17. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 扱う集合の例 一番基本的な例：開集合と閉集合 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 18. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 扱う集合の例 一番基本的な例：開集合と閉集合 それらの補集合，可算和・可算共通部分により得られる Borel 集合も代表例 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 19. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 扱う集合の例 一番基本的な例：開集合と閉集合 それらの補集合，可算和・可算共通部分により得られる Borel 集合も代表例 これらの背後にある操作を探ると，自然と木によって記述さ れる集合へと一般化出来る 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 20. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 扱う集合の例 一番基本的な例：開集合と閉集合 それらの補集合，可算和・可算共通部分により得られる Borel 集合も代表例 これらの背後にある操作を探ると，自然と木によって記述さ れる集合へと一般化出来る こうした形で記述可能な集合について，様々な望ましい性質 を示していくのが記述集合論の議論 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 21. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 扱う集合の例 一番基本的な例：開集合と閉集合 それらの補集合，可算和・可算共通部分により得られる Borel 集合も代表例 これらの背後にある操作を探ると，自然と木によって記述さ れる集合へと一般化出来る こうした形で記述可能な集合について，様々な望ましい性質 を示していくのが記述集合論の議論 Solovay-Shelah の結果もその延長線上にあるもの（らしい） 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 22. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 望ましい性質 「望ましい性質」の代表例は次の三つ： Lebesgue 可測性 みんな知ってるやつ 完全集合性質 A が完全集合性質を持つ def ⇐==⇒ A は可算であるか 完全集合（孤立点を持たない閉集合）を含む Baire の性質 A が Baire の性質を持つ def ⇐==⇒ A と適当な開集合の 対称差が meager（A は開集合と疎集合の可算和ぶん の差しかない） 今回は時間（と講演者の理解の度合い）の関係上，完全集合性 質について主に議論する． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 23. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 一般にポーランド空間の閉集合は完全集合性質を持つ． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 24. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 一般にポーランド空間の閉集合は完全集合性質を持つ． · · · だいたい閉集合から孤立点を取り除いていく感じ 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 25. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 一般にポーランド空間の閉集合は完全集合性質を持つ． · · · だいたい閉集合から孤立点を取り除いていく感じ 特に，Baire 空間 N の閉集合については木を用いることで見 通しよく議論することが出来る． Definition 6 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 26. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 一般にポーランド空間の閉集合は完全集合性質を持つ． · · · だいたい閉集合から孤立点を取り除いていく感じ 特に，Baire 空間 N の閉集合については木を用いることで見 通しよく議論することが出来る． Definition 6 T ⊆ <ωω が ω 上の木 def ⇐==⇒ T は始切片について閉じている （i.e. s ∈ T, n < lh(σ) → s ↾ n ∈ T） 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 27. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 一般にポーランド空間の閉集合は完全集合性質を持つ． · · · だいたい閉集合から孤立点を取り除いていく感じ 特に，Baire 空間 N の閉集合については木を用いることで見 通しよく議論することが出来る． Definition 6 T ⊆ <ωω が ω 上の木 def ⇐==⇒ T は始切片について閉じている （i.e. s ∈ T, n < lh(σ) → s ↾ n ∈ T） [T] := { σ ∈ N : ∀n < ω, σ ↾ n ∈ T } の元を，T を貫く path （path through T, cofinal path in T）と呼ぶ． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 28. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 一般にポーランド空間の閉集合は完全集合性質を持つ． · · · だいたい閉集合から孤立点を取り除いていく感じ 特に，Baire 空間 N の閉集合については木を用いることで見 通しよく議論することが出来る． Definition 6 T ⊆ <ωω が ω 上の木 def ⇐==⇒ T は始切片について閉じている （i.e. s ∈ T, n < lh(σ) → s ↾ n ∈ T） [T] := { σ ∈ N : ∀n < ω, σ ↾ n ∈ T } の元を，T を貫く path （path through T, cofinal path in T）と呼ぶ． A ⊆ N に対し，TA := { t ∈ <ωω : ∃τ ∈ A, τ ⊇ t } と置く 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 29. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 木と path ∅ ⟨0⟩ ⟨0, 1⟩ ⟨0, 1, 3⟩ ⟨0, 2⟩ ⟨0, 5⟩ ⟨0, 5, 3⟩ ⟨0, 5, 7⟩ ⟨1⟩ ⟨0, 1, 3, . . .⟩ , ⟨0, 5, 7, . . .⟩ , . . . . . . } [T] = { 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 30. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 木と path ∅ ⟨0⟩ ⟨0, 1⟩ ⟨0, 1, 3⟩ ⟨0, 2⟩ ⟨0, 5⟩ ⟨0, 5, 3⟩ ⟨0, 5, 7⟩ ⟨1⟩ ⟨0, 1, 3, . . .⟩ , ⟨0, 5, 7, . . .⟩ , . . . . . . } [T] = { 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 31. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 Lemma 7 A ⊆ N について次は同値： 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 32. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 Lemma 7 A ⊆ N について次は同値： 1 A は閉集合 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 33. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 Lemma 7 A ⊆ N について次は同値： 1 A は閉集合 2 ∃T : ω上の木, A = [T] 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 34. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 Lemma 7 A ⊆ N について次は同値： 1 A は閉集合 2 ∃T : ω上の木, A = [T] Proof. τ ↾ 0 σ0 τ ↾ 1 σ1 τ ↾ n σn τ (2) ⇒ (1)：T を木とする．f /∈ [T] とし，f ↾ n /∈ T となるような n を取れば， O(f ↾ n) ⊆ N [T] となるから [T] は閉集合． (1) ⇒ (2)：A を閉集合とすると，閉集合は 極限について閉じていることに気を付ければ 右図から A = [TA] となることがわかる． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 35. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 Lemma 7 A ⊆ N について次は同値： 1 A は閉集合 2 ∃T : ω上の木, A = [T] Proof. τ ↾ 0 σ0 τ ↾ 1 σ1 τ ↾ n σn τ ∈ A (2) ⇒ (1)：T を木とする．f /∈ [T] とし，f ↾ n /∈ T となるような n を取れば， O(f ↾ n) ⊆ N [T] となるから [T] は閉集合． (1) ⇒ (2)：A を閉集合とすると，閉集合は 極限について閉じていることに気を付ければ 右図から A = [TA] となることがわかる． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 36. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 Lemma 7 A ⊆ N について次は同値： 1 A は閉集合 2 ∃T : ω上の木, A = [T] Proof. τ ↾ 0 σ0 τ ↾ 1 σ1 τ ↾ n σn τ ∈ A ∈ A (2) ⇒ (1)：T を木とする．f /∈ [T] とし，f ↾ n /∈ T となるような n を取れば， O(f ↾ n) ⊆ N [T] となるから [T] は閉集合． (1) ⇒ (2)：A を閉集合とすると，閉集合は 極限について閉じていることに気を付ければ 右図から A = [TA] となることがわかる． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 37. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 Lemma 7 A ⊆ N について次は同値： 1 A は閉集合 2 ∃T : ω上の木, A = [T] Proof. τ ↾ 0 σ0 τ ↾ 1 σ1 τ ↾ n σn τ ∈ A ∈ A ∈ A (2) ⇒ (1)：T を木とする．f /∈ [T] とし，f ↾ n /∈ T となるような n を取れば， O(f ↾ n) ⊆ N [T] となるから [T] は閉集合． (1) ⇒ (2)：A を閉集合とすると，閉集合は 極限について閉じていることに気を付ければ 右図から A = [TA] となることがわかる． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 38. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 Lemma 7 A ⊆ N について次は同値： 1 A は閉集合 2 ∃T : ω上の木, A = [T] Proof. τ ↾ 0 σ0 τ ↾ 1 σ1 τ ↾ n σn τ ∈ A ∈ A ∈ A ∈ A (2) ⇒ (1)：T を木とする．f /∈ [T] とし，f ↾ n /∈ T となるような n を取れば， O(f ↾ n) ⊆ N [T] となるから [T] は閉集合． (1) ⇒ (2)：A を閉集合とすると，閉集合は 極限について閉じていることに気を付ければ 右図から A = [TA] となることがわかる． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 39. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合の言い換え 閉集合 A が完全（perfect）である def ⇐==⇒ 孤立点を持たない ⇐⇒ A の全ての点が A の集積点 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 40. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合の言い換え 閉集合 A が完全（perfect）である def ⇐==⇒ 孤立点を持たない ⇐⇒ A の全ての点が A の集積点 f が A ⊆ N の集積点（f ∈ A { f }）とはどいうことか？ 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 41. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合の言い換え 閉集合 A が完全（perfect）である def ⇐==⇒ 孤立点を持たない ⇐⇒ A の全ての点が A の集積点 f が A ⊆ N の集積点（f ∈ A { f }）とはどいうことか？ DC は使えるので，「f でない値を取りながら f に収束する点 列が取れる」ということ 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 42. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合の言い換え 閉集合 A が完全（perfect）である def ⇐==⇒ 孤立点を持たない ⇐⇒ A の全ての点が A の集積点 f が A ⊆ N の集積点（f ∈ A { f }）とはどいうことか？ DC は使えるので，「f でない値を取りながら f に収束する点 列が取れる」ということ Baire 空間の点列が収束する＝「一致する桁数が延びていく」 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 43. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合の言い換え 閉集合 A が完全（perfect）である def ⇐==⇒ 孤立点を持たない ⇐⇒ A の全ての点が A の集積点 f が A ⊆ N の集積点（f ∈ A { f }）とはどいうことか？ DC は使えるので，「f でない値を取りながら f に収束する点 列が取れる」ということ Baire 空間の点列が収束する＝「一致する桁数が延びていく」 ⇝ f が A の集積点 ⇔ ∀n < ω∃g ∈ A (g ̸= f ∧ g ↾ n = f ↾ n) 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 44. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合の言い換え 閉集合 A が完全（perfect）である def ⇐==⇒ 孤立点を持たない ⇐⇒ A の全ての点が A の集積点 f が A ⊆ N の集積点（f ∈ A { f }）とはどいうことか？ DC は使えるので，「f でない値を取りながら f に収束する点 列が取れる」ということ Baire 空間の点列が収束する＝「一致する桁数が延びていく」 ⇝ f が A の集積点 ⇔ ∀n < ω∃g ∈ A (g ̸= f ∧ g ↾ n = f ↾ n) そこで，木と閉集合の対応を鑑みて次のような定義をする： Definition 8 ω 上の木 T が完全 def ⇐==⇒ ∀t ∈ T ∃s, s′ ∈ T (s, s′ ⊇ t ∧ s ⊥ s′) （但し s ⊥ s′ def ⇐==⇒ s ̸⊆ s′ ∧ s ̸⊇ s′） 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 45. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全な木のイメージ ∅ ⟨1⟩ ⟨1, 2⟩ ⟨1, 2, 0⟩ ⟨1, 2, 3⟩ ⟨1, 2, 7⟩ ⟨1, 3⟩ ⟨1, 3, 4⟩ 完全な木＝（十分先を見れば）常に分岐しつづけているような木 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 46. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 木による完全集合の特徴付け Lemma 9 閉集合 A ⊆ N について次は同値： 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 47. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 木による完全集合の特徴付け Lemma 9 閉集合 A ⊆ N について次は同値： 1 TA は（木として）完全 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 48. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 木による完全集合の特徴付け Lemma 9 閉集合 A ⊆ N について次は同値： 1 TA は（木として）完全 2 A は完全集合 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 49. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 木による完全集合の特徴付け Lemma 9 閉集合 A ⊆ N について次は同値： 1 TA は（木として）完全 2 A は完全集合 証明は右図から明らか． t0 s0 σ0 t1 s1 σ1 tn sn σn tn+1 τ n→∞ 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 50. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Cantor-Bendixon の定理 Theorem 10 (Cantor-Bendixon) Baire 空間の任意の閉集合は完全集合性質を持つ 証明の方針 1 今までの結果を踏まえて，対応する木 T が完全になるまで繰 り返し刈り込んでいけば良さそう． 2 T の濃度は高々可算だから，可算ステップで刈り込みの結果 は空になるか一定になる． 3 各ステップで刈り込んだ残りの木から得られる閉集合は必ず 高々可算であることを示す 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 51. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明：木の刈り込み ω 上の木 S に対し， S′ := { t ∈ T : ∃s, s′ ∈ T [s, s′ ⊇ t ∧ s ⊥ s′ ] } とおく．S から一本道を取り除く操作． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 52. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明：木の刈り込み ω 上の木 S に対し， S′ := { t ∈ T : ∃s, s′ ∈ T [s, s′ ⊇ t ∧ s ⊥ s′ ] } とおく．S から一本道を取り除く操作． いつも S′ が完全になるとは限らない： × × × 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 53. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明：木の刈り込み ω 上の木 S に対し， S′ := { t ∈ T : ∃s, s′ ∈ T [s, s′ ⊇ t ∧ s ⊥ s′ ] } とおく．S から一本道を取り除く操作． いつも S′ が完全になるとは限らない： × × × 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 54. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明：木の刈り込み ω 上の木 S に対し， S′ := { t ∈ T : ∃s, s′ ∈ T [s, s′ ⊇ t ∧ s ⊥ s′ ] } とおく．S から一本道を取り除く操作． いつも S′ が完全になるとは限らない： × × × 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 55. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明：木の刈り込み ω 上の木 S に対し， S′ := { t ∈ T : ∃s, s′ ∈ T [s, s′ ⊇ t ∧ s ⊥ s′ ] } とおく．S から一本道を取り除く操作． いつも S′ が完全になるとは限らない： × × •′ ⇝ × 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 56. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明：木の刈り込み ω 上の木 S に対し， S′ := { t ∈ T : ∃s, s′ ∈ T [s, s′ ⊇ t ∧ s ⊥ s′ ] } とおく．S から一本道を取り除く操作． いつも S′ が完全になるとは限らない： × × •′ ⇝ × 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 57. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明：木の刈り込み ω 上の木 S に対し， S′ := { t ∈ T : ∃s, s′ ∈ T [s, s′ ⊇ t ∧ s ⊥ s′ ] } とおく．S から一本道を取り除く操作． いつも S′ が完全になるとは限らない： × × •′ ⇝ × •′ ⇝ 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 58. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明：木の刈り込み ω 上の木 S に対し， S′ := { t ∈ T : ∃s, s′ ∈ T [s, s′ ⊇ t ∧ s ⊥ s′ ] } とおく．S から一本道を取り除く操作． いつも S′ が完全になるとは限らない： × × •′ ⇝ × •′ ⇝ S = S′ ̸= ∅ ⇐⇒ S は完全． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 59. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明：可算ステップでの終了 A = [T] なる T を取って，刈り込み操作を繰返す： T0 = T, Tα+1 = T′ α, Tγ = ∩ α<γ Tα（γ：極限順序数） 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 60. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明：可算ステップでの終了 A = [T] なる T を取って，刈り込み操作を繰返す： T0 = T, Tα+1 = T′ α, Tγ = ∩ α<γ Tα（γ：極限順序数） T ⊆ <ωω なので T は高々可算．よってこの反復は高々可算 ステップで終わる． つまり Tη = Tη+1 となるような η < ω1 が存在する． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 61. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明：可算ステップでの終了 A = [T] なる T を取って，刈り込み操作を繰返す： T0 = T, Tα+1 = T′ α, Tγ = ∩ α<γ Tα（γ：極限順序数） T ⊆ <ωω なので T は高々可算．よってこの反復は高々可算 ステップで終わる． つまり Tη = Tη+1 となるような η < ω1 が存在する． · · · さもないと，tξ ∈ Tξ Tξ+1 を取れば { tξ : ξ < ω1 } は非可算 濃度となり |T| ≤ ℵ0 に反する． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 62. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明：可算ステップでの終了 A = [T] なる T を取って，刈り込み操作を繰返す： T0 = T, Tα+1 = T′ α, Tγ = ∩ α<γ Tα（γ：極限順序数） T ⊆ <ωω なので T は高々可算．よってこの反復は高々可算 ステップで終わる． つまり Tη = Tη+1 となるような η < ω1 が存在する． · · · さもないと，tξ ∈ Tξ Tξ+1 を取れば { tξ : ξ < ω1 } は非可算 濃度となり |T| ≤ ℵ0 に反する． そこで Tη ̸= ∅ なら [Tη] は A に含まれる完全集合となる． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 63. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明：可算ステップでの終了 A = [T] なる T を取って，刈り込み操作を繰返す： T0 = T, Tα+1 = T′ α, Tγ = ∩ α<γ Tα（γ：極限順序数） T ⊆ <ωω なので T は高々可算．よってこの反復は高々可算 ステップで終わる． つまり Tη = Tη+1 となるような η < ω1 が存在する． · · · さもないと，tξ ∈ Tξ Tξ+1 を取れば { tξ : ξ < ω1 } は非可算 濃度となり |T| ≤ ℵ0 に反する． そこで Tη ̸= ∅ なら [Tη] は A に含まれる完全集合となる． 残りの [T] [Tη] が高々可算であることを示せば証明が完了． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 64. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明：可算ステップでの終了 A = [T] なる T を取って，刈り込み操作を繰返す： T0 = T, Tα+1 = T′ α, Tγ = ∩ α<γ Tα（γ：極限順序数） T ⊆ <ωω なので T は高々可算．よってこの反復は高々可算 ステップで終わる． つまり Tη = Tη+1 となるような η < ω1 が存在する． · · · さもないと，tξ ∈ Tξ Tξ+1 を取れば { tξ : ξ < ω1 } は非可算 濃度となり |T| ≤ ℵ0 に反する． そこで Tη ̸= ∅ なら [Tη] は A に含まれる完全集合となる． 残りの [T] [Tη] が高々可算であることを示せば証明が完了． 定義から [T] [Tη] = ∪ α<η([Tα] [T′ α]) なので，各 [Tα] [T′ α] が可算であることが云えればよい． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 65. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明：刈り込んだ残りが可算 Claim 1 ω 上の任意の木 S について |[S] [S′]| ≤ ℵ0 Proof. σ ∈ [S] [S′] とすると σ ↾ n /∈ S′ となる最小の n が取れる 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 66. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明：刈り込んだ残りが可算 Claim 1 ω 上の任意の木 S について |[S] [S′]| ≤ ℵ0 Proof. σ ∈ [S] [S′] とすると σ ↾ n /∈ S′ となる最小の n が取れる そこで写像 s : [S] [S′] → <ωω を s(σ) := σ ↾ n で定める． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 67. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明：刈り込んだ残りが可算 Claim 1 ω 上の任意の木 S について |[S] [S′]| ≤ ℵ0 Proof. σ ∈ [S] [S′] とすると σ ↾ n /∈ S′ となる最小の n が取れる そこで写像 s : [S] [S′] → <ωω を s(σ) := σ ↾ n で定める． 対応 σ → s(σ) は単射となる． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 68. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明：刈り込んだ残りが可算 Claim 1 ω 上の任意の木 S について |[S] [S′]| ≤ ℵ0 Proof. σ ∈ [S] [S′] とすると σ ↾ n /∈ S′ となる最小の n が取れる そこで写像 s : [S] [S′] → <ωω を s(σ) := σ ↾ n で定める． 対応 σ → s(σ) は単射となる． (∵) s(σ) = s(τ) /∈ S′ とすると，S′ の定義から s(σ), s(τ) より上の S の元は全順序で並んでいる．よって特に σ, τ の任意有限部 分は一致するから，結局 σ = τ となる． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 69. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明：刈り込んだ残りが可算 Claim 1 ω 上の任意の木 S について |[S] [S′]| ≤ ℵ0 Proof. σ ∈ [S] [S′] とすると σ ↾ n /∈ S′ となる最小の n が取れる そこで写像 s : [S] [S′] → <ωω を s(σ) := σ ↾ n で定める． 対応 σ → s(σ) は単射となる． (∵) s(σ) = s(τ) /∈ S′ とすると，S′ の定義から s(σ), s(τ) より上の S の元は全順序で並んでいる．よって特に σ, τ の任意有限部 分は一致するから，結局 σ = τ となる． よって [S] [S′] は <ωω に埋め込めるので，高々可算． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 70. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合性質は何故大事なのか？ 今までの議論から，N の閉集合は木として表現出来た 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 71. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合性質は何故大事なのか？ 今までの議論から，N の閉集合は木として表現出来た 木が完全である ⇐⇒ ある頂点から先を辿っていくと必ず二 つ以上に分岐している 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 72. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合性質は何故大事なのか？ 今までの議論から，N の閉集合は木として表現出来た 木が完全である ⇐⇒ ある頂点から先を辿っていくと必ず二 つ以上に分岐している ⇝ A が完全集合なら，完全二分木 <ω2 から TA への（順序を保 つ）単射が存在する 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 73. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合性質は何故大事なのか？ 今までの議論から，N の閉集合は木として表現出来た 木が完全である ⇐⇒ ある頂点から先を辿っていくと必ず二 つ以上に分岐している ⇝ A が完全集合なら，完全二分木 <ω2 から TA への（順序を保 つ）単射が存在する ⇝ 完全二分木の path は連続体濃度．よって TA の path として 表現出来る A の濃度も連続体濃度 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 74. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合性質は何故大事なのか？ 今までの議論から，N の閉集合は木として表現出来た 木が完全である ⇐⇒ ある頂点から先を辿っていくと必ず二 つ以上に分岐している ⇝ A が完全集合なら，完全二分木 <ω2 から TA への（順序を保 つ）単射が存在する ⇝ 完全二分木の path は連続体濃度．よって TA の path として 表現出来る A の濃度も連続体濃度 ⇝ A が完全集合性質を持つ =⇒ A は非可算なら連続体濃度 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 75. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合性質は何故大事なのか？ 今までの議論から，N の閉集合は木として表現出来た 木が完全である ⇐⇒ ある頂点から先を辿っていくと必ず二 つ以上に分岐している ⇝ A が完全集合なら，完全二分木 <ω2 から TA への（順序を保 つ）単射が存在する ⇝ 完全二分木の path は連続体濃度．よって TA の path として 表現出来る A の濃度も連続体濃度 ⇝ A が完全集合性質を持つ =⇒ A は非可算なら連続体濃度 ⋆ informal には，より多くの集合が完全集合性質を持てば，そ れだけ連続体仮説の信憑性が高まる 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 76. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と木 木を使った見通しの良い議論で，集合が好ましい性質を持つこと を証明出来た．この論法を一般化出来ないだろうか？ 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 77. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と木 木を使った見通しの良い議論で，集合が好ましい性質を持つこと を証明出来た．この論法を一般化出来ないだろうか？ Definition 11 α ≥ ω とする． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 78. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と木 木を使った見通しの良い議論で，集合が好ましい性質を持つこと を証明出来た．この論法を一般化出来ないだろうか？ Definition 11 α ≥ ω とする． T が ω × α 上の木 def ⇐==⇒ T ⊆ ∪ n<ω nω × nα であり，T は始 切片について閉じている． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 79. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と木 木を使った見通しの良い議論で，集合が好ましい性質を持つこと を証明出来た．この論法を一般化出来ないだろうか？ Definition 11 α ≥ ω とする． T が ω × α 上の木 def ⇐==⇒ T ⊆ ∪ n<ω nω × nα であり，T は始 切片について閉じている． [T] := { (σ, τ) ∈ ωω × ωα : ∀n < ω (σ ↾ n, τ ↾ n) ∈ T } の元を T を貫く path（path through T）と呼ぶ． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 80. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と木 木を使った見通しの良い議論で，集合が好ましい性質を持つこと を証明出来た．この論法を一般化出来ないだろうか？ Definition 11 α ≥ ω とする． T が ω × α 上の木 def ⇐==⇒ T ⊆ ∪ n<ω nω × nα であり，T は始 切片について閉じている． [T] := { (σ, τ) ∈ ωω × ωα : ∀n < ω (σ ↾ n, τ ↾ n) ∈ T } の元を T を貫く path（path through T）と呼ぶ． p[T] := { σ ∈ N : ∃τ ∈ ωα, ⟨σ, τ⟩ ∈ [T] } を T の射影と呼ぶ 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 81. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と木 木を使った見通しの良い議論で，集合が好ましい性質を持つこと を証明出来た．この論法を一般化出来ないだろうか？ Definition 11 α ≥ ω とする． T が ω × α 上の木 def ⇐==⇒ T ⊆ ∪ n<ω nω × nα であり，T は始 切片について閉じている． [T] := { (σ, τ) ∈ ωω × ωα : ∀n < ω (σ ↾ n, τ ↾ n) ∈ T } の元を T を貫く path（path through T）と呼ぶ． p[T] := { σ ∈ N : ∃τ ∈ ωα, ⟨σ, τ⟩ ∈ [T] } を T の射影と呼ぶ x ∈ N に対し Tx := { s ∈ <ωα : (x ↾ lh(s), s) ∈ T } とおく 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 82. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 ω × α 上の木 α ω α ω α ω ω × ω 上の木の概念図 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 83. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 ω × α 上の木 α ω α ω α ω 木を貫く path を取り各頂点を ω 軸に射影したものが p[T] 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 84. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と Suslin 演算 I Definition 12 A ⊆ N が解析的 def ⇐==⇒ ∃T : tree on ω × ω, A = p[T] 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 85. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と Suslin 演算 I Definition 12 A ⊆ N が解析的 def ⇐==⇒ ∃T : tree on ω × ω, A = p[T] Σ1 1 := { A ⊆ N : A は解析的 } 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 86. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と Suslin 演算 I Definition 12 A ⊆ N が解析的 def ⇐==⇒ ∃T : tree on ω × ω, A = p[T] Σ1 1 := { A ⊆ N : A は解析的 } A が補解析的（coanalytic） def ⇐==⇒ A は解析的集合の補集合 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 87. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と Suslin 演算 I Definition 12 A ⊆ N が解析的 def ⇐==⇒ ∃T : tree on ω × ω, A = p[T] Σ1 1 := { A ⊆ N : A は解析的 } A が補解析的（coanalytic） def ⇐==⇒ A は解析的集合の補集合 Π1 1 := { A ⊆ N : A は補解析的 } , ∆1 1 := Σ1 1 ∩ Π1 1 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 88. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と Suslin 演算 I Definition 12 A ⊆ N が解析的 def ⇐==⇒ ∃T : tree on ω × ω, A = p[T] Σ1 1 := { A ⊆ N : A は解析的 } A が補解析的（coanalytic） def ⇐==⇒ A は解析的集合の補集合 Π1 1 := { A ⊆ N : A は補解析的 } , ∆1 1 := Σ1 1 ∩ Π1 1 { As ⊆ N : s ∈ <ωω } が s ⊆ t → As ⊇ At を満たす時，Suslin 演算 AsAs を次で定義する： As As := ∪ σ∈ωω ∩ n<ω Aσ↾n 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 89. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Suslin 演算のイメージ 各頂点に点集合が割り当てられていて，レベル毎にどんどん 細かくなっていく それが「収束」する先を全部集める 「収束」といっても一点になる訳ではない p[T] の操作と似ている 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 90. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と Suslin 演算 II Lemma 13 A ⊆ N に対し，次は同値： 1 A は解析的 2 閉集合の族 { As ⊆ N : s ∈ <ωω } が存在し，A = As As 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 91. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 補題の証明 I まずは p[T] が実際に A で書けることを観察する． p[T] = { σ ∈ N : ∃τ ∈ ω ω, ⟨σ, τ⟩ ∈ [T] } = { σ ∈ N : ∃τ ∈ ω ω∀n < ω, ⟨σ ↾ n, τ ↾ n⟩ ∈ T } そこで AT s := { σ ∈ N : (σ ↾ lh(s), s) ∈ T } とおけば， = { σ ∈ N : ∃τ ∈ ω ω∀n < ω, σ ∈ AT τ↾n } = ∪ τ∈<ωω ∩ n<ω AT τ↾n = A t AT t 以上を踏まえて証明する． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 92. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 補題の証明 II Proof. 解析的 ⇒ 閉集合の Suslin 演算．A = p[T] とすれば，あとは上の 各 AT t が閉集合であることが云えればよい．これは，適当な収束 点列を持ってきた時，十分先の方を見てやれば長さ lh(s) までは 変化がないように出来る事から明らか． 閉集合の Suslin 演算 ⇒ 解析的．T := { (x ↾ lh(s), s) : x ∈ As } と 置けばよい． この特徴付けにより，一般のポーランド空間で解析的集合を定義 することも出来る． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 93. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合の完全集合性質 このように解析的集合を定義すれば，先程の Cantor-Bendixon の定理を解析的集合に一般化するのは容易い． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 94. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合の完全集合性質 このように解析的集合を定義すれば，先程の Cantor-Bendixon の定理を解析的集合に一般化するのは容易い． ω × α 上の木の射影として表せる集合を α-Suslin 集合と呼ぶ ことにすれば，より一般に次が示せる： 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 95. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合の完全集合性質 このように解析的集合を定義すれば，先程の Cantor-Bendixon の定理を解析的集合に一般化するのは容易い． ω × α 上の木の射影として表せる集合を α-Suslin 集合と呼ぶ ことにすれば，より一般に次が示せる： Theorem 14 A ⊆ N が κ-Suslin かつ |A| > κ なら A は完全集合を含む． Proof. 明らか． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 96. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合の例 解析的集合にはどのような物があるのだろうか？ 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 97. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合の例 解析的集合にはどのような物があるのだろうか？ Theorem 15 Borel 集合は解析的であり，更に補解析的でもある．よって ∆1 1 で ある． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 98. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合の例 解析的集合にはどのような物があるのだろうか？ Theorem 15 Borel 集合は解析的であり，更に補解析的でもある．よって ∆1 1 で ある． 証明の方針 Σ1 1 が開・閉集合を含み，可算和・可算共通部分について閉じる事 を示せば良い．Baire 空間の基本開集合は閉集合でもあったので， 1 Σ1 1 は可算和・可算共通部分について閉じている 2 Σ1 1 は閉集合を含む の二つを示せば十分．Borel 集合が補集合について閉じることか ら補解析的であることも従う． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 99. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明 閉集合は解析的．ω 上の木 T に対し T′ := { (t, t) : t ∈ T } とお けば p[T′] = [T]． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 100. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明 閉集合は解析的．ω 上の木 T に対し T′ := { (t, t) : t ∈ T } とお けば p[T′] = [T]． 各 Tn を ω × ω 上の木として，An = p[Tn] とおく． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 101. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明 閉集合は解析的．ω 上の木 T に対し T′ := { (t, t) : t ∈ T } とお けば p[T′] = [T]． 各 Tn を ω × ω 上の木として，An = p[Tn] とおく． 可算和．ここで， T := { (s, t) : ∃n < ω [t = n ⌢ t′ ∧ (s ↾ lh(t′ ), t′ ) ∈ Tn] } とおけば，これは木で，明らかに p[T] = ∪ n p[Tn]． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 102. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明 閉集合は解析的．ω 上の木 T に対し T′ := { (t, t) : t ∈ T } とお けば p[T′] = [T]． 各 Tn を ω × ω 上の木として，An = p[Tn] とおく． 可算和．ここで， T := { (s, t) : ∃n < ω [t = n ⌢ t′ ∧ (s ↾ lh(t′ ), t′ ) ∈ Tn] } とおけば，これは木で，明らかに p[T] = ∪ n p[Tn]． 可算共通部分．第二引数につき単調な全単射 e : ω × ω → ω を取 る．t ∈ <ωω に対し，t(n) := ⟨te(n,ℓ)|e(n, ℓ) < lh(t)⟩ として， T := { (s, t) : ∀n < ω [(s ↾ lh(t(n) ), t(n) ) ∈ Tn] } とおけば，これは木で，p[T] = ∩ n p[Tn] となる． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 103. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 e による可算個の列の統合の概念図 t(0) t(1) t(2) t(3) t(4) 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 104. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 ∆1 1 集合と Borel 集合 先程の定理の「逆」も成立する： Theorem 16 ∆1 1-集合は Borel 集合である．従って ∆1 1 は Borel 集合全体と一致 する． これは先程の定理と，次の定理から従う： Theorem 17 (Σ1 1-分離原理) 任意の二つの互いに交わらない解析的集合は Borel 集合により分 離出来る．即ち， ∀A, B ∈ Σ1 1 [A ∩ B = ∅ → ∃C : Borel, A ⊆ C ∧ B ⊆ Cc ] 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 105. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明 I A = p[T], B = p[S] とする．各 s, t ∈ <ωω に対し， As t := { x ∈ A : s ⊆ x ∧ ∃y (t ⊆ y ∧ (x, y) ∈ [T]) } Bs t := { x ∈ B : s ⊆ x ∧ ∃y (t ⊆ y ∧ (x, y) ∈ [S]) } とおく．各 As t , Bs t はそれぞれ (s, t) の収束先に含まれているよう な点全体であり，特に定義から A∅ ∅ = A, B∅ ∅ = B となっている． また，常に (s, t) ∈ T ⇒ As t = ∪ { As⌢n t⌢m : (s ⌢ n, t ⌢ m) ∈ T } が成立している（S, Bs t についても同様）．以下 A, B が分離されな いとして矛盾を導く（背理法）． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 106. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明 II まずは次を示す： Claim 2 A = ∪ n<ω An, B = ∪ k<ω Bk とする．A が Borel 集合で分離できな いなら，An, Bk が分離出来ないような n, k が存在する． Proof. 対偶を示す．各 An, Bk が Borel 集合で分離出来るなら， ∪ n An, ∪ k Bk も分離出来る事を示せばよい．そこで，Dn k を An, Bk を分離する Borel 集合とする．すると， D := ∪ n<ω ∩ k<ω Dn k が A, B を分離する Borel 集合となる． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 107. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 覆っているイメージ A B A0 A1 A2 · · · B0 B1 B2 · · · D0 0 D0 1 D0 2 D0 k ∩ k D0 k ∪ n ∩ k Dn k 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 108. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 覆っているイメージ A B A0 A1 A2 · · · B0 B1 B2 · · · D0 0 D0 1 D0 2 D0 k ∩ k D0 k ∪ n ∩ k Dn k 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 109. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 覆っているイメージ A B A0 A1 A2 · · · B0 B1 B2 · · · D0 0 D0 1 D0 2 D0 k ∩ k D0 k ∪ n ∩ k Dn k 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 110. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 覆っているイメージ A B A0 A1 A2 · · · B0 B1 B2 · · · D0 0 D0 1 D0 2 D0 k ∩ k D0 k ∪ n ∩ k Dn k 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 111. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 覆っているイメージ A B A0 A1 A2 · · · B0 B1 B2 · · · D0 0 D0 1 D0 2 D0 k ∩ k D0 k ∪ n ∩ k Dn k 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 112. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 覆っているイメージ A B A0 A1 A2 · · · B0 B1 B2 · · · D0 0 D0 1 D0 2 D0 k ∩ k D0 k ∪ n ∩ k Dn k 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 113. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 覆っているイメージ A B A0 A1 A2 · · · B0 B1 B2 · · · D0 0 D0 1 D0 2 D0 k ∩ k D0 k ∪ n ∩ k Dn k 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 114. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 覆っているイメージ A B A0 A1 A2 · · · B0 B1 B2 · · · D0 0 D0 1 D0 2 D0 k ∩ k D0 k ∪ n ∩ k Dn k 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 115. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明（続き） I ここで，As t = ∪ n,k<ω As⌢n t⌢k, Bs t = ∪ n,k<ω Bs⌢n t⌢k が成立することに 気をつけると，次を満たすような x, y, u, v ∈ N が取れる： (x, y) ∈ [T] ∧ (u, v) ∈ [S] ∧ ∀n < ω, [Ax↾n y↾nと Bu↾n v↾n は分離不能] (*) n = 0 の時は，背理法の仮定から A = A∅ ∅ と B = B∅ ∅ が分離不能で あることから常に成立している．x, y, u, v の n 桁目までが定まっ たとすれば，先程の補題から，Ax↾n⌢k y↾n⌢ℓ と Bu↾n⌢m v↾n⌢i が分離不能とな るような k, ℓ, m, i < ω が存在しなければならない．そこでそんな k, ℓ, m, i を取って，x, y, u, v の (n + 1) 桁として定めればよい． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 116. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明（続き） II すると，取り方から x ∈ A = p[T], u ∈ B = p[S] であり， A ∩ B = ∅ より x ̸= u である．Baire 空間は完備距離化可能空間で あり，従って特に Hausdorff 空間なので，x, u の基本開近傍 U = O(x ↾ jx ), V = O(u ↾ ju) で U ∩ V = ∅ となるものが取れる． そこで改めて j := max{jx , ju} とおけば，明らかに Ax↾j y↾j ⊆ U かつ Bu↾j v↾j ⊆ V ．よって Ax↾j y↾j と Bu↾j v↾j は Borel 集合 U により分離される ことになり，(*) に反する． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 117. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 普遍 Σ1 1 集合 I ∆1 1 集合は Borel 集合となることがわかった． ? Σ1 1 だが Π1 1 でないような集合は存在するのか？ · · · 次の普遍 Σ1 1 集合を使った対角線論法で示される： Fact 18 N2 の Σ1 1 集合 B で次を満たす物が存在する： ∀A ⊆ N [A ∈ Σ1 1 ⇐⇒ ∃z ∈ N A = { x : (x, z) ∈ B }] このような B を普遍 Σ1 1 集合と呼ぶ． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 118. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 普遍 Σ1 1 集合 II ⋆ この時，A = { x ∈ N : (x, x) ∈ B } は Σ1 1 だが Π1 1 ではない． (∵) A が Π1 1 だとすると，Ac = { x ∈ A : (x, x) /∈ B } は Σ1 1．する と B は普遍 Σ1 1 集合なので ∀x ∈ N [(x, x) /∈ B ⇐⇒ (x, z) ∈ B] を満たす z ∈ N が存在 する．特に x = z とおけば，(z, z) /∈ B ⇐⇒ (z, z) ∈ B とな り矛盾．よって A は Π1 1 ではない． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 119. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 普遍 Σ1 1 集合の存在 I ωk × ω 上の木の概念は ω × ω 上の木と同様に定義出来る． pk[T] := { u ∈ Nk : ∃z ∈ N (u ⌢ z ∈ [T]) } Nk の Σ1 1 集合は pk[T] の形で書ける集合と定義する． 普遍 Σ1 1 集合は N2 の部分集合なので，ω2 × ω 上の木の射影 として定義したい そこで，有限木を有限列でコードすることを考える． e : <ωω × <ωω → ω を，∀n < ω, e(s ↾ n, t ↾ n) ≤ e(s, t) を満 たすような単射とする． u ∈ <ωω が有限木のコード def ⇐==⇒ Tu := { (s, t) : lh(s) = lh(t) < ω ∧ e(s, t) < lh(u) → u(e(s, t)) = 1 } が有限木 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 120. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 普遍 Σ1 1 集合の存在 II ここで T := { (s, u, t) : u は有限木のコード∧ ∀i<ω [e(s↾i,t↾i)<lh(u)→u(e(s↾i,t↾i))=1] } と定めれば，T は ω2 × ω 上の木． そこで B = p2[T] と置けば，これが求めるものとなる． (x, σ, y) ∈ [T] とすれば，σ が ω × ω 上の木の witness であり， (x, y) ∈ Tσ となっている． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 121. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 射影階層 Σ1 1 や Π1 1 集合の射影を取って，射影階層を定義出来る： Definition 19 Σ1 1(Nk ) := { pk[T] ⊆ N : T はωk × ω上の木 } Π1 1(Nk ) := { N A : A ∈ Σ1 1(Nk ) } Σ1 n+1(Nk ) := { ∃N B : B ∈ Π1 n(Nk+1 ) } Π1 n+1(Nk ) := { N A : A ∈ Σ1 n+1(Nk ) } ∆1 n(Nk) := Σ1 n(Nk) ∩ Π1 n(Nk) 但し A ⊆ Nk+1 に対し ∃N A = { (s1, . . . , sk) : ∃z ∈ N(s1, . . . , sk, z) ∈ A }． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 122. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 射影集合と Solovay-Shelah の結果（予告） 以下，これから学ぶこと． Solovay：κ が到達不能基数で G が Col(ω, < κ)-generic / V の時，V [G] において順序数を用いて定義可能な実数の集合 は Lebesgue 可測性，Baire の性質，完全集合性質を持つ． ⇝ ここで示した「あるクラスの集合が好ましい性質を持つ」こ との拡張的な結果と見れる Shelah：任意の Σ1 3 集合が Lebesgue 可測なら，任意の実数 z について ωV 1 は L[z] で到達不能基数になっている． ここまでの内容で，記述集合論に属する部分について上の主 張の意味は理解できるようになった． 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 123. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 参考文献 I Thomas Jech. Set Theory: The Third Millennium Edition, revised and expanded. Springer Monographs in Mathematics. Springer, 2002. Alexander S. Kechris. Classical Descriptive Set Theory. English. 1st ed. Vol. 156. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag New York, Inc., 1995. isbn: 978-1-4612-8692-9. Kenneth Kunen. Set Theory. Vol. 34. Mathematical Logic and Foundations. College Publications, 2011. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
- 124. 事前知識 記述集合論：解析的集合と木 参考文献 参考文献 II Yiannis N. Moschovakis. Descriptive Set Theory. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, 2009. isbn: 978-0821848135. Ralf Schindler. Set Theory: Exploring Independence and Truth. Universitext. Springer International Publishing Switzerland, 2014. isbn: 978-3-319-06724-7. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合