Resumen de vectores. Operaciones con Vectores. Derivadas.

1. CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES
Campos escalares y vectoriales que dependen de una
sola variable. Diferenciación total y parcial de un vector.
Geometría diferencial

2. EL MAYOR PROBLEMA DEL DISEÑO DEL
INVERNADERO PARRAL MULTICAPILLA …
http://www.magrama.gob.es/ministerio/pags/Biblioteca/Revistas/pdf_SH%2FSH_2007_15_1079_1086.pdf
Falta de una adecuada ventilación natural…
¿Cuál es la magnitud cuyo conocimiento es
crítico para resolver el problema?
¿Cómo influye en el diseño óptimo del
invernadero?

3. EL MAYOR PROBLEMA DEL DISEÑO DEL
INVERNADERO PARRAL MULTICAPILLA …

4. CONOCIMIENTOS ELEMENTALES DE VECTORES

5. SISTEMAS DE COORDENADAS
• Coordenadas cartesianas
i
j
k
A

xA
yA
zA
x y zA A i A j A k
2 2 2
x y zA A A A
r x i y j zk

6. CAMPOS ESCALARES
• Si en cada punto (x,y,z) de una
región R del espacio se le
puede asociar una función
Φ(x,y,z), entonces se ha
definido una función escalar
Φ en R.
• Ejemplo. Temperaturas al
interior y exterior de la Tierra:
3 2
(x,y,z) x y z
Distribución de temperaturas en una incubadora

7. CAMPOS VECTORIALES
• Si en cada punto (x,y,z) de una
región R del espacio se le
puede asociar un vector
V(x,y,z), hemos definido un
campo vectorial.
• Como V depende del
punto, también se llama
“función vectorial de posición”.
Distribuciones de velocidades
en una tubería.
• Las velocidades en cada punto
(x,y,z) de un fluido determinan
un campo vectorial.

8. PRODUCTO ESCALAR
• Dados dos vectores,
• el producto escalar se define
como
• Propiedades
B
A y B
A B A B cos
A
A B B A
A (B C) A B A C
i j 0 i i 1
k i 0
j k 0
j j 1
k k 1

9. PRODUCTO VECTORIAL
A y B
C A B A B sen
• Propiedades• Dados dos vectores,
• el producto vectorial se
define como
A
B
C
A B B A
A (B C) A B A C
i j k i i 0
i k j
j k i
j j 0
k k 0

10. PRODUCTO VECTORIAL
• Otra expresión del producto
vectorial
• ¿A qué es igual el producto
vectorial de los vectores A y
B?
x y z
x y z
i j k
A B A A A
B B B
A 3 i 2 j 4k
B 2 i 2 j k

11. DIFERENCIACIÓN VECTORIAL
•Derivada de un vector.
Sea R(u) una función de la
variable escalar u.
•Curvas en el espacio.
Si R(u) es un vector posición r(u)
que une el origen de coordenadas
con un punto (x,y,z) cualquiera
del espacio, la derivada de dicho
vector corresponderá a la función
tangente a la curva que describa
el vector posición en su dominio.u 0
dR(u) R(u u) R(u)
lim
du u
r(u) x(u)i y(u) j z(u)k
dr(u) dx(u) dy(u) dz(u)
i j k
du du du du

12. DERIVADAS PARCIALES
y 0
A A(x,y y,z) A(x,y,z)
lim
y y
z 0
A A(x,y,z z) A(x,y,z)
lim
z z
x 0
A A(x x,y,z) A(x,y,z)
lim
x x

13. DIFERENCIAL DE UN VECTOR
• Es la variación infinitesimal de las componentes del vector.
x y zdA dA i dA j dA k
d(A B) dA B A dB
x y zA A i A j A k
d(A B) dA B A dB
A A A
dA(x,y,z) dx dy dz
x y z

14. GEOMETRÍA DIFERENCIAL
• Estudia las curvas y
superficies en el espacio.
• Si se tiene una curva
definida por
• Su derivada es tangente a
la curva
• La medida de la curvatura
está dada por la derivada
de la tangente respecto a la
trayectoria.
• Donde κ es la curvatura y
su recíproca se llama radio
de curvatura.
r(u),
dr(u)
T
du
dT
N
ds
1

15. GEOMETRÍA DIFERENCIAL
• El vector unitario perpendicular
a los vectores T y N se llama
binormal.
• Fórmulas de frenet-Serret
• τ – se llama torsión; y su
recíproca (σ), radio de
torsión.
B T N
dT
N
ds
dB
N
ds
dN
B T
ds

16. CONCLUSIONES
1. El estudio de los campos escalares y vectoriales son
fundamentales para el diseño y la toma de decisiones
constructivas.
2. El álgebra vectorial puede extenderse al estudio de los campos
escalares y vectoriales con ayuda de los conocimientos de
cálculo.
3. Finalmente, hemos aplicado las operaciones de diferenciación de
vectores, derivadas de vectores y elementos de geometría
diferencial en la resolución de problemas geométricos y físicos
sencillos.

17. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. J. Marsden, A. Tromba. Cálculo Vectorial. Ed. Pearson. 5°
edición. Pág. 1-22; 121-134.