принцип сжатых отображений

1. Принцип сжатых отображений.
В качестве применения понятия полноты рассмотрим принцип сжатых отображений. Он
представляет собой полезный аппарат для доказательства различных теорем
существования и единственности.
R – метрическое пространство. Отображение A пространства R в себя называется
сжатым, если существует такое число <1, что для любых точек x,yR выполняется
неравенство
(Ax,Ay)  (x,y)
Всякое сжатое отображение непрерывно, если xn x, то Axn Ax.
Теорема (принцип сжатых отображений). Всякое сжатое отображение, определенное в
полном метрическом пространстве R, имеет одну и только одну неподвижную точку (т.е.
уравнение Ax = x имеет одно и только одно решение).
Доказательство. X0R - любая точка x1= Ax0 ….xn= Axn-1 = An
x0
{xn} – фундаментальная последовательность – покажем это при mn
  








1
1
),(....1),()),(...
),(),((),()),(,(
10
12
011
1201000
xxxxxx
xxxxxxxAxAxx
nnmn
nmnm
n
nm
n
nm
nm
В силу полноты R последовательность {xn} , будучи фундаментальна, имеет предел.
Положим n
n
xx

 lim . Тогда в силу непрерывности xxAxxAAx n
n
n
n
n
n
 

1limlimlim .
Существование неподвижной точки доказано.
Докажем ее единственность. Если
Ax = x Ay = y, то
(x,y)  (x,y) т.к.  < 1 то
(x,y)=0, т.е. x = y.