Ce diaporama a bien été signalé.
Nous utilisons votre profil LinkedIn et vos données d’activité pour vous proposer des publicités personnalisées et pertinentes. Vous pouvez changer vos préférences de publicités à tout moment.
Метод наименьших квадратов
Пусть в эвклидовом пространстве E дана система функций 0, 1, …,m
Определитель
(0, 0)( 1...
тогда 0 ii ч.т.д.
Функция
m(x)=c00(x), +c1 1(x)+…+ cm m(x)
где ci-числовые коэффициенты, называются обобщенным мно...
Метод используют, когда функция не обладает достаточной гладкостью и для нее не
удается построить подходящего интерполяцио...
Prochain SlideShare
Chargement dans…5
×

метод наименьших квадратов

334 vues

Publié le

метод наименьших квадратов

Publié dans : Ingénierie
  • Login to see the comments

  • Soyez le premier à aimer ceci

метод наименьших квадратов

  1. 1. Метод наименьших квадратов Пусть в эвклидовом пространстве E дана система функций 0, 1, …,m Определитель (0, 0)( 1, 0)… ( m, 0) (0, 1)( 1, 0)… ( m, 1) ………………………….. (0, m)( 1, m)… ( m, m) составленный из скалярных произведений, называется определителем Грама системы функций 0, 1, …,m Лемма. Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда система функций 0, 1, …,m линейно зависима Доказательство. Пусть {i} линейно зависима 0 ii Умножим на i скалярно и получим 0(0, 0)+ 1( 1, 0)+… +m( m, 0)=0 ………………………………….……… 0(0, m)+ 1( 1, m)+…+ m ( m, m) Это однородная система, имеющая ненулевое решение, следовательно, определитель равен нулю. Предположим, что определитель Грама равен нулю. Докажем, что {i} линейно зависима. Т.к. определитель равен нулю, то 1 не равен нулю. Систему можно записать (0, 00, +1 1+…+ m m) (1, 00, +1 1+…+ m m) ………………………….. (m, 00, +1 1+…+ m m) Умножим их на i и сложим ||00, +1 1+…+ m m)||2 =0
  2. 2. тогда 0 ii ч.т.д. Функция m(x)=c00(x), +c1 1(x)+…+ cm m(x) где ci-числовые коэффициенты, называются обобщенным многочленом по системе функций i Пусть fE. Найти многочлен m(x), для которого (f1m) - среднеквадратичное уклонение m от f минимально. Тогда m называется многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения функции f0. Покажем, что если система функций 0, 1, …,m линейно независима, то для любой функции fE многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения существует и притом единственный.    m j jikj m kj kjmmmm fcccffffffS 00, 22 ),(2),(),(),(),(  S2 (f, m)- квадратичная форма относительно коэффициентов. Квадратичная форма достигает своего неотрицательного минимума. Одновременно с S2 (f, m) минимума достигает и расстояние. Приравняем частные производные по cj к нулю, получим c0(0,0), +c1(1,0)+…+ cm(m,0)=(f, 0) c0(0,1), +c1(1,1)+…+ cm(m,1)=(f, 1) c0(0,m), +c1(1,m)+…+ cm(m,m)=(f, m) Система называется нормальной. По лемме 1 определитель Грама не равен нулю, поэтому система имеет единственное решение. Итак, если система i линейно независима, то коэффициенты построенного по ней единственного многочлена среднеквадратичного приближения функции fE находится в виде решения нормальной системы линейных алгебраических уравнений. На практике часто применяется среднеквадратичные приближения функций алгебраическими многочленами, т.е. в качестве 0, 1, …,m берутся 1,x,x2 , …,xm . Система этих функций линейно независима в с, в Rn+1 она линейно независима, если m<n. Метод наименьших квадратов чаще применяют в дискретном варианте, т.е. возникают сложности с вычислением скалярного произведения(f, i). При этом необходимо, чтобы точек в 1,5-2 раза больше степени многочлена. Если m=n, то найденный в дискретном варианте методов наименьших квадратов многочлен n-й степени совпадает с интерполяционного многочлена от заданной функции на множестве точек {xi}равно нулю, а меньше быть не может.
  3. 3. Метод используют, когда функция не обладает достаточной гладкостью и для нее не удается построить подходящего интерполяционного многочлена или сплайна, а также, если значения функции известны в достаточно большом числе точек, но со случайными ошибками.

×