Módulo 02 vectores

CENTRO PRE UNIVERSITARIO UPT-CIENCIAS VECTORES

VECTORES

1. Magnitud Vectorial Es aquella magnitud que
Vectores coplanares: Son aquellos vectores
aparte de conocer su valor numérico y su unidad
que están contenidos en un mismo plano.
respectiva, es necesario conocer también la
Vectores iguales: Son aquellos vectores
dirección y sentido para que así dicha magnitud
que tienen la misma intensidad, dirección y
logre estar perfectamente determinada.
sentido.
Vector opuesto (-A) Se llama vector
2. Vector: Es un segmento de línea recta orientada
opuesto (-A) de un vector A cuando tienen el
que sirve para representar a las magnitudes
mismo módulo, la misma dirección, pero
vectoriales.
sentido contrario.
  
(a) A B C
dirección
sentido 
 C
(b) A 
ángulo direccional B

θ

Figura 01: Representación de un vector (c) 
B
 
 A C
A A : Se lee Vector A

A A A : Se lee módulo del vector A

2.1 Elementos de un vector:

(d) A
Punto de aplicación.- Está dado por el
origen del vector. 
B
Intensidad, módulo o magnitud.- Es el valor
del vector, y generalmente, está dado en
escala. ejm. 5 unidades de longitud equivale
a 5 N (si se tratase de fuerza). 
Sentido.- Es la orientación del vector. (Se (e) A
indica viendo hacia a dónde apunta la flecha)

Dirección.- Está dada por la línea de acción A
del vector o por todas las líneas rectas
paralelas a él. (Lo indicamos por lo general Figura 02: Tipos de Vectores (a).colineales,
por el ángulo direccional, medido desde el (b).concurentes, (c).coplanares, (d).iguales,
eje positivo de x) (e).opuestos.

2.2 Algunos tipos de vectores: 2.3 Operaciones Vectoriales

Vectores colineales Son aquellos vectores 2.3.1 Producto De Un Vector Por Un Escalar
que están contenidos en una misma línea de Cuando un vector se multiplica por un escalar,
acción. resulta otro vector en la misma dirección y de
Vectores concurrentes Son aquellos módulo igual a tantas veces el escalar por el
vectores cuyas líneas de acción,se cortan en módulo del vector dado. Algunos ejemplos se
un solo punto. muestran en la figura 3.

Gladys Ofelia Cruz Villar 1 2009-II


Método del Triángulo Válido sólo para dos
 vectores concurrentes y coplanares. El método
-2 A es el siguiente. Se unen los dos vectores uno a
 continuación del otro para luego formar un
A Figura 03:
 triángulo, el vector resultante se encontrará en
0.5 A Representación del
la línea que forma el triángulo y su punto de
Producto de los
aplicación coincidirá con el origen del primer
escalares 0.5 y -2
vector.
por un vector A 
B 
 B
 A
A 
2.3.2 Adición De Vectores Sumar dos o más R
vectores, es representarlos por uno sólo Figura 05: Suma de los vectores A y B
llamado resultante. Este vector resultante por el método del triángulo.
produce los mismos efectos que todos juntos.
Hay que tener en cuenta que la suma vectorial Método del Polígono Válido sólo para dos o más
no es lo mismo que la suma aritmética. vectores concurrentes y coplanares. El método
es el siguiente. Se unen los dos vectores uno a
     continuación del otro para luego formar un
R A B C D polígono, el vector resultante se encontrará en
la línea que forma el polígono y su punto de
  aplicación coincidirá con el origen del primer
A C vector
 
  R B
B D 
 C
A

Figura 03: Adición de Vectores por el
método gráfico. Los vectores A, B, C, D,
se convierten en un solo vector resultante 
R. R
Figura 06: Suma de los vectores A, B, C,
Método del Paralelogramo Este método es por el método del polígono.
válido sólo para dos vectores coplanares y
concurrentes, para hallar la resultante se En el caso de que el origen del primer vector
une a los vectores por el origen coincida con el extremo del último, el vector
(deslizándolos) para luego formar un resultante es nulo; y al sistema se le llama
paralelogramo, el vector resultante se “polígono cerrado”
encontrará en una de las diagonales, y su
punto de aplicación coincidirá con el origen
común de los dos vectores.


A

 R
A
θ θ
 
B B
Figura 04: Suma de los vectores A y B Figura 07: Polígono cerrado La Suma de
por el método del paralelogramo. los vectores A, B, C, D da como
resultante cero.



Resultante mínima de dos vectores: Dos
Suma de Vectores Colineales: En este caso vectores tendrán una resultante mínima
la resultante se determina mediante la suma cuando éstos se encuentren en la misma
algebraica de los módulos de los vectores, dirección; pero en sentidos contrarios (θ=
teniendo en cuenta la siguiente regla de 180°).
signos.  
A B

+
R=A-B
Figura 10: Ejemplo de dos vectores en la
__ + misma dirección pero sentido contrario.

__ 2.3.3 Sustracción De Vectores

Método del Triángulo En este caso se unen
los dos vectores por sus orígenes y luego se
Suma de Vectores Concurrentes y unen sus extremos, el vector “D” será el
Coplanares: En este caso el módulo de la vector diferencia.
resultante se halla mediante la siguiente
fórmula (Ver Figura 08) 
A

R A2 B2 2 AB cos


La dirección del vector se halla según la ley B
de los senos (Ver Figura 08):
 
R A B A A
sen sen sen  
D D
 
 B 
  B 

D A B D B A
 
A R Figura 11: El vector diferencia con el
β θ método del triángulo.
α
 Método del Paralelogramo En este caso se
B invierte el sentido del vector que está
Figura 08: Gráfica utilizada para acompañado del signo negativo; y luego se
ejemplificar la ley de senos y cosenos. sigue el mismo procedimiento para adición
de vectores por el método del
Resultante máxima de dos vectores: Dos paralelogramo.
vectores tendrán una resultante máxima
cuando éstos se encuentren en la misma
dirección y sentido (θ = 0°).

A
  
A B  D
A
θ 180 -θ

R=A+B 
 B
B
Figura 09: Ejemplo de dos vectores en la Figura 12: Sustracción de vectores por el
misma dirección y sentido. método del paralelogramo.



Se cumple:
y 
   A
D A B
D A2 B2 2 AB cos(180 ) u
D A2 B2 2 AB cos
x
2.4 Componentes de un vector: Se denominan
componentes de un vector a todos aquellos Figura 15: Representación del vector
vectores que sumados por el método del Unitario
polígono, dan como resultado un determinado El módulo del vector unitario siempre es uno.
vector. Hay que tomar en cuenta que un vector
puede tener infinitas componentes. 2.6 Versores Rectangulares Son aquellos vectores
unitarios que se encuentran en los ejes
coordenados rectangulares.

Ahora tendremos:

i : Vector unitario en el eje x (positivo).
- i : Vector unitario en el eje x (negativo).
j : Vector unitario en el eje y (positivo).
Figura 13: Componentes del vector R. - j : Vector unitario en el eje y (negativo).

2.4.1 Componentes rectangulares de un vector:
Son aquellos vectores componentes de un
ˆ
j
vector que forman entre sí un ángulo de 90°.
y ˆ
i ˆ
i
 
Ax A
ˆ
j
θ x

Ay
Figura 14: Componentes rectangulares del Figura 16: Representación de los versores
vector A rectangulares.
En función de la figura 14, se cumple:
   Aquí se cumple:
A Ax Ay   
A Ax Ay
Ax A cos 
A ˆ
Ax i Ay ˆ
j
Ay Asen
2.5 Vector Unitario Es un vector cuyo módulo es la
2.6 Suma de vectores por el método de
unidad y tiene por misión indicar la dirección y
componentes rectangulares Para hallar la
sentido de un determinado vector. A dicho
resultante por este método, se sigue los
vector se le llama también versor.
siguientes pasos:
 1.- Se descomponen los vectores en sus
El vector unitario u del vector A se representa componentes rectangulares.
mediante la ecuación: 2.- Se halla la resultante en el eje x e y (Rx,
 Ry), por el método de vectores colineales.
A 3.- El módulo del vector resultante se halla
u 
A aplicando el teorema de Pitágoras.
Podríamos representar el vector unitario como
2 2
se aprecia en la figura 15. R Rx Ry



2.7 Producto escalar de dos vectores: el resultado es un vector, la dirección y el
 ˆ sentido de este vector vienen determinados
Sean los vectores u u x iˆ u y ˆ u z k
j y
 por la regla de la mano derecha
v ˆ j ˆ
v x i v y ˆ v z k que forman un ángulo Θ.


Se define el producto escalar u.v u v cos ,  
u v
el resultado no es un vector, es un escalar. El
producto escalar cumple con la propiedad
conmutativa.

v
De esta definición se seduce que el producto
escalar de dos vectores perpendiculares es 
u
siempre nulo y que el de dos vectores paralelos
es el producto de sus módulos.
 
v u
ˆ j ˆ
Para los vectores unitarios i , ˆ, k , resultan las
siguientes relaciones:
El producto vectorial de dos vectores no
ˆˆ
i .i j j ˆˆ
ˆ. ˆ k .k 1 cumple con la propiedad conmutativa,
i. ˆ
ˆj j ˆ ˆˆ
ˆ.k k .i 0 cumpliéndose que:

   
En el caso de que los vectores estén u v =- v u
expresados en componentes y utilizando las
relaciones anteriores se obtiene que el PROBLEMAS
producto escalar se calcula:
 1. Para los vectores A, B, R, se tiene que R es el
u.v u x v x u y v y u z vz
vector resultante entre A y B.
2.8 Producto vectorial de dos vectores:
 ˆ
Sean los vectores u u x iˆ u y ˆ u z k
j y
A B R
 ˆ
v v x i v y ˆ v z k que forman un ángulo Θ.
ˆ j 7 15 20
Determinar el ángulo formado por los vectores
Se define el producto escalar A y B.
 
u v u v sen , Para los vectores unitarios
a) 37º b) 53º c) 30º d) 60º e) 45º
ˆ j ˆ
i , ˆ, k , resultan las siguientes relaciones:
3. Hallar el módulo de la resultante de los
ˆ
i j ˆ
ˆ k vectores mostrados en la figura:
j ˆ ˆ
ˆ k i
25 u
ˆ ˆ j
k i ˆ a) 10
143º
2u
En el caso de que los vectores estén b) 5
expresados en componentes y se obtiene el
producto vectorial:
c) 15
127º
10 u
j ˆ
iˆ ˆ k d) 25
 
u v ux uy uz
e) N.A.
vx v y vz



9. En el hexágono regular de lado “L”
4. Determina el módulo de la resultante de los determinar el módulo de la resultante. Si “O”
vectores colocados en el triángulo equilátero. es el centro del hexágono.

a) 5√3 u a) 2L
b) 7L
b) 5√2 u 5u
c) 9L O
c) 10 √3 u d) 4L
d) 10√2 u 10 u e) 6L

e) 3 √3 u 10. Determine el módulo del vector resultante
del sistema mostrado si “M”: punto medio, y
15 u 
“O”: centro de la circunferencia, y a 4.
5. Dados dos vectores uno de módulo 5 y otro
de módulo 3. ¿Qué ángulo existe entre ellos
para obtener uno de módulo 7? 
a) √5 a
M 
a) 15º b) 30º c) 45º d) 60º e) 120º b) √6 b
37º
c) 2√5 
6. Si el sistema mostrado tiene resultante 53º O c
horizontal, determinar el módulo de los d) 3√5 
vectores mostrados en la figura: e) 3√6
d

a) 30 u
45 u
11.
b) 15 u   La   
 Figura muestra 6 vectores
A, B, C, D, E y F Halle
50 u       
c) 10 u
S A B 2C D E F .

53º  
d) 50 u 
60 u a) 2A  A D
b) 2B
e) 25 u   
c) C+D
 C
d) E  
 B E
e) 0
7. Se tienen dos vectores de igual módulo “a”
que forman entre sí un ángulo Θ. Hallar el 
F
módulo de su diferencia.
12. Para el conjunto de vectores dados
determine el vector unitario del vector
a) 2a senΘ b) 2a cosΘ c) 2a sen resultante.
2
d) 2a sen e) 2a cos a) ( i ˆ) 2
ˆ j z
2 2 5
b) (i ˆ) 2
ˆ j
8. En el cuadrado el lado mide 2 u. Hallar el c) ˆ
-i
módulo de la resultante. d) -ˆj
e) ˆ
k y
a) 2u
b) 4u
5
c) 3u 5
d) 5u
e) 0 x



18. Se sabe que al sumar las tres fuerzas que
 
13. Se tienen los vectores A i ; B i ˆ y
ˆ ˆ j se indican con una cuarta fuerza, se obtiene
 que el módulo de la resultante es 50 N y que
C ˆ j ˆ
i ˆ k . Halle el valor de la expresión:
   forma 53º con el semieje +x. Determine la
V A B C. cuarta fuerza en N.

F =50N 1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
 3
14. Dados los vectores A 2i 3 ˆ ;
ˆ j
 
 A B -7 4
ˆ 2 ˆ , determine  
B i j
A B -4
-4
a) 1,75 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
k b)0,68 k c)-1,75 k d)1,92 k e)-1,92 k
 -7 
15. En un sistema de coordenadas x,y,z, F3 =20√2 N F2 =60N
rectangulares se dan los vectores:
 
A 0,8iˆ 0,6 ˆ y B
j ˆ 4 ˆ . Indique
3i j
a) 20i 60 ˆ
ˆ j
verdadero (V) o falso (F) en las siguientes
proposiciones. b) 20i 40 ˆ
ˆ j
c) 28i 56 ˆ
ˆ j
i. Sólo A es vector unitario. d) 38i 66 ˆ
ˆ j
 
ii. La magnitud A B es 4,8 e) 50iˆ 28 ˆ
j
 
iii. El producto A ˆ
B es 5 k
    
19. Si S A B , sonde A y B son vectores
a) VVV b) FVV c) VFV d) VVF e) FFF
unitarios, identifique la veracidad (V) o
falsedad (F), de las proposiciones siguientes:
16. Hallar el ángulo β para que el módulo de la
suma de los vectores sea mínimo 
i. El módulo de S satisface: 0≤S≤2.
y 
ii. S también puede ser unitario.  
a) 10º a iii. Si α = 60º es el ángulo entre A y B ,
b) 20º 
luego S =3
c) 15º a
10º 50º x
d) 25º
a) VVV b) FVV c) VFF d) FFF e) VVF
e) 30º
β
  
a 20. Tres vectores A, B y C , tienen
componentes x e y como se muestra en la tabla.
17. Si la resultante de los 3 vectores

Calcular el ángulo que forma el vector 3 A -
mostrados es nula, hallar F y  
2B+ C , con el eje x.

F
a) 10 √3 12   
A B C
b) 12 √3 20º 70º x x 3 4 -1
c) 14√3 y 1 -2 1
d) 16√3 α
a) 0 b) 45º c) 60º d) 90º e) 180º
e) 2√3 24


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