Material de Apoio do livro Matemática Financeira, dos autores Washington Franco Matias e José Maria Gomes, da Editora Atlas.

1. Washington Franco Mathias
José Maria Gomes
Matemática
Financeira
Com + de 600 exercícios
resolvidos e propostos
5ª Edição

2. Capítulo 1
JUROS
SIMPLES
Mathias
Gomes

3. Juro e Consumo
• Existe juro porque os recursos são
escassos.
• As pessoas têm preferência temporal:
preferem consumir a poupar.
• O prêmio para quem poupa é o juro.
Mathias
Gomes

4. Juro e Capital
• O Capital também é
escasso.
• O Juro é a remuneração
pelo uso do capital.
• O Juro é a remuneração
pelo custo do crédito.
Mathias
Gomes

5. Taxa de Juros
• Juro e tempo andam juntos.
• O juro é determinado através de um coefi-
ciente referido a um dado intervalo de tem-
po.
• O coeficiente corresponde à remuneração
da unidade de capital empregado por um
prazo igual àquele da taxa.
Ex.: 12 % ao ano.
Mathias
Gomes

6. Taxa de Juros
FORMA PORCENTUAL
• Na forma porcentual a taxa de juros é aplicada a centos do
capital.
Ex.: 12% ao ano.
FORMA UNITÁRIA
• Na forma unitária a taxa de juros é aplicada a unidades do
capital.
Ex.: 0,12 ao ano.
Mathias
Gomes

7. CÁLCULO DO JURO
JURO SIMPLES
• A remuneração pelo capital inicial
(o principal) é diretamente proporcional:
-- Ao valor aplicado;
Ao valor aplicado;
-- Ao tempo de aplicação.
Ao tempo de aplicação.
Mathias
Gomes

8. CÁLCULO DO JURO
EXEMPLO
• FÓRMULA BÁSICA:
J = C .. ii .. n
J=C n
onde:
J = Juro
C = Capital inicial (Principal)
i = Taxa de Juros (na forma unitária)
n = prazo de aplicação (na mesma unidade que a taxa)
Mathias
Gomes

9. Exemplo
Suponhamos que se tome emprestada a quantia de $1.000,00
pelo prazo de 2 anos e à taxa de 10% a.a. Qual será o valor
a ser pago como juro ?
Resolução: Capital Inicial (C) = 1.000,00
Taxa de juros (i) = 10% a.a.
Número de períodos (n) = 2 anos
Trabalhando com a taxa de juros na forma unitária, te-
mos o juro do primeiro ano como sendo:
J1 = 1.000,00 X 0,10 X 1 = $ 100,00
No segundo ano, teremos:
J2 = 1.000,00 X 0,10 X 1 = $ 100,00
Mathias
Gomes

10. Exemplo
O juro total será a soma do juro devido no primeiro ano
(J1) mais o juro devido no segundo ano (J2)
J = J1 + J2
J = 100,00 + 100,00 = $ 200,00
Ou então, podemos resolver o problema diretamente:
J = 1.000,00 X 0,10 X 1 + 1.000,00 X 0,10 X 1
J = 1.000,00 X 0,10 X 2
J = $ 200,00
Mathias
Gomes

11. CÁLCULO DO JURO
JURO SIMPLES
• Variações da fórmula básica.
J = C.i.n
J J
C= i=
in Cn
J
n=
Ci
Mathias
Gomes

12. MONTANTE
EXEMPLO
JURO SIMPLES
• Montante é a soma do juro mais o capital
aplicado.
N=C+J
onde:
C= principal
n= prazo de aplicação
i = taxa de juros
N = C(1 + in)
Mathias
Gomes

13. Exemplo
Qual é o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado à taxa
de 10 % a.a. pelo prazo de 2 anos ?
Resolução: Capital Inicial (C) = 1.000,00
Taxa de juros (i) = 0,10 a.a.
Número de períodos (n) = 2 anos
E sendo:
N = C(1+in)
Substituindo-se os valores, tem-se:
N = 1.000(1+0,10 x 2)
N = 1.000(1+0,20)
N = 1.000 x 1,20
N = $ 1.200,00
Mathias
Gomes

14. Exemplo
É possível resolver o problema, seguindo-se a definição dada por
montante:
a) Calculando o juro devido:
J = Cin
J = 1.000,00 x 0,10 x 2 = $ 200,00
b) Somando-se o juro com o principal:
N=C+J
N = 1.000,00 + 2000,00 = $ 1.200,00
Mathias
Gomes

15. MONTANTE
JURO SIMPLES
N = C(1 + in)
N N −1
C= i= C
1 + in n
N −1
n= C
i
Mathias
Gomes

16. TAXA PROPORCIONAL
EXEMPLO
JURO SIMPLES
A taxa i1 (referida ao período n1) é proporcional à taxa i2 (referida ao
período n2) se:
Ou ainda:
i1 n1 i1 i 2
= =
i2 n 2 n1 n 2
Ou, do mesmo modo, se:
i1.n2 = i2.n1
Mathias
Gomes

17. Exemplo
Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são
proporcionais.
Resolução:
Temos: i1 = 5% a.t. = 0,05 a.t.
i2 = 20% a.a. = 0,20 a.a.
n1 = 3 meses
n2 = 12 meses
i1 n1
Como: =
i 2 n2
Substituindo-se os valores: 0,05 = 3
0,20 12
que são grandezas proporcionais, porque o produto dos meios
(0,20 x 3) é igual ao produto dos extremos (0,15 x 12). Logo,
Mathias as taxas dadas são proporcionais.
Gomes

18. Exemplo
Sendo dada a taxa de juros de 24% ao ano, determinar a taxa
proporcional mensal.
Resolução:
Temos: i1 = 5% a.t. = 0,05 a.t.
n1 = 12 meses
i2 = ?
n2 = 1 mês
E, como: i1 n1 tem-se: 0,24 12
= =
i 2 n2 i2 1
0,24
0,24 x 1 = i2 x 12 ∴ i 2 = = 0,02a.m. ou i = 2% a.m.
12
Mathias
Gomes

19. TAXA EQUIVALENTE
EXEMPLO
Duas taxas de juros são equivalentes se:
• aplicadas ao mesmo capital;
• pelo mesmo intervalo de tempo.
=> Ambas produzem o mesmo juro.
No regime de juros simples, as taxas de juros
proporcionais são igualmente equivalentes.
Mathias
Gomes

20. Exemplo
Seja um capital de $ 10.000,00 que pode ser aplicado alternativa-
mente à taxa de 2% a.m. ou de 24% a.a. Supondo um prazo de
aplicação de 2 anos, verificar se as taxas são equivalentes.
Resolução:
Aplicando o principal à taxa de 2% a.m. e pelo prazo de 2
anos, teremos o juro de:
J1 = 10.000,00 x 0,02 x 24 = $ 4.800,00
Aplicando o mesmo principal à taxa de 24% a.a. por 2 a-
nos, teremos um juro igual a:
J2 = 10.000,00 x 0,24 x 2 = $ 4.800,00
Constatamos que o juro será gerado é igual nas duas hi-
póteses e, nestas condições, concluímos que a taxa de 2% a.m.
é equivalente à taxa de 24% a.a.
Mathias
Gomes

21. PERÍODOS NÃO-INTEIROS
EXEMPLO
Quando o prazo de aplicação não é um número in-
teiro de períodos a que se refere a taxa de juros, faz-se o
seguinte:
I) Calcula-se o juro correspondente à parte inteira de pe-
ríodos.
II) Calcula-se a taxa proporcional à fração de período que
resta e o juro correspondente.
O juro total é a soma do juro referente à parte in-
teira com o juro da parte fracionária.
Mathias
Gomes

22. Exemplo
Qual o juro e qual o montante de um capital de $ 1.000,00 que é
aplicado à taxa de juros simples de 12% ao semestre, pelo prazo
de 5 anos e 9 meses ?
Resolução:
Sabemos que em 5 anos e 9 meses existem:
5 x 2 semestres = 10 semestres
9 meses = 1 semestre e 3 meses
Ou seja, em 5 anos e 9 meses temos 11 semestres e 3
meses.
a) Cálculo do juro:
1ª etapa:
J1 = 1.000,00 x 0,12 x 11 = $ 1.320,00
Mathias
Gomes

23. Exemplo
2ª etapa: Calculamos a taxa de juros proporcional ao trimestre:
i 0,12
im = = = 0,06a.t.
m 2
Portanto: J2 = 1.000,00 x 0,06 x 1 = $ 60,00
Logo, o total de juros é:
J = J1 + J2
J = 1.320,00 + 60,00
J = =$ 1.320,00 ====== CORRIGIR
Observe-se que a solução se obtém mais rapidamente lembran-
do-se que 3 meses é igual a 0,5 semestre e, nestas condições,
5 anos e 9 meses equivalem a 11,5 semestres:
Mathias
Gomes

24. Exemplo
J = 1.000,00 x 0,12 x 11,5 = 1.380,00
b) Montante:
O montante é:
N=C+J
N = 1.000,00 + 1.380,00 ∴ = $ 2.380,00
N
Evidentemente poderíamos obter o mesmo resultado ra-
ciocinando por etapas para obter o montante.
Mathias
Gomes

25. JURO EXATO
EXEMPLO
Juro Exato é aquele em que:
• o período a que se refere a taxa está expresso em
dias.
• é adotada a convenção do ano civil.
Cin
Je =
365
Mathias
Gomes

26. Exemplo
Qual é o juro exato de um capital de $ 10.000,00 que é aplicado
por 40 dias e à taxa de 36% a.a. ?
Resolução:
Cin
Je =
365
10.000 x0,36 x 40
Je = = $394,52
365
Mathias
Gomes

27. JURO COMERCIAL
EXEMPLO
Juro comercial é aquele em que:
• o período a que se refere a taxa está expresso em dias.
• é adotada a convenção do ano comercial:
Cin
Je =
360
Mathias
Gomes

28. Exemplo
Calcular o juro comercial correspondente ao exercício do item an-
terior.
Resolução:
Cin
Jc =
360
10.000 x0,36 x 40
Jc = = $400,00
360
Observe que, nas mesmas condições de aplicação, o juro comer-
cial é maior que o juro exato.
Mathias
Gomes

29. DIAGRAMAS DE CAPITAL
NO TEMPO
• Representam o fluxo de dinheiro no tempo;
• Representam o fluxo de caixa: entradas e saídas de di-
nheiro;
• Graficamente:
2000
500 Entradas (+)
0 (PERÍODOS)
1 2
1000 Saídas (-)
Mathias
Gomes

30. VALOR NOMINAL
É quanto vale um compromisso na data do seu
vencimento.
Exemplo:
Uma pessoa aplicou uma quantia hoje e
vai resgatá-la por 20.000 daqui a 12 me-
ses.
20.000
(meses)
0 12
20.000 é o valor nominal da aplicação no mês 12.
Mathias
Gomes

31. VALOR ATUAL
É o valor que um compromisso tem em uma data
que antecede ao seu vencimento.
20.000
c
(meses)
0 6 12
¨c¨ é o valor atual da aplicação de 20.000, na data 6.
=> Para calcular ¨c¨, precisamos saber qual a taxa de
juros.
Mathias
Gomes

32. VALOR FUTURO
EXEMPLO
Corresponde ao valor do título em qualquer data
posterior à que estamos considerando no momento.
Exemplo: Uma pessoa possui 10.000 hoje.
c
10.000
(meses)
0 6
¨c¨é o valor futuro de 10.000 na data 6.
=> Para calcular ¨c¨, precisamos saber qual é a taxa de
juros.
Mathias
Gomes

33. Exemplo
1) Vamos admitir que uma pessoa aplicou hoje uma certa quantia e
que recebeu, pela aplicação, um título que irá valer $ 24.000,00 no
mês 12.
a) Suponhamos que o valor aplicado hoje tenha sido de $ 15.000,00.
Então, podemos calcular a taxa de juros simples utilizada na aplica-
ção, do seguinte modo:
Resolução:
N = C (1+in)
N = 24.000,00
C = 15.000,00
i=?
n = 12 meses
Mathias
Gomes

34. Exemplo
Nestas condições:
24.000 = 15.000 (1+ i.12)
Dividindo os dois lados da igualdade por 15.000, a mesma
não se altera:
24 .000 15 .000 (1 + i.12 )
=
15 .000 15 .000
Logo: 1,6 = 1 + i.12
Somando-se -1 aos dois lados da igualdade, a mesma não se
altera:
1,6 -1 = 1 -1 + i.12
0,6 = i.12
Mathias
Gomes

35. Exemplo
E dividindo-se de novo os dois lados da igualdade por 12, te-
mos:
0,6 i.12
=
12 12
Logo: i = 0,05
Observe que, como a unidade de tempo utilizada foi o
“mês”, a taxa também fica referida ao mesmo intervalo de tem-
po.
Ou seja:
i = 0,05 ao mês
Ou, o que dá no mesmo:
i = 5% ao mês.
Mathias
Gomes

36. Exemplo
b) Vamos admitir agora que não sabemos qual o valor aplicado, mas
que conhecemos a taxa de aplicação, que é de 6% ao mês. Neste
caso podemos calcular o valor atual hoje (na data 0), que correspon-
de ao próprio valor aplicado:
N = C (1 + i.n)
Onde: N = 24.000,00
C=?
i = 0,06 (note que, para usar a fórmula deste modo, a taxa
deve ser colocada na forma unitária)
n = 12 meses
Então:
24.000 = C (1 + 0,06 x 12)
24.000 = C (1 + 0,72)
24.000 = C.1,72
Mathias
Gomes

37. Exemplo
Logo: 24.000 C.1,72
=
1,72 1,72
Ou seja: C = 13.953,49
que é o valor atual na data 0, isto é, quanto a pessoa
aplicou hoje.
Mathias
Gomes

38. Exemplo
2) Considere que uma pessoa possui hoje a quantia de $ 10.000,00.
Qual será o valor futuro se a pessoa aplicar esta importância à taxa
de 5% ao mês, daqui a 3 meses ?
Temos: N = C (1 + i.n)
Onde: N=?
C = 10.000,00
i = 0,05
n = 3 meses
Logo:
N = 10.000 (1 + 0,05 x 3)
N = 10.000 (1,15)
N = 11.500,00
O valor futuro será de $ 11.500,00 daqui a 3 meses.
Mathias
Gomes