MT18
Logique et théorie des ensembles 1 / 8 A Chevalley
Logique et théorie des ensembles
Rappels :
ℕ : ensemble des entiers naturels = { 0 , 1 , 2 , … }
A part 0, un nombre n’a pas d’opposé dans ℕ *{0}=−``
] : ensemble des entiers relatifs = { …, – 2 , – 1 , 0 , 1 , 2 , … } = { n, -n ; n ∈ ℕ }
A part -1, 1, un entier relatif n’a pas d’inverse dans ] *{0}=−]]
_ : ensemble des nombres rationnels = *{;(,)}ppqq∈×]]avec 12122112..pppqpqqq=⇔= } *{0}=−__
Mais π , 2, e ∉ _
: ensemble des nombres réels *{0}=−
* + : ensemble des réels strictement positifs
Mais les racine i et –i de x²+1 ne sont pas dans
^: ensemble des nombres complexes = { a+ib ;(a,b)2∈} *{0}=−^^
1. Logique
1.1. Propositions logiques
Définition : On appelle proposition, un énoncé qui ne prend que 2 valeurs : vrai (V) ou faux (F).
Exemple : « 3 < 4 » est une proposition de valeur vraie.
« 2 est un rationnel » est une proposition de valeur fausse.
1.2. Négation d’une proposition
Soit P une proposition, on note P ou non P sa négation. ¬
La table de vérité résume la négation :
P
¬P
V
F
F
V
Exemple : P : 3 < 4 est vraie P : 3 . 4 est fausse ¬
1.3. Connecteurs logiques
2 propositions P et Q peuvent être connectées pour obtenir une troisième proposition R. Le connecteur est défini par la valeur de la proposition R en fonction des valeurs de P et Q.
1.3.1. Connecteur « et »
La conjonction de P et Q est P et Q ou P∧ Q ou PQ⎧⎨⎩
P Q est vraie si et seulement si P est vraie et Q est vraie. ∧

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Logique et théorie des ensembles 2 / 8 A Chevalley
P
Q
P Q ∧
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Exemple : P P est toujours fausse. ∧¬
1.3.2. Connecteur « ou »
La disjonction de P et Q est P ou Q ou P Q (« ou » inclusif). ∨
P Q est fausse si et seulement si P est fausse et Q est fausse. ∨
P
Q
P ∨ Q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Exemple : P P est toujours vraie. ∨¬
1.3.3. Connecteur « implique »
L’implication de P vers Q est P Q : P est l’hypothèse, Q est la conclusion ⇒
P ⇒ Q est fausse si et seulement si P est vraie et Q est fausse.
- si P est vraie alors Q est vraie
- il suffit que P soit vraie pour que Q soit vraie
- il est nécessaire (il faut) que Q soit vraie pour que P soit vraie
P ⇒ Q est équivalent à ¬P ∨ Q
P
Q
P ⇒ Q
¬P
¬P ∨ Q
V
V
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
Exemple : P ⇒ P est toujours vraie.
P ⇒ Q : si ABCD est un carré alors ABCD est un parallélogramme
P : ABCD est un carré Q : ABCD est un parallélogramme
il suffit que P soit vraie pour que Q soit vraie
Il suffit que ABCD soit un carré pour que ABCD soit un parallélogramme
il est nécessaire (il faut) que Q soit vraie pour que P soit vraie
il est nécessaire (il faut) que ABCD soit un parallélogramme pour que ABCD soit un carré mais ce n’est pas suffisant.
Réciproque
La réciproque de P ⇒ Q est Q ⇒ P

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ATTENTION : P ⇒ Q n’est pas équivalent à Q P ⇒
Contraposée
La contraposée de P Q est : ⇒¬Q ⇒ ¬P
P ⇒ Q est équivalent à ¬Q ⇒ ¬P
P
Q
P ⇒ Q
¬P
¬Q
¬Q ⇒¬P
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
V
F
V
F
F
V
V
V
V
Négation
La négation d’une implication n’est pas une implication
¬ (P ⇒ Q) (¬P Q) ⇔¬∨⇔ ( P ∧ ¬Q )
1.3.4. Connecteur « équivalent »
Si P Q et Q P, on dit que P est équivalente à Q et on note P ⇒⇒⇔Q
P Q est vraie si et seulement si P et Q sont vraies ou fausses, simultanément. ⇔
- P est vraie si et seulement si (ssi) Q est vraie
- il faut et il suffit que Q soit vraie pour que P soit vraie
- P est une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour que Q soit vraie
P ⇒ Q et Q ⇒ P est équivalent à P ⇔Q
P
Q
P ⇒ Q
Q ⇒ P
P ⇔ Q
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
Exemple : P P est toujours vraie. ⇔
1.3.5. Théorème
On appelle théorème une proposition logique toujours vraie.
1.3.6. Propriétés
Négation
(¬¬ P) P non (non P) ⇔⇔P
¬( P Q) (P ∧ ∨⇔¬¬Q) non (P ou Q) ⇔ (non P et non Q)

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¬( P ∧ Q) ⇔ (¬P ∨ ¬Q) non ( P et Q) ⇔(non P ou non Q)
Associativité
( P ∨ Q) ∨ R ⇔ (P (Q R)) (P ou Q) ou R ∨∨⇔ (P ou (Q ou R)
( P Q) R (P (Q R)) (P et Q) et R ∧∧⇔∧∧⇔ (P et (Q et R)
Distributivité
( P Q) R (P R) (Q R) (P ou Q) et R ∨∧⇔∧∨∧⇔ (P et R) ou (Q et R)
( P Q) R (P R) ∧ (Q ∨ R) (P et Q) ou R ∧∨⇔∨⇔ (P ou R) et (Q ou R)
Transitivité
((P ⇒ Q) (Q ⇒ R)) ⇒ (P R) (P Q) et (Q R) ⇒ (P ⇒ R) ∧⇒⇒⇒
2. Quantificateurs
2.1. Deux quantificateurs
Une proposition logique peut dépendre d’une variable appartenant à un ensemble donné.
Par exemple, signifie « pour tout *311xx+∈⇒+>*x+∈, on a 311x+> ».
On introduit le quantificateur ∀ qui signifie « pour tout » ou « quel que soit ».
L’exemple précédent devient : ∀*311xx+∈⇒+>
A l’inverse, une proposition peut être vraie que pour certains éléments d’un ensemble.
On introduit le quantificateur qui signifie « il existe ». ∃
Le symbole / signifie « tel que ».
/ se place après ∃. S’il y a plusieurs dans une proposition, / se place après le dernier . ∃∃
Remarque : signifie « il existe un unique élément » !∃
Exemples : signifie « il existe au moins un réel tel 3x+2 > 1 » x=0 Vrai /321xx∃∈+>
∀x∈/ 3x + 2 >1 signifie « tous les réels vérifient 3x+2 > 1 » x = – 1 Faux
2.2. Négation d’une phrase quantifiée
La négation de ∀ est (∀x, P(x) ) ∃¬⇔ (∃ x / ¬ P(x) )
La négation de ∃ est ( x, P(x) ) ∀¬∃⇔ (∀x / ¬ P(x) )
2.3. Propriété
On ne peut pas modifier l’ordre des quantificateurs sans changer le sens de la proposition.
Exemple :
,/xyxy∀∈∃∈≤`` signifie « tout entier est majoré par un autre entier » VRAI car ℕ est infini.
On modifie l’ordre des quantificateurs : /,yxxy∃∈∀∈≤`` signifie « il existe un entier supérieur ou égal à tous les autres » FAUX (il n’y a pas de borne supérieure).
2.4. Exemples
Les propositions suivantes sont-elles vraies ? Quelle est la négation de celles qui sont fausses ?
a) , 1 xx∀∈≥
b) /xx∃∈∈`
c) *,ln()1xx+∀∈=
d) ,/ 1 xnnxn∀∈∃∈≤<+]
e) /,nxnxn∃∈∀∈≤<+] 1
3. Théorie des ensembles
3.1. Définitions

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Un ensemble est une collection d’objets qui présentent une ou plusieurs propriétés communes.
Exemple : l’ensemble des étudiants de MT18.
_ est l’ensemble des nombres rationnels.
Les éléments d’un ensemble sont écrits entre accolades, les uns derrière les autres séparés par des virgules.
Ensemble des nombres pairs {0 , 2 , 4 , … }
Soient E, A des ensembles
xA∈ signifie « x est un élément de A » ou « x appartient à A ».
On désigne par ∅ l’ensemble vide qui n’a aucun élément.
DESSIN
Si A est fini le cardinal de A, Card(A) ou #A, désigne le nombre d’éléments de A.
Exemple : A = { 1, 2, 5, 10} Card (A) = 4
E = { n ∈ N ⇔ n² < 0 } donc E = ∅
3.2. Inclusion
Définition : On dit que A est inclus dans B, noté A B si la proposition suivante est vraie : ⊂
( x∈ A ) ⇒ ( x ∈ B )
A est alors un sous ensemble ou une partie de B.
DESSIN
On dit que
A = B ssi A B et B A ⊂⊂
Exemple : ⊂⊂⊂⊂`]_^
3.3. Opération sur les ensembles
3.3.1. Réunion
Définition : Soient A et B deux ensembles. La réunion de A et B, noté A B, est l’ensemble des éléments appartenant à A ou à B : ∪
( x∈ A ∪B) ⇔( x ∈ A) ou ( x ∈ B)
Exemple : {,}nn=∪−∈]``
DESSIN
3.3.2. Intersection
Définition : Soient A et B deux ensembles. L’intersection de A et B, noté A ∩ B, est l’ensemble des éléments appartenant à A et à B :
( x∈ A B) ∩⇔( x ∈ A) et ( x ∈ B)
Exemple :
{/()0}xImx+ ∩= ∩= ∩∈≠=∅ ]_]_]`^

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DESSIN
3.3.3. Complémentaire
Définition : Soient A et E deux ensembles avec A E. Le complémentaire de A dans E, noté A ou ou ⊂E‰cA
A ( s’il n’y a pas de risque de confusion au niveau de l’ensemble E), est l’ensemble des éléments de E n’appartenant pas à A :
( x∈ A ) E‰⇔( x ∈ E) et ( x ∉ A)
( x∈ A ) ⇔ ( x ∉ A)
Exemple : = {-n,n} ]`‰*∈`
DESSIN
3.3.4. Différence
Définition : Soient A et B deux ensembles. La différence de A moins B, noté A – B ou A B , est l’ensemble des éléments appartenant à A et n’appartenant pas à B :
( x∈ A B ) ⇔( x ∈ A) et ( x ∉ B)
A B = A B∩
DESSIN
3.3.5. Différence symétrique
Définition : Soient A et B deux ensembles. La différence symétrique de A et B, noté A B , est l’ensemble des éléments appartenant à A et n’appartenant pas à B ou appartenant à B et pas à A : Δ
( x∈ A B ) Δ⇔( x ∈ A B) ou ( x ∈ B A)
A B = (A ΔB∩) (B ∪A∩)
DESSIN
Exemple : Démontrer que ()( ) ABABABΔ=∪∩
A B = (A ΔB∩) (B ∪A∩)
et ( A ∪ B) ( A ∩ B) = ( A ∪ B) ∩ ( ) AB∩= ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ B) =( ( A ∪ B) ∩ A ) ∪ ( ( A ∪ B ) ∩ B)
= ( ( A ∩ A ) ∪ ( B ∩ A ) ) ∪ ( ( A ∩ B) ∪ ( B ∩ B ) )
= ( ∪ ( B ∩ ∅A ) ) ∪ ( ( A ∩ B) ∪ ∅ )
= ( B ∩ A ) ∪ ( A ∩ B) = A B Δ
3.4. Propriétés
Négation
eE∅=‰ EE=∅‰()EEAA=‰‰ AA=

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Commutativité
A ∪ = ∅ A = A A A = A A ∪ E = E A B = B A B ∅∪∪∪⇔⊂
A ∪ B = B ∪ A (A ∪ B) C = A ∪ (B C) ∪∪
A ∩ = ∅ A = ∅ A ∩A = A A ∅∩∩ E = A A ∩ B = A A B ⇔⊂
A ∩ B = B ∩ A (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Lois de Morgan ABAB∪=∩ ABAB∩=∪
Distributivité
A ∩(B C) = (A ∩ B) (A ∩C) ∪∪
A ∪(B C) = (A ∪ B) ∩∩(A ∪C)
A ∩(B A) = A (A B) = A ∪∪∩
Différence A=E A A ∅ = A A B = ∅ ⇔A B ⊂
A B = A ∩B = A (A ∩B)
Différence symétrique
A B = B A A = A A ΔΔΔ∅Δ A = ∅
A B = ( A B) (A ∩ B) Δ∪
Cardinaux
Card (A ∪B) = Card (A) + Card (B) – Card ( A ∩B)
Card ( A) = Card (E) – Card (A)
Card (A B) = Card (A) – Card ( A B) ∩
3.5. Ensemble des parties d’un ensemble
Soit E un ensemble. Les sous ensembles ou parties de E constituent un ensemble que l’on note P ( E ).
A ∈ P ( E ) ⇔ A ⊂ E
Remarque : Les éléments de P ( E ) sont des ensembles et en particulier ∅ ∈ P ( E ) et E ∈ P ( E )
Si Card (A) = n alors Card (P (A)) = 2 n
Exemple : A = { 1, 2, 3 }
Les différentes parties de A sont : ∅ , { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 2, 3 }, { 1, 2, 3 } = A
Card (A) = 3 et Card (P (A)) = 2 3 = 8
3.6. Produit cartésien (d’ensembles)
Définition : Soient A et B deux ensembles. On appelle produit de A par B l’ensemble :
A x B = { ( a , b ) , a ∈ A , b ∈ B }
Souvent A x B ≠ B x A
Exemple : 2{(,),,}uvuv=∈∈
{ 1 , 2 , 3 } x { i, - i } = { ( 1 , i ) , ( 2 , i ) , ( 3 , i ) , ( 1 , - i ) , ( 2 , - i ) , ( 3 , - i ) }
Remarque : Si les ensembles A et B sont finis alors card ( A x B ) = card (A) . card ( B)

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4. Récapitulatif
Propositions
Ensembles
et
∧
∩
ou
∨
∪
ou exclusif
Δ
négation
non A, ¬A
E‰A ou A
⇔
=
⇒
⊂