Análisis de los Factores Externos de la Organización.
Electrostatica
1. ELECTROSTÁTICA
Este capítulo constituye un pre-apunte (o sea, no llega a
ser un apunte) cuya única función es facilitar la redacción
de los apuntes en clase por parte del alumno. Contiene
gráficos, formulas y explicaciones muy elementales de
los contenidos que se dictan en la clase teórica a mi
cargo, de forma que los participantes de la misma puedan
completar en los espacios en blanco lo que consideren
necesario. De ninguna manera reemplazan la bibliografía
sugerida y se debe tener en cuenta que no han sido
corregidos exhaustivamente
2. ELECTROSTÁTICA Interacciones eléctricas de cargas en reposo
Interacciones: acciones a distancia (Excluimos las de contacto)
Existen 4 interacciones (conocidas) en la naturaleza
gravitatoria (peso, cuerpos celestes; dominante a escala cosmos)
electromagnética (átomos y móleculas, uniones químicas)
nuclear fuerte (cohesión nuclear)
nuclear débil (emisión β radiactiva)
todas las demás son interacciones de contacto
La más conocida: Interacción gravitatoria: expresada por la
existencia de fuerzas atractivas entre cuerpos
2
21
r
mm
F ∝
F depende solo de mi y r
F siempre atractiva
3. Interacciones eléctricas
Se observa que experimentalmente que
algunos cuerpos interactuan entre si con F≠ FG
esas interacciones son atractivas o repulsivas (≠ FG)
dependen de una propiedad llamada carga eléctrica (q)
decaen con r de acuerdo a 1/r2
O sea
2
1
r
F ∝
r
r
qq
F (r
2
21
∝
Ley de Coulomb
21 qqF ∝ qi: cargas puntuales
F
r
en dirección q1- q2, y → ← o ← →
++ Repulsiva
- - Repulsiva
+ - Atractiva
4. Carga eléctrica (q)
Masa: magnitud física, “medida
de la cantidad de materia” a
F
m =En realidad
Magnitudes físicas: características cuantificables mediante
procesos de medición definidos (mediciones objetivas)
Ej.: longitud, masa, conductividad térmica, calor específico, emisividad,
dureza, elasticidad, resistencia a la tracción, .........................
Ej. de características que no lo son: belleza, simpatía, actualidad, valor,
interés, influencia,..................... Importancia!
Que es q? Magnitud física causante de F eléctrica
“Ubicación”de la carga eléctrica? A nivel atómico y nuclear
e
p quark
5. “nombre” de la carga define el
sentido de la fuerza actuando
como signo matemático en la
ley de Coulomb
Como medir q? Por su relación con magnitudes conocidas
F
mg
T Como F atractiva o repulsiva =>2 tipos de q (±)
Cuerpo cargado: por desbalance de cargas
(carga electrostática)
Necesidad de unidades ?111 Nmu =
229
2
/109 CmNKr
r
qq
KF ==
(r
1C a 1m de 1C =>F= 9 109 N
Otra + útil (C)
Carga electrón (e): -1,6 10-19 C = - carga protón Carga míni-
ma medida
q+ +
_
Frq ∝
r
6. !!!
Valores compartivos
Comparación entre F eléctrica y Fuerza gravitatoria
39
10
2731
11
10
219
9
1038,1
10
)1067,1.101,9(
1067,6
10
)106,1(
109
==
−
−−
−
−
−
G
E
F
F
A escala cósmica domina la FG y a escala atómica, la FE; que pasa?
A medida que se acumula masa para formar
planetas, estrellas y galaxias se acumula
fuerza gravitatoria pero se compensa fuerza
eléctrica pues átomos son neutros
10-15
10-10 10-5 1 105 1010 1015
m
Fuerzas
nucleares
Fzas.Electro-
magnéticas
Fuerzas gravitatorias
Rangos de dominio
1% de desbalance de q a 1 m => F
suficiente para sostener peso = Tierra!
8. Ejemplos
a q0
λ C/m
rdl
r
q
FrdV
r
q
KFd
l
(v(r
∫== 2
09
2
0
109
λρ
dl
dF
r
r
a
=αcos
( )
∫
∞
∞− +
=
2
3
22
09
109
la
dlaq
FN
λ
( ) 2
2
3
22
2
ala
dl
=
+
∫
∞
∞−
a
qFN
2
109 0
9
λ=
a
FN
1
∝
dFN
αcosdFdFN
=
α
Componentes // al hilo se anulan
Hilo infinito
λ C/m
9. Plano infinito uniformemente cargado plano yz con σ C/m2
∫∫=
yz
r
r
dzdy
qF '
'
109 20
9 (v
σ
drrSd π2=
v
En cilíndricas
R
a
=αcos
∫
∞
=
0
20
9 2
109
R
a
R
drr
qFN
π
σ
( )∫
∞
+
=
0
2/3220
9
2109
ra
drr
aqFN
πσ
( ) ara
drr 1
0
2/322
=
+
∫
∞
0
9
2109 qFN
σπ= FN independiente de a
Componentes // plano se anulan
En cartesianas dS=dy.dz
Sustitución drrdxrax 222
=⇒+=
x
y
z
a
q0
r
R
dr
α
dF
r´
10. x
y
z
R
Esfera uniformemente cargada (ρ C/m3)
a
q0
r
r’
ϕ
θ
ϕθθ dddrrdV 'sen'2
=
∫∫∫= dV
r
qF 20
9
109
ρ
∫∫∫ −
= ϕθθρ dddrsenr
ra
qF ''
'
1
109 2
20
9
rr
( )arararr ,'cos'' 222
−+=
2
3
2
2
3
4
''
'
1
a
R
dddrsenr
ra
πϕθθ =
−
∫∫∫ rr
a
a
R
qF (
2
3
0
9
3
4
109 πρ=
Es la misma fuerza que ejercería toda la carga
de la esfera (Q) concentrada en el origenQR =ρπ 3
3
4
dF
2
9 0
109
r
dVq
dF
ρ
=
11. Campo eléctrico
Si cargas quietas, ley de fuerza de Coulomb es sencilla, pe-
ro si cargas en en movimiento las relaciones son complica-
das por el retardo de la interacción (“viaja” a velocidad fini-
ta de ~300.000Km/s) y por la aceleración
Conviene expresar la electrodinámica a partir del concepto
de Campo eléctrico (y magnético)
Descripción con fuerzas
Descripción con campo
q q0
F
qi
EEqF i
vr
=
E: intermediario de la interacción
eléctrica
q
0
q
F
E
r
v
=
q0: carga de prueba
12. Definición de campo eléctrico
0
00 q
F
E limq
r
r
→
=
Para que q0 no modifique dis-
tribución de carga generadora
[ ]
C
N
E =
Así, E producido por una carga o una distribución de car-
gas, puede pensarse como una propiedad del espacio
En general, Campo es toda magnitud física que
toma un valor definido en cada punto del espacio
Ejemplos de campos escalares: de temperatura, de
alturas, de presiones,...
Ejemplos de campos vectoriales: gravitatorio, eléctrico,
de velocidades, magnético,....
13. Ejemplos de cálculo de campo eléctrico
Cargas puntuales:
r
r
q
Kr
qr
qq
KE
((v
2
0
2
0
1
==
r
q
Líneas de campo: puntos geométricos
tangentes al vector E
q+
q-
14. Hilo infinito con densidad lineal de carga λ (C/m)
αcosdEdEN
=
rdl
r
ErdV
r
KEd
V
(r(r
∫== 2
9
2
109
λρ
r
a
=αcos
( )
∫
∞
∞− +
=
2
3
22
9
109
la
dla
EN
λ
( ) 2
2
3
22
2
ala
dl
=
+
∫
∞
∞−
a
EN
2
109 9
λ=
a
EN
1
∝
λ+
λ-
dENa
dl
r
λ C/m
dE
l
15. Plano infinito uniformemente cargado (plano yz con σ C/m2)
En cartesianas dS=dy.dz
∫∫=
yz
r
r
dzdy
E '
'
109 2
9 (r
σ
En cilíndricas
R
a
=αcos
∫
∞
=
0
2
9 2
109
R
a
R
drr
EN
π
σ
x
y
z
a
q0
( )∫
∞
+
=
0
2/322
9
2109
ra
drr
aEN
πσ
( ) ara
drr 1
0
2/322
=
+
∫
∞
σπ2109 9
=N
E EN independiente de a
Componentes //
plano se anulan
drrSd π2=
v
r
R
dr
α
dF
σ+
σ-
Sustitución drrdxrax 222
=⇒+=
16. x
y
z
R
a
E en exterior de esfera uniformemente cargada (ρ C/m3)
ϕθθ dddrrdV 'sen'2
=
∫∫∫= dV
r
E 2
9
109
ρ
( )arararr ,'cos'' 222
−+=
2
3
9
3
4
109
a
R
E πρ=
Es el mismo campo que crearía toda la carga de
la esfera (Q) concentrada en el origen
QR =ρπ 3
3
4
2
9
109
r
dV
dERr
ρ
=>
2
3
2
2
3
4
''
'
1
a
R
dddrsenr
ra
πϕθθ =
−
∫∫∫ rr
ρ+
ρ-
ϕ
θ
∫∫∫ −
= ϕθθρ dddrsenr
ra
F ''
'
1
109 2
2
9
rr
r
r’
dE
17. Ley de Gauss E en r 2
9
109
r
q
E =
2212
90 /1084,8
1094
1
NmC−
==
π
ε
0
2
2
0
4
4
1
ε
π
επ
q
rE
r
q
E =⇒=
0ε
q
SE esfera =
r
dS
q
E
En la forma mas general ∫∫ =
0
.
ε
q
SdE
rr
Flujo de un vector ∫∫=Φ SdA
rr
.
A
dSφ =A dS
dS
φ=A
dS
cosα
dS
φ = 0
ε0: permitividad en vacío
0
9
4
1
109
επ
=si
19. r
Ley de Gauss: una de las cuatro ecuaciones de Maxwell
Asemás: útil para calcular E en situaciones de alta simetría
E
Hilo infinito cargado con λ C/m
∫∫ =
0
.
ε
q
SdE
rr
0
2
ε
λ
π
l
lrE =
r
E
0
2 επ
λ
=
Plano infinito con σ C/m2
E
S
0
2
ε
σ S
SE =
0
2 ε
σ
=E
Se pueden excluir las cargas externas a la sup. gaussiana en
el cálculo de E porque si el hilo o el plano son infinitos E solo
tiene componentes normales a ellos
20. R
Esfera cargada uniformente en volumen ρ (C/m3)
ρπ 3
3
4
RQ =
dS E
0
2
4
ε
π
Q
rERr => r
r
Q
E
(r
2
0
4
1
επ
=
0
3
2 3
4
4
ε
ρπ
π
r
rERr =<
0
3ε
ρr
E =
E
rR
21. Es esta una forma general de calcular E? NO
Por ejemplo en la esfera, por que
se usan solo las cargas
interiores a la superficie de
integración?
dS2
dS1
r1
r2
2
r
dS
KdE
σ
=
2
2
2
2
1
1
r
dS
r
dS
=
Las cargas “exteriores” a sup. de integración compensan efectos
Ej: E de 2 cargas puntuales en A
A
q2
q1
E total en A no lo puedo
calcular solo usando Gauss
con alguna de las cargas
E1
E2
ET
Solo en caso de simetría
se pude calcular el ET
usando parte de la
distribución de cargas
22. Empleo de la ley de Gauss para cálculo de E total: caso de 2
cargas
r2
q2
E2
E
0
12
11
4
ε
π
q
rE =
2
1
1
0
1
4
1
r
q
E
επ
=
En el punto o el campo
total es E y no E1
En casos de alta simetría, las cargas “exteriores” a la
superficie gaussiana se compensan por lo que se
puede calcular el E total considerando solo las cargas
encerradas en ella. Pero en caso de falta de simetría,
el campo total usando Gauss debe calcularse por
superposición, o sea, en este caso calculando también
E2 por Gauss y componiendo
q
r1
1
E1
o
23. b
b-a
a
R
Cálculo de E por superposición en geometrías complicadas
0
2
2 επ
πρ
lb
lR
E =
E
Ojo! `EEET
rrr
−=
`EEET
−=
ET
∫∫ =
0
.
ε
q
SdE
rr
E`
0
2
)(2
`
επ
πρ
lab
lr
E
−
−
=
r
24. Esfera uniformente cargada en superficie σ (C/m2)
σπ 2
4 RQ =
R 0
2
4
ε
π
Q
rERr =>
0=< ERr
r
r
Q
ERr
(r
2
0
4
1
επ
=>
Igual al producido por Q en el origen
0=< ERr
R
r
E
r
Significado de la dicontinuidad
25. Distinto tipo de comportamiento eléctrico de los materiales
Conductores:Son aquello que permiten el movimiento de
las cargas eléctricas en su interior (electrones débilmente
ligados de órbitas exteriores en metales o iones)
Metales
+
+
+
+ + +
Electrolitos
+ -
Polarización +q - +
26. Aislantes o dieléctricos: materiales que por el tipo de unio-
nes químicas no presentan portadores libres (cargas con
capacidad de desplazarse)
Semiconductores: materiales que en condiciones nor-
males se comportan como aisladores pero que ante
determinadas solicitudes (potencial eléctrico, radiación,..)
se comportan como conductores
Superconductores: materiales que en determinadas condi-
ciones permiten que los electrones se mueven sin ningún
tipo de dificultad (no presentan resistencia eléctrica)
27. R
r
Comportamiento electrostático de los conductores
Si hay carga en r < R => hay E en r,
y si el material es conductor (hay
cargas libres) estas se deben mo-
ver (alejándose) por acción de E
En situación electrostática, q en
superficie en los conductores
R
r
E
E= 0 dentro de los
conductores en
situación
electrostática
E creado por carga superficial
debe ser normal a S en la
superficie pues sino habría
componente tangencial y cargas
se moverían
2
4 R
Q
π
σ =
∫∫ =⇒=
00
.
ε
σ
ε
nE
q
SdE
rr
28. Ley de gauss en forma diferencial
∫∫ =
0
.
ε
q
SdE
rr
Expresión integral de la Ley de Gauss
S
∫∫∫∫
∫∫∫∫ ∫∫
+−
+=
23
31
..
...
SS
SS
SdESdE
SdESdESdE
rvrv
rvrvvv
∫∫ ∑ ∫∫=
i i
SdESdE
rrrr
..
E
V
SdE
lim
i
Vi
v
vr
.
.
0
∇=∫∫
→
∫
∫
∑ ∫∫
∫∫
==∇=
=
→
00
0
.
.
lim.
ε
ρ
ε
dVq
dVE
V
V
SdE
SdE
i
i
i
Vi
v
vr
vv
0
.
ε
ρ
=∇ E
r
S1
S3 S3 S2
Teorema de la
divergencia
i
i
V
V
E
29. z
E
y
E
x
E
V
SdE
limEEDiv zyx
i
S
Vi ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==∇=
∫∫
→
rr
rr .
.
0
x
y
z
Δy
Δx
Δz
zyEE x
x
xx
x
x ΔΔ− Δ
−
Δ
+
]))[
22
yxEExzEEzyEESdE z
z
zz
z
zy
y
yy
y
yx
x
xx
x
x ΔΔ−+ΔΔ−+ΔΔ−= Δ
−
Δ
+
Δ
−
Δ
+
Δ
−
Δ
+∫∫ ]))[]))[]))[.
222222
rr
...........
2!2
1
2
))
2
2
2
2
±⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
Δ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
±=Δ
±
x
x
Ex
x
E
EE
x
x
x
x
xxx
x
x
yx
z
z
E
z
z
E
xz
y
y
E
y
y
E
zy
x
x
E
x
x
E
z
z
z
z
y
y
y
y
x
x
x
x
ΔΔ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+Δ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+ΔΔ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+Δ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+ΔΔ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+Δ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
....
2!3
2
....
2!3
2
....
2!3
2
3
3
3
3
3
33
3
3
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
ΔΔΔ+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂ 333
,, zyxo
z
E
y
E
x
E
z
z
y
y
x
x
z
E
y
E
x
E
V
SdE
lim zyx
i
S
Vi ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∫∫
→
rr
.
0
Teorema de la Divergencia o de Gauss
En dirección x
30. Ejemplo: pared ∞ de ancho d y densidad de carga uniforme ρ
∫∫ =
0
.
ε
q
SdE
rr
00
2
2
2 ε
ρ
ε
ρ d
E
dS
SE
d
x =⇒=>
00
2
2
2 ε
ρ
ε
ρ x
E
xS
SE
d
x =⇒=<
0
0
0
22
22
22
ε
ρ
ε
ρ
ε
ρ
d
E
d
x
x
E
d
x
d
d
E
d
x
−=−<
=<<−
=>d
E
En x ±d/2 las
soluciones
convergen
32. Energía electrostática
Energía potencial:
gravitatoria
elástica
2
2
1
xkE
hgmE
PE
PG
Δ=Δ
Δ=Δ
)()( propiasFzasWExtFzasWEP −==Δ
∫ ∫−== ldFldFW ext
rrrr
.. int
Δh
mg
-mg
Si cae (acción espontánea que no requiere interven-
ción externa) el sistema (masa-Tierra) pierde energía
potencial. Si sube (solo posible por acción de un
agente externo) el sistema gana energía potencial
Como medir EP?. Solo por el trabajo realizado para
crear la situación concreta sin el agrado de ningún
otro tipo de energía (EC), o sea con F= - F(propia) y
en pasos infinitesimales para no acelerar
33. Energía electrostática de un sistema de dos cargas
q(+) q1
∫∫ ∞∞
−==Δ
rr
extFext
rdEqrdFW
rrrr
.. 1
EP
r
q1 +
Fext
q1 -
Fext
∫∞
−=Δ
r
Fext
r
dr
qqW 21
0
4
1
επ
r
qq
EW PFext
1
4 0
1
επ
=Δ=Δ
++ o -- : (fuerzas repulsivas)
la energía potencial aumenta
cuando acerco las cargas
(solo posible por acción de
un agente exterior)
+ - : (fuerzas atractivas) la energía
potencial disminuye cuando acer-
co las cargas (espontáneo)
Si cargas van
de r1 a r2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−==Δ ∫
120
1
2
0
1
11
44
2
1 rr
qq
r
drqq
E
r
r
P
επεπ
ΔE>0 si ++ o -- y
acerco o si +- y
alejo y <0 si ...
34. Fuerza de Coulomb es conservativa, o sea el W necesario
para mover una carga entre dos puntos es independiente
del camino recorrido (Idem fuerzas gravitatorias)
dr
r
qq
ldr
r
qq
ldFdW C 2
1
0
2
1
0
4
1
.
4
1
.
επεπ
===
r(rr
Caso gravitatorio sin fr
ha
ααsenagmhgmW ==Δ
q
q1
r
dl
ldrrd
r(r
.=
r
(
35. Ejemplo: v necesaria para acercar a un núcleo de Tritio y
otro de Deuterio a distancia de 10-15 m para producir fusión
En sistema CM
p
n n
T
VT
p
n
D
VD
D
TT
DDDTT
M
VM
VVMVM =⇒=− 0
d
qq
VMVM DT
DDTT
0
22
4
1
2
1
2
1
επ
=+
Kgm
MM
mm
Cqq
e
DT
pe
DT
31
19
101,9
23
2000
106,1
−
−
=
=≈≈
==
smV
smV
D
T
/105,6
/103,4
6
6
=
=
En un gas velocidad es proporcional al
cuadrado de la temperatura; las
velocidades anteriores equivalen a
temperaturas del orden de 107-108 °K
36. Energía electrostática de un sistema de cargas
q1
q2
q3
00 =Δ⇒=Δ P
EW
r1-2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=Δ
−−− 320
32
310
31
210
21
1
4
1
4
1
4 r
qq
r
qq
r
qq
EP
επεπεπ
r1-3
r2-3
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=Δ
−210
21
1
4 r
qq
EP
επ
EP de un sistema de cargas puntuales ∑≠
−
=Δ
ji
ji
ji
P
r
qq
E
0
4
1
επ
Energía electrostática de cargas distribuidas
∫∫∫ −
=⇒=
'
sen'
44
1 2
0
11
0
rR
dddrrq
E
r
dVq
dE PP rr
ϕθθ
επ
ρρ
επ
EP igual al de Q en origen r
qq
EP
0
1
4 επ
=
R
r
r´
q1
ρ
Para traer q1 aislada desde ∞
Para traer ahora q2
Y para traer q3
37. Potencial eléctrico F=>E=F/q
EP =>V=EP/q
Diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos: cambio
de la energía potencial cuando una carga de prueba se
mueve entre esos dos puntos dividido el valor de la carga
( )
∫∫
−
===
Δ
=Δ −
−
b
a
b
a
extabP
ba
q
ldEq
ld
q
F
q
W
q
E
V
rr
r
r
.
. ∫−=−=Δ −
b
a
abba
ldEVVV
rr
.
E
V1 V2
V1 > V2
E apunta en la dirección
en que V decrece
A B
[V]=J/C=Volt (V)
De A a B el potencial decrece
de B a A el potencial aumenta
E
38. Carga puntual
r
q
q
E
VVV P
00
)2(
22
4 επ
=
Δ
=−= −∞
∞
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=−=Δ −
120
1221
11
4 rr
q
VVV
επ
0
0
0
0
12
21
12
21
<Δ→
>Δ→⇒−
>Δ→
<Δ→⇒+
Vrr
Vrrq
Vrr
Vrrqa
b
0=−=Δ − abba
VVV
Superficies equipotenciales
Sistema de cargas puntuales
q1
q2
q3
r1
r2
r3
∑=−= ∞
i
i
i
r
q
VVV
0
4
1
επ
r2
V2
r1
V1
q
r
39. Potencial de una linea infinita con carga λ C/m
r
Idem pared infinita con carga σ C/m2
∫−=−=Δ
2
1
.12
r
r
rdEVVV
rr
r
r
E
(r
0
2 επ
λ
=
1
2
0
12
ln
2 r
r
V
επ
λ
=Δ −
?0 dondeV =
)(10 arbitrariorenV ==
∫−=−=Δ
2
1
.12
r
r
rdEVVV
rr
0
2 ε
σ
=E
r
)(
2
12
0
12 rrV −−=Δ −
ε
σ
?0 dondeV =
)(10 arbitrariorenV ==
r
equipotenciales
40. Potencial generado por esfera conductora
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=−=Δ>
10
12
11
4 2
rr
q
VVVRr
επ
(Carga en superficie)
V
0)( =∞=rV
∫−=−=Δ
2
1
.12
r
r
rdEVVV
rr
R
q
RV
0
4
1
)(
επ
=
r
q
rV
0
4
1
)(
επ
=
0
4
1
2
0
=<
=>
ERr
r
r
q
ERr
(r
επ
)(0 cteVVRr ==Δ<
r
R
Superficie equipotencial
41. Potencial de esfera cargada uniformemente en V
r
R
∫−=−=Δ
2
1
.12
r
r
rdEVVV
rr r
r
q
ERr
(r
2
0
4
1
επ
=>
0
3ε
ρ r
ERr =<
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=−=Δ>
10
12
11
4 2
rr
q
VVVRr
επ 0)( =∞=rV
R
q
RV
0
4
1
)(
επ
=
r
q
rV
0
4
1
)(
επ
=
∫∫ <−>−=<
∞
r
R
R
rdRrErdRrErVRr
rrrr
).().()(
)(
64
1
)( 22
00
Rr
R
q
rV −−=
ε
ρ
επ
ρπ 3
3
4
Rq =
)(RVRr ⇒=
)]1(
2
1
1[
4
)( 2
2
0
−−=
R
r
R
q
rV
επ 2
)(3
0
RV
Vr =⇒=
V
42. Potencial generado por una carga rodeado de una cáscara
conductora
∫−=−=Δ
2
1
.12
r
r
rdEVVV
rr
r
r
q
Ebr (r
2
04
1
επ
=>
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=−=Δ>
10
12
11
4 2
rr
q
VVVbr
επ
0)( =∞=rV
r
q
rV
0
4
1
)(
επ
=
∫∫∫ −−−=<
∞
r
a
a
b
b
ldEldEldEVbr
rrrrrr
...
+q
a
b
-q
+q
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+=
ar
q
b
q
V
11
44
1
00
επεπ
V
43. Influencia de V externa sobre la distribución de cargas en
conductores
+q’
a
b
-q’
+q
V
V impone q’ en esfera interior,
totalmente o modificando una
carga existente, y por inducción se
generan –q’ y +q’ en la cáscara de
acuerdo a
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+=
ar
q
b
q
V
i
11
4
''
4
1
00 επεπ
ri: radio esfera interior
V impone q’ en esfera interior de
forma que
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=
ar
q
V
i
11
4
'
0επ
En cáscara conductora E= 0 por lo
que en r= a la carga debe ser –q’. En
r= b la carga depende de la carga
original en la cáscara
V
+q’
a
b
-q’
+q’
44. Relación entre E y V
rdEdVrdEV
r
r
rrrr
..
2
1
−=−=Δ ∫
0
.
ε
ρ
=∇ E
r
0
2
ε
ρ
−=∇ V Ec.Poisson
k
z
V
j
y
V
i
x
V
V
(((
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
cartesianas
2
2
2
2
2
2
2
z
V
y
V
x
V
V
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
02
=∇ V Ec.LaplaceSi ρ=0
VE −∇=
r
r
V
ΔV
Δr
dr
dV
E: campo electrostático generado
por cargas. Es un campo derivado
de fuerzas conservativas (~1/r2),
que son aquellas de las cuales
pueden derivarse potenciales que
son solo función de los estados
iniciales y finales
45. Ejemplo
Pared ∞
Dentro pared Ec. Poisson y fuera Ec. Laplace
02
0
2
=∇−=∇ VV
ε
ρ
0
.
ε
ρ
=∇ E
r
cxbV
x
V
aE
x
ED
x +=⇒=
∂
∂
=⇒=
∂
∂
> 00
2 2
2
fxexV
x
V
dxE
x
ED
x
D
++−=⇒−=
∂
∂
+=⇒=
∂
∂
<<−
2
00
2
2
00
2
22
ε
ρ
ε
ρ
ε
ρ
ε
ρ
ixhV
x
V
gE
x
ED
x +=⇒=
∂
∂
=⇒=
∂
∂
−< 00
2 2
2
Condiciones de borde para E
0
2
)
2
(00)0(
ε
ρ DD
EdE =⇒=⇒=
⇒=−−= )
2
()
2
()
2
(
D
E
D
E
D
E inexex
xEin
0
ε
ρ
=
0
2 ε
ρ D
Eex
±=
ρ
D
47. Conductor en campo eléctrico
+
+
+
-
-
-
+
+
+
-
-
-
-
-
-
+
+
+
En conductor cargas en superficie,
sino repeliéndose y en movimiento
Superficie de un conductor nece-
sariamente debe ser equipotencial
sino las cargas se estarían mo-
viendo
00
ε
σ
ε
σ
=⇒= E
S
SE
SE ⊥
48. Superficie interior es un equipotencial
Si dentro E ≠ 0
∫−=−
B
A
AB
rdEVV
rv
.
Si A-B se toma de forma
que camino paralelo a E
BA
VVrdE >⇒> 0.
rr
contradiciendo hipótesisDentro de los conductores, sean
macizos o huecos, E es nulo,
independientemente de las car-
gas externas y su distribución
Apantallamiento
Lugar más
seguro?
A
B
metal
49. Influencia de la forma del conductor
R1
q’1
σ’1
R2
q’2
σ’2
Al conectar los 2 cuerpos
todos los conductores
forman un equipotencial
20
2
22
10
2
11
4
4
4
4
R
R
R
R
επ
σπ
επ
σπ
=
1
2
2
1
R
R
=
σ
σ
En los conductores las cargas se concentran en las
zonas de menor radio de curvatura => pararrayos
20
2
10
1
21
44 R
q
R
q
VV
επεπ
=⇒=R1
q1
σ1
R2
q2
σ2
50. Capacitores
∫ =−=Δ
0
0
ε
σ d
rdEV
rr
0
ε
σ d
V =Δ
-q+q
E0
d
0
0
ε
σ
=E
V
q
C
Δ
=
d
S
C 0
ε
=capacidad
Capacitor
plano
00
11
2
2
ε
λ
ε
σπ
π
llr
lrE ==
r1
r2
r
r
r
E
0
11
0
2 ε
σ
επ
λ
==
1
2
0
11
1
2
0
lnln
2
.
r
rr
r
r
rdEV ∫ ==−=Δ
ε
σ
επ
λrr
1
2
0
1
2
0
ln
2
ln
2
r
r
l
r
r
l
C
επεπ
==[ ] )(FFaraday
V
c
C == Capacitor
cilíndrico
C depende solo de parámetros geométricos
Aproximación capacitor infinito
0
0
ε
σ S
SE =
51. Significado de la capacidad dq
C
q
dqVdEP
==
∫=
q
P
dqq
C
E
0
1
VqVC
C
q
EP
2
1
2
1
2
2
2
===
C mide la capacidad de
almacenar energía de un
capacitor
Faraday: unidad muy grande
28
0
101,1 m
dC
S ==
ε
C en μF (10-6) a pF (10-12)
FCymmd 11 ==en condensador plano si
q
V
c/dq que muevo entre placas requie-
re otra energía pues V va variando
)( hgmnEP
=
distinto a
52. Energía del campo eléctrico
Sd
dE
d
S
Sd
VC
Vol
E
u P
2202
2
12
1
.
ε
===
2
0
2
1
EuP ε=Densidad de energía potencial en vacío
Donde hay E hay energíaVacío absoluto? 2
cmEnergía =
Deducida para condensador plano pero vale en general
Ej. Capacitor cilíndrico
∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
2
1
2
22
1
2
0
0
r
r
P
drrl
r
E π
επ
λ
ε
1
2
0
2
ln
4 r
rl
EP
επ
λ
=
2
0
2
1
E
dVol
dEP
ε= 2
2
1
VCEP
=
2
1
2
0
1
2
0
ln
2ln
2
2
1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
r
r
r
r
l
EP
επ
λεπ
1
2
0
2
ln
4 r
rl
EP
επ
λ
=
Energía por unidad de volumen
53. Energía de una esfera cargada en volumen: complejo!
2
0
2
1
E
dVol
dE
u P
ε==
∫ ∫ ∫ ∫ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
∞π π
επε
ρ
ϕθθε
0
2
0 0
2
2
2
0
2
2
0
0
43
sen
2
1 R
R
P
drr
r
q
drr
r
ddE
( ) ∫∫
∞
−
+=
R
R
P
drr
q
drrE 2
2
0
2
0
0
4
0
2
4
4
2
1
22
18 επ
πεπ
ε
ρ
R
q
R
qR
EP
0
2
0
2
0
52
40
6
85.18
4
επεπε
ρπ
=+=
∫= dVolEEP
2
0
2
1
ε en todo el espacio
00
3
2
3
3
4
4
ε
ρ
ε
πρ
π
r
E
r
rE =⇒=Por Gauss, para r<R
E para r>R
ϕθθ ddrdsenrdV 2
=
54. Conexión de capacitores
serie
C1 C2
V1 V2
-q
V
+q -q+q
isla
C
q
C
q
C
q
VVV =+=+=
21
21
∑=
i
CC
11
paralelo
C2
C1
V
q1
q2
C
q
)( 2121
CCVqqVCq +=+==
∑= i
CC
Carga neta =0 si condensadores
inicialmente descargados
55. Capacitor originalmente cargado
cuando se conectan, la carga q0 se redis-
tribuye en ambos condensadores
021
qqq =+
q0
C2
C1
1
0
0
C
q
V =
1
2
0
000
2
1
2
1
C
q
VqEP
==
y conjunto equivale a tener un //: C=C1+C2
21
0
CC
q
V
+
= VCqVCq 2211
==
0
21
2
0
021
2
1
2
1
2
1
2
1
PP
E
CC
q
VqVqVqE <
+
==+=
Una parte de la energía se disipa en los conductores
cuando las cargas se distribuyen y otra se emite como
radiación electromagnética
57. E
F=q E
α
+q
-q
2a αατ sen2sen2 aEqaF ==
definimos +−= aaqp 2
r
p
dipolo tiende a rotar alineándose con E
Ep
rr
×=τ
αdads =
ds
dα
αα sen. daEqsdFdWdEP
===
rr
ds
)cos(cossen2 12
2
1
αααα
α
α
−−==Δ ∫ EpdEaqEP
Si EP=0 cuando α = 90° αcosEpEP
−=
I
+
+
–
+
I
EP min
EP=0
EP max
E
EpEP
vr
.−=
Dipolo en E
p: momento dipolar
58. +-+-+-
+q -q
E0
Dieléctricos
E
'0
EEE −=
00
)'(
.
εε
qqq
sdE enc
−
==∫∫
rr
00
')'(
ε
σσ
ε
σσ −
=⇒
−
= E
S
SE
PDSi
rr
== 'σσ PED
rrr
+= 0
ε
EPEP
rr
χε0
=⇒∝ ( ) EED
rrr
εεχ =+= 0
1
D: Desplazamiento P: Polarización
χ : susceptibilidad, ε : permitividad en medio
r
ε
ε
ε
χ =Κ==+
0
)1( constante dieléctrica
ED
EP
rr
rr
ε
χε
=
= 0
( ) ( ) EKEEEEPE χεεεεσ
ε
σ
00000
0
1''
'
' =−=−===⇒=
E’
-q’ +q’
En sup. dieléctrico
carga de polarización
59. qqqq
S
S
P
SE =+⇒−=== )1
1
(''
'
0
0
0
χχ
σ
ε
χε
ε
)
1
1(')1('
K
qqqq −=⇒=+ χχ
qqK
qK
=⇒∞=∞=
=⇒==
')(
0')0(1
χ
χ
Ley de Gauss en dieléctricos
∫∫ −= '.0
qqSdE
rr
ε
∫∫ ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −−= )
1
1(1.0
K
qSd
D r
r
ε
ε ∫∫ = qSdD
rr
.
∫∫ ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −−= )
1
1(1.
0
0
K
qSd
P r
χε
ε
K
q
K
qq
χ
=−= )
1
1(' ∫∫ = '. qSdP
rr
60. 0
CKC =
E
P
D D D
E0E0
+q -q
odieléctricconED
odieléctricsinED
ε
ε
=
= 00
K
V
V
K
E
E
E
E 0000
1 =⇒=⇒=
ε
ε
K
V
q
V
q
C
0
==
La introducción de un dieléctrico en un condensador
multiplica la capacidad por K
d
S
d
S
KC εε == 0
Valores
Material K Campo
Ruptura
V/m
Aire 3 106
Pilicarbonato 2,8 3 107
Poliéster 3,3 6 107
Vidrio pirex 4,7 1 107
P o li
61. Al introducir dieléctrico V cte en bornes de C
Hasta ahora C aislado (q cte); que pasa si conectado a V?
C
ε
KCCC 00
=→
Cargas de polarización en dieléctrico
tienden a reducir el campo pero como
este está fijado por ε, la batería termi-
na reforzando las cargas en C
KCCKqq 00
=⇒→
Capacitor aislado Capacitor conectado a V2
000
2
1
VCEP
=
K
V
VVKCCC 0
000
=→=→
K
E
K
V
KCVCE P
P
0
2
2
0
0
2
2
1
2
1
===
Introduciendo un dieléctrico
000
VVKCCC ==→
0
2
00
2
2
1
2
1
PP
EKVKCVCE ===
Introduciendo un dieléctrico
62. ε2ε1
E1
E2
Condiciones de borde en límite entre dieléctricos
h
∫ =0. ldE
rr
∫∫ =−⇒→ 0..0 21
ldEldEh
rrrr
21 tt EE = siempre
∫∫ == 0. qSdD
rr si no hay q en
superficie de
separación
ε2
ε1
E2
E1
h
∫∫∫∫ =−⇒→ 0..0 21 SdDSdDh
rrrr
21 NN DD =
Si no hay cargas libres en superficie
coaxil Cu
malla
ε1
ε2
