1. Universidad Central Del Ecuador
Unidad de Física (Fundamento conceptual)
Nombre: Leo Herdoiza
Curso: Física I
Carreara: Informática
Interpretación de una función cuadrática y obtención de la ecuación de una función
cuadrática.
Ecuación cuadrática
Una ecuación cuadrática es una aquella en que el exponente mayor de la incógnita es
2. Es decir, es una ecuación de segundo grado, y al resolverla obtendrás dos soluciones
posibles: x1 y x2 .
La ecuación general de la ecuación de 2º grado o cuadrática es de la forma:
Ax2+ B x + C =0 (con A ? 0)
Para resolver una ecuación cuadrática existen diferentes métodos, dependiendo de los
coeficientes numéricos A, B, C.
Resolución de ecuaciones cuadráticas
Por factorización
Podremos resolver una ecuación del tipo: x2 - 12x - 28 = 0, por este método solo si
el trinomio puede ser factorizado. En este caso, buscando dos números que
multiplicados den –28 y sumados den –12; (se buscan todos los pares de factores cuyo
producto sea 28). En este ejercicio, los números son -14 y 2, porque la suma de ellos
es igual a -12. Por lo tanto, la factorización es (x - 14)(x + 2) = 0. Como el producto es
igual a 0, entonces (x – 14) = 0 o bien (x + 2) = 0.
A partir de esto se deduce que las soluciones son x = 14 y x = -2.
Recíprocamente, podemos generalizar que si x1 y x2 son las soluciones de una ecuación
de segundo grado, entonces la ecuación (x – x1)• (x – x2) = 0 es un producto de
binomios con 1 término común y corresponde a x2 – x1• x – x2• x + x1• x2 = 0, que si se
factoriza en x2 resulta: x2 - (x1 + x2)• x + x1 x2 = 0. Es por esto que si el valor de A = 1,
entonces B es el valor de la suma de las soluciones y C es el valor del producto de las
soluciones.
Este método se puede aplicar en cualquiera de los trinomios factorizables, incluyendo
binomios de la forma: X2 – B2. Por ejemplo: x2 – 81 = 0, el que se factoriza en producto
de suma por diferencia: (x + 9)• (x – 9) = 0, determinando las soluciones x1 = -9 y x2 = 9.

2. Utilizando la fórmula
Todas las ecuaciones cuadráticas: ax2 + b x + c = 0 (con a ? 0) Se pueden resolver
utilizando la fórmula:
Ejemplo:
Resolver la ecuación x2 – 10x + 24 = 0
En esta ecuación: a = 1; b = -10 y c = 24. Reemplazando en la fórmula, obtenemos:
determinando así las soluciones x1 = 6 o x2 = 4
Por completación de cuadrados
Ejemplo:
Resolver la ecuación: x2 – 6x + 8 = 0
Con los términos x2 y - 6x podemos formar el cuadrado de binomio (x – 3)2
Pero nos faltaría el número 9, por lo tanto sumaremos 9 a ambos lados de la ecuación
para formar el cuadrado de binomio:
x2 – 6x + 8 = 0 /+9
x2 – 6x + 9 + 8 = 9 / factorizamos el trinomio cuadrado perfecto
(x – 3)2 + 8 = 9
(x – 3)2 = 1
Por lo tanto, (x – 3) = 1 o (x – 3) = -1, de lo que se deduce que x1 = 4 o x2 = 2
Despejando la incógnita
En algunos casos en que sólo aparece la incógnita x, se puede despejar y calcular así las
soluciones.
Ejemplo:
(x + 8)2 + 15 = 136 / restamos 15
(x + 8)2 = 136 – 15 / aplicamos raíz en ambos miembros de la igualdad
x + 8 = , entonces x1 = 11 – 8 o bien x2 = -11 – 8, por tanto : x1 = 3 y x2 = -19
Planteo de problemas con ecuaciones cuadráticas
Un número entero cumple con que el cuadrado del antecesor de su doble equivale a
su cuadrado aumentado en 5. ¿Cómo plantearías la ecuación?
Sea x el número entero, entonces el enunciado se traduce en:
(2x – 1)2 = x2 + 5
donde el binomio (2x – 1)2 corresponde al cuadrado del antecesor del doble de un
número entero, y el binomio X2 + 5 corresponde al cuadrado del número entero

3. aumentado en 5 unidades.
Ordenando y reduciendo, se obtiene la ecuación cuadrática:
3x2 – 4x – 4 = 0
Utilizando la fórmula, con a = 3, b = -4 y c = -4
Por lo tanto x1 = 2 o x2 = -2/3
Como el número que se pide es un número entero, la solución correcta solo es x = 2.
Ejemplo:
Un triángulo tiene un área de 24 cm2 y la altura mide 2 cm más que la base
correspondiente. ¿Cuánto mide la altura? (Te sugiero dibujes la situación)
Sea x la base, entonces su altura es x + 2, y su área:
La ecuación que resuelve el problema es:
Ordenando e igualando a cero, obtenemos la ecuación: x2 + 2x – 48 = 0
Factorizando: (x – 6)(x + 8) = 0 x = 6 o x = -8
Como x es una longitud, la solución descarta los números negativos, por lo tanto x = 6
(la base es 6) y la altura mediría 8 cm.
Naturaleza de una ecuación cuadrática
Hemos visto que las soluciones de una ecuación cuadrática de la forma: ax2 + bx + c = 0
con a ? 0, se pueden obtener según la expresión:
La cantidad subradical: (b2 – 4ac) se llama discriminante y se denomina con la letra
griega delta: ?. Nos permite determinar el tipo de soluciones que tiene la ecuación
cuadrática.
Si el discriminante resulta ser negativo, estaríamos calculando la raíz cuadrada de un
número negativo, por lo tanto, las soluciones no serían números reales; si el
discriminante es cero, las soluciones serían iguales, y si ? es positivo, las soluciones son
dos números reales y distintos.

4. Método de linealización de una función cuadrática
En matemáticas y sus aplicaciones, la linealización se refiere al proceso de encontrar
la aproximación lineal a una función en un punto dado. En el estudio de los sistemas
dinámicos, la linealización es un método para estudiar la estabilidad local de un punto
de equilibrio de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales. Este método se
utiliza en campos tales como la ingeniería, la física, la economía, y la biología.
Obtención de la ecuación de una función cuadrática.
Bibliogafia:
http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Marcela%20Martinez/funcion_cua
dratica_caracteristicas_nuevo.htm
http://www.inba.cl/pdf/matematicas/funcionCuadratica.pdf
http://www.aularagon.org/files/espa/ON_Line/matematicas/CMMC5Funciones/CMM
C7Complementarias_3.htm