1) Dois métodos são apresentados para resolver sistemas de equações: substituição e adição. No método da substituição, uma incógnita é isolada e substituída na outra equação. No método da adição, as equações são somadas de forma a anular uma das incógnitas. 2) Exemplos são resolvidos para ilustrar os métodos. No primeiro exemplo, o método da substituição é usado para encontrar que a solução é S=(8,12). 3) No segundo exemplo, o método da adição é aplicado e também chega-se à sol

1. Para encontrarmos numa equação de 1º grau com duas incógnitas, por exemplo,
4x + 3y = 0, os valores de x e de y é preciso relacionar essa equação com outra ou
outras com as mesmas incógnitas. Essa relação é chamada de sistema.
Um sistema de equação de 1º grau com duas incógnitas é formado por: duas equações de 1º grau com
duas incógnitas diferentes em cada equação. Veja um exemplo:
Para encontramos o par ordenado solução desse sistema é preciso utilizar dois métodos
para a sua solução.
Esses dois métodos são: Substituição e Adição.
Método da substituição
Esse método consiste em escolher uma das duas equações, isolar uma das incógnitas e substituir na
outra equação, veja como:
Dado o sistema , enumeramos as equações.
Escolhemos a equação 1 e isolamos o x:
x + y = 20
x = 20 – y
Agora na equação 2 substituímos o valor de x = 20 – y.
3x + 4 y = 72
3 (20 – y) + 4y = 72
60-3y + 4y = 72
-3y + 4y = 72 – 60
y = 12
Descobrimos o valor de y, para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equação
x = 20 – y.
x = 20 – y
x = 20 – 12
x=8
Portanto, a solução do sistema é S = (8, 12)
Método da adição
Esse método consiste em adicionar as duas equações de tal forma que a soma de uma das incógnitas
seja zero. Para que isso aconteça será preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equações ou
apenas uma equação por números inteiros para que a soma de uma das incógnitas seja zero.
Dado o sistema:

2. Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das incógnitas de zero, teremos que multiplicar a
primeira equação por – 3.
Agora, o sistema fica assim:
Adicionando as duas equações:
- 3x – 3y = - 60
+ 3x + 4y = 72
y = 12
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equações e substituir o
valor de y encontrado:
x + y = 20
x + 12 = 20
x = 20 – 12
x=8
Portanto, a solução desse sistema é: S = (8, 12).
Se resolver um sistema utilizando qualquer um dois métodos o valor da solução será sempre o mesmo.
Exemplo 1
A população de uma cidade A é três vezes maior que a população da cidade B. Somando
a população das duas cidades temos o total de 200.000 habitantes. Qual a população da
cidade A?
Indicaremos a população das cidades por uma incógnita (letra que representará um valor
desconhecido).
Cidade A = x
Cidade B = y
x = 3y
x + y = 200 000

3. Substituindo x = 3y
x + y = 200 000
3y + y = 200 000
4y = 200 000
y = 200 000/4
y = 50 000
x = 3y , substituindo y = 50 000
Temos
x = 3 * 50 000
x = 150 000
População da cidade A = 150 000 habitantes
População da cidade B = 50 000 habitantes
Exemplo 2
Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um pagamento de R$
140,00. Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas?
x notas de 20 reais y notas de 5 reais
Equação do número de notas: x + y = 10
Equação da quantidade e valor das notas: 20x + 5y = 140
x + y = 10
20x + 5y = 140
Aplicar método da substituição
Isolando x na 1ª equação
x + y = 10
x = 10 - y
Substituindo o valor de x na 2ª equação
20x + 5y = 140
20(10 – y) + 5y = 140
200 – 20y + 5y = 140
- 15y = 140 – 200
- 15y = - 60 (multiplicar por -1)
15y = 60
y = 60/15
y=4

4. Substituindo y = 4
x = 10 – 4
x=6
Exemplo 3
Num aquário há 8 peixes, entre pequenos e grandes. Se os pequenos fossem mais um,
seria o dobro dos grandes. Quantos são os pequenos? E os grandes?
Pequenos: x
Grandes: y
x+y=8
x + 1 = 2y
Isolando x na 1ª equação
x+y=8
x=8-y
Substituindo o valor de x na 2ª equação
x + 1 = 2y
(8 – y) + 1 = 2y
8 – y + 1 = 2y
9 = 2y + y
9 = 3y
3y = 9
y = 9/3
y=3
Substituindo y = 3
x=8–3
x=5
Peixes pequenos: 5
Peixes grandes: 3
Exemplo 4
Descubra quais são os dois números em que o dobro do maior somado com o triplo do
menor dá 16, e o maior deles somado com quíntuplo do menor dá 1.
Maior: x
Menor: y

5. 2x + 3y = 16
x + 5y = 1
Isolando x na 2ª equação
x + 5y = 1
x = 1 – 5y
Substituindo o valor de x na 1ª equação
2(1 – 5y) + 3y = 16
2 – 10y + 3y = 16
- 7y = 16 – 2
- 7y = 14 (multiplica por -1)
7y = - 14
y = -14/7
y=-2
Substituindo y = - 2
x = 1 – 5 (-2)
x = 1 + 10
x = 11
Os números são 11 e -2.
1º) método da adição
Este método consiste em deixar os coeficientes de uma incógnita opostos. Desta forma,
somando-se membro a membro as duas equações recai-se em um equação com uma única
incógnita.
EXEMPLO:
1º passo: vamos multiplicar a primeira linha por -1 para podermos cortar –2x com 2x
2º passo: Substituir y = - 2, em qualquer um das equações acima e encontrar o valor de x.

6. 3º passo: dar a solução do sistema.
S = { (4, -2) }
2º) método da substituição
Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e substituí-la na outra equação
do sistema dado, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única incógnita.
EXEMPLO:
1º passo: vamos isolar o y na primeira equação para podermos substituir na Segunda equação.
2º passo: Substituir y = 6 – 2x, na segunda equação para encontrar o valor de x.
3º passo: Substituir x = 4 em y = 6 – 2x, para encontrar o valor de y.
y = 6 – 2x
y = 6 – 2.4
y=6–8
y = -2
4º passo: dar a solução do sistema.
S = { (4, -2) }
Sistema de equação( substituição )

7. No método da susbstituição vamos isolar um dos termos(letra) que no caso do exemplo acima
foi o X subtraimos y dos dois lados obtendo x = 50 - y donde substituiremos em x-y=10 obtendo
y = 20 .Dai substituimos na equação onde o x esta isolado resultando em X = 30
Sistemas de Equações: Método da
Comparação
Resolver um sistema de equações com duas variáveis consiste em utilizar técnicas matemáticas na
determinação das incógnitas x e y. Os métodos utilizados pelos matemáticos na resolução consistem em:
resolução gráfica, substituição, adição e comparação. Vamos fixar nosso estudo no método da
comparação, que consiste em isolar a mesma incógnita nas duas equações, realizando a comparação
entre elas. Observe a resolução dos modelos a seguir:
Exemplo 1
Isolando x na 1ª equação
x + y = 7
x = 7 – y
Isolando x na 2ª equação
x – 2y = – 5
x = – 5 + 2y
Realizando a comparação
x = x
7 – y = – 5 + 2y
– y – 2y = –5 –7
– 3y = – 12 *(–1)
3y = 12
y = 12/3
y = 4
Para calcularmos o valor de x utilizamos qualquer uma das equações substituindo y por 4.
x = – 5 +2y
x = – 5 + 2 * 4
x = – 5 + 8

8. x = 3
Solução do sistema: (3; 4)
Exemplo 2
Isolando x na 1ª equação
x + 2y = 40
x = 40 – 2y
Isolando y na 2ª equação
x – 3y = – 35
x = – 35 + 3y
Realizando a comparação
x = x
–35 + 3y = 40 – 2y
3y + 2y = 40 + 35
5y = 75
y = 15
Calculamos o valor de x substituindo y = 15 em qualquer das equações.
x = – 35 + 3y
x = – 35 + 3 * 15
x = –35 + 45
x = 10
Solução do sistema: (10; 15)
Exemplo 3
Isolar y na 1ª equação
2x + y = 4
y = 4 – 2x
Isolar y na 2ª equação
3x + y = – 3
y = – 3 – 3x
Realizando a comparação
y = y
4 – 2x = – 3 – 3x
–2x + 3x = –3 – 4
x = –7
Calculando y através de x = – 7

9. y = – 3 – 3x
y = –3 – 3 * (–7)
y = –3 + 21
y = 18