Gráfico de control tipo p p Control Chart

1. Seven Basic Tools of Quality: Control Chart.
G. Edgar Mata Ortiz
Process
Variability

2. Las siete herramientas…
El gráfico de control es otras de las 7 herramientas básicas para
la calidad.

3. Control Chart
¿Qué es un gráfico de control?
Es una herramienta diseñada para medir la variabilidad del
proceso a los largo del tiempo.
Está formado por las medias aritméticas, rangos,
desviaciones estándar u otros estadísticos de un conjunto de
muestras tomadas a intervalos regulares en el tiempo; cada
hora, cada 4 horas, cada turno, o cualquier otra secuencia
sistemática.

4. Control Chart
Una de sus características más sobresalientes son los límites
de control; tres líneas principales y cuatro secundarias que
nos permiten identificar variaciones no aleatorias en un
proceso al comparar los resultados obtenidos con dichos
valores.
UCL = Upper Control Limit
Límite Superior de Control
CL = Central Limit or Central Line
Límite Central o Línea Central
LCL = Lower Control Limit
Límite Inferior de Control

5. Control Chart
Estos gráficos nos permiten observar la variabilidad del
proceso, aunque es normal cierta variación en las
mediciones de salida, deben mantenerse bajo control
estadístico.
Cuando un proceso presenta solamente la
variabilidad natural de modo que sus resultados
son, hasta cierto punto, predecibles se considera
que está bajo control estadístico. Las causas de
esta variación se denominan causas comunes y
ninguna de ellas predomina sobre las demás.
Cuando algunas causas de variación cambian el
centrado o la dispersión del proceso se llaman
causas especiales.

6. Control Chart
Cuando un proceso se encuentra bajo control estadístico las
variaciones son aleatorias, cuando no es así, deben
identificarse las causas especiales que están modificando la
variabilidad.
Causas comunes:
Variabilidad aleatoria
Causas especiales:
Variabilidad no aleatoria

7. Control Chart
Por la forma en que están elaborados, los gráficos de control
proporcionan una visión del comportamiento del proceso a
lo largo del tiempo.
Para lograr este seguimiento se
toman muestras pequeñas,
digamos de 5 a 25 piezas cada hora,
cada turno, cada día, o en los
intervalos de tiempo más
adecuados al proceso.
Se registran los resultados y se
observa su comportamiento para
identificar variabilidad no aleatoria.

8. Control Chart
Una vez trazados los gráficos de control es necesario
interpretarlos, y para ello, es necesario tener conocimientos
de estadística.
Lo que se espera de un proceso
es que sus gráficos de control
muestren solamente variabilidad
aleatoria, en otras palabras, que
muestre una distribución normal,
con datos independientes, media
aritmética y desviación estándar
más o menos constantes.

9. Control Chart
Una alternativa a la aplicación de conocimiento estadístico
consiste en el uso de reglas fijas. Las primeras que se
aplicaron fueron las Western Electric Rules.
Para lograr este seguimiento se toman muestras pequeñas,
digamos de 5 a 25 piezas cada hora, cada turno, cada día, o en
los intervalos de tiempo más adecuados al proceso.
Se registran los resultados y se observa su comportamiento
para identificar variabilidad no aleatoria.
En la gráfica se muestra un punto que se encuentra más allá
de la zona A, que en el lenguaje de la estadística corresponde
a un punto más allá de tres desviaciones estándar de la media
aritmética.

10. Control Chart
Actualmente se utilizan, además del conocimiento
estadístico, las Nelson Rules.
Se muestra un caso en
el que la variabilidad del
proceso es considerada
no aleatoria, ya que se
cumple la Nelson rule 6:
4 ó 5 de 5 puntos
consecutivos, se
encuentran a más de
una desviación estándar
de la media, en la
misma dirección.
Nelson rule 6:
4 or 5, out of five points in a row, are more than one
standard deviation from the mean, in the same direction.

11. Control Chart
Nelson rule 6:
4 or 5, out of five points in a row, are more than one
standard deviation from the mean, in the same direction.

12. Control Chart
Cada punto de la gráfica corresponde a un estadístico de una
muestra tomada en un tiempo establecido.
Puede ser la media
aritmética de 5 piezas
muestreadas el lunes a
las 8:00 de la mañana.
O también; La
proporción de defectos
en una muestra de 48
piezas seleccionadas al
azar el viernes a las
6:00 de la tarde.

13. Dos tipos de gráficos
de control:
•Para variables
•Para atributos
Control Chart

14. Control Chart
Estos gráficos se elaboran
con estadísticos como la
media aritmética, el rango
y la desviación estándar.
Los más usuales son:
1. Gráfica de medias y
rangos
2. Gráfica de medias y
desviaciones estándar.
Gráfico de control
para variables

15. Control Chart
Estos gráficos se
construyen empleando
proporciones, porcentajes,
fracciones.
Los más usuales son:
1. Gráfica tipo p, np, 100p
2. Gráfico tipo c
3. Gráfico tipo u
Gráfico de control
para atributos
Go – No Go
Calibrators

16. Ejemplo: Gráfico de Control para Atributos.
En una fábrica de semiconductores el espesor de las obleas
de silicio es una característica de calidad.
El espesor debe ser de:
11 ± 1 milésimas de
pulgada.

17. Ejemplo: Gráfico de Control para Atributos.
Como parte del sistema de
control estadístico de la
calidad se toman 40
muestras; una cada hora
durante los próximos 5 turnos
de 8 horas de operación.

18. Ejemplo: Gráfico tipo p
Los datos recabados son los siguientes (parte 1 de 2)
Número de piezas
muestreadas 1190 1186 1214 1192 1204 1198 1200 1180
Número de piezas
defectuosas 9 6 10 5 4 5 3 8
Número de piezas
muestreadas 1198 1202 1196 1200 1194 1188 1190 1194
Número de piezas
defectuosas 4 5 5 6 4 5 3 4
Es importante resaltar que el tamaño de muestra es variable para
facilitar el proceso.

19. Ejemplo: Gráfico tipo p
Los datos recabados son los siguientes (parte 2 de 2)
Número de piezas
muestreadas 1198 1180 1176 1194 1008 1210 1194 1210
Número de piezas
defectuosas 2 3 5 3 5 5 6 2
Número de piezas
muestreadas 1192 1194 1214 1192 1196 1202 1216 1194
Número de piezas
defectuosas 5 3 4 12 4 3 7 5
Número de piezas
muestreadas 1198 1192 1214 1202 1188 1212 1202 1196
Número de piezas
defectuosas 4 6 4 3 5 4 4 3

20. El gráfico tipo p recibe el nombre de
gráfico de fracción defectuosa o de
proporción defectuosa.
Se basa en la distribución binomial, cada
pieza examinada sólo tiene dos
posibilidades: cumple con las
especificaciones o no.
Este tipo de gráfico es empleado
especialmente cuando el tamaño de
muestra es variable, ya que en tal caso el
número de piezas defectuosas no podría
compararse entre una muestra y otra.
Ejemplo: Gráfico tipo p

21. Ejemplo: Gráfico tipo p
La fracción defectuosa o proporción defectuosa se obtiene
dividiendo, para cada muestra, el número de piezas defectuosas,
entre el número de piezas muestreadas.
Por ejemplo, para la muestra 1 tenemos:
𝒑 =
Número de piezas defectuosas
Número de piezas muestreadas
𝒑 =
𝟗
𝟏𝟏𝟗𝟎
→ 𝒑 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟕𝟓𝟔

22. Ejemplo: Gráfico tipo p
Con esta fórmula se calculan las proporciones defectuosas de todas
y cada una de las muestras.
1 1190 9 0.007563
2 1186 6 0.005059
3 1214 10 0.008237
4 1192 5 0.004195
5 1204 4 0.003322
35 1214 4 0.003295
36 1192 12 0.010067
37 1196 4 0.003344
38 1202 3 0.002496
39 1216 7 0.005757
40 1194 5 0.004188
…

23. Ejemplo: Gráfico tipo p
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
0.010
0.009
0.008
0.007
0.006
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
En el eje equis se anota el número
de muestra.
En el eje ye se utiliza como
referencia el valor más alto de
proporción defectuosa, puede
tomarse un valor ligeramente
mayor: 0.010, 0.012, o incluso
0.015

24. Ejemplo: Gráfico tipo p
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
0.010
0.009
0.008
0.007
0.006
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
1 1190 9 0.007563
2 1186 6 0.005059
3 1214 10 0.008237
4 1192 5 0.004195
5 1204 4 0.003322
Se localizan los puntos con el
procedimiento del plano cartesiano

25. Ejemplo: Gráfico tipo p
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
0.010
0.009
0.008
0.007
0.006
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
1 1190 9 0.007563
2 1186 6 0.005059
3 1214 10 0.008237
4 1192 5 0.004195
5 1204 4 0.003322
Se unen los puntos con líneas
rectas.
Observa que las líneas que se
emplearon para localizar los
puntos fueron sólo trazos
auxiliares, generalmente son
parte de la cuadrícula sobre la
que se traza la gráfica.

26. Ejemplo: Gráfico tipo p
Parte del gráfico
tipo p solamente
con las
proporciones de
defectos.
Por ahora no es un
gráfico de control,
pero ya podemos
efectuar algunas
observaciones.
Llama al atención
la muestra 36, con
una proporción de
defectos mayor a
0.010

27. Ejemplo: Gráfico tipo p
Parte del gráfico
tipo p solamente
con las
proporciones de
defectos.
Por ahora no es un
gráfico de control,
pero ya podemos
efectuar algunas
observaciones.
Llama al atención
la muestra 36, con
una proporción de
defectos mayor a
0.010

28. Ejemplo: Gráfico tipo p
Además de la
muestra número
36 que presenta
una elevada
proporción de
defectos,
también
debemos prestar
atención a las
muestras 25 y 32
por su bajo valor
de p.

29. Ejemplo: Gráfico tipo p
Es necesario completar el gráfico con los límites de control para
facilitar la interpretación y analizar el tema central de estos gráficos;
determinar si la variabilidad es aleatoria o puede ser atribuida a
causas especiales.

30. Ejemplo: Gráfico tipo p
Límites de control.
El primer límite de control que debe calcularse
es el central, que está determinado por la media
aritmética de las proporciones de defectos.
ҧ𝑝 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝑝𝑖
𝐶𝐿 = ҧ𝑝
El procedimiento para determinar el
límite central, que es la media
aritmética de las proporciones de
defectos, consiste en sumar las
cuarenta proporciones de defectos y
dividir el resultado entre 40.

31. Ejemplo: Gráfico tipo p
El límite central se representa como una línea horizontal que cruza
al eje ye justamente en el valor: ҧ𝑝 = 0.004051
ҧ𝑝 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝑝𝑖
𝐶𝐿 = ҧ𝑝 = 0.004051

32. Ejemplo: Gráfico tipo p
ҧ𝑝 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝑝𝑖
𝐶𝐿 = ҧ𝑝 = 0.004051

33. Ejemplo: Gráfico tipo p
Para calcular los otros límites es necesario obtener la desviación
estándar.
Como se explica en la diapositiva 20, este gráfico de control:
Se basa en la distribución binomial, cada pieza examinada sólo
tiene dos posibilidades: cumple con las especificaciones o no.
𝒔 =
ഥ𝒑(𝟏 − ഥ𝒑)
𝒏
Por lo tanto, la desviación estándar
se determina con la fórmula para s
de la distribución binomial:

34. Ejemplo: Gráfico tipo p
El valor de la proporción de defectos promedio ya lo
tenemos:
ҧ𝑝 = 0.004051
Falta determinar el valor de n para sustituirlos en la fórmula.
𝒔 =
ഥ𝒑(𝟏 − ഥ𝒑)
𝒏
n es el tamaño de muestra
promedio.

35. Ejemplo: Gráfico tipo p
Conocemos la proporción media de defectos: ҧ𝑝 = 0.004051
Para calcular n se suman los cuarenta tamaños de muestra y
el resultado se divide entre 40 y se redondea.
𝒔 =
ഥ𝒑(𝟏 − ഥ𝒑)
𝒏
𝒏 =
𝟒𝟕𝟕𝟎𝟎
𝟒𝟎
= 𝟏𝟏𝟗𝟐. 𝟓 → 𝒏 = 𝟏𝟏𝟗𝟑
Ya contamos con los datos necesarios, podemos
sustituir en la fórmula de la desviación estándar para
la binomial.

36. Ejemplo: Gráfico tipo p
Determinar la desviación estándar.
Datos: ҧ𝑝 = 0.004051 Fórmula:
𝒏 = 𝟏𝟏𝟗𝟑
Sustitución:
Resultado:
𝒔 =
ഥ𝒑(𝟏 − ഥ𝒑)
𝒏
𝒔 =
𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏(𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏)
𝟏𝟏𝟗𝟑
𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖𝟑𝟗

37. Ejemplo: Gráfico tipo p
Ya con el valor calculado de la desviación estándar pueden
determinarse los límites superior e inferior de control.
𝐔𝐂𝐋 = ഥ𝒑 + 𝟑𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏 + 𝟑 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖𝟑𝟗
𝐔𝐂𝐋 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟓𝟔𝟖
𝐋𝐂𝐋 = ഥ𝒑 − 𝟑𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏 − 𝟑(𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖𝟑𝟗)
𝐋𝐂𝐋 = −𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟒𝟔𝟔

38. Ejemplo: Gráfico tipo p
Cuando el límite inferior de control es negativo se toma igual
a cero.
Por lo tanto vamos a graficar dos líneas horizontales en los
valores:
𝐔𝐂𝐋 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟓𝟔𝟖 𝐋𝐂𝐋 = −𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟒𝟔𝟔
𝐔𝐂𝐋 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟓𝟔𝟖 𝐋𝐂𝐋 = 𝟎

39. Ejemplo: Gráfico tipo p
La gráfica, con los límites de control UCL y LCL.
CL = തp = 0.004051
UCL = തp + 3s = 0.009568
LCL = തp − 3s = 0 ∗
* Se tomó igual a cero por
ser negativo: −𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟒𝟔𝟔

40. Ejemplo: Gráfico tipo p
Con los límites de control podemos aplicar la Nelson Rule 1
NR1
Nelson Rule 1:
One point is more then
3 standard deviation
from the mean
Regla de Nelson 1:
Un punto se encuentra a
más de tres desviaciones
estándar de la media.

41. Ejemplo: Gráfico tipo p
Pero todavía hacen falta las 4 líneas complementarias que se
encuentran a una y dos desviaciones estándar de la media
aritmética.
Se agregan las líneas en estas posiciones.
ഥ𝒑 + 𝟐𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏 + 𝟐 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖𝟑𝟗 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟕𝟕𝟐𝟗
ഥ𝒑 − 𝟐𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏 − 𝟐 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖𝟑𝟗 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟕𝟑
ഥ𝒑 + 𝟏𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏 + 𝟏 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖𝟑𝟗 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟓𝟖𝟗𝟎
ഥ𝒑 − 𝟏𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏 − 𝟏 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖𝟑𝟗 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟐𝟐𝟏𝟐

42. Ejemplo: Gráfico tipo p
CL = തp
UCL = തp + 3s
LCL = തp − 3s
തp + 2s
തp − 2s
തp − 1s
തp + 1s

43. Ejemplo: Gráfico tipo p
La gráfica, con los límites de control CL, UCL y LCL se complementa
con las cuatro líneas complementarias, lo que nos permitirá aplicar
las restantes Nelson Rules.
Nelson Rule 1:
One point is more then 3
standard deviation from
the mean
NR1
Ya habíamos señalado la
regla de nelson número 1

44. Ejemplo: Gráfico tipo p
Debemos observar cualquier comportamiento no aleatorio en la
gráfica, para ello, vamos revisar la posible aplicación de algunas
otras reglas de Nelson.
NR1
Además de la regla de
nelson número 1, ¿qué
otras reglas se aplican a
este gráfico?
Conviene recorrerlo de
izquierda a derecha, que es
lo que se hace cuando se
están tomando las
muestras y trazando cada
punto de la gráfica.

45. Ejemplo: Gráfico tipo p
CL = തp
UCL = തp + 3s
LCL = തp − 3s
തp + 2s
തp − 2s
തp − 1s
തp + 1s
NR1

46. Ejemplo: Gráfico tipo p
Aparentemente los puntos 1 y 2 se encuentran a más de dos
desviaciones estándar de la media (NR5)
A simple vista daba la
impresión que se
estaba presentando
la regla de Nelson
número 5, pero
verificando los
valores nos damos
cuenta que el punto
1 está dentro de las
dos desviaciones
estándar.

47. Ejemplo: Gráfico tipo p
CL = തp
UCL = തp + 3s
LCL = തp − 3s
തp + 2s
തp − 2s
തp − 1s
തp + 1s
NR1

48. Ejemplo: Gráfico tipo p
Demasiados puntos timan valores muy cerca de la media aritmética,
podría tratarse de la Nelson rule 7.
Cuando se presenta poca
variabilidad debemos
verificar si se encuentran
dentro de una desviación
estándar, ya sea por debajo
o por encima de la media.
Nos damos cuenta que el
punto 25 no está dentro,
de modo que reducimos el
área de búsqueda.

49. Ejemplo: Gráfico tipo p
A pesar de la reducción del área de búsqueda, todavía son muchos
puntos dentro de una desviación estándar.
Los puntos que podrían
cumplir la regla de Nelson
7 están entre el punto 9 y
el 24.
Debemos contar estos
puntos, ya que la regla 7
pide que sean 15 puntos
consecutivos (o más).

50. Ejemplo: Gráfico tipo p
Vamos a determinar cuántos puntos cumplen la NR7
1
3
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Se contó
hasta quince,
pero hay 16
puntos
dentro de
una
desviación
estándar.

51. Ejemplo: Gráfico tipo p
Efectivamente se cumple la Nelson rule 7.
1
3
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Nelson Rule 7:
15 points in a
row are all
within one
standard
deviation of
the mean on
either side of
the mean.

52. Ejemplo: Gráfico tipo p
Esto significa que, desde que se estaban tomando las muestras 20 a
la 25, se debió observar que la variabilidad del proceso podría no
ser aleatoria, y en la muestra 23 tomar alguna acción correctiva.
Podemos suponer
que al registrar la
muestra 23 no se
tomó ninguna acción
correctiva o, si se
realizó algún esfuerzo
en este sentido, no
fue suficiente y por
ello se presentó una
mayor variabilidad.

53. Ejemplo: Gráfico tipo p
Esta es la forma de presentar un gráfico de control con las Nelson Rules

54. Gracias por su atención
Referencias:
licmata@hotmail.com
https://sites.google.com/site/mataspc/home
http://licmata-math.blogspot.com/
http://www.scoop.it/t/mathematics-learning
http://www.slideshare.net/licmata/
http://www.facebook.com/licemata
Twitter: @licemata