Aquí se explica como resolver ecuaciones diferenciales por 3 métodos distintos

1. Ecuaciones Diferenciales Exactas <br />Una Expresión diferencial M(x,y)+N(x,y)dy es una diferencial exacta en una región Rdel plano xy ésta corresponde a la diferencial de alguna función fx,y definida en R. Una ecuación deferencial de primer orden de la forma:<br />M(x,y)+N(x,y)dy=0<br />Se dice que es una ecuación exacta si la expresión del lado izquierdo es diferencial exacta por ejemplo<br />2xydx + (x2-1)dy=0<br />Verificamos si tiene diferencial exacto<br />∂M∂y= 2xy = 2x <br />∂N∂x= x2-1 = 2x<br />El teorema que se presenta a continuación, muestra que la igualdad de las derivadas parciales ∂M∂y, ∂N∂x no es una coincidencia<br />Criterio para una ecuación diferencial exacta<br />Sea M(x,y) y N(x,y) continuas y que tienen primeras derivadas parciales continuas en una región rectangular R definida por a<x<b,c<y<d. Entonces una condición necesaria y suficiente para que M(x,y)dx+N(x,y)dy sea una ecuación diferencial exacta es <br />∂M∂y =∂N∂x<br />Proceso algebraico para resolver la ecuación se resume mediante la expresión matemática:<br /> fx,y=M(x,y)+[Nx,y+ ∂∂yM(x,y)dx]dy<br />Ejemplo1<br />4y+2x-5dx+6y+4x-1dy=0<br />∂M∂y= 4y+2x-5=4 <br />∂N∂x=4x+6y-1=4<br />fx,y= (4y+2x-5) dx+ [4x+6y-1- ∂∂y 4y+2x-5dx]dy<br />fx,y=4xy+x2-5x+ [4x+6y-1- ∂∂y(4xy+x2-5x)]dy<br />fx,y=4xy+x2-5x+4x+6y-1-4xdy<br />fx,y=4xy+x2-5x+ 6y-1dy<br />fx,y=4xy+x2-5x+3y2+C <br />Ecuaciones Diferenciales Exactas por factor integrante<br />Donde: μ Es el factor, que le permite a la expresión ser exactaSi una ecuación diferencial no es exacta, pudiera llegar a serlo si se la multiplica por una función especial μ(x,y)llamada factor integrante, tal que<br />∂M∂y ≠∂N∂x<br />μx,y= ep(x)dx μx,y= ep(y)dy<br />μx,y[Mx,y+Nx,ydy]=0 <br />Forma o método de solución.<br />Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x (es decir, p(x)), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente: <br />px=My-NxN<br />Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a y (es decir, p(y)), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:<br />py=Ny-MxM<br />Ejemplo:<br />3x2ydx+ydy=0<br />∂M∂y ≠∂N∂x∂M∂y 3x2y=3x2<br />∂N∂x y=0<br />Como no es una ecuación diferencial exacta procedemos a sacar el factor integrante para volverla exacta.<br />py=0-3x23x2y<br />py=-1y<br />μx,y= ep(y)dy<br />μx,y= e-1ydy= e-lny=elny-1=1y<br />1y3x2ydx+ydy=0∴3x2dx+dy=0<br />fx,y= (3x2) dx+ [1- ∂∂y 3x2dx]dy<br />fx,y=x3+dy ∴fx,y=x3+y+c<br />Ecuaciones diferenciales lineales<br />Se llama ecuación diferencial lineal de primer orden a toda ecuación de la forma:<br />axy'+bxy=cx<br />Donde ax,bx,c(x) son funciones únicamente de la variable x.<br />Donde:qx=0 Entonces es homogénea y se resuelve por variables separablesqx≠0 Entonces es homogénea y se resuelve porFactor integranteVariación de parámetrosPara las ecuaciones lineales de primer orden expresadas en su forma normal:<br />y'+pxy=qx<br /> μx= ep(x)dx<br />y=1ux*qx*uxdx<br />Ejemplo:<br />xdy=xsinx-ydx<br />dydxx=xsinx-y<br />dydx=sinx-yx ∴y'+ yx=sinx<br />px=1x qx=sinx<br />μx= e1xdx ∴ elnx ∴ x <br />y=1x*(sinx*x)dx<br />y=1x-xcosx+sinx ∴ y=sinxx-cosx+cx<br />Ecuaciones de bernoulli<br />La ecuación diferencial<br />dydx+pxy=f(x)yn,<br />Donde:px y fx son funciones reales y continuas en un intervalo [a,b] y n es una constante real diferente de 0 y 1. La sustitución de u=y1-n ->dudxObservación: cuando n=0 la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación separable y cuando n=1 se trata de una ecuación lineal, casos ya estudiados.Donde n es cualquier número real, se llama ecuación de bernoulli. <br />Ejemplo:<br />xdydx-y=x2y2<br />xy2dydx-y3= x2y2y2<br />xy2dydx-y3= x2 <br />u= -y3<br />Du= -3y2dy <br />-3xy2dydx+3u= -3x2<br />-xdydx+3u= -3x2<br />dudx-3ux=3xμ=e3dxx=e-3lnx = x-3<br />d x-3u= x-3(3x)dx<br /> x-3u=3x-2dx<br />x-3u=-3x-1+c<br /> u=-3x-1+cx3<br /> u= -3x2+x3c<br /> -y3=-3x2-x3c<br />