Persamaan diferensial terpisahkan dan Persamaan diferensial eksak

2. PERTEMUAN - 2
Persamaan Diferensial Terpisahkan (PDT)
Persamaan Diferensial Eksak (PDE)

3. Persamaan Diferensial Terpisahkan
Bentuk standar dari persamaan diferensial orde pertama dalam
fungsi y(x) yang dicari adalah : y’ = f (x, y)
Fungsi f(x,y) pada sisi kanan dapat juga dituliskan sebagai pembagian
dua fungsi lainnya yaitu M(x,y) dan –N(x,y) , sehingga
𝒚′
=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝑴(𝒙,𝒚)
−𝑵(𝒙,𝒚)
, dapat dituliskan dalam bentuk :
M ( x, y ) dx + N (x, y ) dy = 0
Jika M(x,y) = A(x) [fungsi dari x saja] dan N(x,y) = B(y) [ fungsi
dari y saja] ; persamaan diferensial tsb dapat DIPISAHKAN atau
memiliki variabel-variabel yang TERPISAHKAN

4. Soal 2.1
Tentukan apakah persamaan-persamaan diferensial
berikut dapat dipisahkan !
𝑎 . 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦2
𝑑𝑦 = 0
𝑏 . 𝑥𝑦2
𝑑𝑥 − 𝑥2
𝑦2
𝑑𝑦 = 0
𝑐 . 1 + 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 = 0

5. Solusi Umum PDT
Solusi untuk persamaan diferensial orde pertama yang dapat dipisahkan :
𝐴 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐵 𝑦 𝑑𝑦 = 0
𝐴 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐵 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑐 , [𝑐 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑏𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔]
Solusi untuk Soal Nilai Awal
𝐴 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐵 𝑦 𝑑𝑦 = 0; 𝑦 𝑥0 = 𝑦0
𝐴 𝑥 𝑑𝑥
𝑥
𝑥0
+ 𝐵 𝑦 𝑑𝑦 = 0
𝑥
𝑥0

6. Jawaban 2.1
𝑎 . 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦2
𝑑𝑦 = 0
𝑏 . 𝑥𝑦2
𝑑𝑥 − 𝑥2
𝑦2
𝑑𝑦 = 0
𝑐 . 1 + 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 = 0
PDT ; M(x,y) = A(x) = sinx ; N(x,y) = B(y) = 𝒚 𝟐
NON PDT ; M(x,y) = 𝒙𝒚 𝟐
; N(x,y) = 𝒙 𝟐
𝒚 𝟐
Dapat diubah menjadi PDT dengan pembagi 𝒙 𝟐
𝒚 𝟐
1
𝑥
𝑑𝑥 − 1 𝑑𝑦 = 0
PDT ; M(x,y) = A(x) = 1/x ; N(x,y) = B(y) = -1
NON PDT ; M(x,y) = (1+xy) ; N(x,y) = y

7. Soal 2.2
Tentukanlah solusi dari soal-soal PDT berikut !
𝑎 . 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑦2
𝑑𝑦 = 0
𝑏 . 𝑦′
= 𝑦2
𝑥3
𝑐 .
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥2
+ 2
𝑦

8. Jawaban 2.2
𝑎 . 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑦2
𝑑𝑦 = 0
𝑏 . 𝑦′
= 𝑦2
𝑥3
𝑥2
2
−
𝑦3
3
= 𝑐 , 𝑦 =
3
2
𝑥2
+ 𝑘
1
3
; 𝑘 = −3𝑐
𝑥4
4
+
1
𝑦
= 𝑐 , 𝑦 =
−4
𝑥4 + 𝑘
; 𝑘 = −4𝑐
Tentukanlah solusi dari soal-soal PDT berikut !

9. Jawaban 2.2
𝑐 .
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥2
+ 2
𝑦
1
3
𝑥3
+ 2𝑥 −
1
2
𝑦2
= 𝑐 , 𝑦2
=
2
3
𝑥3
+ 4𝑥 + 𝑘 ; 𝑘 = −2𝑐
Tentukanlah solusi dari soal-soal PDT berikut !

10. Penyederhanaan Persamaan Homogen
Persamaan Diferensial Homogen
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦 | 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
Dapat ditransformasikan menjadi persamaan yang dapat
dipisahkan dengan memasukkan (substitusi) :
𝑦 = 𝑥𝑣 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 𝑦𝑢
Serta turunannya dalam bentuk :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑣 + 𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝑢 + 𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑦

11. Penyederhanaan Persamaan Homogen
Selesaikanlah solusi persamaan berikut : 𝑦′
=
𝑦 + 𝑥
𝑥
Persamaan tersebut Homogen tetapi tidak dapat dipisahkan,
maka ; substitusi y dengan xv atau y = xv
𝑣 + 𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
𝑥𝑣 + 𝑥
𝑥
𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 1 𝑎𝑡𝑎𝑢
1
𝑥
𝑑𝑥 − 𝑑𝑣 = 0
Solusi PDT :
1
𝑥
𝑑𝑥 − 𝑑𝑣 = 𝑐
𝑣 = 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑐 , 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 − 𝑐 𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠𝑘𝑎𝑛 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑙𝑛 𝑘
𝑣 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑙𝑛 𝑘
𝑣 = 𝑙𝑛 𝑘𝑥 ; 𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘𝑘𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑚𝑏𝑎𝑙𝑖 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑣 =
𝑦
𝑥
,
𝑦 = 𝑥 𝑙𝑛 𝑘𝑥
Contoh,

12. Soal 2.3
Tentukan solusi dari PDT berikut dengan
metoda peyederhanaan homogen !
𝑦′
=
𝑥2
+ 𝑦2
𝑥𝑦

13. Jawaban 2.3
𝑦′
=
𝑥2
+ 𝑦2
𝑥𝑦
𝑦2
= 𝑥2
𝑙𝑛 𝑥2
+ 𝑘𝑥2
Tentukan solusi dari PDT berikut dengan
metoda peyederhanaan homogen !

14. Persamaan Diferensial Eksak (PDE)
Suatu persamaan diferensial : 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
Adalah eksak jika ada suatu fungsi 𝑔(𝑥, 𝑦) sehingga :
𝑑𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦
Dengan uji kepastian, jika :
𝜕𝑀(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
Metode Solusi
𝜕𝑔(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥
= 𝑀(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑔(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)

15. Persamaan Diferensial Eksak (PDE)
Contoh,
Tentukan apakah persamaan berikut PDE
dan tentukan solusinya !
2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 1 + 𝑥2
𝑑𝑦 = 0
𝑀 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 ,
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 2𝑥 (𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑕𝑎𝑑𝑎𝑝 𝑦 , 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑥)
𝑁 𝑥, 𝑦 = 1 + 𝑥2
,
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 2𝑥 (𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑕𝑎𝑑𝑎𝑝 𝑥 , 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖)
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 2𝑥 , 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖 𝑃𝐷 𝐸𝑘𝑠𝑎𝑘 Solusi
𝜕𝑔(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥
= 𝑀(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑔
𝜕𝑥
𝑑𝑥 = 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
𝑦 + 𝑕(𝑦)
𝜕𝑔
𝜕𝑦
= 𝑥2
+ 𝑕′
𝑦 , 𝑥2
+ 𝑕′
𝑦 = 1 + 𝑥2
, 𝑠𝑒𝑕𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑕′
𝑦 = 1
𝑑𝑕
𝑑𝑦
= 1 , 𝑕 𝑦 = 𝑦 + 𝑐1
𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
𝑦 + 𝑦 + 𝑐1
𝒙 𝟐
𝒚 + 𝒚 = 𝒄 𝟐 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒚 =
𝒄 𝟐
(𝒙 𝟐 + 𝟏)

16. Soal 2.4
Buktikan bahwan persamaan diferensial berikut
Eksak serta cari solusinya !
C𝑎𝑟𝑖 𝑗𝑎𝑤𝑎𝑏𝑎𝑛 𝑢𝑚𝑢𝑚 𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑝𝑒𝑠𝑖𝑓𝑖𝑘𝑛𝑦𝑎, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑦 0 = 1
3𝑥3
𝑦2
𝑦′
+ 3𝑥2
𝑦3
− 5𝑥4
= 0

17. Jawaban 2.4
C𝑎𝑟𝑖 𝑗𝑎𝑤𝑎𝑏𝑎𝑛 𝑢𝑚𝑢𝑚 𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑝𝑒𝑠𝑖𝑓𝑖𝑘𝑛𝑦𝑎, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑦 0 = 1
𝑥3
𝑦3
− 5𝑥 + 𝑘 = 0
𝑥3
𝑦3
− 5𝑥 = 0
Buktikan bahwan persamaan diferensial berikut
Eksak serta cari solusinya !
3𝑥3
𝑦2
𝑦′
+ 3𝑥2
𝑦3
− 5𝑥4
= 0

18. Faktor Integrasi PDE
Jika suatu persamaan diferensial : 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
𝐼 𝑥 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
Bukan suatu persamaan dierensial eksak :
𝜕𝑀(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
≠
𝜕𝑁(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
Maka dapat dilakukan pengalian (faktor integrasi)
dengan fungsi I(x), sehingga :
Menjadi Persamaan Diferensial Eksak
𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐼 𝑥 = 𝑥 𝑚, 𝑦 𝑛

19. Tabel Faktor Integrasi PDE
Kelompok Suku Faktor Pengitegrasi I(x, y)
𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦 −
1
𝑥2
𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦
𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦
𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦
1
𝑦2
−
1
𝑥𝑦
−
1
𝑥2 + 𝑦2
𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑦
1
𝑥𝑦

20. Soal 2.5
Periksa apakan persaaman diferensial berikut termasuk
PDE, cari solusinya dengan Faktor Integrasi !
𝑎 . 𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦 = 0
𝑏 . 3𝑥𝑦 + 2𝑦3
+ 3𝑥2
+ 5𝑥𝑦2
𝑦′
= 0

21. PERTEMUAN -2
Terima Kasih

22. Jawaban 2.5
Periksa apakan persaaman diferensial berikut termasuk
PDE, cari solusinya dengan Faktor Integrasi !
𝑎 . 𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦 = 0
𝑦 = 𝑘𝑥
𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑠𝑖 ∶ 𝑥𝑦2
; 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖 ∶ 𝑥3
𝑦3
− 𝑥2
𝑦5
+ 𝑘 = 0
𝑏 . 3𝑥𝑦 + 2𝑦3
+ 3𝑥2
+ 5𝑥𝑦2
𝑦′
= 0

23. Persamaan Diferensial Terpisahkan (PDT)
Persamaan Diferensial Eksak (PDE)
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥, 𝑦)
𝑴 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙 + 𝑵 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎