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Systèmes logiques                                                                ISET NABEUL


                                                                                Chapitre III:

            Algebre De Boole Et Portes Logiques

Introduction:

   Historique:
- L’algèbre binaire résulte des travaux du mathématicien Georges BOOLE qui a développé au 19ème
siècle une algèbre logique portant sur des variables qui ne peuvent prendre qu’un nombre fini d’états.
- Son application, limitée aux variables et fonctions à caractère binaire, est attribuée à Claude
SHANNON (travaux publiés en 1938).

   Définition:

   L’algèbre de Boole est l’outil mathématique qui permet d’établir la relation entre les sorties et les
entrées d’un système logique (synthèse du système). Réciproquement, cet outil nous permet de
déterminer les règles de fonctionnement d’un système logique existant (analyse du système).
* Les opérateurs élémentaires de l’algèbre sont matérialisés par des systèmes physiques: optiques,
pneumatiques ou électriques. En technologie électronique:
- les variables logiques sont généralement des signaux « bi-tension »,
   -   les opérateurs logiques sont des circuits électroniques appelés « portes logiques ».



I- Variables et fonctions logiques:

1/ Variables logiques:

   Une variable ne peut prendre que 2 valeurs notées 0 et 1, qui représentent l’état d’un système
bistable générateur de la variable physique.
   Exemple : - Présence ou absence de la lumière pour un système d’éclairage public.
               - Ouverture ou fermeture d’un interrupteur…

2/ Fonctions logiques:
- Le fonctionnement d’un système logique est décrit par une ou plusieurs propositions logiques
simples qui présentent le caractère binaire « VRAI » ou « FAUX ».

M.TAYARI Lassaad                               Page 1/1                                   Chapitre 3
Systèmes logiques                                                                ISET NABEUL
- La relation sorties-entrées appelée fonction de transfert du système est décrite par une ou plusieurs
fonctions logiques qui traduisent algébriquement les propositions logiques.
- Une fonction logique qui prend les valeurs 0 ou 1 peut être considérée comme une variable binaire
pour une autre fonction logique.
   Exemple:
                 c    b      a
                                        Circuit      F1 (c,b)
                                        Logique
                                                                             F2 (F1 ,a) = F2 (c,b,a)
                                                                 Circuit
                                                                 Logique


- Pour décrire le fonctionnement d’un système en cherchant l’état que doit prendre la sortie pour
toutes les combinaisons possibles des entrées, on utilisera ce qu’on appelle « la table de vérité ».


II- Les opérations fondamentales de l’algèbre de Boole
et les propriétés associées:


         Opération logique        Addition                  Multiplication    Inversion
         Opérateur logique        OU                        ET                NON
         Table de vérité          AB         A OU B         AB      A ET B    A      NON A
                                  00         0              00      0         0      1
                                  01         1              01      0         1      0
                                  10         1              10      0
                                  11         1              11      1
         Notation algébrique      A OU B= A+B               A ET B= A.B       NON A = A
   Postulats:
- Sur une seule variable:

                             Opérateur OU              Opérateur ET
                             A+A = A                   A.A = A
                             A+1 = 1                   A.1 = A
                             A+0 = A                   A.0 = 0

                             A+ A = 1                  A. A = 0
                             Elément neutre = 0        Elément neutre = 1
- Sur plusieurs variables:

M.TAYARI Lassaad                                 Page 2/2                                   Chapitre 3
Systèmes logiques                                                                  ISET NABEUL
      Commutativité              :        A+B = B+A
                                          A.B = B.A
        Associativité            :        (A+B)+C         = A+(B+C) = A+B+C
                                          (A.B).C         = A.(B.C) = A.B.C
        Distributivité           :        A.(B+C)         =     A.B+A.C
                                          A+B.C           = (A+B).(A+C)
   Théorèmes:
- De MORGAN              :       A + B = A.B
                                 A. B     = A+B
- Divers                 :       A+A.B = A
                                 A+ A .B          = A+B
                                 A.( A +B)        = A.B
                                 A.B+ A .C+B.C = A.B+ A .C

III- Matérialisation des opérateurs logiques:

2/ Les portes logiques:

   Les portes logiques sont des circuits électroniques dont les fonctions de transfert (relation entre les
entrées et les sorties) matérialisent les opérations de base appliquées à des variables électriques.

a- La porte « ET »:
                                               A
       A                     S                                      S
       B
                   &                           B
                                                                                      S = A.B

   Si V0 représente le niveau BAS de tension (état 0) et V1 le niveau HAUT de tension (état1), on
relève en sortie du circuit les tensions données dans la table de fonctionnement et on en déduit la
table de vérité.
 Table de fonctionnement                                        Table de vérité
 VA                VB                VS                         A             B             S
 V0                V0                V0                         0             0             0
 V0                V1                V0                         0             1             0
 V1                V0                V0                         1             0             0
 V1                V1                V1                         1             1             1




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Systèmes logiques                                                                   ISET NABEUL
    b- La porte « OU »:
                                                    A

                     ≥1
            A                    S                                     S
            B                                                                             S=A+B
                                                   B

    Table de fonctionnement                                       Table de vérité
    VA               VB              VS                           A              B              S
    V0               V0              V0                           0              0              0
    V0               V1              V1                           0              1              1
    V1               V0              V1                           1              0              1
    V1               V1              V1                           1              1              1


        Remarque: des portes logiques OU et ET à 2,3,4,8 et 13 entrées sont disponibles sous forme de
    circuits intégrés. (74LS32 et 74LS08)
    c- La porte « NON »: 74LS04
                                                                                        Table de vérité
                             S                          S             S=   A            A            S
        A
                 1                   A                                                  0
                                                                                        1
                                                                                                     1
                                                                                                     0
    d- La porte « OU EXCLUSIF »:74LS86
    Proposition logique: (Sortie = 1) si une seule des 2 variables d’entrées est à l’état 1.
            S = A. B + A .B = A ⊕ B                                                   Table de vérité
                                A
    A                   S                               S                            AB           S
    B
                =1               B
                                                             S=A⊕B
                                                                                     00           0
                                                                                     01           1
    e- La porte « NAND »: (Non Et) 74LS00                                            1Table de vérité
                                                                                      0           1
                                                                                     1AB
                                                                                      1           0S
            S = A. B = A + B
                                                                                     00             1
    A                                                                                01             1
                                     ⇔
                       S= A. B                A
    B           &                             B          ≥1      S= A + B
                                                                                     10
                                                                                     11
                                                                                                    1
                                                                                                    0

    f- La porte « NOR »: (Non Ou) 74LS02
            S = A + B = A.B
A                    S= A + B             A                                           Table de vérité
            ≥1
                                                              S= A . B
B                                ⇔        B             &                             AB           S
                                                                                      00           1
                                                                                      01           0
                                                                                      10           0
                                                                                      11           0


    M.TAYARI Lassaad                              Page 4/4                                       Chapitre 3
Systèmes logiques              ISET NABEUL




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  • 1. Systèmes logiques ISET NABEUL Chapitre III: Algebre De Boole Et Portes Logiques Introduction: Historique: - L’algèbre binaire résulte des travaux du mathématicien Georges BOOLE qui a développé au 19ème siècle une algèbre logique portant sur des variables qui ne peuvent prendre qu’un nombre fini d’états. - Son application, limitée aux variables et fonctions à caractère binaire, est attribuée à Claude SHANNON (travaux publiés en 1938). Définition: L’algèbre de Boole est l’outil mathématique qui permet d’établir la relation entre les sorties et les entrées d’un système logique (synthèse du système). Réciproquement, cet outil nous permet de déterminer les règles de fonctionnement d’un système logique existant (analyse du système). * Les opérateurs élémentaires de l’algèbre sont matérialisés par des systèmes physiques: optiques, pneumatiques ou électriques. En technologie électronique: - les variables logiques sont généralement des signaux « bi-tension », - les opérateurs logiques sont des circuits électroniques appelés « portes logiques ». I- Variables et fonctions logiques: 1/ Variables logiques: Une variable ne peut prendre que 2 valeurs notées 0 et 1, qui représentent l’état d’un système bistable générateur de la variable physique. Exemple : - Présence ou absence de la lumière pour un système d’éclairage public. - Ouverture ou fermeture d’un interrupteur… 2/ Fonctions logiques: - Le fonctionnement d’un système logique est décrit par une ou plusieurs propositions logiques simples qui présentent le caractère binaire « VRAI » ou « FAUX ». M.TAYARI Lassaad Page 1/1 Chapitre 3
  • 2. Systèmes logiques ISET NABEUL - La relation sorties-entrées appelée fonction de transfert du système est décrite par une ou plusieurs fonctions logiques qui traduisent algébriquement les propositions logiques. - Une fonction logique qui prend les valeurs 0 ou 1 peut être considérée comme une variable binaire pour une autre fonction logique. Exemple: c b a Circuit F1 (c,b) Logique F2 (F1 ,a) = F2 (c,b,a) Circuit Logique - Pour décrire le fonctionnement d’un système en cherchant l’état que doit prendre la sortie pour toutes les combinaisons possibles des entrées, on utilisera ce qu’on appelle « la table de vérité ». II- Les opérations fondamentales de l’algèbre de Boole et les propriétés associées: Opération logique Addition Multiplication Inversion Opérateur logique OU ET NON Table de vérité AB A OU B AB A ET B A NON A 00 0 00 0 0 1 01 1 01 0 1 0 10 1 10 0 11 1 11 1 Notation algébrique A OU B= A+B A ET B= A.B NON A = A Postulats: - Sur une seule variable: Opérateur OU Opérateur ET A+A = A A.A = A A+1 = 1 A.1 = A A+0 = A A.0 = 0 A+ A = 1 A. A = 0 Elément neutre = 0 Elément neutre = 1 - Sur plusieurs variables: M.TAYARI Lassaad Page 2/2 Chapitre 3
  • 3. Systèmes logiques ISET NABEUL Commutativité : A+B = B+A A.B = B.A Associativité : (A+B)+C = A+(B+C) = A+B+C (A.B).C = A.(B.C) = A.B.C Distributivité : A.(B+C) = A.B+A.C A+B.C = (A+B).(A+C) Théorèmes: - De MORGAN : A + B = A.B A. B = A+B - Divers : A+A.B = A A+ A .B = A+B A.( A +B) = A.B A.B+ A .C+B.C = A.B+ A .C III- Matérialisation des opérateurs logiques: 2/ Les portes logiques: Les portes logiques sont des circuits électroniques dont les fonctions de transfert (relation entre les entrées et les sorties) matérialisent les opérations de base appliquées à des variables électriques. a- La porte « ET »: A A S S B & B S = A.B Si V0 représente le niveau BAS de tension (état 0) et V1 le niveau HAUT de tension (état1), on relève en sortie du circuit les tensions données dans la table de fonctionnement et on en déduit la table de vérité. Table de fonctionnement Table de vérité VA VB VS A B S V0 V0 V0 0 0 0 V0 V1 V0 0 1 0 V1 V0 V0 1 0 0 V1 V1 V1 1 1 1 M.TAYARI Lassaad Page 3/3 Chapitre 3
  • 4. Systèmes logiques ISET NABEUL b- La porte « OU »: A ≥1 A S S B S=A+B B Table de fonctionnement Table de vérité VA VB VS A B S V0 V0 V0 0 0 0 V0 V1 V1 0 1 1 V1 V0 V1 1 0 1 V1 V1 V1 1 1 1 Remarque: des portes logiques OU et ET à 2,3,4,8 et 13 entrées sont disponibles sous forme de circuits intégrés. (74LS32 et 74LS08) c- La porte « NON »: 74LS04 Table de vérité S S S= A A S A 1 A 0 1 1 0 d- La porte « OU EXCLUSIF »:74LS86 Proposition logique: (Sortie = 1) si une seule des 2 variables d’entrées est à l’état 1. S = A. B + A .B = A ⊕ B Table de vérité A A S S AB S B =1 B S=A⊕B 00 0 01 1 e- La porte « NAND »: (Non Et) 74LS00 1Table de vérité 0 1 1AB 1 0S S = A. B = A + B 00 1 A 01 1 ⇔ S= A. B A B & B ≥1 S= A + B 10 11 1 0 f- La porte « NOR »: (Non Ou) 74LS02 S = A + B = A.B A S= A + B A Table de vérité ≥1 S= A . B B ⇔ B & AB S 00 1 01 0 10 0 11 0 M.TAYARI Lassaad Page 4/4 Chapitre 3
  • 5. Systèmes logiques ISET NABEUL M.TAYARI Lassaad Page 5/5 Chapitre 4