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Cours de syst`mes asservis.
e
´
´
REPRESENTATION D’ETAT
J.P. CHEMLA

Abstract
Ce chapitre pr´sente un autre aspect des asservissements. Ici, la
e
description du syst`me a asservir est bas´e sur un syst`me d’´quations
e
`
e
e
e
diff´rentielles lin´aires du premier ordre. L’int´rˆt de ce type de reprsene
e
e e
tations vient, d’une part, que tout syst`me lin´aire d’ordre quelconque
e
e
peut se ramener a un tel syst`me d’´quations diff´rentielles et, d’autre
`
e
e
e
part, que l’on sait r´soudre directement ces syst`mes (sans passer par
e
e
la transform´e de Laplace). De plus, les r´sultats pr´sent´s ici sont
e
e
e
e
directement appliquables aux syst`mes multivariables.
e

1

INTRODUCTION

1.1

Exemple

On consid`re le syst`me pr´sent´ en figure 1 : Les variables d’entr´es (cad
e
e
e
e
e
de commande) sont e1 et e2. La sortie est la tension S aux bornes de L 1 .
Soit U le vecteur contenant ces deux variables.
e1
e2

U=

.

Les ´quations de ce syst`me sont :
e
e
e1 = R1 .i1 + L1 .
e2 = L 2 .

di2
+V
dt
1

di1
+V
dt
S
i1

L1

R1
e1

L2

i2

C

V

e2

Figure 1: Circuit ´lectrique
e
dV
dt

1
.(i1 + i2 )
C
di1
S = L1 .
dt
=

A un instant donn´ t, on peut consid´rer que le syst`me se trouve dans
e
e
e
un certain ”´tat” d´fini par les valeurs prises par i 1 , i2 et V . Soit X le
e
e
vecteur
T
T
.
X = x1 x2 x3
= i1 i2 V
On appelle ce vecteur l’´tat du syst`me. Toutes les ´quations d’´volution
e
e
e
e
de ce syst`me peuvent s’´crire en fonction des entr´es et de x 1 , x2 et x3 et
e
e
e
de leurs d´riv´es :
e e
R
1
1
.x1 −
.x3 +
.e1
L1
L1
L1
1
1
= − .x3 +
.e2
L2
L2
1
1
=
.x1 + .x2
C
C

x1 = −
˙
x2
˙
x3
˙
Ce qui peut s’´crire :
e


−R
 L1
˙
X = 0
1
C

0
0
1
C





1
1
− L1

 L1
1
− L2  .X +  0
0
0

0
1
L2

0




 .U

Autrement dit, en appelant A la premi`re matrice et B la deuxi`me :
e
e
˙
X = A.X + B.U

2
D
U

B

X
+

X

1
p

+
C

+

Y

+
A
Figure 2: sh´ma bloc g´n´ral
e
e e

On peut exprimer la sortie Y par une ´quation du type :
e
Y = C.X + D.U
o` Y est le vecteur des sorties (ici de dimension 1 car on a une seule sortie).
u
Ici, Y = [S] avec S = e1 − R.i1 − V . D’o` :
u
S=

1.2

−R 0 −1

.X +

1 0

.U

G´n´ralisation
e e

Un syst`me lin´aire continu est d´crit par des ´quations d’´tat de type :
e
e
e
e
e
˙
X = A.X + B.U
Y = C.X + D.U
o` :
u
U est le vecteur des commandes ou des entr´es.
e
X est le vecteur d’´tat.
e
Y est le vecteur des sorties.
A est la matrice d’´volution du syst`me.
e
e
B est la matrice d’application de la commande.
C est la matrice d’observation.
D est la matrice de transmission directe.

Dim(U ) = m,
Dim(X) = n,
Dim(Y ) = p,
Dim(A) = (n × n),
Dim(B) = (n × m),
Dim(C) = (p × n),
Dim(D) = (p × m),

Ces ´quations peuvent se repr´senter par le sh´ma bloc g´n´ral de la
e
e
e
e e
figure 2, 1/p ´tant l’op´rateur d’int´gration dans le domaine de Laplace.
e
e
e
En g´n´ral, D est nulle. L’´tat est la sortie des int´grateurs. A, B, C et
e e
e
e
D sont des matrices constantes

3
Definition 1.1 L’´tat d’un syst`me est l’ensemble minimum de variables
e
e
qui contient l’information suffisante sur l’histoire du syst`me pour permee
ttre de calculer tous les ´tats futurs. On suppose connu le mod`le et les
e
e
entr´es. Pour un syst`me m´canique, l’´tat peut ˆtre l’ensemble des posie
e
e
e
e
tions et vitesses relatives a chaque degr´ de libert´ (ou toute combinaison
`
e
e
´quivalente). Pour un r´seau ´lectrique, l’´tat peut ˆtre d´fini par le courant
e
e
e
e
e
e
dans chaque inductance et la tension aux bornes de chaque capacit´ (ou toute
e
combinaison ´quivalente).
e

2

DIVERSES REPRESENTATIONS D’ETAT

Pour un syst`me donn´, il existe plusieurs repr´sentations d’´tat possibles.
e
e
e
e
Nous verrons au paragraphe 2.1 que l’on peut passer d’une repr´sentation a
e
`
une autre par l’´quivalent d’un changement de base. Nous verrons ensuite
e
plusieurs formes de repr´sentation particuli`res.
e
e

2.1

Multiplicit´ de la repr´sentation
e
e

Si x est l’´tat d’un syst`me, toute bijection X < − > ζ d´finit des ´quations
e
e
e
e
d’´tat ´quivalentes.
e
e
Soit T une matrice inversible, et soit ζ(t) = T.X(t). On a :
˙
ζ = T.A.T −1 .ζ + [T.B] .U
y = C.T −1 .ζ + [D] .U
ce qui d´finit bien une nouvelle repr´sentation d’´tat.
e
e
e

2.2

Repr´sentation par des variables physiques
e

L’´tat du syst`me peut ˆtre compos´ de variables physiques. Prenons l’exemple
e
e
e
e
du syst`me ´lectro-m´canique de la figure 3
e
e
e
La variable d’entr´e est u, la variable de sortie est θ. Les ´quations du
e
e
syst`me sont :
e
dθ
di
+ k.
dt
dt
2θ
d
dθ
k.i = J. 2 + φ.
dt
dt

K.u = R.i + L.

4
K

i

 

φ

J
k

θ
¡

V

 

 

u

 

L

R

¡

£

£

¢

¢

Figure 3: Un moteur et son alimentation
En suivant ce qui est dit dans la d´finition de l’´tat au chapitre pr´c´dent,
e
e
e e
nous choisissons, pour repr´senter l’´tat du syst`me, les variables :
e
e
e
• position : x1 = θ
• vitesse : x2 =

dθ
dt

• courant : x3 = i.
Ce qui donne les ´quations d’´tat suivantes :
e
e
x1 = x2
˙
k
φ
x2 = − .x2 + .x3
˙
J
J
k
R
K
x3 = − .x2 − .x3 + .u
˙
L
L
L
y = θ
Ces ´quations peuvent se mettre sous la forme :
e


0 1

φ
˙
X =  0 −J
k
0 −L
Y

2.3

=

1 0 0

0
k
J
−R
L

.X







0



 .X +  0  .U
K
L

Variables de phase

1er cas : les d´riv´es de l’entr´e n’interviennent pas
e
e
e
On consid`re le syst`me d´crit par
e
e
e
dn−1 y
dn y
+ an . n−1 + · · · + a1 .y = K.e(t)
dtn
dt
5
o` y est la sortie et e l’entr´e. On choisit de repr´senter l’´tat du syt`me
u
e
e
e
e
par des variables de phase :




X =





y
dy
dt

.
.
.

dn−1 y
dtn−1



 
 
=
 
 

x1
x2
.
.
.
xn








Les ´quations d’´tat s’´crivent alors :
e
e
e
x1 = x2
˙
x2 = x3
˙
··· = ···
xn−1 = xn
˙
xn = −a1 .x1 − a2 .x2 − · · · − an .xn + K.e
˙
y = x1
Ce qui donne, sous forme matricielle :





˙
X =



et

Y =

0
1
···
0
0
1
···
··· ···
0
0
0
−a1 −a2 −a3
1 0 ··· 0

···
0
···
0
··· ···
···
1
· · · −an





0
0
.
.
.







.X + 





 0

K






 .U




.X.

Les matrices A, B et C ont des structures remarquables. La matrice A
est appel´e matrice compagne (ou bloc compagnon). Le calcul de la fonction
e
de transfert donne :
K
Y (p)
= n
n−1 + · · · + a .p + a
E(p)
p + an .p
2
1
2eme cas : les d´riv´es de l’entr´e interviennent
e
e
e
Le syst`me est alors d´crit par (m < n) :
e
e
dn y
dn−1 y
de
dm e
+ an . n−1 + · · · + a1 .y = K e + b1 . + · · · + bm . m
dtn
dt
dt
dt
6
La fonction de transfert de ce syst`me est :
e
Y (p)
K. (1 + b1 p + · · · + bm pm )
= n
E(p)
p + an .pn−1 + · · · + a2 .p + a1
Pour se ramener a des probl`mes connus, on consid`re une variable interne
`
e
e
X(p) telle que :
Y (p) X(p)
Y (p)
=
.
E(p)
X(p) E(p)
avec
X(p)
E(p)
Y (p)
X(p)

=

pn

+ an

.pn−1

K
+ · · · + a2 .p + a1

= 1 + b 1 p + · · · + b m pm

(1)
(2)

L’´quation (1) nous ram`ne au probl`me pr´c´dent. L’´quation (2) est
e
e
e
e e
e
´quivalente a :
e
`
Y (t) = X(t) + b1 .

dm X
dX
+ · · · + bm . m
dt
dt

Par rapport au premier, ce deuxi`me cas diff`re par l’ ´quation suivante :
e
e
e
Y =

2.4

1 b 1 b2 · · · b m 0 · · · 0

.X

Variables canoniques

On utilise ce type de repr´sentation lorsque le syst`me a une entr´e e(t)
e
e
e
et une sortie y(t) et qu’il peut ˆtre d´crit par une fonction de transfert
e
e
rationnelle strictement propre et a pˆles distincts.
` o
(b0 + b1 p + · · · + bm pm )
Y (p)
= K.
E(p)
(p − λ1 ).(p − λ2 ) · · · (p − λn )
avec comme hypoth`se : ∀i = j, on a λi = λj .
e
On peut alors d´composer en ´l´ments simples la fonction rationnelle
e
ee
pr´c´dente :
e e
c2
cn
Y (p)
c1
+
+ ··· +
(3)
=
E(p)
p − λ1 p − λ2
p − λn
o` les ci sont les coefficients de la d´composition.
u
e
On pose :
1
Xi
=
p − λi
E
7

(4)
1
p - λ1

e

x1

c
1

+

1
p - λ2

x2

c
2

+

y

+

xn

1
p - λn

+

c
n

Figure 4: sh´ma bloc de la forme modale
e
Si Xi = T L(xi ) et E = T L(e), l’´quation (4) peut s’´crire :
e
e
xi = λi .xi + e
˙
L’´quation (3) devient :
e

n

y=

ci .xi
i=1

Ceci nous ram`ne a une repr´sentation d’´tat de la forme :
e `
e
e


λ1



 0

˙
X = .
 .
 .
0

Y =

0

··· 0
.
.
λ2 . . .
.
.
.. ..
.
. .
.
· · · · · · λn











 .X + 





c1 c2 · · · c n

1
.
.
.
.
.
.
1






 .U



.X

On dit que ces repr´sentations ont une forme modale. Le sh´ma bloc
e
e
´quivalent est en figure 4
e

3

´
`
REPONSE D’UN SYTEME

Dans ce chapitre, nous cherchons a connaˆ la ou les sorties y i (t) (vecteur
`
ıtre
Y ), connaissant les entr´es ei (t) (vecteur U ) et l’´tat du syst`me a l’instant
e
e
e
`
8
initial (X(0)). Il est clair que nous aurons ´galement a calculer X(t). Les
e
`
deux premi`res parties de ce chapitre permettent de poser le probl`me de la
e
e
r´solution des ´quations diff´rentielles. La troisi`me partie montre quelques
e
e
e
e
propri´t´s de la matrice de transition, ce qui nous permettra, dans la quaee
tri`me partie d’aborder le calcul proprement dit.
e

3.1

Cas scalaire

Soit un syst`me d´crit par :
e
e
x = a.x + b.u
˙
y = c.x
o` , a, b, c, x et y sont des scalaires. Dans un premier temps, on consid`re ce
u
e
syst`me autonome (u(t) = 0). L’´quation d’´volution de x devient : x = a.x.
e
e
e
˙
La transform´e de Laplace de cette ´quation donne :
e
e
p.X(p) − x(0) = a.X(p)
x(0)
(p − a)

X(p) =
En prenant la transform´e inverse :
e

x(t) = eat .x(0)
Dans le cas, plus g´n´ral, du r´gime forc´ (u = 0), l’´quation d’´volution de
e e
e
e
e
e
x est : x = a.x + b.u. La transform´e de Laplace de cette ´quation donne :
˙
e
e
p.X(p) − x(0) = a.X(p) + b.U (p)
X(p) =

1
x(0)
+
.b.U (p)
(p − a) (p − a)

En prenant la transform´e inverse :
e
t

x(t) = eat .x(0) +

ea(t−τ ) .b.u(τ ).dτ

0

Le premier membre de cette ´quation correspond au r´gime libre, le deuxi`me,
e
e
e
au r´gime forc´.
e
e

9
3.2

Cas g´n´ral
e e

Notre syst`me est d´crit par les ´quations :
e
e
e
˙
X

= A.X + B.U

Y

= C.X

Dans un premier temps, on consid`re le syst`me autonome (U = 0). L’´quation
e
e
e
˙ = A.X. La transform´e de Laplace de
d’´volution de l’´tat X devient : X
e
e
e
cette ´quation donne :
e
p.X(p) − X(0) = A.X(p)
remarque : Ici X(p) repr´sente le vecteur des TL. des x i .
e
X(p) = (pI − A)−1 .X(0)
Par d´finition, on appelle la matrice
e
eAt = T L−1 (pI − A)−1
la matrice de transition du syst`me. La notation e At rappelle le cas scalaire (eat ).
e
La transform´e de Laplace inverse de l’´quation pr´c´dente est :
e
e
e e
X(t) = eAt .X(0)
Dans le cas du r´gime forc´, l’´quation d’´volution de X est :
e
e e
e
˙
X = A.X + B.U
. La transform´e de Laplace de cette ´quation donne :
e
e
p.X(p) − X(0) = A.X(p) + B.U (p)
X(p) = (pI − A)−1 .X(0) + (pI − A)−1 .B.U (p)
En prenant la transform´e inverse :
e
t

X(t) = eAt .X(0) +

eA(t−τ ) .B.U (τ ).dτ

0

Le premier membre de cette ´qution correspond au r´gime libre, le deuxi`me,
e
e
e
au r´gime forc´.
e
e
Cette ´quation montre que si l’on sait calculer e At , on aura X(t) donc
e
Y (t). Avant de passer au calcul proprement dit de e At , on va en voir quelques
unes de ses propri´t´s.
ee
10
3.3

Propri´t´s de la matrice de transition
e e

La matrice de transition φ(t) = eAt est solution du syst`me autonome :
e
˙
X = A.X

(5)

On peut d´finir, comme dans la partie pr´c´dente, que : φ(t) = T L −1 (pI − A)−1 .
e
e e
Cependant, une seconde d´finition, qui nous aidera a calculer φ(t), est pose
`
sible. Pour cela, on recherche une solution de l’´quation (5) sous la forme
e
suivante :
X(t) = A0 + A1 .t + A2 .t2 + · · · + An .tn + · · ·
o` les A0 , A1 , · · · sont inconnus. L’´quation (5) devient :
u
e
˙
X = A1 +2.A2 .t+3.A3 .t2 +· · ·+n.An .tn−1 +· · · = A. A0 + A1 .t + A2 .t2 + · · · + An .tn + · · ·
Ce qui implique, en notant que A0 = X(0), que :
φ(t) = I + A.t +

An n
A2 2
.t + · · · +
.t + · · ·
2!
n!

Voici quelques propri´t´s ´l´mentaires de cette matrice :
e e ee
• eAt
•
•

deAt
dt

t=0

=I

= A.eAt

t Aτ
0 e dτ

= A−1 . eAt − I

• eAt1 .eAt2 = eA(t1 +t2 )
•

eAt

•

eAt

−1
n

= e−At

= enAt

Toutes ces propri´t´s justifient la notation e At .
ee

3.4

Quelques m´thodes de calcul
e

Il nous reste, pour connaˆ Y (t) donc X(t), le calcul de e At . Nous voyons
ıtre
ici deux m´thodes pour ce calcul.
e

11
3.4.1

Par transformation de Laplace inverse

On peut utiliser la premi`re d´finition de la matrice de transition :
e
e
φ(t) = T L−1 (pI − A)−1
Exemple 3.1.

Soit :
˙
X=

−5 −1
6
0

.X

On va chercher a calculer φ(t).
`
(pI − A)

(pI − A)−1 =

−1

−1

p+5 1
−6 p

=

1
.
(p + 3)(p + 2)

p −1
6 p+5

En formant la transform´e inverse, on trouve :
e
φ(t) =

3.4.2

−2e−2t + 3e−3t −e−2t + e−3t
6e−2t − 6e−3t 3e−2t − 2e−3t

Par l’utilisation du th´or`me de Caley-Hamilton
e e

RAPPELS
On consid`re une matrice A carr´e et λ une valeur propre de A. λ est
e
e
solution de l’´quation caract´ristique :
e
e
P (λ) = det[λ.I − A] = 0
Th´or`me 3.1 A v´rifie son ´quation caract´ristique : P (A) = 0.
e e
e
e
e
Exemple 3.2.

Soit :
A=

2 1
−1 3

On forme l’´quation caract´ristique det[λ.I − A] = 0 c’est a dire :
e
e
`
λ − 2 −1
1
λ−3
12

=0
λ2 − 5λ + 7 = 0
Le th´or`me de C.H. permet d’´crire :
e e
e
A2 = 5A − 7I

Ceci se g´n´ralise en : ∀k > 2, Ak = f (A).
e e
Et comme
φ(t) = I + A.t +

An n
A2 2
.t + · · · +
.t + · · ·
2!
n!

avec le th´or`me de C.H., on peut r´´crire φ(t) ainsi :
e e
ee
φ(t) = α0 (t).I + α1 (t).A + α2 (t).A2 + · · · + αn−1 (t).An−1 .

(6)

o` n est la dimension de la matrice carr´e A.
u
e
Proposition 3.1 Si A a n valeurs propres non nulles distinctes : λ 1 , λ2 , · · · , λn ,
les coefficients α0 (t), α1 (t), · · · , αn−1 (t) de l’´quation (6) sont solution du
e
syst`me form´ par les ´quations :
e
e
e
n−1
eλi t = α0 (t) + α1 (t).λi + α2 (t).λ2 + · · · + αn−1 (t).λi
i

Exemple 3.3.

∀i ∈ {1, · · · , n}

On reprend l’exemple 3.1.
A=

−5 −1
6
0

Les valeurs propres de cette matrice sont : λ 1 = −2 et λ2 = −3. D’apr`s la
e
proposition pr´c´dente, on sait que :
e e
φ(t) = α0 (t).I + α1 (t).A
o` α0 (t) et α1 (t) sont solution de :
u
e−2t = α0 (t) + α1 (t).(−2)
e−3t = α0 (t) + α1 (t).(−3)
Ce qui donne :
α0 (t) = 3e−2t − 2e−3t
α1 (t) = e−2t − e−3t
Le calcul de φ(t) donne le mˆme r´sultat que dans l’exemple 3.1.
e
e

13
Remarque. Si A est diagonalisable, on peut trouver une matrice T inversible telle que :
T −1 .A.T = ∆ = diag(λi ).
Or e∆t est facile a calculer. Il ne reste plus alors qu’` former :
`
a
eAt = T.e∆t .T −1 .
Remarque a propos de la stabilit´ :
`
e
˙
Definition 3.1 Un syst`me lin´aire X = A.X + B.U est stable si et seulee
e
At = 0.
ment si limt−>inf e
Une condition n´cessaire et suffisante pour qu’un syst`me soit stable
e
e
est : Toutes les valeurs propres de A (qui sont les racines du polynˆme
o
caract´ristique a(p) = det[pi − A]) sont a partie r´elle strictement n´gative.
e
`
e
e

4

´
´
RELATION ENTRE EQUATION D’ETAT ET
MATRICE DE TRANSFERT

Soit un syst`me d´crit par les ´quations d’´tat :
e
e
e
e
˙
X = A.X + B.U
Y = C.X + D.U

(7)

On veut calculer la matrice de transfert (une matrice contenant les fonctions de transfert entre les variables d’entr´es et celles de sortie), qui est,
e
par d´finition :
e
Y (p)
M (p) =
U (p)
On suppose que X(0) = 0. On prend la TL des ´quations d’´tats (7) :
e
e
(pI − A).X(p) = B.U (p)
Y (p) = C.X(p) + D.U (p)
d’o` :
u
M (p) = C.(pI − A)−1 .B + D

14
Exemple 4.1.

Soit le syst`me d´crit par :
e
e
˙
X=

−2 1
0 −3

Y =

1 0

1
2

.X +

.U

.X

Dans ce cas, l’entr´e et la sortie du syst`me sont des scalaires. Le calcul de
e
e
la matrice de transfert va en fait donner la fonction de transfert :
M (p) = Y (p)/U (p)
pI − A =
(pI − A)−1 =

p + 2 −1
0
p+3

1
.
(p + 2)(p + 3)

D’o` :
u
M (p) =

p+3
1
0
p+2

p+5
(p + 2)(p + 3)

Remarque. La matrice de transfert est invariante pour tout changement
de la description d’´tat (en particulier, dans le cas d’un changement de base).
e

5

NOTION SUR LA COMMANDE PAR RETOUR
´
D’ETAT

5.1

Notions g´n´rales
e e

On consid`re un syst`me d´crit par :
e
e
e
˙
X = A.X + B.U
Y = C.X
On peut appliquer une commande par retour d’´tat :
e
U
Commande

=

R
Consigne

15

−

G
Correcteur

.X
G
R

-

U

X

B

+

+

X

1
p

Y
C

+
A

procédé
Figure 5: sh´ma bloc d’une commande par retour d’´tat
e
e
En boucle ferm´e, l’entr´e est remplac´e par une commande calcul´e en
e
e
e
e
fonction de la consigne et de l’´tat courant (voir figure 5). on obtient :
e
˙
X = (A − B.G).X + B.R
Y = C.X
On note AF = A − B.G la matrice d’´volution du syst`me en boucle ferm´e.
e
e
e
Si le syst`me est de dimention n, alors
e
G=

.

g1 g2 · · · g n

Avec la matrice G, on peut r´gler les valeurs propres de A F . Le sch´ma-bloc
e
e
repr´sentant le principe de cette commande est en figure 5.
e

5.2

Notion sur la commande par placement de pˆles
o

Soit le syst`me d´crit en B.O. par variables de phase (autrement appel´e
e
e
e
forme commandable) suivante :




˙ =
X 



0
1
0
0
0
1
··· ··· ···
0
0
0
−a1 −a2 −a3

···
0
···
0
··· ···
···
1
· · · −an

et
Y = b1 b2 · · · bn .X
La fonction de transfert en B.O. est :
T (p) =











 .X + 




 0

b1 + b2 p + b3 p2 + · · · + bn pn−1
a1 + a2 .p + · · · + an .pn−1 + pn
16

0
0
.
.
.
1






 .U



En boucle ferm´e, le calcul de la matrice d’´volution du syst`me donne :
e
e
e


AF





=




0

1

0

0

0

1

···
..
.
..
.

0

···
···
···
···
0
0
0
···
1
−a1 − g1 −a2 − g2 −a3 − g3 · · · −an − gn

La fonction de tranfert en B.F. est :
H(p) =



0










b1 + b2 p + b3 p2 + · · · + bn pn−1
(a1 + g1 ) + (a2 + g2 ).p + · · · + (an + gn ).pn−1 + pn

Cette m´thode de commande permet de modifier toutes les valeurs proe
pres en B.F., par contre, le num´rateur reste inchang´. On ne peut donc
e
e
pas modifier les z´ros du proc´d´.
e
e e
M´thode de placement des pˆles : On commence par former l’´quation
e
o
e
caract´ristique en B.F., puis on l’´gale au d´nominateur voulu :
e
e
e
n

(a1 + g1 ) + (a2 + g2 ).p + · · · + (an + gn ).pn−1 + pn =

(p − λi )
i=1

On se donne les λi (pˆles souhait´s), les ai sont donn´s par le syst`me, il
o
e
e
e
faut calculer les gi .
Exemple 5.1.
B.O. est :

On consid`re le syst`me dont la fonction de transfert en
e
e
T (p) =

1
p3 + 4p2 + 3p + 2

1. Donner la repr´sentation d’´tat par variables de phase
e
e
2. D´terminer la matrice de retour d’´tat pour obtenir les valeurs propres
e
e
suivantes : λ1 = −1, λ2 = −2, λ3 = −3.
´
REPONSES
1.









0
1
0
0



˙ = 0
X 
0
1  .X +  0  .U
−2 −3 −4
1
Y =

1 0 0

.X

17
2.

3

(p − λi ) = p3 + 6p2 + 11p + 6
i=1

En identifiant, on trouve : g1 = 4, g2 = 8, g3 = 2.

FIN
A
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e e e e

18

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Cours rep etat

  • 1. Cours de syst`mes asservis. e ´ ´ REPRESENTATION D’ETAT J.P. CHEMLA Abstract Ce chapitre pr´sente un autre aspect des asservissements. Ici, la e description du syst`me a asservir est bas´e sur un syst`me d’´quations e ` e e e diff´rentielles lin´aires du premier ordre. L’int´rˆt de ce type de reprsene e e e tations vient, d’une part, que tout syst`me lin´aire d’ordre quelconque e e peut se ramener a un tel syst`me d’´quations diff´rentielles et, d’autre ` e e e part, que l’on sait r´soudre directement ces syst`mes (sans passer par e e la transform´e de Laplace). De plus, les r´sultats pr´sent´s ici sont e e e e directement appliquables aux syst`mes multivariables. e 1 INTRODUCTION 1.1 Exemple On consid`re le syst`me pr´sent´ en figure 1 : Les variables d’entr´es (cad e e e e e de commande) sont e1 et e2. La sortie est la tension S aux bornes de L 1 . Soit U le vecteur contenant ces deux variables. e1 e2 U= . Les ´quations de ce syst`me sont : e e e1 = R1 .i1 + L1 . e2 = L 2 . di2 +V dt 1 di1 +V dt
  • 2. S i1 L1 R1 e1 L2 i2 C V e2 Figure 1: Circuit ´lectrique e dV dt 1 .(i1 + i2 ) C di1 S = L1 . dt = A un instant donn´ t, on peut consid´rer que le syst`me se trouve dans e e e un certain ”´tat” d´fini par les valeurs prises par i 1 , i2 et V . Soit X le e e vecteur T T . X = x1 x2 x3 = i1 i2 V On appelle ce vecteur l’´tat du syst`me. Toutes les ´quations d’´volution e e e e de ce syst`me peuvent s’´crire en fonction des entr´es et de x 1 , x2 et x3 et e e e de leurs d´riv´es : e e R 1 1 .x1 − .x3 + .e1 L1 L1 L1 1 1 = − .x3 + .e2 L2 L2 1 1 = .x1 + .x2 C C x1 = − ˙ x2 ˙ x3 ˙ Ce qui peut s’´crire : e  −R  L1 ˙ X = 0 1 C 0 0 1 C   1 1 − L1   L1 1 − L2  .X +  0 0 0 0 1 L2 0    .U Autrement dit, en appelant A la premi`re matrice et B la deuxi`me : e e ˙ X = A.X + B.U 2
  • 3. D U B X + X 1 p + C + Y + A Figure 2: sh´ma bloc g´n´ral e e e On peut exprimer la sortie Y par une ´quation du type : e Y = C.X + D.U o` Y est le vecteur des sorties (ici de dimension 1 car on a une seule sortie). u Ici, Y = [S] avec S = e1 − R.i1 − V . D’o` : u S= 1.2 −R 0 −1 .X + 1 0 .U G´n´ralisation e e Un syst`me lin´aire continu est d´crit par des ´quations d’´tat de type : e e e e e ˙ X = A.X + B.U Y = C.X + D.U o` : u U est le vecteur des commandes ou des entr´es. e X est le vecteur d’´tat. e Y est le vecteur des sorties. A est la matrice d’´volution du syst`me. e e B est la matrice d’application de la commande. C est la matrice d’observation. D est la matrice de transmission directe. Dim(U ) = m, Dim(X) = n, Dim(Y ) = p, Dim(A) = (n × n), Dim(B) = (n × m), Dim(C) = (p × n), Dim(D) = (p × m), Ces ´quations peuvent se repr´senter par le sh´ma bloc g´n´ral de la e e e e e figure 2, 1/p ´tant l’op´rateur d’int´gration dans le domaine de Laplace. e e e En g´n´ral, D est nulle. L’´tat est la sortie des int´grateurs. A, B, C et e e e e D sont des matrices constantes 3
  • 4. Definition 1.1 L’´tat d’un syst`me est l’ensemble minimum de variables e e qui contient l’information suffisante sur l’histoire du syst`me pour permee ttre de calculer tous les ´tats futurs. On suppose connu le mod`le et les e e entr´es. Pour un syst`me m´canique, l’´tat peut ˆtre l’ensemble des posie e e e e tions et vitesses relatives a chaque degr´ de libert´ (ou toute combinaison ` e e ´quivalente). Pour un r´seau ´lectrique, l’´tat peut ˆtre d´fini par le courant e e e e e e dans chaque inductance et la tension aux bornes de chaque capacit´ (ou toute e combinaison ´quivalente). e 2 DIVERSES REPRESENTATIONS D’ETAT Pour un syst`me donn´, il existe plusieurs repr´sentations d’´tat possibles. e e e e Nous verrons au paragraphe 2.1 que l’on peut passer d’une repr´sentation a e ` une autre par l’´quivalent d’un changement de base. Nous verrons ensuite e plusieurs formes de repr´sentation particuli`res. e e 2.1 Multiplicit´ de la repr´sentation e e Si x est l’´tat d’un syst`me, toute bijection X < − > ζ d´finit des ´quations e e e e d’´tat ´quivalentes. e e Soit T une matrice inversible, et soit ζ(t) = T.X(t). On a : ˙ ζ = T.A.T −1 .ζ + [T.B] .U y = C.T −1 .ζ + [D] .U ce qui d´finit bien une nouvelle repr´sentation d’´tat. e e e 2.2 Repr´sentation par des variables physiques e L’´tat du syst`me peut ˆtre compos´ de variables physiques. Prenons l’exemple e e e e du syst`me ´lectro-m´canique de la figure 3 e e e La variable d’entr´e est u, la variable de sortie est θ. Les ´quations du e e syst`me sont : e dθ di + k. dt dt 2θ d dθ k.i = J. 2 + φ. dt dt K.u = R.i + L. 4
  • 5. K i   φ J k θ ¡ V     u   L R ¡ £ £ ¢ ¢ Figure 3: Un moteur et son alimentation En suivant ce qui est dit dans la d´finition de l’´tat au chapitre pr´c´dent, e e e e nous choisissons, pour repr´senter l’´tat du syst`me, les variables : e e e • position : x1 = θ • vitesse : x2 = dθ dt • courant : x3 = i. Ce qui donne les ´quations d’´tat suivantes : e e x1 = x2 ˙ k φ x2 = − .x2 + .x3 ˙ J J k R K x3 = − .x2 − .x3 + .u ˙ L L L y = θ Ces ´quations peuvent se mettre sous la forme : e  0 1  φ ˙ X =  0 −J k 0 −L Y 2.3 = 1 0 0 0 k J −R L .X    0     .X +  0  .U K L Variables de phase 1er cas : les d´riv´es de l’entr´e n’interviennent pas e e e On consid`re le syst`me d´crit par e e e dn−1 y dn y + an . n−1 + · · · + a1 .y = K.e(t) dtn dt 5
  • 6. o` y est la sortie et e l’entr´e. On choisit de repr´senter l’´tat du syt`me u e e e e par des variables de phase :    X =    y dy dt . . . dn−1 y dtn−1      =     x1 x2 . . . xn       Les ´quations d’´tat s’´crivent alors : e e e x1 = x2 ˙ x2 = x3 ˙ ··· = ··· xn−1 = xn ˙ xn = −a1 .x1 − a2 .x2 − · · · − an .xn + K.e ˙ y = x1 Ce qui donne, sous forme matricielle :     ˙ X =   et Y = 0 1 ··· 0 0 1 ··· ··· ··· 0 0 0 −a1 −a2 −a3 1 0 ··· 0 ··· 0 ··· 0 ··· ··· ··· 1 · · · −an   0 0 . . .       .X +        0 K      .U    .X. Les matrices A, B et C ont des structures remarquables. La matrice A est appel´e matrice compagne (ou bloc compagnon). Le calcul de la fonction e de transfert donne : K Y (p) = n n−1 + · · · + a .p + a E(p) p + an .p 2 1 2eme cas : les d´riv´es de l’entr´e interviennent e e e Le syst`me est alors d´crit par (m < n) : e e dn y dn−1 y de dm e + an . n−1 + · · · + a1 .y = K e + b1 . + · · · + bm . m dtn dt dt dt 6
  • 7. La fonction de transfert de ce syst`me est : e Y (p) K. (1 + b1 p + · · · + bm pm ) = n E(p) p + an .pn−1 + · · · + a2 .p + a1 Pour se ramener a des probl`mes connus, on consid`re une variable interne ` e e X(p) telle que : Y (p) X(p) Y (p) = . E(p) X(p) E(p) avec X(p) E(p) Y (p) X(p) = pn + an .pn−1 K + · · · + a2 .p + a1 = 1 + b 1 p + · · · + b m pm (1) (2) L’´quation (1) nous ram`ne au probl`me pr´c´dent. L’´quation (2) est e e e e e e ´quivalente a : e ` Y (t) = X(t) + b1 . dm X dX + · · · + bm . m dt dt Par rapport au premier, ce deuxi`me cas diff`re par l’ ´quation suivante : e e e Y = 2.4 1 b 1 b2 · · · b m 0 · · · 0 .X Variables canoniques On utilise ce type de repr´sentation lorsque le syst`me a une entr´e e(t) e e e et une sortie y(t) et qu’il peut ˆtre d´crit par une fonction de transfert e e rationnelle strictement propre et a pˆles distincts. ` o (b0 + b1 p + · · · + bm pm ) Y (p) = K. E(p) (p − λ1 ).(p − λ2 ) · · · (p − λn ) avec comme hypoth`se : ∀i = j, on a λi = λj . e On peut alors d´composer en ´l´ments simples la fonction rationnelle e ee pr´c´dente : e e c2 cn Y (p) c1 + + ··· + (3) = E(p) p − λ1 p − λ2 p − λn o` les ci sont les coefficients de la d´composition. u e On pose : 1 Xi = p − λi E 7 (4)
  • 8. 1 p - λ1 e x1 c 1 + 1 p - λ2 x2 c 2 + y + xn 1 p - λn + c n Figure 4: sh´ma bloc de la forme modale e Si Xi = T L(xi ) et E = T L(e), l’´quation (4) peut s’´crire : e e xi = λi .xi + e ˙ L’´quation (3) devient : e n y= ci .xi i=1 Ceci nous ram`ne a une repr´sentation d’´tat de la forme : e ` e e  λ1   0  ˙ X = .  .  . 0 Y = 0 ··· 0 . . λ2 . . . . . .. .. . . . . · · · · · · λn          .X +      c1 c2 · · · c n 1 . . . . . . 1      .U   .X On dit que ces repr´sentations ont une forme modale. Le sh´ma bloc e e ´quivalent est en figure 4 e 3 ´ ` REPONSE D’UN SYTEME Dans ce chapitre, nous cherchons a connaˆ la ou les sorties y i (t) (vecteur ` ıtre Y ), connaissant les entr´es ei (t) (vecteur U ) et l’´tat du syst`me a l’instant e e e ` 8
  • 9. initial (X(0)). Il est clair que nous aurons ´galement a calculer X(t). Les e ` deux premi`res parties de ce chapitre permettent de poser le probl`me de la e e r´solution des ´quations diff´rentielles. La troisi`me partie montre quelques e e e e propri´t´s de la matrice de transition, ce qui nous permettra, dans la quaee tri`me partie d’aborder le calcul proprement dit. e 3.1 Cas scalaire Soit un syst`me d´crit par : e e x = a.x + b.u ˙ y = c.x o` , a, b, c, x et y sont des scalaires. Dans un premier temps, on consid`re ce u e syst`me autonome (u(t) = 0). L’´quation d’´volution de x devient : x = a.x. e e e ˙ La transform´e de Laplace de cette ´quation donne : e e p.X(p) − x(0) = a.X(p) x(0) (p − a) X(p) = En prenant la transform´e inverse : e x(t) = eat .x(0) Dans le cas, plus g´n´ral, du r´gime forc´ (u = 0), l’´quation d’´volution de e e e e e e x est : x = a.x + b.u. La transform´e de Laplace de cette ´quation donne : ˙ e e p.X(p) − x(0) = a.X(p) + b.U (p) X(p) = 1 x(0) + .b.U (p) (p − a) (p − a) En prenant la transform´e inverse : e t x(t) = eat .x(0) + ea(t−τ ) .b.u(τ ).dτ 0 Le premier membre de cette ´quation correspond au r´gime libre, le deuxi`me, e e e au r´gime forc´. e e 9
  • 10. 3.2 Cas g´n´ral e e Notre syst`me est d´crit par les ´quations : e e e ˙ X = A.X + B.U Y = C.X Dans un premier temps, on consid`re le syst`me autonome (U = 0). L’´quation e e e ˙ = A.X. La transform´e de Laplace de d’´volution de l’´tat X devient : X e e e cette ´quation donne : e p.X(p) − X(0) = A.X(p) remarque : Ici X(p) repr´sente le vecteur des TL. des x i . e X(p) = (pI − A)−1 .X(0) Par d´finition, on appelle la matrice e eAt = T L−1 (pI − A)−1 la matrice de transition du syst`me. La notation e At rappelle le cas scalaire (eat ). e La transform´e de Laplace inverse de l’´quation pr´c´dente est : e e e e X(t) = eAt .X(0) Dans le cas du r´gime forc´, l’´quation d’´volution de X est : e e e e ˙ X = A.X + B.U . La transform´e de Laplace de cette ´quation donne : e e p.X(p) − X(0) = A.X(p) + B.U (p) X(p) = (pI − A)−1 .X(0) + (pI − A)−1 .B.U (p) En prenant la transform´e inverse : e t X(t) = eAt .X(0) + eA(t−τ ) .B.U (τ ).dτ 0 Le premier membre de cette ´qution correspond au r´gime libre, le deuxi`me, e e e au r´gime forc´. e e Cette ´quation montre que si l’on sait calculer e At , on aura X(t) donc e Y (t). Avant de passer au calcul proprement dit de e At , on va en voir quelques unes de ses propri´t´s. ee 10
  • 11. 3.3 Propri´t´s de la matrice de transition e e La matrice de transition φ(t) = eAt est solution du syst`me autonome : e ˙ X = A.X (5) On peut d´finir, comme dans la partie pr´c´dente, que : φ(t) = T L −1 (pI − A)−1 . e e e Cependant, une seconde d´finition, qui nous aidera a calculer φ(t), est pose ` sible. Pour cela, on recherche une solution de l’´quation (5) sous la forme e suivante : X(t) = A0 + A1 .t + A2 .t2 + · · · + An .tn + · · · o` les A0 , A1 , · · · sont inconnus. L’´quation (5) devient : u e ˙ X = A1 +2.A2 .t+3.A3 .t2 +· · ·+n.An .tn−1 +· · · = A. A0 + A1 .t + A2 .t2 + · · · + An .tn + · · · Ce qui implique, en notant que A0 = X(0), que : φ(t) = I + A.t + An n A2 2 .t + · · · + .t + · · · 2! n! Voici quelques propri´t´s ´l´mentaires de cette matrice : e e ee • eAt • • deAt dt t=0 =I = A.eAt t Aτ 0 e dτ = A−1 . eAt − I • eAt1 .eAt2 = eA(t1 +t2 ) • eAt • eAt −1 n = e−At = enAt Toutes ces propri´t´s justifient la notation e At . ee 3.4 Quelques m´thodes de calcul e Il nous reste, pour connaˆ Y (t) donc X(t), le calcul de e At . Nous voyons ıtre ici deux m´thodes pour ce calcul. e 11
  • 12. 3.4.1 Par transformation de Laplace inverse On peut utiliser la premi`re d´finition de la matrice de transition : e e φ(t) = T L−1 (pI − A)−1 Exemple 3.1. Soit : ˙ X= −5 −1 6 0 .X On va chercher a calculer φ(t). ` (pI − A) (pI − A)−1 = −1 −1 p+5 1 −6 p = 1 . (p + 3)(p + 2) p −1 6 p+5 En formant la transform´e inverse, on trouve : e φ(t) = 3.4.2 −2e−2t + 3e−3t −e−2t + e−3t 6e−2t − 6e−3t 3e−2t − 2e−3t Par l’utilisation du th´or`me de Caley-Hamilton e e RAPPELS On consid`re une matrice A carr´e et λ une valeur propre de A. λ est e e solution de l’´quation caract´ristique : e e P (λ) = det[λ.I − A] = 0 Th´or`me 3.1 A v´rifie son ´quation caract´ristique : P (A) = 0. e e e e e Exemple 3.2. Soit : A= 2 1 −1 3 On forme l’´quation caract´ristique det[λ.I − A] = 0 c’est a dire : e e ` λ − 2 −1 1 λ−3 12 =0
  • 13. λ2 − 5λ + 7 = 0 Le th´or`me de C.H. permet d’´crire : e e e A2 = 5A − 7I Ceci se g´n´ralise en : ∀k > 2, Ak = f (A). e e Et comme φ(t) = I + A.t + An n A2 2 .t + · · · + .t + · · · 2! n! avec le th´or`me de C.H., on peut r´´crire φ(t) ainsi : e e ee φ(t) = α0 (t).I + α1 (t).A + α2 (t).A2 + · · · + αn−1 (t).An−1 . (6) o` n est la dimension de la matrice carr´e A. u e Proposition 3.1 Si A a n valeurs propres non nulles distinctes : λ 1 , λ2 , · · · , λn , les coefficients α0 (t), α1 (t), · · · , αn−1 (t) de l’´quation (6) sont solution du e syst`me form´ par les ´quations : e e e n−1 eλi t = α0 (t) + α1 (t).λi + α2 (t).λ2 + · · · + αn−1 (t).λi i Exemple 3.3. ∀i ∈ {1, · · · , n} On reprend l’exemple 3.1. A= −5 −1 6 0 Les valeurs propres de cette matrice sont : λ 1 = −2 et λ2 = −3. D’apr`s la e proposition pr´c´dente, on sait que : e e φ(t) = α0 (t).I + α1 (t).A o` α0 (t) et α1 (t) sont solution de : u e−2t = α0 (t) + α1 (t).(−2) e−3t = α0 (t) + α1 (t).(−3) Ce qui donne : α0 (t) = 3e−2t − 2e−3t α1 (t) = e−2t − e−3t Le calcul de φ(t) donne le mˆme r´sultat que dans l’exemple 3.1. e e 13
  • 14. Remarque. Si A est diagonalisable, on peut trouver une matrice T inversible telle que : T −1 .A.T = ∆ = diag(λi ). Or e∆t est facile a calculer. Il ne reste plus alors qu’` former : ` a eAt = T.e∆t .T −1 . Remarque a propos de la stabilit´ : ` e ˙ Definition 3.1 Un syst`me lin´aire X = A.X + B.U est stable si et seulee e At = 0. ment si limt−>inf e Une condition n´cessaire et suffisante pour qu’un syst`me soit stable e e est : Toutes les valeurs propres de A (qui sont les racines du polynˆme o caract´ristique a(p) = det[pi − A]) sont a partie r´elle strictement n´gative. e ` e e 4 ´ ´ RELATION ENTRE EQUATION D’ETAT ET MATRICE DE TRANSFERT Soit un syst`me d´crit par les ´quations d’´tat : e e e e ˙ X = A.X + B.U Y = C.X + D.U (7) On veut calculer la matrice de transfert (une matrice contenant les fonctions de transfert entre les variables d’entr´es et celles de sortie), qui est, e par d´finition : e Y (p) M (p) = U (p) On suppose que X(0) = 0. On prend la TL des ´quations d’´tats (7) : e e (pI − A).X(p) = B.U (p) Y (p) = C.X(p) + D.U (p) d’o` : u M (p) = C.(pI − A)−1 .B + D 14
  • 15. Exemple 4.1. Soit le syst`me d´crit par : e e ˙ X= −2 1 0 −3 Y = 1 0 1 2 .X + .U .X Dans ce cas, l’entr´e et la sortie du syst`me sont des scalaires. Le calcul de e e la matrice de transfert va en fait donner la fonction de transfert : M (p) = Y (p)/U (p) pI − A = (pI − A)−1 = p + 2 −1 0 p+3 1 . (p + 2)(p + 3) D’o` : u M (p) = p+3 1 0 p+2 p+5 (p + 2)(p + 3) Remarque. La matrice de transfert est invariante pour tout changement de la description d’´tat (en particulier, dans le cas d’un changement de base). e 5 NOTION SUR LA COMMANDE PAR RETOUR ´ D’ETAT 5.1 Notions g´n´rales e e On consid`re un syst`me d´crit par : e e e ˙ X = A.X + B.U Y = C.X On peut appliquer une commande par retour d’´tat : e U Commande = R Consigne 15 − G Correcteur .X
  • 16. G R - U X B + + X 1 p Y C + A procédé Figure 5: sh´ma bloc d’une commande par retour d’´tat e e En boucle ferm´e, l’entr´e est remplac´e par une commande calcul´e en e e e e fonction de la consigne et de l’´tat courant (voir figure 5). on obtient : e ˙ X = (A − B.G).X + B.R Y = C.X On note AF = A − B.G la matrice d’´volution du syst`me en boucle ferm´e. e e e Si le syst`me est de dimention n, alors e G= . g1 g2 · · · g n Avec la matrice G, on peut r´gler les valeurs propres de A F . Le sch´ma-bloc e e repr´sentant le principe de cette commande est en figure 5. e 5.2 Notion sur la commande par placement de pˆles o Soit le syst`me d´crit en B.O. par variables de phase (autrement appel´e e e e forme commandable) suivante :    ˙ = X    0 1 0 0 0 1 ··· ··· ··· 0 0 0 −a1 −a2 −a3 ··· 0 ··· 0 ··· ··· ··· 1 · · · −an et Y = b1 b2 · · · bn .X La fonction de transfert en B.O. est : T (p) =          .X +       0 b1 + b2 p + b3 p2 + · · · + bn pn−1 a1 + a2 .p + · · · + an .pn−1 + pn 16 0 0 . . . 1      .U   
  • 17. En boucle ferm´e, le calcul de la matrice d’´volution du syst`me donne : e e e  AF     =    0 1 0 0 0 1 ··· .. . .. . 0 ··· ··· ··· ··· 0 0 0 ··· 1 −a1 − g1 −a2 − g2 −a3 − g3 · · · −an − gn La fonction de tranfert en B.F. est : H(p) =  0         b1 + b2 p + b3 p2 + · · · + bn pn−1 (a1 + g1 ) + (a2 + g2 ).p + · · · + (an + gn ).pn−1 + pn Cette m´thode de commande permet de modifier toutes les valeurs proe pres en B.F., par contre, le num´rateur reste inchang´. On ne peut donc e e pas modifier les z´ros du proc´d´. e e e M´thode de placement des pˆles : On commence par former l’´quation e o e caract´ristique en B.F., puis on l’´gale au d´nominateur voulu : e e e n (a1 + g1 ) + (a2 + g2 ).p + · · · + (an + gn ).pn−1 + pn = (p − λi ) i=1 On se donne les λi (pˆles souhait´s), les ai sont donn´s par le syst`me, il o e e e faut calculer les gi . Exemple 5.1. B.O. est : On consid`re le syst`me dont la fonction de transfert en e e T (p) = 1 p3 + 4p2 + 3p + 2 1. Donner la repr´sentation d’´tat par variables de phase e e 2. D´terminer la matrice de retour d’´tat pour obtenir les valeurs propres e e suivantes : λ1 = −1, λ2 = −2, λ3 = −3. ´ REPONSES 1.     0 1 0 0    ˙ = 0 X  0 1  .X +  0  .U −2 −3 −4 1 Y = 1 0 0 .X 17
  • 18. 2. 3 (p − λi ) = p3 + 6p2 + 11p + 6 i=1 En identifiant, on trouve : g1 = 4, g2 = 8, g3 = 2. FIN A Ce document a ´t´ r´alis´ avec LTEXsur Macintosh. e e e e 18