Sommaire                                                                                       • P&NP                     ...
Problèmes difficiles (1)                                                  Problèmes difficiles (2)• Que faire si un problè...
La Classe P                                                                   La classe NP (1)                            ...
NP-dur                                                                       P, NP, NP-dure?     • l In liUijM^e L est NP-...
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Ch7 algorithmes NP-Copmlétude

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Ch7 algorithmes NP-Copmlétude

  1. 1. Sommaire • P&NP • définition de P NP-Complétude • définition de NP • NP-Complétude ©Lotfi Ben Romdliane, Ph.D. £)ép. sciences injoriiiatioues Faculté des sciences Université de Monastir Juin 2010Complexité temporelle (1) Complexité temporelle (2)• Taille des Input, n Notation Type de complexité • n : le nombre de bits nécessaires pour coder les entrées complexité constante (Indépendante clé la t,iilli- di- l.i 0(1) donnée)• Classes de complexité: 0(log(n)) complexité logarillimit|in * logarithmique : log(n) 0(n) complexité linéaire * linéaire: n ex onentielle 0(nlog(n)) complexité quasi- Un élire • polynomiale: nk 0(n2) complexité quudrat ii jur cjuadratique/polynomiale exponentielle: a" (a > 1) O(n) complexité cubiQUC linéaire O(nP) complexité polynomialtt O(lllo8<")) complexité ûUMÎ-polynomiale 0(2°) complexité exponentielle 0(n!) complexité factorielle Juin 2010
  2. 2. Problèmes difficiles (1) Problèmes difficiles (2)• Que faire si un problème est dure ... Juta 2010 Juin 2010Problème de décision polynomiaux(1) Langage« Le temps polynomial est la mesure defficacité • lin langage L est un ensemble de chaînes définies sur un• Problème de décision alphabet 2 • sortie : 0 ou 1 • Chaque algorithme A de décision définit un langage L • Est-ce que un graphe admet un cycle Eulérien ? * L est lensemble de toutes les chaînes x tels que A donne la " Une chaîne de caractère T contient une sous-chaine S ? réponse « oui » sur x • Un problème du voyageur de commerce (binaire) admet une • Dans ce cas, on dit que « A accepte la chaîne x » solution ayant au minimum un bénéfice K ? • Si A est un algorithme qui détermine si un graphe admet un cycle Eulérien, alors L est lensemble de tous les graphes ayant un;cycle Eulérien Juin 2010 Juin 2010
  3. 3. La Classe P La classe NP (1) • Un algorithme est dit non-déterministe ssi il utilise Une classe de complexité est une collection de langages F opération suivante P est la classe de complexité comprenant tous les langages • Choose(b) : choisit un bit b • peut-être utilisé pour choisir une chaîne entière y avec acceptés en un temps polynomial | y | choix • Un algorithme non-déterministe A accepte une chaîne x ssi Pour chaque langage L dans P, il y a un algorithme de il y a une séquence de « choose () » qui cause A à sortir « oui décision polynomial A pour L » pour la chaîne x • NP est la classe de complexité comprenant tous les langages « n — | x | tel que x € L; A est exécuté en p(n) pour lentrée x acceptés par des algorithmes non-déterministe polynomiaux • La fonction p(n) est polynomiale Juin 2010 10 ]uin2010 La classe NP (2) = NP? Problème: décider si un graphe admet un MST de poids k Algorithme 1. choisir aléatoirement un ensemble T de (n-1) arêtes 2. Tester si T forme un arbre couvrant minimal 3. Tester sir le poids deT est au max k Aanalyse: tester prend O(n+m); donc polynomial11 Juin 2010 12 Juin 2010
  4. 4. NP-dur P, NP, NP-dure? • l In liUijM^e L est NP-dur ssi chaque problème de NP peut- clique problem être réduit à L en un temps polynomial Un langage est NP-complet sil est dans NP et il est NP-dur .été path problem giaph isomoqjhisrn (conjectured); do tvo graphs hâve thé samc structure?13 Juin 2010 14 < Juin 2010

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