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Chapitre 8 – L’évaluation des obligations



                                             Plan

              Actualiser un titre à revenus fixes
              Obligations zéro coupon
              Obligations ordinaires
              A échéance identique, rendements identiques ?
              Évolution du cours des obligations
              Quelques obligations




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Bodie Merton - Chapitre 8      www.escp-eap.net/publications/bmt   © Christophe Thibierge - 2003
Les contrats à revenus fixes


        Définition :
              tout type de contrat, ou de titre financier, dont on connaît à
              l ’avance les cash-flows.


        Exemple :
              une obligation, un emprunt, une rente viagère.


        Pourquoi évaluer ces contrats :
              une obligation peut être revendue avant son échéance
              un emprunt peut être renégocié


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Bodie Merton - Chapitre 8         www.escp-eap.net/publications/bmt   © Christophe Thibierge - 2003
Qu’est-ce qu’une obligation ?


        Définition
              Une obligation est un titre de dette, émis par une société ou par
              l’Etat, avec les caractéristiques suivantes :
                    montant emprunté (nominal)
                    taux d ’intérêt (taux nominal)
                    échéance (ou maturité)
                    prix d ’émission (qui peut différer du nominal)
                    valeur de remboursement (qui peut différer du nominal)

                   modalité de paiement des intérêts (coupons) : une fois par an, in fine
                    modalité de remboursement du capital : amortissement constant,
                   annuités constantes, in fine


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Rappel
                        Actualisation d’une séquence de flux


        La valeur actuelle (en t= 0) d'une série de flux
        monétaires identiques A est obtenue à partir de
        l'actualisation de chaque élément de la série. Les flux
        peuvent être positifs ou négatifs.
        Avec i constant, on obtient pour n années :
                                               n
                                                        A
                                      VA = ∑                 t
                                              t =1   (1 + i )
        soit
                                         1 − (1 + i ) − n
                                VA = A ×
                                               i

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Evaluation d ’un titre à revenus fixes


        Exemple :
              un titre financier vous rapportera 50 euros par an sur les 4
              prochaines années. Combien vaut ce titre, si le taux sans risque est
              de 4% ?
                                   1 − (1 + i ) − n        1 − (1 + 4%) −4
                          VA = A ×                  = 50 ×                 = 181,5€
                                         i                       4%
              Et si le taux sans risque augmente à 5% ?
                                         1 − (1 + 5%) −4
                               VA = 50 ×                 = 177,3€
                                               5%
                           Quand les taux montent,
                le cours des obligations baisse, et inversement
                                                 5
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Comment évaluer une obligation ?



        Etape 1
              évaluer une obligation zéro coupon (un seul cash-flow)


        Etape 2
              évaluer une obligation ordinaire, exprimée comme une suite
              d ’obligations zéro coupon




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Etape 1 : les obligations zéro coupon


        Définition :
              une obligation zéro coupon est une obligation qui ne verse qu ’un
              seul cash-flow, à l ’échéance (la valeur de remboursement). Aucun
              coupon n ’est versé pendant sa durée de vie.


        Intérêt des obligations zéro coupon
              toute obligation peut être décomposée en une somme
              d ’obligations zéro coupon d ’échéances différentes.
              La valeur de l ’obligation globale est égale à la somme des valeurs
              des obligations zéro coupon qui la composent.




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Le taux de rendement actuariel (TRA)


        Exemple 1
              L’obligation Grük est émise à 880 euros, et sera remboursée dans
              un an pour 930 euros.
                                                          930 - 880
                  Taux de rentabilit é de l' obligation =           = 5,68%
                                                            880
              On parle de Taux de Rendement Actuariel (TRA) : le taux
              d ’intérêt équivalent pour investisseur qui garde l’obligation jusqu’à
              l’échéance.

                                             930
              On a TRA = i, tel que : 880 =          .
                                            (1 + i )
              On trouve i = 5,68%

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Le taux de rendement actuariel (TRA)


        Exemple 2
              L ’obligation NoufNouf est émise à 850 euros, et sera remboursée
              dans deux ans pour 970 euros.

                                              970
              On a TRA = i, tel que : 850 =
                                            (1 + i ) 2
              On trouve i = 5,68%




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Les obligations à coupon zéro :
                              taux d’actualisation unique

        Exemple :
              une obligation ordinaire nous versera 100 € par an sur 3 ans.

              Tableau des cotations de 3 obligations zéro coupon distinctes :
                            Échéance        Cotation au %     de             TRA
                                              valeur nominale              (annuel)
                              1 an                    95%                  5.26%
                             2 ans                    88%                  6.60%
                             3 ans                    80%                  7.72%


              Comment déterminer un taux d’intérêt unique, taux d’actualisation
              sur 3 ans ?
                                                      10
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Taux d’actualisation unique



        1/ Estimer les valeurs actuelles des 3 Cash-Flows
                   Cash-Flow 1 = 100 x 0.95 = 100 / 1.0526 = 95 €
                   Cash-Flow 2 = 100 x 0.88 = 100 / 1.06602 = 88 €
                   Cash-Flow 3 = 100 x 0.80 = 100 / 1.07723 = 80 €

                   VA totale = 263 €

        2/ Calcul de i
              n         i      VA                VF             PMT        Résultat
              3         ?      - 263               0              100      i = 6.88%


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BILAN
                    Évaluer un titre à revenus fixes / Étape 1



                            Si taux différents selon les échéances :


                             VA de l’obligation
                  = Σ (valeurs actuelles des Cash-Flows)




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Courbe des taux (suivant les échéances)

                                               Courbe des taux - France, 23 août 2002

                        5.5




                         5
          Taux annuel




                        4.5




                         4




                        3.5




                         3
                              0        5                   10            15            20   25             30

                                                                Échéance en années
          Source : Bloomberg, traitement C. Thibierge

                                                                       13
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Étape 2 : les obligations ordinaires



        Coupons multiples
              intérêts réguliers versés à l’obligataire,
              remboursement de l’obligation à échéance


        Taux nominal
              taux d’intérêt déterminant la valeur des coupons
              % de la valeur nominale du titre




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Exemple


        Cash-Flows d’une obligation ordinaire au nominal de 1000 €,
        taux nominal 10%



   Année              0      1          2             3          4     5           6
   Coupon                   100       100         100          100    100       100
   nominal
                                                                              + 1 000




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Évaluation des obligations : 3 cas



        Cours boursier & valeur nominale de l’obligation ?
                       Pas toujours identiques

                                         Rendement ?



              Cas des obligations au pair
              Cas des obligations au dessus du pair
              Cas des obligations en dessous du pair

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Principe 1 : obligations au pair



        Prix d’émission = valeur nominale
        ⇒ rendement = taux nominal




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Principe 2 : obligations au-dessus du pair



                            Cours boursier > valeur nominale

        Exemple
              Obligation au nominal de 1000 € émise pour 20 ans au taux
              nominal de 10% par an. A l’époque de l’émission la courbe des
              taux est plate.
              Aujourd’hui (19 ans après), le cours de l’obligation est de 1047.62€.
              Il reste encore 1 coupon.

                   Quel est son rendement ?


                                                 18
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Exemple


                                               Coupon      100
                            Rendement actuel =        =          = 9,55%
                                                Cours   1 047,62

     Le rendement actuel ne tient pas compte du fait que l’obligataire ne recevra
                 pas 1047.62 € mais 1000 € à l’échéance du titre.


                                           Coupon + Nominal - Prix d' achat
                 Rendement à l' échéance =
                                                    Prix d' achat
                                                 100 + 1 000 - 1 047,62
                                               =                        = 5%
                                                       1 047,62

   Le rendement à l’échéance (ou TRA) intègre la totalité des revenus perçus de
                   l’obligation, y compris son remboursement.
                                                     19
Bodie Merton - Chapitre 8             www.escp-eap.net/publications/bmt   © Christophe Thibierge - 2003
Généralisation du TRA


        Généralisation du rendement à l’échéance (TRA) à 1
        nombre n de cash-flows restant à verser :
                                                                   n
         Coupon Coupon                  Coupon Nominal                Coupon Nominal
    VA =           +            + ... +            +            =∑               +
          (1 + i )   (1 + i ) 2
                                        (1 + i ) n
                                                     (1 + i ) n
                                                                 t =1 (1 + i )
                                                                               t
                                                                                   (1 + i ) n

          Où i = taux de rendement à l’échéance (TRA)




                                                  20
Bodie Merton - Chapitre 8          www.escp-eap.net/publications/bmt      © Christophe Thibierge - 2003
Obligations au-dessus ou en-dessous du pair


        Principe 2 : obligations au-dessus du pair
                            Cours boursier > valeur nominale
                ⇒ rendement à l’échéance < rendement actuel
                             < taux nominal

        Principe 3 : obligations en-dessous du pair
                    Cours boursier < valeur nominale
                ⇒ rendement à l’échéance > rendement actuel
                             > taux nominal
                                                 21
Bodie Merton - Chapitre 8         www.escp-eap.net/publications/bmt   © Christophe Thibierge - 2003
Variation des rendements à même échéance


              1er constat
                 Si courbe des taux non plate, obligations à même échéance et taux
                 nominaux différents
                ⇒ rendements à l’échéance différents.

              2ème constat
                   S ’il existe un risque de défaut de paiement à échéance, le rendement
                   à échéance est supérieur au taux nominal.
                   La taxation peut influer sur le rendement à l’échéance (USA).

              3ème constat
                   Clause de remboursement anticipé ⇒ rendement à l’échéance plus
                   fort
                   Possibilité de conversion en actions => rendement plus faible

                                                  22
Bodie Merton - Chapitre 8          www.escp-eap.net/publications/bmt   © Christophe Thibierge - 2003
Évolution du cours des obligations



        Le temps
              Si la courbe des taux est plate, à l’échéance, les obligations se
              rapprochent de leur valeur nominale.


        Le risque de taux
              Le rendement d’une obligation diminue avec la hausse des taux
              d’intérêt.




                                                   23
Bodie Merton - Chapitre 8           www.escp-eap.net/publications/bmt   © Christophe Thibierge - 2003
Obligations particulières


        Obligations démembrées (strips)
              Obligation ordinaire ⇒ série d’obligations à coupon zéro
              Soit une obligation : 3 coupons de 30 € par an avec
              remboursement de 600 € à échéance. Stripping ⇒ 3 obligations
              zéro coupon à 1 an, chacune de 30 €, et une obligation à 3 ans
              remboursée de 600 €.

        Obligation avec prime d’émission ou de
        remboursement
              Obligation au prix d’émission < nominal et/ou à valeur de
              remboursement > nominal.



                                                24
Bodie Merton - Chapitre 8        www.escp-eap.net/publications/bmt   © Christophe Thibierge - 2003

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  • 2. Les contrats à revenus fixes Définition : tout type de contrat, ou de titre financier, dont on connaît à l ’avance les cash-flows. Exemple : une obligation, un emprunt, une rente viagère. Pourquoi évaluer ces contrats : une obligation peut être revendue avant son échéance un emprunt peut être renégocié 2 Bodie Merton - Chapitre 8 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 3. Qu’est-ce qu’une obligation ? Définition Une obligation est un titre de dette, émis par une société ou par l’Etat, avec les caractéristiques suivantes : montant emprunté (nominal) taux d ’intérêt (taux nominal) échéance (ou maturité) prix d ’émission (qui peut différer du nominal) valeur de remboursement (qui peut différer du nominal) modalité de paiement des intérêts (coupons) : une fois par an, in fine modalité de remboursement du capital : amortissement constant, annuités constantes, in fine 3 Bodie Merton - Chapitre 8 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 4. Rappel Actualisation d’une séquence de flux La valeur actuelle (en t= 0) d'une série de flux monétaires identiques A est obtenue à partir de l'actualisation de chaque élément de la série. Les flux peuvent être positifs ou négatifs. Avec i constant, on obtient pour n années : n A VA = ∑ t t =1 (1 + i ) soit 1 − (1 + i ) − n VA = A × i 4 Bodie Merton - Chapitre 8 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 5. Evaluation d ’un titre à revenus fixes Exemple : un titre financier vous rapportera 50 euros par an sur les 4 prochaines années. Combien vaut ce titre, si le taux sans risque est de 4% ? 1 − (1 + i ) − n 1 − (1 + 4%) −4 VA = A × = 50 × = 181,5€ i 4% Et si le taux sans risque augmente à 5% ? 1 − (1 + 5%) −4 VA = 50 × = 177,3€ 5% Quand les taux montent, le cours des obligations baisse, et inversement 5 Bodie Merton - Chapitre 8 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 6. Comment évaluer une obligation ? Etape 1 évaluer une obligation zéro coupon (un seul cash-flow) Etape 2 évaluer une obligation ordinaire, exprimée comme une suite d ’obligations zéro coupon 6 Bodie Merton - Chapitre 8 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 7. Etape 1 : les obligations zéro coupon Définition : une obligation zéro coupon est une obligation qui ne verse qu ’un seul cash-flow, à l ’échéance (la valeur de remboursement). Aucun coupon n ’est versé pendant sa durée de vie. Intérêt des obligations zéro coupon toute obligation peut être décomposée en une somme d ’obligations zéro coupon d ’échéances différentes. La valeur de l ’obligation globale est égale à la somme des valeurs des obligations zéro coupon qui la composent. 7 Bodie Merton - Chapitre 8 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 8. Le taux de rendement actuariel (TRA) Exemple 1 L’obligation Grük est émise à 880 euros, et sera remboursée dans un an pour 930 euros. 930 - 880 Taux de rentabilit é de l' obligation = = 5,68% 880 On parle de Taux de Rendement Actuariel (TRA) : le taux d ’intérêt équivalent pour investisseur qui garde l’obligation jusqu’à l’échéance. 930 On a TRA = i, tel que : 880 = . (1 + i ) On trouve i = 5,68% 8 Bodie Merton - Chapitre 8 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 9. Le taux de rendement actuariel (TRA) Exemple 2 L ’obligation NoufNouf est émise à 850 euros, et sera remboursée dans deux ans pour 970 euros. 970 On a TRA = i, tel que : 850 = (1 + i ) 2 On trouve i = 5,68% 9 Bodie Merton - Chapitre 8 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 10. Les obligations à coupon zéro : taux d’actualisation unique Exemple : une obligation ordinaire nous versera 100 € par an sur 3 ans. Tableau des cotations de 3 obligations zéro coupon distinctes : Échéance Cotation au % de TRA valeur nominale (annuel) 1 an 95% 5.26% 2 ans 88% 6.60% 3 ans 80% 7.72% Comment déterminer un taux d’intérêt unique, taux d’actualisation sur 3 ans ? 10 Bodie Merton - Chapitre 8 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 11. Taux d’actualisation unique 1/ Estimer les valeurs actuelles des 3 Cash-Flows Cash-Flow 1 = 100 x 0.95 = 100 / 1.0526 = 95 € Cash-Flow 2 = 100 x 0.88 = 100 / 1.06602 = 88 € Cash-Flow 3 = 100 x 0.80 = 100 / 1.07723 = 80 € VA totale = 263 € 2/ Calcul de i n i VA VF PMT Résultat 3 ? - 263 0 100 i = 6.88% 11 Bodie Merton - Chapitre 8 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 12. BILAN Évaluer un titre à revenus fixes / Étape 1 Si taux différents selon les échéances : VA de l’obligation = Σ (valeurs actuelles des Cash-Flows) 12 Bodie Merton - Chapitre 8 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 13. Courbe des taux (suivant les échéances) Courbe des taux - France, 23 août 2002 5.5 5 Taux annuel 4.5 4 3.5 3 0 5 10 15 20 25 30 Échéance en années Source : Bloomberg, traitement C. Thibierge 13 Bodie Merton - Chapitre 8 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 14. Étape 2 : les obligations ordinaires Coupons multiples intérêts réguliers versés à l’obligataire, remboursement de l’obligation à échéance Taux nominal taux d’intérêt déterminant la valeur des coupons % de la valeur nominale du titre 14 Bodie Merton - Chapitre 8 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 15. Exemple Cash-Flows d’une obligation ordinaire au nominal de 1000 €, taux nominal 10% Année 0 1 2 3 4 5 6 Coupon 100 100 100 100 100 100 nominal + 1 000 15 Bodie Merton - Chapitre 8 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 16. Évaluation des obligations : 3 cas Cours boursier & valeur nominale de l’obligation ? Pas toujours identiques Rendement ? Cas des obligations au pair Cas des obligations au dessus du pair Cas des obligations en dessous du pair 16 Bodie Merton - Chapitre 8 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 17. Principe 1 : obligations au pair Prix d’émission = valeur nominale ⇒ rendement = taux nominal 17 Bodie Merton - Chapitre 8 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 18. Principe 2 : obligations au-dessus du pair Cours boursier > valeur nominale Exemple Obligation au nominal de 1000 € émise pour 20 ans au taux nominal de 10% par an. A l’époque de l’émission la courbe des taux est plate. Aujourd’hui (19 ans après), le cours de l’obligation est de 1047.62€. Il reste encore 1 coupon. Quel est son rendement ? 18 Bodie Merton - Chapitre 8 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 19. Exemple Coupon 100 Rendement actuel = = = 9,55% Cours 1 047,62 Le rendement actuel ne tient pas compte du fait que l’obligataire ne recevra pas 1047.62 € mais 1000 € à l’échéance du titre. Coupon + Nominal - Prix d' achat Rendement à l' échéance = Prix d' achat 100 + 1 000 - 1 047,62 = = 5% 1 047,62 Le rendement à l’échéance (ou TRA) intègre la totalité des revenus perçus de l’obligation, y compris son remboursement. 19 Bodie Merton - Chapitre 8 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 20. Généralisation du TRA Généralisation du rendement à l’échéance (TRA) à 1 nombre n de cash-flows restant à verser : n Coupon Coupon Coupon Nominal Coupon Nominal VA = + + ... + + =∑ + (1 + i ) (1 + i ) 2 (1 + i ) n (1 + i ) n t =1 (1 + i ) t (1 + i ) n Où i = taux de rendement à l’échéance (TRA) 20 Bodie Merton - Chapitre 8 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 21. Obligations au-dessus ou en-dessous du pair Principe 2 : obligations au-dessus du pair Cours boursier > valeur nominale ⇒ rendement à l’échéance < rendement actuel < taux nominal Principe 3 : obligations en-dessous du pair Cours boursier < valeur nominale ⇒ rendement à l’échéance > rendement actuel > taux nominal 21 Bodie Merton - Chapitre 8 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 22. Variation des rendements à même échéance 1er constat Si courbe des taux non plate, obligations à même échéance et taux nominaux différents ⇒ rendements à l’échéance différents. 2ème constat S ’il existe un risque de défaut de paiement à échéance, le rendement à échéance est supérieur au taux nominal. La taxation peut influer sur le rendement à l’échéance (USA). 3ème constat Clause de remboursement anticipé ⇒ rendement à l’échéance plus fort Possibilité de conversion en actions => rendement plus faible 22 Bodie Merton - Chapitre 8 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 23. Évolution du cours des obligations Le temps Si la courbe des taux est plate, à l’échéance, les obligations se rapprochent de leur valeur nominale. Le risque de taux Le rendement d’une obligation diminue avec la hausse des taux d’intérêt. 23 Bodie Merton - Chapitre 8 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 24. Obligations particulières Obligations démembrées (strips) Obligation ordinaire ⇒ série d’obligations à coupon zéro Soit une obligation : 3 coupons de 30 € par an avec remboursement de 600 € à échéance. Stripping ⇒ 3 obligations zéro coupon à 1 an, chacune de 30 €, et une obligation à 3 ans remboursée de 600 €. Obligation avec prime d’émission ou de remboursement Obligation au prix d’émission < nominal et/ou à valeur de remboursement > nominal. 24 Bodie Merton - Chapitre 8 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003