Este documento apresenta um resumo de três frases de uma aula sobre análise tempo-frequência de sinais. A aula discute transformadas de Fourier de tempo curto e wavelet, mostrando como cada uma fornece resolução diferente nos domínios do tempo e da frequência. Apresenta também exemplos práticos usando o Matlab.
1. PDS - Aula 04
Tempo-
Frequ^encia
Eduardo
Simas
Introduc~ao
Analise de
Fourier de
Tempo Curto
Analise
usando
Transformada
Wavelet
Transformada
Wavelet
Discreta
Aplicac~oes da
DWT
Conclus~oes
Disciplina: Processamento Digital de Sinais
Aula 04 - Analise Tempo-Frequ^encia
Prof. Eduardo Simas
(eduardo.simas@ufba.br)
Departamento de Engenharia Eletrica
Universidade Federal da Bahia
2. PDS - Aula 04
Tempo-
Frequ^encia
Eduardo
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Introduc~ao
Analise de
Fourier de
Tempo Curto
Analise
usando
Transformada
Wavelet
Transformada
Wavelet
Discreta
Aplicac~oes da
DWT
Conclus~oes
Conteudo
1 Introduc~ao
2 Analise de Fourier de Tempo Curto
3 Analise usando Transformada Wavelet
4 Transformada Wavelet Discreta
5 Aplicac~oes da DWT
6 Conclus~oes
3. PDS - Aula 04
Tempo-
Frequ^encia
Eduardo
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Introduc~ao
Analise de
Fourier de
Tempo Curto
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Transformada
Wavelet
Transformada
Wavelet
Discreta
Aplicac~oes da
DWT
Conclus~oes
Introduc~ao
Em muitos casos praticos as caractersticas do sinal variam com
o tempo.
Por exemplo, numa musica e possvel perceber a mudanca nos
componentes de frequ^encia (graves - baixas frequ^encias e
agudos - altas frequ^encias) ao longo de sua execuc~ao.
Outros exemplos de sinais variantes no tempo:
- Sinais do sistema eletrico;
- Sinais de instrumentac~ao biomedica (eletrocardiograma,
eletroencefalograma, etc);
- Audio em geral (voz, musica, sinais acusticos de maquinas
eletricas, etc);
- Vdeo.
- ...
Nestes casos, e importante realizar o processamento dos sinais
de modo que seja possvel explorar, ao mesmo tempo, os
domnios do tempo e da frequ^encia.
4. PDS - Aula 04
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Introduc~ao
Analise de
Fourier de
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Analise
usando
Transformada
Wavelet
Transformada
Wavelet
Discreta
Aplicac~oes da
DWT
Conclus~oes
Resoluc~ao nos Domnios do Tempo e da Frequ^encia
Na analise tempo-frequ^encia ha sempre um compromisso entre as
resoluc~oes obtidas em cada domnio.
Para obtermos uma boa resoluc~ao no domnio da frequ^encia e preciso
de uma maior janela de tempo e, consequentemente para curtas
janelas de tempo n~ao e possvel obter boa resoluc~ao na frequ^encia.
Essa limitac~ao e mostrada na
5. gura abaixo em termos da caixa de
Heisenberg ou atomo tempo-frequ^encia.
6. PDS - Aula 04
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Introduc~ao
Analise de
Fourier de
Tempo Curto
Analise
usando
Transformada
Wavelet
Transformada
Wavelet
Discreta
Aplicac~oes da
DWT
Conclus~oes
Resoluc~ao nos Domnios do Tempo e da Frequ^encia
Percebe-se ent~ao que, e preciso manipular adequadamente a
transformac~ao tempo-frequ^encia de modo que os requisitos de
resoluc~ao sejam atendidos em ambos os domnios.
Existem duas formas mais comuns de realizar a analise
tempo-frequ^encia (que ser~ao apresentadas a seguir):
A analise de Fourier de Tempo Curto (ou Janelada)
A analise de Wavelet
A principal diferenca entre elas e que na primeira a resoluc~ao
tempo-frequ^encia e mantida constante em toda a analise do
sinal e na segunda e possvel realizar o que e de
7. nida como uma
analise multi-resoluc~ao.
Ou seja, a transformada Wavelet permite variar a resoluc~ao da
transformac~ao tempo-frequ^encia no decorrer da analise do sinal.
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Fourier de
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Transformada
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Conclus~oes
Analise de Fourier de Tempo Curto
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Conclus~oes
Analise de Fourier de Tempo Curto
Na analise de Fourier de Tempo Curto (do ingl^es Short-Time
Fourier Analysis) o sinal temporal e sub-dividido em janelas de
curta durac~ao e a transformada de Fourier e calculada para cada
janela.
As janelas temporais podem ser de
10. nidas com ou sem
superposic~ao entre as janelas adjacentes.
As func~oes janela mais utilizadas s~ao as semelhantes as vistas
anteriormente para o projeto de
11. ltros FIR:
- Retangular;
- Triangular;
- Hamming;
- Hanning;
- ...
Lembrando que janelas de cortes abruptos (ex. retangular)
geram oscilac~oes de Gibbs nos componentes de frequ^encia
estimados.
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Conclus~oes
Transformada de Fourier de Tempo Curto
A Transformada de Fourier de Tempo Curto (STFT -
Short-Time Fourier Transform) e ent~ao de
13. nida, no domnio
discreto como:
X(m; !) =
1X
1
x[n]f [n m]ej!n
sendo f [n] uma func~ao janela de comprimento limitado L. Ou
seja: f [n] = 0, se jnj L=2
Numa implementac~ao pratica, o deslocamento no tempo
(representado pelo par^ametro m) n~ao pode ser realizado
continuamente.
Neste caso, deve-se escolher um conjunto de valores discretos
de m usando um espacamento m pre-determinado.
Quando m L ha superposic~ao entre as janelas adjacentes.
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Conclus~oes
Transformada de Fourier de Tempo Curto
Para a apropriada visualizac~ao dos resultados da STFT pode-se
utilizar:
- Gra
15. cos 3D: onde os eixos x e y est~ao associados ao
tempo e a frequ^encia, e o eixo z a amplitude dos
componentes.
- Gra
16. cos 2D: nos quais os eixos x e y est~ao associados ao
tempo e a frequ^encia, e a amplitude e indicada por um
codigo de cores. Esta visualizac~ao e normalmente chamada
de Espectrograma.
O espectrograma pode ser considerado como uma vista
superior do gra
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Conclus~oes
Visualizac~ao 3D da STFT - Exemplo 1
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Conclus~oes
Visualizac~ao 3D da STFT - Exemplo 2
As cores podem ser associadas a intensidade ou a energia associada
aos componentes de frequ^encia.
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Conclus~oes
Exemplo de Visualizac~ao 2D da STFT
(Espectrograma)
No incio o sinal n~ao tem informac~ao em qualquer frequ^encia; Logo a seguir (p/ T 2) aparecem
componentes de baixa frequ^encia; Para T 2 comecam aparecer componentes de frequ^encia mais
alta; Quando 6 T 8 a energia esta concentrada em algumas faixas de frequ^encia; Em T 10
percebe-se que ha energia em quase toda a faixa de frequ^encias analisada (provavelmente
representando contaminac~ao por rudo branco).
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Conclus~oes
Outras Transformadas Janeladas
O conceito do janelamento do sinal temporal para a realizac~ao
de uma analise tempo-frequ^encia tambem pode ser estendido
para outras transformadas como a Transformada Discreta da
Cossenos.
Essa abordagem da origem a modi
22. ed discrete cosine transform
(MDCT), que utiliza janelas adjacentes com sobreposic~ao de
50% e atualmente e aplicada em diversos algoritmos de
compactac~ao de audio como: MP3, AC-3, Vorbis, WMA,
ATRAC, Cook e AAC.
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Conclus~oes
Limitac~oes da STFT
Conforme mencionado anteriormente, a analise tempo-frequ^encia
usando janelas e transformadas com func~oes de base invariantes
(senos e/ou cossenos) apresenta uma limitac~ao inerente que e a
resoluc~ao
24. xa.
Ou seja ha um compromisso entre as resoluc~oes possveis de serem
obtidas nos dois domnios (n~ao se pode ter uma excelente resoluc~ao
tanto no tempo como na frequ^encia).
Isso pode se tornar um problema a depender da aplicac~ao. Um modo
de contornar essa limitac~ao e utilizar transformadas com func~oes de
base variaveis, como as Wavelets.
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Conclus~oes
Exemplos utilizando o Matlab
Para realizar analise de Fourier em janelas, o Matlab disp~oe de
rotinas nativas como o spectrogram.
Neste exemplo iremos utilizar exemplos de arquivos de audio
(musicas) e visualizar a mudanca nos componentes de frequ^encia a
medida que as musicas se desenvolvem no tempo.
Foram utilizadas as musicas a seguir (disponveis para download
juntamente com esse modulo de slides no arquivo
ExMusicasPDSaula04.mat):
- y1: Musica Carinhoso, executada pela OBMJ (Orquestra
Brasileira de Musica Jamaicana);
y2[-]: Musica I Could Have Died for You, executada pelos
Red Hot Chili Peppers.
As musicas podem ser importadas com o comando load.
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Conclus~oes
Exemplos utilizando o Matlab
Para desenhar o espectrograma foi utilizado o comando a seguir:
figure;spectrogram(y1(1:T*fs),T*fs/100,[],Nfft,fs);, e
A sintaxe do comando garante que:
- O sinal y1 seja considerado no intervalo de 0 a T segundos;
- Sejam utilizadas janelas de Hamming com sobreposic~ao de
50 % e durac~ao T/100;
- A FFT e realizada com Nfft pontos.
Neste exemplo utilizou-se para ambos os sinais y1 e y2: T=120 e
Nfft=2048.
Recomenda-se repetir o exemplo variando-se os par^ametros acima
para veri
27. car sua in
u^encia na apropriada visualizac~ao das
informac~oes de interesse no sinal.
Para executar os arquivos em formato de audio utilizem os comandos
wavplay (que executa diretamente do Matlab, mas so funciona com
SO Windows) ou wavwrite (gera um arquivo .wav para ser
executado atraves de um programa apropriado).
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Espectrograma do sinal y1
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Espectrograma do sinal y2
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Analise usando Transformada Wavelet
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Conclus~oes
Analise usando Transformada Wavelet
Para analisar estruturas de sinais com escalas diferenciadas em
ambos os domnios e necessario utilizar atomos tempo-frequ^encia
com diferentes suportes temporais.
A transformada wavelet decomp~oe um sinal em vers~oes escalonadas e
transladadas das func~oes wavelet.
Uma wavelet e de
32. nida como uma func~ao 2 L2(R) com media zero:
Z 1
1
(t)dt = 0;
normalizada k k = 1 e centrada em torno de t = 0.
Um dicionario de atomos tempo-frequ^encia e obtido do
escalonamento por s e da translac~ao por u de :
D =
(
u;s (t) =
1
p
s
t u
s
)
u2R;s2R+
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Analise usando Transformada Wavelet
A transformada Wavelet do sinal f no tempo u e escala s e
de
34. nida por:
Wf (u; s) =
Z 1
1
f (t)
1
p
s
t u
s
dt
Exemplo de uma func~ao wavelet tipo spline cubico (a) e sua
respectiva transformada de Fourier (b):
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Analise Multiresoluc~ao usando Wavelet
Um atomo tempo-frequ^encia wavelet corresponde a uma caixa
de Heisenberg centrada em (u; =s) de comprimento st no
tempo e !=s na frequ^encia.
A area do ret^angulo permanece constante, mas a resoluc~ao no
tempo e na frequ^encia dependem do fator de escala s.
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A Famlia de Wavelets Daubechies
As wavelets tipo Dalbechies foram propostas por Ingrid
Daubechies. S~ao func~oes wavelet ortogonais muito utilizadas
em analises atraves da Transformada Discreta de Wavelet, pois
s~ao func~oes limitadas no tempo.
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Conclus~oes
A Famlia de Wavelets Daubechies
As func~oes Wavelet podem tambem serem de
38. nidas em mais de
uma dimens~ao, como por exemplo a Daubechies 20 2-d:
Com func~oes wavelet limitadas no tempo (de
40. nito) e possvel realizar o processamento
discreto atraves da DWT (Discrete Wavelet Transform).
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Transformada Wavelet Discreta
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Transformada Wavelet Discreta
Para operar em sistemas digitais a transformada Wavelet precisa ser
executada de modo discreto. Um modo e
47. nitas g[n] (passa-baixas) e
h[n] (passa-altas), o sinal de interesse x[n] e ent~ao decomposto em:
yLow[n] =
1X
k=1
x[k]g[2n k] e yHigh[n] =
1X
k=1
x[k]h[2n k]
Gra
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Transformada Wavelet Discreta
A sub-amostragem e viavel pois apos os
51. ltros temos:
- em yLow[n] apenas a primeira metade dos componentes de
frequ^encia do sinal x[n] e
- em yHigh[n] apenas a segunda metade dos componentes de
frequ^encia do sinal x[n].
Assim, e possvel reduzir a frequ^encia de amostragem (por um fator
igual a 2) e ainda assim manter valido o teorema de Nyquist.
Os coe
53. ltros g[n] e [h[n] est~ao relacionados com as
func~oes Wavelet utilizadas na decomposic~ao.
Conforme de
54. nic~ao, a DWT com um unico nvel de decomposic~ao e
capaz de dividir em duas faixas de frequ^encia o sinal original e gerar
dois sinais temporais concentrando essas informac~oes
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Transformada Wavelet Discreta
Se for necessario explorar outras faixas de frequ^encia pode-se realizar
sucessivas decomposic~oes:
O espectro de frequ^encias
61. cientes de detalhe do nvel k.
Devido a subamostragem, gk [n] e hk [n] tem uma reduc~ao de 2k no
numero de amostras em comparac~ao ao sinal original x[n].
=) Um aspecto interessante da DWT e que os sinais gk [n] e hk [n]
preservam a informac~ao no domnio do tempo referente a faixas de
frequ^encia espec
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Wavelet Packet Decomposition
Conforme visto anteriormente, a estrutura de decomposic~ao de
64. nida
na DWT normalmente envolve apenas a operac~ao sequencial sobre os
coe
65. cientes de aproximac~ao, o que proporciona uma crescente
resoluc~ao em baixas frequ^encias.
Se for necessario explorar mais detalhadamente tambem outras
regi~oes do espectro, pode-se modi
66. car a estrutura da DWT
tradicional, dando origem ao que se chama Wavelet Packet
Decomposition (ou WPD):
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Wavelet Packet Decomposition
Com a WPD o espectro de frequ^encias pode ser mapeado de
modo regular:
Freq
Freq
Freq
Sinal Original
Decomposição de Nível 1:
Decomposição de Nível 2:
fm
fm/2 fm
fm/4 fm/2 3fm/2 fm
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Conclus~oes
Exemplo - DWT
Considerando um sinal acustico de curta durac~ao como:
1
0.5
0
−0.5
−1
0 0.05 0.1 0.15
Time (s)
Amplitude (V)
a
b
c
E realizando-se uma decomposic~ao do tipo DWT:
X[k] d1[k]
h1[k]
d2[k]
h2[k]
...
...
dm[k]
hm[k]
2 2 2
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Conclus~oes
Exemplo - DWT
Apos 5 nveis sequenciais de decomposic~ao chega-se a:
0.1
0.05
0
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Signal
0.1
0.05
0
0 500 1000 1500
d1
0.1
0.05
0
0 100 200 300 400 500 600 700
d2
0.1
0.05
0
0 50 100 150 200 250 300 350
d3
0.1
0.05
0
0 50 100 150
d4
0.1
0.05
0
0 20 40 60 80
Number of points
d5
A cada nvel o sinal e sub-amostrado por um fator de 2 e representa
as informac~oes de frequ^encias mais baixas.
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Conclus~oes
Aplicac~oes da DWT
Entre as principais aplicac~oes da DWT (e da WPD) pode-se
mencionar:
- Extrac~ao de Caractersticas
- Remoc~ao de Rudo
- Compress~ao de Sinais
No exemplo mostrado no Slide 31, a DWT foi utilizada para
extrair caractersticas do sinal acustico.
Naquela aplicac~ao, os coe
72. cientes de aproximac~ao de ordem 5
foram utilizados para inferir informac~oes acusticas a respeito da
condic~ao de operac~ao de um transformador auto-regulado
(OLTC - On-Load Tap Changer).
73. PDS - Aula 04
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Conclus~oes
Wavelet Denoising
O processo de
74. ltragem de rudo utilizando wavelets (conhecido
como Wavelet Denoising), pode ser resumido pelo diagrama a
seguir:
x[n] + N[n] DWT Patamar IDWT x[n]
A etapa patamar se refere a eliminac~ao dos coe
75. cientes de
detalhe dk [n] que sejam inferiores a um valor limite
pre-estabelecido:
dk [n] =
0; dk [n] m
dk [n]; dk [n] m
=) Escolha de m:
- quanto menor m, menor a intensidade da
76. ltragem;
- com valores muito elevados de m pode-se acabar
eliminando o sinal de interesse.
77. PDS - Aula 04
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Wavelet Denoising - Exemplo
Sinais original, ruidoso e
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Conclus~oes
Compress~ao da informac~ao com Wavelets
De modo analogo ao realizado no processo de remoc~ao de rudo,
a compress~ao da informac~ao usando Wavelets pode ser realizada
a partir da eliminac~ao de um conjunto de coe
81. cientes) pode
ser utilizado para reconstruir a informac~ao atraves da
transformac~ao wavelet inversa.
Para compactac~ao podem ser utilizados esquemas DWT ou
WPD.
82. PDS - Aula 04
Tempo-
Frequ^encia
Eduardo
Simas
Introduc~ao
Analise de
Fourier de
Tempo Curto
Analise
usando
Transformada
Wavelet
Transformada
Wavelet
Discreta
Aplicac~oes da
DWT
Conclus~oes
Conclus~oes
83. PDS - Aula 04
Tempo-
Frequ^encia
Eduardo
Simas
Introduc~ao
Analise de
Fourier de
Tempo Curto
Analise
usando
Transformada
Wavelet
Transformada
Wavelet
Discreta
Aplicac~oes da
DWT
Conclus~oes
Conclus~oes
Para analisar adequadamente sinais com caractersticas variantes no
tempo e preciso fazer uso de extens~oes dos metodos tradicionais.
O processamento deve ser capaz de descrever o sinal durante todo o
perodo de analise.
Para esse objetivo pode-se utilizar a analise tempo-frequ^encia.
Observamos que a analise tempo-frequ^encia pode ser executada
usando a STFT (transformada de Fourier de tempo curto) ou a
transformada Wavelet.
Nas analises tempo-frequ^encia ha uma relac~ao de compromisso entre
as resoluc~oes possveis nos domnios do tempo e da frequ^encia.
A analise via STFT apresenta resoluc~ao tempo-frequ^encia
84. xa,
enquanto a analise wavelet permite uma analise multi-resoluc~ao.
85. PDS - Aula 04
Tempo-
Frequ^encia
Eduardo
Simas
Introduc~ao
Analise de
Fourier de
Tempo Curto
Analise
usando
Transformada
Wavelet
Transformada
Wavelet
Discreta
Aplicac~oes da
DWT
Conclus~oes
Bibliogra
86. a Consultada
Na elaborac~ao destes slides foram utilizadas as fontes a seguir:
- MALLAT, S. Wavelet Tour of Signal Processing, The
Sparse Way, Academic Press, 2008.
- DINIZ, P. S. R., da SILVA, E. A. B. e LIMA NETTO, S.
Processamento Digital de Sinais. Bookman, 2004.
- MITRA, S., Digital Signal Processing, Bookman, 2005.
- WEEKS, M. Processamento Digital de Sinais, LTC, 2011.
- ANTONIOU, A., Digital Signal Processing, McGraw-Hill,
2006.
Algumas