1. SEMANA 09: PRODUCTOS NOTABLES – FACTORIZACIÓN
PRODUCTOS NOTABLES: Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas
que se obtienen en forma directa.
Binomio Suma o Diferencia al Cuadrado (a  b)2 = a2  2ab + b2
Identidades de Legendre {
(a + b)² + (a – b)² = 2(a² + b²)
(a + b)² – (a – b)² = 4ab
(a + b)^4 – (a – b)^4 = 8ab (a² + b²)
Diferencia de Cuadrados a2 – b2 = (a + b) (a – b)
Binomio al Cubo
{
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
(a − b)3
= a3
− 3a2
b + 3ab2
− b3
(a − b)³ = a³ − b³ + 3ab(a − b)
Producto de Binomios con Término Común
(x + a)(x+ b) = x2 + (a + b)x + ab
Suma y Diferencia de Cubos
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
Trinomio cuadrado (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
Ejemplo: Efectúa cada operación
a)       62526232232323
222

b) (a + 5)2 – (a – 5)2 = 4a . 5 = 20a
c)
        10567.108252.5.82525
2244

d) (x + 2) (x – 2) = x2 – 4
e)    1121212 
f) (2 + 3)3 = 23 + 3 . 22 . 3 + 3 . 2 . 32 + 33= 8 + 36 + 54 + 27= 125
g) x3 + 8 = x3 + 23 = (x + 2) (x2 – 2x + 4)
h) (x + y + 2)2 = x2 + y2 + 4 + 2(xy + 2x + 2y)
T rinomio al c uad rado
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(x2 − x + 1)2 =
= (x2 )2 + (- x)2 + 12 +2 · x2 · (- x) + 2 x2 · 1 +
2 · (- x) · 1=
= x4 + x2 + 1 - 2x3 + 2x2 - 2x=
= x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 1
Suma d e c ubos
a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)
Dif erencia d e c ubos
a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)
8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)
P roducto d e d os b inomios q ue t ienen un t é rmino
c o mún
(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =
= x2 + 5x + 6
PROPUESTOS
1. Efectuar: E =( 32*32  )6
2. ¿Qué expresión hay que agregar a (3x+2)2
para que sea igual a:
(3x+5)(3x+7)?
3. Efectuar: A=
4. Efectuar:   bbababaN 



  2
.
5. Simplificar:
   
22
2
ba
babaa
P



6. Dado 1
a
b
b
a
; a . b  0 Determinar: 22
44
.ba
ba 
7. Si x3
+ y3
= 280; x+y = 10 Calcular x . y
8. Reducir:    6 64224
bbbaababaP  a > 0
9. Si: P(x) = x3
– 3x + 12 Calcule P(m),Si 33
3232 m
10. Si: (x+5)(x+b)(x–3) = x3
–19x+a. Calcular a – b
11. Si: 55 x ; 53 y Calcular: N = x6
– 6x2
y2
– y6
12. Simplificar:   16 257.17.5.31212 A
13. Simplificar:
322
322
322
322





B
14. Si: x + y + z = 0, Calcula
xy
z
xz
y
yz
x
N
222


2. FACTORIZACIÓN
FACTORIZACIÓN: PROCESO inverso de la multiplicación.
El proceso: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab es una multiplicación.
En cambio: x2 + (a + b)x + ab = (a + b) (x +b) es una factorización
Donde (x + a), (x + b) son factores primos.
Factor Divisor: Un polinomio no constante es factor de otro cuando lo divide
exactamente, por lo cual también es llamado divisor.
Factor Primo (FP): Llamamos así a aquel polinomio que no se puede
descomponer en otros factores. Racionales dentro del mismo campo.
El proceso (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab es una multiplicación.
En cambio el proceso x2 + (a + b)x + ab = (a + b) (x +b) es una factorización
Donde: (x + a), (x + b), son factores primos.
MÉTODO DEL FACTOR COMÚN
Factor Común Monomio: Se determina el MCD de los coeficientes y
se toma la variable común con el menor exponente.
Factor Común Polinomio: El factor común es un polinomio.
Factor Común por Agrupación de Términos: Generalmente se
obtienen estos factores comunes agrupando términos, éstos se agrupan en
forma conveniente con la finalidad de conseguir factores comunes y el número
de términos que se reúnan dependerá del número de términos del polinomio
dado.
MÉTODO DE LAS IDENTIDADES
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO A2  2AB + B2 = (A  B)2
DIFERENCIA DE CUADRADOS A2 – B2 = (A + B) (A – B)
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS A3  B3 = (A  B) (A2  AB + B2)
METODO DEL ASPA SIMPLE
MÉTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS (Ruffini): Con éste método se
busca uno o más factores binomios primos. Además:
1. Observamos si el mayor exponente es mayor de3. El coeficiente principal debe
ser uno
2. Posibles ceros = Divisores del Termino Independiente
3. Usamos el algoritmo de Ruffini
4. Si P(x0) = 0; entonces: (x- x0) es un factor primo de P(x).
EJERCICIOS DESARROLLADOS
Ejemplo 01: Factoriza M = 6x3 – 15x2
Solución: Hallamos el M.C.D. (6,15) = 3. El menor exponente de x es 2
 el factor común es 3x2.  Luego 3x2 (2x – 5)
Ejemplo 02: Factoriza N = 5a(x – y) + 10b2 (x – y)
Solución: M.C.D.(5, 10) = 5. Se repite el binomio (x – y)
Factorizando tenemos 5(x –y) (a + 2b2)
Ejemplo 03: Factoriza a2(x2 + y2) + b2(x2 + y2)
Sacando el factor común binomio: (x2 + y2) (a2 + b2)
Ejemplo 04: Factoriza: x4a + z4a + x4y + z4y
Solución: Agrupamos convenientemente:
Tenemos: (x4a + x4y) + (z4a + z4y)
Factorizando en cada grupo: x4(a +y) + z4(a + y)
Sacando el factor común binomio: (a + y) (x4 + z4)
Ejemplo 05: Factoriza (ax + by)2 + (ay + bx)2
Solución: Resolviendo los cuadrados de los binomios
(ax + by)2 + (ay + bx)2 = a2x2 + 2abxy + b2y2 + a2y2 – 2abxy + b2x2
Reduciendo términos semejantes
Agrupando convenientemente: (a2x2 + a2y2) + (n2y2 + b2x2)
Ejemplo 06: Factoriza: x7 + x6y + x5y2 + x4y3 + x3y4 + x2y5 + xy6 + y7
Solución: El polinomio dado no tiene un factor común a todos sus términos,
para conseguir factores comunes, se debe agrupar términos. Como el polinomio
tiene 8 términos se puede agrupar términos de 2 en 2 ó de 4 en 4.
Agrupando de 2 en 2: (x7 + x6y) + (x5y2+ x4y3) + (x3y4 + x2y5) + (xy6 + y7)
Sacando factores comunes: x6(x+ y) + x4y2(x + y) + x2y4(x + y) + y6(x + y)
Luego sacando el factor común binomio: (x + y) [x6 + x4y2 + x2y4 + y6]
Dentro del corchete agrupando de 2 en 2: (x + y) [(x6 + x4y2) (x4y2 + y6)]
Factorizando: (x + y) [x4 (x2 + y2) + y4(x2 + y2)]= (x + y) (x2 + y2) (x4 + y4)
Ejemplo 07: Factoriza x4 – 4b2
Solución Se tiene: (x2)2 – (2b)2 = (x2 + 2b) (x2 – 2b)
Ejemplo 08: Factoriza x2 + 2xy + y2 – z6
Solución x2 + 2xy + y2 – z6  (x + y)2 – (z3)2 = (x + y + z3) (x + y – z3)
Ejemplo 09: Factoriza 27x3 – 8
Solución (3x)3 – 23 = (3x - 2) (9x2 + 6x + 4)
Ejemplo 10: Factoriza x2 – 5 x + 6
Solución: usamos la regla del aspa simple x² – 5 x + 6
x –3  -3x
x –2  -2x
Tenemos x2 – 5 x + 6 = (x – 3) (x – 2)
Ejemplo 11: Factoriza a2 + b2 + 3a + 3b + 2ab - 28
(a + b)2 + 3(a + b) – 28  (a + b + 7) (a + b – 4)

3. Ejercicio 12: Factoriza P(x) = x3 + 6x2 + 11x – 6
Solución: Posibles ceros =  (1, 2, 3, 6)
Probando con uno de ellos; para x = 1 por Ruffini
R = 0 lo que significa que x = 1 es un cero y luego un
factor es (x – 1)
Luego: P(x) = (x – 1) (x2 – 5 x + 6)
 P(x) = (x – 1) (x – 3) (x – 2)
PROBLEMAS PROPUESTOS FACTORIZACIÓN
1. Factoriza cada una de las expresiones:
a) 8x2 – 16x
c) x3 + 3x2 – 5x
e) m5 + x4 – m3
g) 6y4 + y3 – 12y2
i) 2(a+b)+x(a+b)
k) x2(a–1)–y2(a–1)
m) 3b(2x+3)+2x+3
ñ) (a+b)x–(a+b)y–a–b
b) xz + yz + x + y
d) ab + ac + b2 + bc
f) a2b3 – a2 + 2b3 – 2
h) 6b2x2 – 3x2 + 4b2 – 2
j) √3𝑥𝑦 – x +√3y – 1
l) 4x3 + 12 + 6x2 + 8x
n) 18m3 + 12m2 – 15m – 10
o) √2𝑚𝑧– √2𝑚 – z + 1
2. Hallar la suma de los Términos Independientes de los factores primos de:
2yz + 7y – 2z – 7
3. ¿Cuántos factores primos tiene: mx – m – x + 1?
4. ¿Cuál es la suma de coeficientes de uno de los factores primos de 3ax –
3ay – 2bx + 2by?
5. ¿Cuál es el FP de mayor grado de 2ax2 + 2ax + 2x – a2 – a – 1?
6. ¿Cuál es el FP de mayor grado de P=(x –8)(x –7)(x –6)+(x –7)(x –6) – (x –
6)?
7. Indique el número de FP. Q(X) = x9 (x + 1)10 (x2 + 1)11
8. Halla la suma de FPs. A= (x + 2)(x – 1) + + (x + 3)(x + 2) + x + 2
9. Factoriza e indica uno de los FP.(x + y)x2 – (x + y)z2 + (x + y)y2
10. Indica un FP (x2+y2) (x–2y) + (x2+y2) (2x+y)
11. Indicar un FP de:(x–3y)(x2+y2)+(x2–y2)(x-3y)+x–3y
12. Factoriza (x+y)(xy+1) +y(x+y) – (x+y)
13. Da un FP de: (x2+y2)(xy+2)+(x2+y2)(x2–1)– (x2+y2)
14. Factoriza (x+y)(x–y+z) – (x2 – y2) – x – y
15. Factoriza a4 – b4 y señala un FP.
16. Indica un FP al factorizar (a2 + b2) – (c2 + b2
17. Indicar el número de FPs de: x 8 – 4 4
18. Indique un FP al Factorizar a2 + b2 – c2 + 2ab.
19. Indique un FP al Factorizar x3
− 2x2
− 6x + 12
20. Indique un FP al Factorizar 5x4
− 2x3
− 7x2
− 68
21. Indique un FP al Factorizar 2x5
+ 4x4
+ 8x3
− 3x2
+ 2x + 80
22. Simplifica las siguientes fracciones.
a.
𝑎𝑏
3𝑎𝑥
b.
2𝑎²
12𝑎𝑥²
c.
𝑎²𝑥
5𝑎³𝑏𝑥²
d.
6𝑏𝑥²
12𝑏²𝑦
e.
8𝑥3 𝑦3
32𝑥5 𝑏𝑦4
f.
−6𝑏³𝑦³
−18𝑏³𝑦²𝑥
g.
−9𝑎²𝑏²
−27𝑎³𝑏³
h.
9𝑥²𝑦²−2𝑥³𝑦5
𝑥𝑦²
i.
3𝑎𝑏²
3𝑎+6𝑎𝑏
j.
−5𝑥²𝑦
15𝑥²𝑦²−10𝑥²𝑦
k.
𝑥²𝑦²
3𝑥³𝑦³−2𝑥4 𝑦4
l.
25𝑎³𝑏4+30𝑎4 𝑏3
10𝑎³𝑏²𝑥
23. Factoriza el numerador y denominador de cada fracción y luego simplifica:
a.
𝑥²+5𝑥+6
𝑥+2
b.
𝑥²+6𝑥+9
𝑥+3
c.
𝑥²+7𝑥+12
𝑥+4
d.
𝑥²−6𝑥+8
𝑥−4
e.
𝑥²−7𝑥+6
𝑥−6
f.
𝑥²−8𝑥+15
𝑥−3
g.
𝑥²− 9
(𝑥−3)²
h.
(𝑥+5)²
𝑥²−25
i.
𝑥²− 1
𝑥³− 1
j.
2+𝑎
4 −𝑎²
k.
(
1
4
)𝑎²−(
1
9
)𝑏²
(
1
2
)𝑎+(
1
3
)𝑏
l.
9𝑎²−25𝑥²
3𝑎+5𝑥
m.
𝑎2
𝑏2−16𝑥²
𝑎
𝑏
+4𝑥
n.
125𝑥³−64𝑦³
25𝑥²−16𝑦²
o.
𝑥²−(𝑦−𝑧)²
( 𝑥−𝑦)2−𝑧²
p.
3𝑥²−6𝑥+3
21𝑥²−63𝑥+42
q.
𝑥³−6𝑥2+8𝑥
𝑥4−𝑥3−2𝑥²
r.
𝑥³−2𝑥2−3𝑥
(𝑥5−9𝑥3 )(𝑥+1)
s.
30𝑥²−18𝑥−12
16𝑥²+4𝑥−20
Respuestas
2. (6) 3. (2) 4. (0) 5. (a²+a+1) 6. (x--6)² 8. (3x+5)
9. (x²y²-z²) 10. (3x-y) 11. (2x²+1) 13. (x+y) 15. (a²+b²)
16. (a - c) 17. (4) 19.(x -2)
20. a. (x+3) , c. (x+3) , e. (x-1) , g. (x+3)/(x-3) , i. (x+1)/(x²+x+1)