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1. 1
Facultad de Ciencias Básicas
Departamento de Matemáticas
Cálculo 1
LIMITES DE UNA FUNCION EN UNA VARIABLE
TALLER
EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE APLICACION
1. Complete cada tabla y determine si el límite existe.
a) ( )
2
2 x x
f x
x 1
− −
=
−
encontrar
x 1
Lim f ( x )
→
x 0.9 0.99 0.999 0.9999 1 1.0001 1.001 1.01 1.1
f(x) ?
b) ( )
2
5 x 1 para x 1
f x
8 2 x x para x 1
 − <

= 

− − ≥
encontrar
x 1
Lim f ( x )
→
x 0.9 0.99 0.999 0.9999 1 1.0001 1.001 1.01 1. 1
f(x) ?
2. A partir de la gráfica de la función ( )=y F t , encuentre los siguientes límites
3. La gráfica dada representa la función f
3. Dada la gráfica de la función f
t 4 t 4
t 4
t 10 t 10
t 10
a ) Lim F (t ) Lim F (t )
Lim F (t ) ¿Qué concluye? ¿Porqué?
b ) Lim F (t ) Lim F (t )
Lim F (t ) ¿Qué concluye? ¿Porqué?
− +
− +
→ →
→
→ →
→
= =
=
= =
=

2. 2
b) Indica los valores de x en los que el límite de la función no existe y justifica tu respuesta
4. En la grafica de la función f , analiza la existencia de los siguientes límites
a)
x 2
f xlim ( )
+→
b)
x 1
f xlim ( )
−→ −
c)
x 1
f xlim ( )
+→ −
d)
x 1
f xlim ( )
→ −
e)
x 2
f xlim ( )
→
5. En la gráfica de la función f , analiza la existencia de los siguientes límites
a) Determine si existen los siguientes
límites
2 1
11
1 5
lim ( ), lim ( )
lim ( ), lim ( )
lim ( ), lim ( )
x x
xx
x x
f x f x
f x f x
f x f x
+
−
→− →
→−→
→ →
x
y
Determin a)
4X
f ( x )Lim→
b)
1X
f ( x )Lim→
c)
2X
f ( x )Lim→

3. 3
6. Utilice las propiedades o teoremas de los límites y métodos algebraicos para encontrar
los siguientes límites, si existen.
a)
5
x 2
lim 2x x
→
−
b)
x 7
lim 3
→→→→
−−−− c)
2
2x 1
x x 2
lim
x 4x 3→→→→
+ −+ −+ −+ −
− +− +− +− +
d)
x 0
x 4 2
lim
x→
+ −
e)
x 1
lim x 1
→
−
f)
x 9
3 x
lim
9 x→
−
−
g)
1
2
2
2
x
4x 1
lim
4x 8x 3→
−
+ +
h)
t 3
1 1
t 3lim
t 3→
−
−
i)
2
2x 0
1 1 x
Lím
x→
− −
j)
x 4
x 4
lim
x 4+→
−
−
k)
3
x 2
2
x 4
para x 2
x 3
Lim f ( x ) donde f ( x )
3 x
para x 2
x
→
 −
≤
−

= 

− >

l)
2
x 0
x 3x
lim
x−→
−
m)
3
2 3x 2
x 4 x
lim
2 x x→
−
−
n)
( )
h
x h x
h
2 2
0
2 2
lim
→
+ −
o)
x 1
2
2
Lim f ( x ), donde
4
x para x 1
x
f ( x )
3 x
para x 1
x
→ −

+ ≤ −

= 

− > −

p)
2
2x 5
x 7 x 10
lim
x 10 x 25→
− +
− +
7. Si ( ) ( )2
5
x
Lim f x g x
→
 +  =  y ( )x 2
Lim g x 11
→
= , encuentre
a) ( ) ( )2 2
x 2
Lim f x g x
→
 − 
b)
( )
( ) ( )x 2
3 g x
Lim
f x g x→ −
8. Asume que ( )x 2
lim m x 7
→−
= − : ( )x 2
lim f x 7
→ −
= y ( )x 2
lim r x 4
→ −
= − .
Con la información anterior calcula:
a) ( )
( )( )x 2
f r ( x )
lim . f r x
m→ −
−
+ b) ( )x 2
m f
lim 4 x
r→ −
+ 
−  
 
9. Sea
( ) 2
2
x 6 si x 4
f x 16 x si 4 x 4
x 2x si x 4
− − < −

= − − ≤ <

− ≥
para que valores de a, ( )x a
lim f x
→
no existe

4. 4
10. En los siguientes ejercicios determina el valor de las constantes a y b que hagan la
función f y g posean límite en todo su dominio.
( )
2
2x 1 si x 3
f x ax 4 si 3 x 5
x 2b si x 5
 + ≤

= + ≤ <

− ≥
( )
3x 6a si x 3
g x 3ax 7 si 3 x 3
x 12b si x 3
+ < −

= − − ≤ ≤
 − >
11. Para cada una de las funciones evalúe
( ) ( )
x 0
f x x f x
Lim
x∆ →
+ ∆ −
∆
a) 2
f ( x) x= b) f ( x) x= c.
1
f ( x)
x
=
12. El volumen de ventas mensual promedio (en miles de dólares) de una empresa depende del
número de horas x de capacitación de su personal de ventas, de acuerdo con:
( )
4
30 4 100
4
x
S x , con x
x
= + + ≤ ≤
a) Encuentre ( )
x 4
lim S x
+→
b) Encuentre ( )
x 100
lim S x
−→
13. Durante un turno de 8 horas, la tasa de cambio de la productividad (en unidades por
hora) de fonógrafos infantiles ensamblados después de trabajar h horas es:
( )
( )
( )
2
2 2
128 6
0 8
6 18
t t
r t con t
t t
+
= ≤ ≤
+ +
a) Encuentre ( )t 4
lim r t
→
b) Encuentre ( )t 8
lim r t
→
c) ¿ La tasa de productividad es mayor cerca de la hora del almuerzo (en t = 4) o cerca
de la hora de salida (en t=8)?
14. Suponga que el costo C de obtener agua que contiene p por ciento de impurezas está
dada por
( )
1200
C p 1200
p
= −

5. 5
a) Encuentre ( )
100p
lim C p
−→
si existe. Interprete su resultado.
b) Encuentre ( )
p 0
lim C p
+→
si existe. Interprete su resultado.
c) ¿Se puede obtener la pureza total? Explique.
15. La siguiente tabla presenta el porcentaje de trabajadores estadounidenses que se
dedicaron a las labores del campo durante ciertos años.
Año Porcentaje Año Porcentaje Año Porcentaje
1820 71.8 1930 21.2 1980 2.7
1850 63.7 1940 17.4 1985 2.8
1870 53 1950 11.6 1990 2.4
1900 37.5 1960 6.1 1994 2.5
1920 27 1970 3.6
Fuente: The World Almanac and Book of Facts, 2002
Suponga que el porcentaje de trabajadores estadounidenses que se dedicaron a las
labores del campo se puede modelar por la función:
( ) 2
8,0912 t 1 558,9
f t 1000.
1,09816 t 122,183 t 21472,6
− +
=
− +
Donde t es el número de años transcurridos desde 1800. (La figura muestra una gráfica
de f(t) junto con los datos).
( )f t está dada en porcentajes y t en años. Use la tabla, la ecuación y la gráfica y:
a) Encuentre ( )t 4
lim r t
→
si existe.
b) ¿Qué puede concluir sobre la información obtenida en (a)?

6. 6
c) ¿El valor límite es exacto cuando t 200? Explique
d) Encuentre ( )t 100
lim f t
→
si existe.
e) Qué puede concluir sobre la información obtenida en (b)?
f) ¿El valor límite es exacto cuando t 100?. Explique
PARA REFLEXIONAR:
1. ¿La existencia y el valor del limite de una función ( )f x , cuando x tiende a c ,
depende de lo que ocurra en x c= ? Explique y dé ejemplos.
2. Escriba, de forma algebraica, dos funciones que tenga el mismo limite en 0x = .
3. Escriba, de forma algebraica, una función que tenga el mismo limite en 0x = y
3x = .
4. ¿Una función puede más de un límite en un punto?. Explique.
5. ¿Qué teoremas tenemos para calcular límites? Dé ejemplos del uso de los
teoremas.
6. ¿Qué relación hay entre los límites laterales y el límite? ¿Cómo puede usarse
esta relación para calcular límites o para demostrar que no existen? Dé
ejemplos.
7. Establezca la veracidad o falsedad de cada una de las proposiciones siguientes.
a) 1
x
x
= para toda x
b) Si ( ) 0g x → cuando x c→ y si
( )
lim [ ]
( )
x c
f x
g x
→ existe, entonces ( )f x tiende a
cero cuando x c→
c) Si , entonces
8. Sea ( ) 2 1f x x= + , como
1
lim ( ) 3
x
f x
→
=
a) Considere 0.5ε = , encuentre un 0δ > , talque para todo 1x δ− < se tiene
que ( ) 3f x ε− <
b) Considere 0.01ε = , encuentre un 0δ > , talque para todo 1x δ− < se tiene
que ( ) 3f x ε− < .
c) Considere 0.0002ε = , encuentre un 0δ > , talque para todo 1x δ− < se
tiene que ( ) 3f x ε− <
BIBLIOGRAFIA
[1] Arya, Jagdish C., Lardner, Robin W., Matemáticas aplicadas a la administración y a la
economía, PEARSON EDUCACIÓN, México, 2002
[2] George B. Thomas Jr., Ross L. Finney, Maurice D. Weir, Cálculo una variable, 9
edición, Addison Wesley Longman S. A. de C. V., México, 1998
[3] Larson, H. Edwards. Cálculo, McGraw Hill, Octava edición, México, 2006