1) O documento contém 23 exercícios de trigonometria e geometria analítica. Os exercícios incluem provar identidades trigonométricas, calcular valores trigonométricos dados ângulos, resolver equações trigonométricas, e problemas geométricos envolvendo circunferências, triângulos e campos de futebol.

1. 4ª LISTA – PROFMAT
1) Mostre que:
a) b) .
2) Sabendo que sen x = 0,6 e 0° < x < 90°, calcule cosx e tgx.
3) Um observador em uma planície vê ao longe uma montanha segundo o ângulo
de 15° (ângulo no plano vertical formado por um ponto no topo da montanha,
o observador e o plano horizontal). Após caminhar uma distancia d em direção
à montanha, ele passa a vê-la segundo um ângulo de 30°. Qual é a altura da
montanha?
4) Generalize o exercício anterior para quaisquer dois ângulos.
5) Os lados de um triângulo retângulo estão em PG. Qual é o cosseno do maior ângulo
agudo?
6) Um triangulo retângulo tem hipotenusa 1 e perímetro . Qual é a medida de
menor dos seus ângulos.
7) Prove:
a) b) c)
8) Um ponto A dista 5 cm de um circulo de raio 3 cm. São traçadas as tangentes AB e AC
do Circulo. Calcule o seno do ângulo BÂC.
9) Prove usando qualquer método que:
a) sen(x + y) = sen x . sen y + sen y . cos x
b) cos(x + y) = cos x . cos y – sen x . sen y
10) Calcule:
a) b) c)
11) Mostre que o perímetro de um decágono regular inscrito em um círculo unitário é
dado por .
12) Quanto vale o seno e o cosseno de 36°.
13) Determine para que valores de x a função y = 5 – cos(x + ) assume seu valor máximo.

2. 14) Prove que
15) Calcule K de modo que as raízes da equação
Sejam seno e o cosseno de um mesmo ângulo.
16) Prove que
17) Mostre que .
18) Dois círculos são tangentes entre si e os lados de um ângulo dado 2x. Conhecendo o
raio R do circulo maior, calcular o raio do circulo menor.
19) Determine o máximo e mínimo de y = sen x + cos y
20) Resolva a equação cos x +cos 2x + cos 3x = 0.
21) Um retângulo está inscrito em um semicírculo de raio 1 tendo um de seus lados (base)
sobre o diâmetro. Calcular a razão entre a altura e a base desse retângulo nas duas
situações seguintes:
a) A área do retângulo é máxima.
b) O perímetro do retângulo é máximo.
22) Provar que em todo o triangulo não retângulo ABC, tg A + tg B + tg C = tg A . tg B . tg C.
23) Dentro de um campo de futebol, um jogador corre para linha de fundo do time
adversário ao longo de uma reta paralela à lateral do campo que cruza a linha do
fundo fora do gol. Os postes da meta que distam a e b (com a < b) da reta percorrida
por ele. Mostre que o jogador vê a meta sob o ângulo máximo quando sua distancia x
ao fundo do campo for igual a .