Momentum lineal y choques. Diapos Tramón.

1. Capítulo 09
Momentum Lineal y Choques

2. Contenido
• Momentum lineal y su conservación
• Conservación del momentum para dos partículas
• Impulso y momentum
• Colisiones
• Clasificación de las colisiones
• Colisiones perfectamente inelásticas
• Choques elásticos
• Colisiones en dos dimensiones
• Centro de masa
• Centro de masa de un objeto extendido
• Movimiento de un sistema de partículas

3. Momentum Lineal y su Conservación
El Momentum Lineal o Momentum, p , de una
partícula se define como el producto de la masa m por
la velocidad v de la partícula:
p ≡ mv
Por lo tanto, el momentum lineal de una partícula es:
una MF Vectorial; que se mide en kgm/s o Ns y que
depende en forma directamente proporcional a la
masa y a la velocidad de la partícula.

4. Momentum Lineal y su Conservación
En términos del momentum, la segunda ley de Newton
se escribe como:
dp
F =
dt
La segunda ley de Newton establece que la fuerza neta
sobre un objeto es igual a la rapidez de cambio del
momentum del objeto.

5. Conservación del Momentum Lineal
para dos partículas
Para dos partículas aisladas p1 = m1 v1
que interactúan entre sí, se
cumple por segunda ley de
Newton que:
m1
d p1 dp2 F1 2
F12 = F 21 = F21
dt dt
De la tercera ley de Newton, m2 p 2 = m2 v 2
tenemos que:
F12 = − F21 ⇒ F12 + F21 = 0

6. Conservación del Momentum Lineal
para dos partículas
De ambas ecuaciones se obtiene que:
dp1 dp2 d
+ = ( p1 + p2 ) = 0
dt dt dt
Esto significa que:
ptot = p1 + p2 = cte .
La ley de la conservación del momentum lineal establece
que siempre que dos o más partículas aisladas
interactúan entre sí, su momentum total permanece
constante.

7. Impulso y Momentum
El impulso de una fuerza se define como la integral de dicha
fuerza en el tiempo, durante el intervalo de tiempo que actúa:
∫
tf
I ≡ F dt
ti
Por lo tanto, el impulso de una fuerza es: una MF
Vectorial; que se mide en Ns o kgm/s y que depende
en forma directamente proporcional a la fuerza y al
intervalo de tiempoque actúa.

8. Impulso y Momentum
Si F es la fuerza neta, entonces:
dp
∫ ∫
tf tf
Fneta dt = dt ⇒ I = p f − pi = Δ p
ti ti dt
El impulso de la fuerza neta es
igual al cambio de momentum de
la partícula.

9. F
El impulso es un vector
que tiene una magnitud
igual al “área bajo la curva”
fuerza-tiempo. t
ti tf
El impulso se puede escribir como: I = F Δ t , donde F es
la fuerza promedio durante el intervalo de tiempo.
F
F
t
ti tf
" Área " = I
A una fuerza F que actúa en un tiempo muy corto se le
llama fuerza impulsiva.

10. Colisiones
Se llama colisión a la interacción de dos (o más) cuerpos
mediante una fuerza impulsiva.
F12 F21
m1
m2
Sea: m1 y m2 las masas de los cuerpos y
v 1 i , v 2 i , v 1f y v 2 f son las velocidades iniciales y
finales de las masas m1 y m2, respectivamente.
Entonces, la conservación del momentum lineal establece que:
m 1v 1i + m 2 v 2 i = m 1v 1f + m 2 v 2 f

11. Tipos de Colisiones
Según si se conserva o no la energía cinética del
sistema de partículas que colisionan, las colisiones se
clasifican en: inelásticas y elásticas.
Una colisión inelástica es aquella en la que se conserva
el momentum del sistema, pero no se conserva la
energía cinética del sistema.
Una colisión perfectamente inelástica entre dos objetos es una
colisión inelástica en la cual los dos objetos permanecen juntos
después de la colisión, por lo que sus velocidades finales son las
mismas.
Una colisión elástica es aquella en la que se conserva tanto el
momentum, como la energía cinética del sistema.

12. Tipos de Colisiones
Según las direcciones de las velocidades de las
partículas que colisionan, las colisiones se clasifican en:
unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales.
Una colisión unidimensional es aquella en la que las direcciones
de las velocidades de las partículas que colisionan, antes y
después del choque, están todas contenidas en una misma línea.
Una colisión bidimensional es aquella en la que las direcciones de
las velocidades de las partículas que colisionan, antes y después
del choque, están todas contenidas en una misma superficie.
Una colisión tridimensional es aquella en la que las direcciones de
las velocidades de las partículas que colisionan, antes y después
del choque, están todas contenidas en el espacio.

13. Colisiones en Una Dimensión
Colisiones Perfectamente Inelásticas
m1 m2 m1+m2
v1i v2i vf
Por ley de conservación del momentum lineal, se tiene:
m1 v1i + m 2 v 2i = (m1 + m 2 )v f
(m 1 v1i + m 2 v 2i )
v f = v1f = v 2f =
(m 1 + m 2 )

14. Colisiones perfectamente inelásticas
Para colisiones perfectamente (m 1 v 1i + m 2 v 2 i )
vf =
inelásticas se cumple que: (m 1 + m 2 )
vf
Si m2 está inicialmente m1
vf = v 1i
en reposo, entonces: (m 1 + m 2 ) m1+m2
Si: m1» m2, entonces: v f ≈ v 1i
Si: m1« m2, entonces: vf ≈ 0 m / s

15. Colisiones perfectamente inelásticas
Para colisiones perfectamente (m 1 v 1i + m 2 v 2 i )
vf =
inelásticas se cumple que: (m 1 + m 2 )
(m 1 − m 2 ) v 1i v2i
Si: v 2 i = − v 1i , entonces: v f = v 1i
(m 1 + m 2 ) m1 m2
Si en este caso m1= m2, entonces: vf = 0 m/s

16. Colisiones Elásticas
m1 v v 2 i m2 v 1f m1 m2 v 2f
1i
Por ley de conservación del momentum lineal, se tiene:
m 1v 1i + m 2 v 2 i = m 1v 1f + m 2 v 2 f
Por ley de conservación de la energía cinética, se tiene:
1 1 1 1
m 1 v 1i +
2
m 2 v 2i =
2
m 1 v 1f +
2
m2v2
2f
2 2 2 2
Si conocemos las velocidades de ambas partículas antes de la
colisión, las ecuaciones de arriba corresponden a un sistema de
dos ecuaciones con dos incógnitas, que tienen una solución
única para ambas velocidades finales.

17. La solución al sistema de ecuaciones queda:
⎛ m1 − m 2 ⎞ ⎛ 2m 2 ⎞
v 1f = ⎜ ⎟ v 1i + ⎜ ⎟ v 2i
⎝ m1 + m 2 ⎠ ⎝ m1 + m 2 ⎠
⎛ 2m 1 ⎞ ⎛ m 2 − m1 ⎞
v 2f = ⎜ ⎟ v 1i + ⎜ ⎟ v 2i
⎝ m1 + m 2 ⎠ ⎝ m1 + m 2 ⎠
Casos especiales:
a) Si: m1 = m 2 Entonces, se tiene: v 1f = v 2i y v 2f = v 1i
¡ Hay intercambio de velocidades !

18. b) Si m2 está inicialmente en reposo, entonces: v2i = 0 m/s
Y las ecuaciones para las velocidades finales quedan:
⎛ m1 − m 2 ⎞ ⎛ 2m 1 ⎞
v 1f = ⎜ ⎟ v 1i v 2f = ⎜ ⎟ v 1i
⎝ m1 + m 2 ⎠ ⎝ m1 + m 2 ⎠
De aquí se obtienen los siguientes casos límites:
Si: m 1 >> m 2 ⇒ v 1f ≈ v 1i y v 2f ≈ 2v 1i
Si: m 1 << m 2 ⇒ v 1f ≈ − v 1i y v 2f ≈ 0

19. Colisiones en Dos Dimensiones
Antes de la colisión Después de la colisión
v1f
m1 v1i m1
v 2i
m2 m2 v 2f
Para el caso de dos dimensiones la conservación del momentum se
expresa para cada componente como:
m 1 v 1 ix + m 2 v 2 ix = m 1 v 1 fx + m 2 v 2 fx
m 1 v 1 iy + m 2 v 2 iy = m 1 v 1 f y + m 2 v 2 f y

20. Consideraremos el caso en que m2 está inicialmente en reposo.
Antes de la colisión Después de la colisión
v 1 f sin( θ ) v 1f
v 1 f cos ( θ )
v 1i θ)
φ)
m1
m2 v 2 f cos ( φ )
− v 2f sin(φ) v 2f
Después del choque m1 se mueve a un ángulo θ sobre la
horizontal y m2 se mueve a un ángulo φ bajo la horizontal.
Las ecuaciones anteriores quedan como:
m1 v1i = m1 v1f cos(θ) + m2 v2f cos(φ)
0 = m1 v1f sen(θ) - m2 v2f sen(φ)

21. La ley de la conservación de la energía cinética da otra
ecuación:
1 1 1 1
m 1 v 1i +
2
m 2 v 2i =
2
m 1 v 1f +
2
m2v2
2f
2 2 2 2
Con esta ecuación formamos un sistema de tres ecuaciones
independientes, con cuatro incógnitas.
Por lo tanto, dadas las masas y la velocidad inicial, deberá
darse alguna de las cantidades restantes v1f , v2f , θ o φ.

22. y
Centro de Masa
m1
m3
r3 El centro de masa de un
r1 m2
R CM sistema de partículas es un
r2
ri mi punto en el cual pareciera estar
concentrada toda la masa del
sistema.
x
z
En un sistema formado por una distribución discreta de
partículas, la posición del centro de masa se define mediante
la ecuación siguiente :
rCM =
∑m ri i
=
∑m r i i
∑m i M

23. Centro de Masa de un objeto extendido
La posición del centro de masa
de un objeto extendido o y
distribución continua de masa se m
define mediante la integral:
ri
1
rCM =
M ∫ r dm R CM
x
z
El centro de masa de cualquier
objeto simétrico se ubica sobre el
eje de simetría y sobre cualquier
plano de simetría.

24. Movimiento de un Sistema de Partículas
Si se deriva respecto al tiempo la posición del centro de masa de
un sistema de partículas, se obtiene la velocidad del centro de
masa:
d rC M 1 d ri
v CM =
dt
→ v CM =
M
∑ mi
dt
v CM =
∑m v i i
M
El momentum total del sistema es:
Mv CM = ∑m v i i = ∑p i = p tot
p tot = M v CM

25. La aceleración del centro de masa se obtiene, por definición,
derivando con respecto al tiempo la velocidad del centro de
masa, o sea:
dv C M 1 dv i
a CM =
dt
→ a CM =
M
∑ mi
dt
a CM =
∑ m ia i
M
De esta definición y con la Segunda Ley de Newton, se tiene:
M a CM = ∑ m ia i = ∑ Fi

26. Y tomando en cuenta la 3ra. Ley de Newton, se tiene la ley:
d p to t
∑F ext = M a CM =
dt
El centro de masa se mueve como una partícula
imaginaria de masa M bajo la influencia de la fuerza
externa resultante sobre el sistema.

27. La fuerza neta actúa sobre un cuerpo
como si éste fuese un objeto puntual y
toda la masa del objeto estuviera
concentrada en un sólo punto que es el
Centro de Masa.
¡ El centro de masa del bate sigue una trayectoria parabólica,
como la seguida por un objeto puntual bajo la acción de una
fuerza gravitacional !

28. v 1i v 2i = 0
Colisión
vf perfectamente
inelástica
Por otro lado, es inmediato que si las fuerzas externas se anulan, el
centro de masa se mueve con velocidad uniforme.
d p tot
= M a CM = 0
dt
Por lo que:
p tot = M v C M = c te.