2. Objetivos Específicos:
1. Definir unidad imaginaria.
2. Conocer y simplificar potencias de i.
3. Definir el conjunto de los números complejos.
4. Operar con los números complejos.
Analizar el conjunto de Números Complejos, sus relaciones, operaciones y
propiedades para la resolución de problemas.
OBJETIVO GENERAL
Gustavo Salinas E.
3. 1. Composición del Conjunto de Números Complejos.
2. Propiedades de los Números Complejos.
3. Operaciones en forma binómica.
4. Conversiones de números complejos de forma binómica a polar y viceversa.
5. Operaciones de números complejos en forma polar.
CONTENIDOS
Gustavo Salinas E.
4. INTRODUCCIÓN
El conjunto formado por los números racionales
(Q) e irracionales (I) es el conjunto de los números reales (R).
RECTA REAL
A todo número real le corresponde un
punto de la recta y a todo punto de la
recta un número real.
5. Definición:
7 3 2 3 10
Este conjunto se representa por I
CANTIDADES IMAGINARIAS
Gustavo Salinas E.
8. “Estos números no son nada, ni menos que nada,
lo cual necesariamente los hace imaginarios, o
imposibles”.
“… formulam littera i …”
Leonhard Euler (1777)
Leonhard Euler
(1707 – 1783)
Con Euler los imaginarios se incorporan
definitivamente en la Matemática.
i2 = -1; introdujo la notación binómica. Demostró que el
conjunto de los números “imaginarios” era cerrado para
las cuatro operaciones básicas, así como para la
potenciación y la radicación.
1
Gustavo Salinas E.
9. POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA
3. Sí
; 4.m
i m es un entero positivo m
4m q r r
i i i
= =
: 4 4
4
m q r
m
r q
i= -1
1. Divida el exponente m por 4 y el resultado será elevado al resto de la división.
2. Luego para simplificar use;
Gustavo Salinas E.
10. Ejemplo:
151 3
i i
EJERCICIOS:
2
i =-1
3 2
i =i i=-1 i=-i
4 2 2
i =i i = -1 -1 =1
0
i =1
1
i =i
Este último resultado hace que las potencias de “i” solo
tengan como resultados a: i, -i, 1 y -1
Gustavo Salinas E.
11. 11 4.2 3 3 2
1) . 1i i i i i i i
11: 4 2
3
540
2) i 4 135 0 0
1i i
540: 4 135
14
020
0
Gustavo Salinas E.
13. Definición:
NÚMEROS COMPLEJOS
( , )z a bi a b
Donde a y b pueden ser números positivos, negativos y aún nulos.
El conjunto de todos los números complejos se designa por
/ , ; 1a bi a b i
Gustavo Salinas E.
14. a biLa expresión , se llama forma binómica de un número complejo
porque tiene dos componentes:
componente real. Re( )a z a
componente imaginaria. Im( )b z b
Los números complejos, poseen: Elemento neutro, Elemento
opuesto, Elemento unidad, Elemento inverso. Con estas operaciones
los complejos tiene la estructura de cuerpo conmutativo.
Gustavo Salinas E.
15. CLASES DE NÚMEROS COMPLEJOS
COMPLEJO REAL.- Es aquel cuya parte imaginaria es nula: 0 .a i a Ejemplo: 3 + 0i = 3.
COMPLEJO PURO.- Es aquel cuya parte real es nula: 0 .bi bi Ejemplo: 0 – 7i = -7i.
COMPLEJO NULO.- Es aquel cuya parte real y cuya parte imaginaria son nulas: 0 0 0.i
COMPLEJOS IGUALES.- Son dos complejos, que tienen iguales sus partes reales e iguales
sus partes imaginarias.
Ejemplo: Si: a + bi = c + di
∴ a = c
b = d
Ejemplos:
3
(3 4 ) (27 2 ).i i 4
( 25,2 ) (5,16 ).i i
( ,(5 ) ) (2,8 ),si y solo sí : 2 3.x t i i x y t
(( 2),( 3) ) (6, 6 ),si y solo sí : 8 9.v s i i v y s
Gustavo Salinas E.
16. COMPLEJOS CONJUGADOS.- Son dos complejos que tienen iguales sus partes reales e
iguales pero de signos contrarios sus partes imaginarias.
.z a bi y z a bi
Ejemplo: 6 5z i conjugada 6 5 .z i
COMPLEJOS OPUESTOS.- Son dos complejos que tienen iguales, pero de signos contrarios,
tanto las partes reales como las imaginarias.
.z a bi y z a bi
Ejemplo: 9 4z i 9 4 .z i
Gustavo Salinas E.
17. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO
Para representar los números complejos tenemos que salir de la recta y llenar el plano, pasando así
de la recta real al plano complejo.
a bi
( , )a b (0,0)
( , )a b
Se realiza utilizando un sistema de ejes rectangulares o cartesianos; en el eje “x” se representa
los números reales y las cantidades imaginarias en el eje “y”. Al plano formado por los ejes real e
imaginario se denomina llama Plano de Gauss. El número complejo se representa
mediante el punto , que se llama su afijo, o mediante un vector (flecha) de origen
y extremo
Gustavo Salinas E.
19. Ejemplos:
9 4z i 1. Graficar el siguiente número complejo:
ImaginarioImaginarioO 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-i Real
-2i
-3i
-4i 9 -4i = (9 , -4)
-5i
-6i
Imaginario
Gustavo Salinas E.
20. 2. Dado el número complejo: 5 4z i
Graficar:
•El número complejo.
•El opuesto del número complejo.
•La conjugada del número complejo.
Gustavo Salinas E.
21. MÓDULO Y ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO
z a bi
z
MÓDULO.- El módulo de un número complejo , es la longitud del vector. El módulo de
dicho número se representa por .
2 2 2
a b r
2 2
z r a b
ARGUMENTO.- El argumento de un número complejo z; z ≠ 0. El ángulo que forma el vector con el eje real se designa
por arg(z).
360 720 1080
tan arctan
.......o o o
b b
a a
r r r r
Gustavo Salinas E.
22. Para determinar el ángulo polar se puede ayudar, utilizando las funciones coseno y seno en el
círculo trigonométrico como se observa en el gráfico.
360 720 1080
tan arctan
.......o o o
b b
a a
r r r r
Gustavo Salinas E.
23. PASO DE LA FORMA BINÓMICA A LA FORMA POLAR
Si conocemos el número complejo z a bi en forma binómica, a la forma polar r .
2 2
z r a b tan
b
a
Ejemplo: Pasar a forma polar el siguiente número complejo: 2 2 3z i
Módulo:
2 2
r a b
SOLUCIÓN
2 2
( 2) (2 3)r
4 12r
16
4
r
r
Real
Imaginario
Gustavo Salinas E.
24. Argumento:
tan
b
a
2 3
tan 3
2
1
tan ( 3)
120
Forma de expresar:
z r
120 (2 /3)4 4 radz
2 ( )
120
360
rad
2
3
rad
Real
Imaginario
120°
1 3
( , )
2 2
Gustavo Salinas E.
25. PASO DE LA FORMA POLAR A LA BINÓMICA
Si se conoce z r , en forma polar se puede determina a y b.
cos cos .
a
a r
r
.
b
sen b rsen
r
z a bi cosz r rsen i Pero , entonces
(cos ) forma trigonométrica que permite pasar de forma polar a forma binómica.z r sen i
Gustavo Salinas E.
26. Ejemplo: Transformar la expresión dada en forma polar,
SOLUCIÓN
2105z , a la forma binómica
cos 5cos210a r
3 5 3
5
2 2
a
5 210b rsen i sen i
1 5
5
2 2
b i i
5 3 5
2 2
z a bi i
210
5 3 5
5 .
2 2
z i
Gustavo Salinas E.
27. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINOMICA
1 1 1 2 2 2yz a bi z a b i
1. Suma de Complejos:
Sea:
1 2 1 1 2 2( ) ( )z z a bi a b i
1 2 1 2 1 2( ) ( )z z a a b b i
Ejemplo:
1 2 2z i
2 3z i
SOLUCIÓN
1 2
1 2
1 2
(2 2 ) ( 3 )
(2 3) (2 1)
( 1 3 )
z z i i
z z i
z z i
Gustavo Salinas E.
28. Gustavo Salinas E.
2. Resta de Complejos:
z a bi
Sea:
w c di
( ) (c )z w a bi di
( ) ( )z w a c b d i
Ejemplo: SOLUCIÓN
4 7z i
2 3w i
(4 7 ) (2 3 )
(4 2) (7 3)
(2 4 )
z w i i
z w i
z w i
29.
30. Gustavo Salinas E.
PROPIEDADES PARA LA SUMA
1.- Propiedad Asociativa:
Si tenemos: z a bi w c di u e fi y;
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
z w u z w u
a bi c di e fi a bi c di e fi
a bi c e d f i a c b d i e fi
a c e b d f i a c e b d f i
2.- Propiedad Conmutativa:
Si tenemos: z a bi w c di y
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
z w w z
a bi c di c di a bi
a c b d i c a d b i
31. Gustavo Salinas E.
3.- Elemento Neutro:
PROPIEDADES PARA LA SUMA
z a bi Si tenemos: 0 0 0i y
0 ( ) (0 0 )
0 ( 0) ( 0)
0
0
z a bi i
z a b i
z a bi
z z
4.- Propiedad del Opuesto:
z a bi Si tenemos: z a bi y el opuesto de z es
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) (0 0 )
( ) 0
z z a bi a bi
z z a a b b i
z z i
z z
32. Gustavo Salinas E.
3. Producto o Multiplicación de Complejos:
a) Multiplicación de un número real por un número complejo:
Donde: es el número real y z a bi el número complejo
. ( )
.
z a bi
z a bi
7 5z i . 6(7 5 )
. 42 30
z i
z i
Ejemplo: Sean: = 6 y
b) Multiplicación de dos números complejos:
Siendo: z a bi w c di y
2 2
. ( ).( )
. ( ); pero 1
. ( 1) ( )
. ( ) ( )
z w a bi c di
z w ac adi bci bdi i
z w ac bd ad bc i
z w ac bd ad bc i
4 3z i 3 5w i Ejemplo: Si y
SOLUCIÓN
2 2
. (4 3 ).( 3 5 )
. ( 12 20 9 15 ); pero 1
. 12 15( 1) (20 9)
. ( 12 15) (11)
. 27 11
z w i i
z w i i i i
z w i
z w i
z w i
33. Gustavo Salinas E.
PROPIEDADES PARA DE LA MULTIPLICACIÓN
1.- Propiedad Asociativa:
Sea: z a bi w c di u e fi y;
.( . ) ( . ).z wu z w u
2.- Propiedad Conmutativa:
Sea: z a bi w c di y
. .z w w z
3.- Elemento Neutro:
w a bi Sea: 1z el elemento neutro y el número complejo.
. 1.( )z w a bi a bi
34. Gustavo Salinas E.
4.- Propiedad del Inverso:
PROPIEDADES PARA DE LA MULTIPLICACIÓN
z a bi 1
z
Si es un número complejo distinto de cero, el inverso de z es otro número complejo que se denota por ,
el mismo que satisface:
1 1
. . 1
1 1
. . 1
z z z z
z z
z z
1
1
1
1
2 2
1
2 2 2 2
1
1
. ;
1
.
es otro número complejo que es el inverso de z.
z
z
z
z si z a bi y z a bi
z z
a bi
z
a bi a bi
a bi
z
a b
a b
z i
a b a b
35. Gustavo Salinas E.
5.- Propiedad Distributiva respecto a la suma:
PROPIEDADES PARA DE LA MULTIPLICACIÓN
.( ) . .z w u z w z u
Si: z a bi w c di u e fi y;
36. Gustavo Salinas E.
4. Cociente o División de Complejos:-
a) División de un número complejo para un número real:
z a bi y un número real.Sean
( )z a bi a b
i
Ejemplo: Sean = 4 y 8 6z i
SOLUCIÓN
(8 6 ) 8 6
4 4 4
3
2
2
z i
i
z
i
b) División de un número complejo por otro número complejo:
Para este proceso tenemos tres maneras de solución:
i) Por medio común, es decir formando ecuaciones:
z a bi w c di Si y , son dos números complejos y w ≠ 0
z
x yi
w
37. Gustavo Salinas E.
( )
( )
( )
a bi
x yi
c di
2
2
( ) ( ).( )
( ) ( )
( ) ( ) ( 1) 1
( ) ( ) ( )
a bi c di x yi
a bi cx cyi dxi dyi
a bi cx cy dx i dy i
a bi cx dy cy dx i
a cx dy
b dx cy
1
2
De la ecuación 1 despejamos x:
a dy
x
c
X reemplazamos en la ecuación 2 y despejamos y:
2 2
2 2
( )
a dy
b cy d
c
bc c y ad d y
bc ad y c d
2 2
bc ad
y
c d
38. Gustavo Salinas E.
4. Cociente o División de Complejos:-
i) Por medio común, es decir formando ecuaciones:
El valor de y reemplazamos en x:
a dy
x
c
2 2
bc ad
y
c d
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
( ) ( )
1
( )
bc ad
a d
c d
x
c
a c d d bc ad
c dx
c
ac ad bcd ad
x
c c d
2
2 2
2 2
( )
( )
( )
ac bcd
x
c c d
c ac bd
x
c c d
2 2
ac bd
x
c d
Conclusión:
2 2 2 2
( )
ac bd bc ad
x yi i
c d c d
39. Gustavo Salinas E.
4. Cociente o División de Complejos
ii) Formando ecuaciones y solucionando mediante determinantes (Método de Cramer), es decir:
cx dy a
cy dx b
Referencia:
B
x
A
C
y
A
Donde:
La determinante de IAI, se forma con los coeficientes de las variables.
La determinante de IBI para X se forma la 1ª columna con los términos independientes y la 2ª
columna los coeficientes de y.
La determinante de ICI para Y se forma la 1ª columna con los coeficientes de la variable X y la 2ª
con los términos independientes de las ecuaciones.
40. Gustavo Salinas E.
4. Cociente o División de Complejos
ii) Formando ecuaciones y solucionando mediante determinantes (Método de Cramer), es decir:
Encontramos el determinante de A:
41. Gustavo Salinas E.
4. Cociente o División de Complejos
iii) Por medio de la conjugada del número complejo del denominador de la fracción:
2
2
2
2 2
.
.
( ) (c )
. , pero 1
( ) (c )
z z w z w
w w w w
z a bi di ac adi bci bdi
i
w c di di c d
2 2
( ) ( )
.
z ad bd bc ad i
w c d
42. Gustavo Salinas E.
4 3z i 3 2w i
Ejemplo:
Dado y
SOLUCIÓN
Determinar z/w.
2
2
2 2
(4 3 ) (3 2 ) (4)(3) (4)(2) (3)(3) (3)(2)
. , pero 1
(3 2 ) (3 2 ) 3 2
12 8 9 6
9 4
18 1 18 1
13 13 13
z i i i i i
i
w i i
z i i
w
z i
i
w
43. Gustavo Salinas E.
OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR
O TRIGONOMÉTRICA
1. Multiplicación de Números Complejos.- La multiplicación de dos números complejos en forma polar es otro complejo que
tiene como módulo el producto de los módulos, y como argumento la suma de los
argumentos.
Sean dos números complejos en forma polar:
z1 = r1 = r1 (cos + seni)
z2 = r2 = r2 (cosβ + senβi)
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
. (cos ). (cos i)
z . . (cos cos cos cos ), si 1
z . . (cos cos ) (cos cos)
z . . cos( ) ( )
z . .
. .
z z r sen i r sen
z r r sen i sen i sen sen i i
z r r sen sen sen sen i
z r r sen i
z r r
r r r r
En trigonometría la suma y diferencia de ángulos, se tiene:
cos( ) cos cos .
( ) cos cos sen .
sen sen
sen sen
44. Gustavo Salinas E.
Ejemplo 1: Sean 1 60 2 210z 5 3y z
SOLUCIÓN
1. Multiplicación de Números Complejos.-
1 2 60 210 (60 210 )
1 2 (270 )
1 2
1 2
. 5 .3 (5.3)
. 15
. 15(cos 270 270 )
. 15(0 ) 15 .
z z
z z
z z sen i
z z i i
Ejemplo 2: Sean
SOLUCIÓN
5 5
126 5 12
7
12
3 3
1 2 2 2 ( )
1 2 105º( )
1 2
1 2
. 2 . (2. )
. 3 3
. 3(cos105 105 )
. 3( 0,26 0,97 ) 0,78 2,91 .
z z
z z
z z sen i
z z i i
1 6 6z 2 cos( ) ( )sen i
3 5 5
2 2 12 12z cos( ) ( )sen i
46. Gustavo Salinas E.
1 60 2 210z 6 3y z Ejemplo: Sean SOLUCIÓN
601
(60 210 )2 210
1
( 150 )
2
1
2
1
2
6 6
3 3
2
2 cos( 150) ( 150)
3 1
2 3 .
2 2
z
z
z
z
z
sen i
z
z
i i
z
La división de números complejos en forma polar, también es otro complejo y se
obtiene dividiendo sus módulos y el argumento se obtiene restando el argumento del
numerador el denominador.
2. División de Números Complejos.-
Sean dos números complejos en forma polar:
z1 = r1 = r1 (cos + seni)
z2 = r2 = r2 (cosβ + senβi)
11 1
2 2 2 ( )
z r r
z r r
47. Gustavo Salinas E.
z (cos )z sen i
z (cos )
(cos( . ) ( . ) )
nn
nn
z sen i
z z n sen n i
POTENCIA.- Para realizar la potenciación de un número complejo utilizaremos la Fórmula de Moivre, nos da un
algoritmo bastante eficiente para hallar la potencia enésima de un número complejo en forma polar. Si
y n es un número entero positivo, entonces se obtiene:
Esta relación es la Fórmula de Moivre y se verifica para todo valor real del exponente. Por ejemplo, si el
exponente es una fracción (1/n), tenemos:
48. Gustavo Salinas E.
Ejemplo 1: Sea z = 2(cos30° + sen30°i). Calcular la potencia de orden cinco de este número, es decir, z5.
SOLUCIÓN
5 5
5
5
5
(cos( . ) ( . ) )
z 2 cos(5.30 ) (5.30 )
32(cos150 150 )
3 1
32
2 2
16 3 16 .
nn
z z n sen n i
sen i
z sen i
z i
z i
En este ejercicio, primero debemos pasar a la forma polar, para ello hay que determinar el módulo y el argumento.
Ejemplo 2: Sea z = (3 + 4i). Calcular la potencia de orden seis de este número, es decir, z6.
49. Gustavo Salinas E.
SOLUCIÓN
2 2 2 2
3 4 9 16 25 5z a b
arctan
4
arctan
3
53,13 .
b
a
Calculamos ahora z6, utilizando la Fórmula de Moivre.
6 6
6
6
6
(cos( . ) ( . ) )
z 5 cos(6.53,13 ) (6.53,13 )
15625(cos318,78 318,78 )
15625 0,7522 0,6590
11753 10296 .
nn
z z n sen n i
sen i
z sen i
z i
z i
50. Gustavo Salinas E.
z a bi z wn
w
1
.n n
w z z
RADICACIÓN.- es un número complejo tal que para algún n entero positivo se tenga
w es otro número complejo, entonces se dice que es una raíz enésima de z.
Si , donde:
Para facilitar los cálculos, podemos utilizar el teorema de De Moivre para desarrollar una fórmula para determinar
raíces positivas de un número complejo: Si z = r (cos + sin i) es un número complejo diferente de cero y si n es
un entero positivo, entonces z tiene exactamente n raíces diferentes que se pueden expresar en radianes o en
grados, entonces:
1 1
.
2 2
cos sinn nn n
z r
k k
z z r r i
n n n n
donde k = 0, 1, 2, …, n -1
51. Gustavo Salinas E.
Ejemplo 1: Sea z = 1 + 0i). Calcular todas las raíces cúbicas de z.
SOLUCIÓN
Primero calculamos el módulo y el argumento.
2 2
1 0 1r
1 0
tan 0
1
Luego calculamos las tres raíces, para 0,1, 2k
2 2
cos sinn n k k
z r i
n n n n
3
0
0 2 0 2
1 cos sin
3 3 3 3
k k
w i
3
0
2 0 2 00 0
1 cos sin
3 3 3 3
w i
0
0
1 cos 0 sin 0
1
w i
w
52. 3
1
2 1 2 10 0
1 cos sin
3 3 3 3
w i
1
1
2 2
1 cos sin
3 3
1 3
2 2
w i
w i
3
2
2 2 2 20 0
1 cos sin
3 3 3 3
w i
2
2
4 4
1 cos sin
3 3
1 3
2 2
w i
w i
Si graficamos las raíces, observamos que ellas ocupan los
vértices de un triángulo equilátero
0
1
2
1.
1 3
.
2 2
1 3
.
2 2
w
w i
w i
Gustavo Salinas E.
53. Ejemplo 2: Sea z = 64(cos30° + sen30°i). Calcular todas las raíces sextas de .6
z
SOLUCIÓN
2 2
cos senn n k k
z r i
n n n n
Para k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
6
0
0
0
30 2(0) 30 2(0)
64 cos sen
6 6 6 6
2 cos(5 ) sen(5 )i
1,99 0,17
w i
w
w i
6
1
1
1
30 2(1) 30 2(1)
64 cos sen
6 6 6 6
2 cos(65 ) sen(65 )i
0,84 1,81
w i
w
w i
6
2
2
2
30 2(2) 30 2(2)
64 cos sen
6 6 6 6
2 cos(125 ) sen(125 )i
1,15 1,64
w i
w
w i
6
3
3
3
30 2(3) 30 2(3)
64 cos sen
6 6 6 6
2 cos(185 ) sen(185 )
1,99 0,17 .
w i
w i
w i
6
4
4
4
30 2(4) 30 2(4)
64 cos sen
6 6 6 6
2 cos(245 ) sen(245 )
0,84 1,81
w i
w i
w i
6
5
5
5
30 2(5) 30 2(5)
64 cos sen
6 6 6 6
2 cos(305 ) sen(305 )i
1,15 1,64
w i
w
w i
Gustavo Salinas E.
54. 0
1
2
3
4
5
1,99 0,17 .
0,84 1,81 .
1,15 1,64 .
1,99 0,17 .
0,84 1,81 .
1,15 1,64 .
w i
w i
w i
w i
w i
w i
Gustavo Salinas E.
55. Interpretación gráfica de igualdades y desigualdades entre complejos
a) Re z = 2
Gustavo Salinas E.
b) Im z = 1 c) Re z 0
