06 Beschreibungslogiken - Semantic Web Technologien WS 2011/12

1. Semantic Web Technologien Vorlesung Dr. Harald Sack Hasso-Plattner-Institut für Softwaresystemtechnik Universität Potsdam Wintersemester 2011/12 Blog zur Vorlesung: http://wwwsoup2011.blogspot.com/ Donnerstag, 15. Dezember 11

2. Semantic Web Technologien Semantic Web Technologien Wiederholung Wiederholung & 2 i k o g ik n l o g g e l s a e n u s a t A i k ä d P r Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

3. Semantic Web Technologien Vorlesungsinhalt 3 1. Einführung 2. Semantic Web Basisarchitektur Die Sprachen des Semantic Web - Teil 1 3. Wissensrepräsentation und Logik Die Sprachen des Semantic Web - Teil 2 4. Semantic Web Anwendungen Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

4. Semantic Web Technologien Vorlesungsinhalt 4 3. Wissensrepräsentation und Logik Die Sprachen des Semantic Web - Teil 2 3.1. Exkurs: Ontologien in Philosophie und Informatik 3.2. Wiederholung: Aussagenlogik und Prädikatenlogik 3.3. Beschreibungslogiken (Description Logics) 3.4. RDF(S)-Semantik 3.5. OWL und OWL-Semantik 3.6. OWL 2 und Regeln Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

5. s - n g 5 bu i n e e r k h i c g s o e l B Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

6. 3. Wissensrepräsentation und Logik 3.3 Beschreibungslogiken 6 3.3 Beschreibungslogiken 3.3.1 Motivation 3.3.2 Beschreibungslogiken Überblick 3.3.3 ALC - Syntax und Semantik 3.3.4 Inferenz und Reasoning 3.3.5 Tableau-Verfahren Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

7. Ontologien in der Informatik 7 An Ontology is a formal speciﬁcation machine understandable of a shared group of people/agents conceptualization about concepts of a domain of interest between general description and individual use Tom Gruber, 1993 Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11 Turmbau zu Babel, Pieter Brueghel, 1563

8. Ontologien und Kommunikation 8 Agent 1 Agent 2 Person 1 Person 2 Ontology exchange exchange of symbols Symbol Description of symbols „Golf“ H1 H2 Semantics M1 M2 concept concept Concept agreement Ontology agreement specific domain, Thing e.g. sports Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

9. RDF und RDFS • Deﬁnition von Klassen, 9 Klassenhierarchien, Relationen, a:verlagname Springer Individuen Heidelberg • zur Deﬁnition a:verlagort einfacher a:titel Ontologien a:verlag WWW geeignet ISBN 0-00-651409-X a:jahr • für komplexere 2004 a:autor Modellierung a:autorname Harald Sack aber nicht geeignet http://hpi-web.de/HaraldSack.html a:autorhomepage Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

10. s - n g 10 bu i n e e r k h i c g s o e l B Wir benötigen ein ausdrucksstärkeres Mittel zur Wissensrepräsentation Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

11. 3.3 Beschreibungslogiken 3.3.1 Motivation 11 3.3.2 Beschreibungslogiken Überblick 3.3.3 ALC - Syntax und Semantik 3.3.4 Inferenz und Reasoning 3.3.5 Tableau-Verfahren Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

12. Wissensrepräsentation 12 logic-based non logic-based formalisms formalisms • komplexer und schwieriger • näher an der menschlichen zu verstehen Intuition • basieren alle Grundlage der • daher einfacher zu Prädikatenlogik verstehen • konsistente Semantik • besitzen meist keine • FOL Syntax konsistente Semantik • FOL Semantik • FOL Deduktionsregeln • Bsp.: • Semantic Networks • Bsp.: • Frame-basierte Repräsentationen • Beschreibungslogiken • Regel-basierte Repräsentationen Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

13. FO FOL als Semantic Web Sprache? 13 •Warum nicht einfach FOL für Ontologien hernehmen? •FOL kann alles... L •vergleiche höhere Programmiersprachen und Assembler •FOL ist •sehr ausdrucksstark •deshalb unhandlich bei der Modellierung •daher auch schlecht geeignet, um einen Konsens bei der Modellierung zu ﬁnden •beweistheoretisch sehr komplex (semi-entscheidbar) •FOL ist keine Markupsprache Suche ein geeignetes Fragment von FOL Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

14. Beschreibungslogiken (DLs) 14 • engl.: description logics (DLs) • Fragmente von FOL • In DL werden mit Hilfe von Konstruktoren aus einfachen Beschreibungen (descriptions) komplexere Beschreibungen aufgebaut • DLs unterscheiden sich durch die Menge der verwendeten Konstruktoren (Ausdrucksmächtigkeit) • DLs entwickelten sich aus „semantischen Netzwerken“ • DLs sind meist entscheidbar • DLs sind vergleichsweise ausdrucksstark • DLs besitzen enge Verwandtschaft mit Modallogiken • W3C Standard OWL 1 DL basiert auf der Beschreibungslogik SHOIN(D) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

15. Allgemeine DL Architektur 15 Knowledge Base TBox Terminological Knowledge Wissen über Konzepte einer Domäne (Klassen, Attribute, Eigenschaften,..) Inference Engine EuroBook ≣ Book ⨅ PublishedInEurope Interface ABox Assertional Knowledge Wissen über Instanzen / Entitäten EuroBook(“Semantic Web Grundlagen“) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

16. Allgemeiner DL Aufbau 16 • DLs sind eine Familie logikbasierter Formalismen zur Wissensrepräsentation • Spezielle Sprachen u.a. charakterisiert durch: • Konstruktoren für komplexe Konzepte und Rollen aus einfacheren Konzepten und Rollen • Menge von Axiomen, um Fakten über Konzepte, Rollen und Individuen auszudrücken •ALC (Attribute Language with Complement) ist die kleinste DL, die aussagenlogisch (deduktiv) abgeschlossen ist • Konjunktion, Disjunktion, Negation sind Klassenkonstruktoren, geschrieben ⊓, ⊔ , ¬ • Quantoren schränken Rollenbereiche ein: Man ⊓ ∃hasChild.Female ⊓ ∃hasChild.Male ⊓ ∀hasChild.(Rich ⊔ Happy) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

17. Weitere DL Sprachmittel 17 • Weitere Konstruktoren sind z.B. • Number restrictions (Kardinalitätseinschränkungen) für Rollen: ≥3 hasChild, ≤1 hasMother • Qualified number restrictions (klassenspezifische Kardinalitätseinschränkungen) für Rollen: ≥2 hasChild.Female, ≤1 hasParent.Male • Nominals (definition by extension, Aufzählungsklassen): {Italy, France, Spain} • Concrete domains (datatypes): hasAge.(≥21) • Inverse roles: hasChild– ≡ hasParent • Transitive roles: hasAncestor ⊑+ hasAncestor • Role composition: hasParent.hasBrother(uncle) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

18. 18 3.3 Beschreibungslogiken 3.3.1 Motivation 3.3.2 Beschreibungslogiken Überblick 3.3.3 ALC - Syntax und Semantik 3.3.4 Inferenz und Reasoning 3.3.5 Tableau-Verfahren Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

19. ALC Grundbausteine 19 •Grundbausteine: •Klassen •Rollen •Individuen •Student(Christian) Individuum Christian ist in Klasse Student •Vorlesung(SemanticWebTechnologien) Individuum SemanticWebTechnologien ist eine Vorlesung •nimmtTeilAn(Christian, SemanticWebTechnologien) Christian nimmt an der Vorlesung „Semantic Web Technologien“ teil Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

20. ALC Grundbausteine 20 • Atomare Typen • Konzeptnamen A, B, ... • Spezielle Konzepte • ⊤ - Top (universelles Konzept) • ⊥ - Bottom Konzept • Rollennamen R,S, ... • Konstruktoren • Negation: ¬C • Konjunktion: C ⊓ D • Disjunktion: C ⊔ D • Existenzquantor: ∃R.C • Allquantor: ∀R.C Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

21. ALC Grundbausteine 21 •Klasseninklusion •Professor ⊑ Fakultaetsmitglied •jeder Professor ist ein Fakultätsmitglied •entspricht (∀x)(Professor(x) → Fakultaetsmitglied(x)) •Klassenäquivalenz •Professor ≡ Fakultaetsmitglied •Die Fakultätsmitglieder sind genau die Professoren •entspricht (∀x)(Professor(x) Fakultaetsmitglied(x)) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

22. ALC - komplexe Klassenbeziehungen 22 •Konjunktion ⊓ •Disjunktion ⊔ •Negation ¬ Professor ⊑ (Person ⊓ Unversitaetsangehoeriger) ⊔ (Person ⊓ ¬Student) (∀x)(Professor(x) → ((Person(x) Λ Universitaetsangehoeriger(x)) V (Person(x) Λ ¬Student(x))) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

23. ALC - Quantoren auf Rollen 23 •Strikte Bindung einer Klasse als Bildmenge (Range) einer Rolle •Pruefung ⊑ ∀hatPruefer.Professor • Eine Prüfung wird immer nur von einem Professor abgenommen •(∀x)(Pruefung(x) → (∀y)(hatPruefer(x,y) → Professor(y))) •Offene Bindung einer Klasse als Bildmenge einer Rolle •Pruefung ⊑ ∃hatPruefer.Person • Jede Prüfung hat mindestens einen Prüfer (der eine Person ist) •(∀x)(Pruefung(x) → (∃y)(hatPruefer(x,y) Λ Person(y))) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

24. ALC - Formale Syntax 24 •Folgende Syntaxregeln erzeugen Klassen in ALC: (dabei ist A eine atomare Klasse, C und D komplexe Klassen und R eine Rolle) •C,D ::= A | ⊤ | | ¬C | C ⊓ D | C ⊔ D | ∃R.C | ∀R.C •Eine ALC TBox besteht aus Aussagen der Form C ⊑ D und C ≡ D, wobei C, D komplexe Klassen sind. •Eine ALC ABox besteht aus Aussagen der Form C(a) und R(a,b), wobei C eine komplexe Klasse, R eine Rolle und a,b Individuen sind. •Eine ALC-Wissensbasis besteht aus einer ABox und einer TBox. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

25. ALC - Semantik (Interpretation) •wir deﬁnieren eine modelltheoretische Semantik für 25 ALC (d.h. Folgerung wird über Interpretationen deﬁniert) •eine Interpretation I=(ΔI,.I) besteht aus •einer Menge ΔI (Domäne) aus Individuen und •einer Interpretationsfunktion .I, die abbildet von •Individuennamen a auf Domänenelemente aI ∈ ΔI •Klassennamen C auf Mengen von Domänenelementen CI ⊆ ΔI •Rollennamen R auf Mengen von Paaren von Domänenelementen RI ⊆ ΔI × ΔI Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

26. ALC - Semantik (Interpretation) 26 Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

27. ALC - Semantik (Interpretation) 27 • wird auf komplexe Klassen erweitert: •⊤I = ΔI und ⊥I = ∅ •(C ⊔ D)I = CI ∪ DI und (C ⊓ D)I = CI ∩ DI •(¬C)I = ΔI CI • ∀R.C = { a∈ΔI | (∀b∈ΔI) ( (a,b)∈RI → b∈CI )} •∃R.C = { a∈ΔI | (∃b∈ΔI) ( (a,b)∈RI ∧ b∈CI )} Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

28. ALC - Semantik (Interpretation) 28 •...und auf Axiome: • C(a) gilt, wenn aI ∈ CI •R(a,b) gilt, wenn (aI,bI) ∈ RI •C ⊑ D gilt, wenn CI ⊆ DI • C ≡ D gilt, wenn CI = DI Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

29. ALC - alternative Semantik 29 • Übersetzung in die Prädikatenlogik mittels der Abbildung π • ABox: π (C(a))=C(a) π (R(a,b))=R(a,b) • TBox: rekursive Deﬁnition • Dabei sind C,D komplexe Klassen, R eine Rolle und A eine atomare Klasse. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

30. ALC - Wissensbasis 30 • Terminologisches Wissen (TBox) Axiome, die die Struktur der zu modellierenden Domäne beschreiben (konzeptionelles Schema): • Human ⊑ ∃parentOf.Human • Orphan ≡ Human ⊓ ¬∃hasParent.Alive • Assertionales Wissen (ABox) Axiome, die konkrete Situationen (Daten) beschreiben: • Orphan(harrypotter) • hasParent(harrypotter,jamespotter) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

31. Beschreibungslogiken (Description Logics) Operator/Construktor Syntax Sprache 31 Konjunktion A⊓B Wertrestriktion ∀R.C FL Existenzquantor ∃R Top ⊤ Bottom ⊥ S* Negation ¬A Disjunktion A⊔B AL* Existentielle Restriktion ∃R.C Zahlenrestriktion (≤nR) (≥nR) Menge von Individuen {a1,...,a2} Beziehungshierarchie R⊑S H inverse Beziehung R-1 I Qualifizierte Zahlenrestriktion (≤nR.C) (≥nR.C) Q Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

32. Beschreibungslogiken (Description Logics) • ALC: Attribute Language with Complement 32 • S: ALC + Rollentransitivität • H: Subrollenbeziehung • O: abgeschlossene Klassen • I: inverse Rollen • N: Zahlenrestriktionen ≤n R etc. • Q: Qualiﬁzierende Zahlenrestriktionen ≤n R.C etc. • (D): Datentypen • F: Funktionale Rollen • R: Rollenkonstruktoren • OWL 1 DL ist SHOIN(D) / OWL 2 DL ist SHROIQ(D) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

34. Open World vs. Closed World Assumption 34 • OWA: Open World Assumption Die Existenz von weiteren Individuen ist möglich, sofern sie nicht explizit ausgeschlossen wird. • CWA: Closed World Assumption Es wird angenommen, dass die Wissensbasis alle Individuen enthält. if we assume that we know no idea since everything about are all children we do not know Bill then all of his of Bill male? all children of Bill children are male child(Bill,Bob) DL answers PROLOG answers ? ⊨ ∀child.Man(Bill) Man(Bob) don‘t know yes now we know ≤ 1 child.⊤(Bill) ? ⊨ ∀child.Man(Bill) yes everything about Bill‘s children Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

35. Inferenzprobleme und Beschreibungslogiken 35 • Sei D eine Terminologie (T-Box) und C und D Konzeptbeschreibungen in einer Sprache (Beschreibungslogik) L • C ist erfüllbar bzgl. D genau dann, wenn es ein Modell I für D gibt, so dass gilt CI≠∅ anderenfalls ist C unerfüllbar bzgl. D • C wird von D subsumiert bzgl. D, C ⊑D D bzw. D ⊨ C ⊑ D, genau dann, wenn für jedes Modell I von D gilt CI ⊆ DI • C und D sind äquivalent bzgl. D, C ≣D D bzw. D ⊨ C ≣ D, genau dann, wenn für jedes Modell I von D gilt CI = DI • C und D sind disjunkt bzgl. D, genau dann, wenn für jedes Modell I von D gilt CI ∩ DI = ∅ Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

36. Inferenzprobleme und Beschreibungslogiken 36 • Sei D eine Terminologie (T-Box) und A eine Menge von Behauptungen (A-Box) in einer Sprache (Beschreibungslogik) L Sei α eine Behauptung, C eine Konzeptbeschreibung und a eine Konstante in L • A ist konsistent bzgl. D genau dann, wenn es eine Interpretation I für L gibt, die gleichzeitig ein Modell für D und A ist • a folgt aus A und D, A ∪ D ⊨ a, genau dann, für jede Interpretation I für L gilt, dass wenn I gleichzeitig ein Modell für D und A ist, das erfüllt I die Behauptung a • a ist eine Instanz von C bzgl. D und A, genau dann, wenn A ∪ D ⊨ C(a) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

37. Wichtige Inferenzprobleme (1) 37 • Globale (In)Konsistenz der Wissensbasis KB ⊨ ? • ist Wissensbasis sinnvoll? • Klassen(in)konsistenz C≡ ? • Muss Klasse C leer sein? • Klasseninklusion (Subsumption) C ⊑ D? • Strukturierung der Wissensbasis • Klassenäquivalenz C ≡ D? • Sind zwei Klassen eigentlich dieselbe? Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

38. Wichtige Inferenzprobleme (2) 38 • Klassendisjunktheit C⊓D= ? • Sind zwei Klassen disjunkt? • Klassenzugehörigkeit C(a)? • Ist Individuum a in der Klasse C enthalten? • Instanzgenerierung (Retrieval) „alle x mit C(x) ﬁnden“ • Finde alle (bekannten!) Individuen zur Klasse C. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

39. Entscheidbarkeit und Beschreibungslogiken 39 • Entscheidbarkeit: zu jedem Inferenzproblem gibt es einen immer terminierenden Algorithmus • DLs sind Fragment von FOL, also könnten (im Prinzip) FOL-Inferenzalgorithmen (Resolution, Tableau) verwendet werden. • Diese terminieren aber nicht immer! • Problem: Finde immer terminierende Algorithmen! • Keine „naiven“ Lösungen in Sicht! Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

40. Entscheidbarkeit und OWL DL 40 • FOL-Inferenzverfahren (Tableauverfahren und Resolution) müssen für DLs abgewandelt werden • Wir werden uns auf ALC beschränken • Tableau- und Resolutionsverfahren zeigen Unerfüllbarkeit einer Theorie • Rückführung der Inferenzprobleme auf das Finden von Inkonsistenzen in der Wissensbasis, d.h. zeigen der Unerfüllbarkeit der Wissensbasis! Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

41. Rückführung auf Unerfüllbarkeit (1) 41 (Reduction to Unsatisﬁability) • Klassen(in)konsistenz C≡ • gdw, KB ⋃ {C(a)} unerfüllbar (a neu) • Klasseninklusion (Subsumption) C⊑D • gdw, KB ⋃ {(C ⊓ ¬D)(a)} unerfüllbar (a neu) • Klassenäquivalenz C≡D • gdw, C ⊑ D und D ⊑ C Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

42. Rückführung auf Unerfüllbarkeit (2) 42 • Klassendisjunktheit C⊓D= • gdw, KB ⋃ {(C ⊓ D)(a)} unerfüllbar (a neu) • Klassenzugehörigkeit C(a) • gdw, KB ⋃ {¬C(a)} unerfüllbar • Instanzgenerierung (Retrieval) „alle C(X) ﬁnden“ • Prüfe Klassenzugehörigkeit für alle Individuen. • efﬁziente Implementation problematisch…. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

44. Tableau Verfahren in der Aussagenlogik (PL) • syntaktisches Verfahren zum Prüfen der Konsistenz logischer 44 Ausdrücke • Grundidee (ähnlich Resolution): • Beweisverfahren, mit dem eine Formel dadurch bewiesen wird, dass ihre Negation als widersprüchlich abgeleitet wird (proof by refutation). • Tableau basieren auf einer Darstellung von Formeln in disjunktiver Normalform (Resolution: konjunktive Normalform) • Konstruiere Baum, in dem jeder Knoten mit einer Formel markiert ist. Ein Pfad von der Wurzel zu einem Blatt stellt die Konjunktion aller Formeln der Knoten entlang des Pfads dar; eine Verzweigung stellt eine Disjunktion dar. • Der Baum wird durch sukzessive Anwendung der Tableau- Erweiterungsregeln aufgebaut. • Ein Pfad in einem Tableau ist abgeschlossen, wenn entlang des Pfads sowohl X wie ¬X für eine Formel X auftreten, oder wenn F auftritt (X muss nicht atomar sein.). Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

45. Tableau Verfahren in der Aussagenlogik (PL) • Konstruiere Baum, in dem jeder Knoten mit einer Formel 45 markiert ist. Ein Pfad von der Wurzel zu einem Blatt stellt die Konjunktion aller Formeln der Knoten entlang des Pfads dar; eine Verzweigung stellt eine Disjunktion dar. (q ∧ r) ∨ (p ∧ ¬ r) ∨ r (q ∧ r) (p ∧ ¬ r) ∨ r q (p ∧ ¬ r) r r p ¬r Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

46. Tableau Verfahren in der Aussagenlogik (PL) • Grundidee (Fortsetzung): 46 • Ein Tableau heißt abgeschlossen, wenn alle seine Pfade abgeschlossen sind. • Ein Tableau-Beweis für eine Formel X ist ein abgeschlossenes Tableau für ¬X. • Die Auswahl der Regeln bei der Erweiterung eines Tableaus ist nichtdeterministisch. • Für aussagenlogische Tableau kann die Auswahl etwas eingeschränkt werden Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

47. Tableau Erweiterungsregeln 47 • für Aussagenlogik: ¬¬X ¬W ¬F X F W • für konjunktive Formeln (α-Regeln): α X∧Y ¬(X∨Y) ¬(X Y) α1 X ¬X X α2 Y ¬Y ¬Y • für disjunktive Formeln (β-Regeln): β X∨Y ¬(X∧Y) (X Y) β1 | β2 X|Y ¬X | ¬Y ¬X | Y Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

48. Tableauverfahren (PL) Beispiel (1): 48 zu zeigen: ((q ∧ r) (¬q ∨ r)) α-Regel (1) ¬((q ∧ r) (¬q ∨ r)) = ¬(¬(q ∧ r) ∨ (¬q ∨ r)) = (q ∧ r) ∧ ¬(¬q ∨ r)) ¬(X Y) X (2) α,1: (q ∧ r) ¬Y (3) α,1: ¬(¬q ∨ r) = q ∧ ¬r (4) α,2: q (5) α,2: r (6) α,3: q (7) α,3: ¬r Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

50. Tableauverfahren Erweiterung für FOL • wie für Aussagenlogik - in den Regeln stehen X und Y dann für 50 beliebige (prädikatenlogische) Formeln • Zusätzlich folgende Regeln für die Behandlung quantifizierter Formeln : γ δ γ[t] δ[c] • für γ universell quantifizierte Formel, δ existenziell quantifizierte Formel, mit: γ γ[t] δ δ[c] ∀x.Φ Φ[x←t] ∃x.Φ Φ[x←c] ¬∃x.Φ ¬Φ[x←t] ¬∀x.Φ ¬Φ[x←c] • t ist Grundterm (d.h. enthält keine in Φ gebundenen Variablen), c ist eine „neue“ Konstante Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

51. Tableauverfahren (FOL) Beispiel(3): 51 γ γ[t] zu zeigen: (∀x.P(x)∨Q(x)) (∃x.P(x))∨(∀x.Q(x)) ∀x.Φ Φ[x←t] (1) ¬((∀x.P(x)∨Q(x)) (∃x.P(x))∨(∀x.Q(x))) ¬∃x.Φ ¬Φ[x←t] (2|α aus 1) (∀x.P(x)∨Q(x)) (3|α aus 1) ¬((∃x.P(x))∨(∀x.Q(x))) δ δ[c] (4|α aus 3) ¬(∃x.P(x)) ∃x.Φ Φ[x←c] (5|α aus 3) ¬(∀x.Q(x)) ¬∀x.Φ ¬Φ[x←c] (6|δ aus 5) ¬Q(c) (7|γ aus 4) ¬P(c) (8|γ aus 2) P(c)∨Q(c) (9|β aus 8) P(c) | (10|β aus 8) Q(c) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

52. Tableauverfahren für Beschreibungslogiken 52 •Transformation in Negationsnormalform notwendig •Gegeben eine Wissensbasis W. •Ersetze C ≡ D durch C ⊑ D und D ⊑ C •Ersetze C ⊑ D durch ¬C ⊔ D. •Wende die NNF-Transformationen auf der nächsten Seite an •Resultierende Wissensbasis: NNF(W) •Negationsnormalform von W. •Negation steht nur noch direkt vor atomaren Klassen Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

53. Tableautransformation in Negationsnormalform 53 • NNF Transformationen NNF(C) = C, falls C atomar ist NNF(¬C) = ¬C, falls C atomar ist NNF(¬¬C) = NNF(C) NNF(C ⊔ D) = NNF(C) ⊔ NNF(D) NNF(C ⊓ D) = NNF(C) ⊓ NNF(D) NNF(¬(C ⊔ D)) = NNF(¬C) ⊓ NNF(¬D) NNF(¬(C ⊓ D)) = NNF(¬C) ⊔ NNF(¬D) NNF(∀R.C) = ∀ R.NNF(C) NNF(∃R.C) = ∃ R.NNF(C) NNF(¬∀R.C) = ∃R.NNF(¬C) NNF(¬∃R.C) = ∀R.NNF(¬C) • W und NNF(W) sind logisch äquivalent. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

54. Tableautransformation in Negationsnormalform 54 • Beispiel: P ⊑ (E ⊓ U) ⊔ ¬(¬E ⊔ D) • In NNF: ¬P ⊔ (E ⊓ U) ⊔ (E ⊓ ¬D). Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

55. Tableauerweiterungsregeln für DL Auswahl Aktion 55C(a)∈W (ABox) Füge C(a) hinzu R(a,b)∈W (ABox) Füge R(a,b) hinzu C∈W (TBox) Füge C(a) für ein bekanntes Individuum a hinzu (C⊓D)(a)∈A Füge C(a) und D(a) hinzu (C⊔D)(a)∈A Splitte den Zweig. Füge zu (1) C(a) und zu (2) D(a) hinzu (∃R.C)(a)∈A Füge R(a,b) und C(b) für neues Individuum b hinzu (∀R.C)(a)∈A Falls R(a,b)∈A, dann füge C(b) hinzu • Ist das resultierende Tableau abgeschlossen, so ist die ursprüngliche Wissensbasis unerfüllbar. • Man wählt dabei immer nur solche Elemente aus, die auch wirklich zu neuen Elementen im Tableau führen. Ist dies nicht möglich, so terminiert der Algorithmus und die Wissensbasis ist erfüllbar. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

56. Tableauverfahren (DL) Beispiel(4): 56 • P … Professor • E … Person • U … Universitätsangehöriger • D … Doktorand • Wissensbasis: P ⊑ (E ⊓ U) ⊔ (E ⊓ ¬D) • Ist P ⊑ E logische Konsequenz? • Wissensbasis (mit [negierter] Anfrage) in NNF: {¬P⊔ (E ⊓ U) ⊔ (E ⊓ ¬D), (P ⊓ ¬E)(a)} Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

57. Tableauverfahren (DL) Beispiel(4): 57 • Wissensbasis: ¬P ⊔ (E ⊓ U) ⊔ (E ⊓ ¬D) (P ⊓ ¬E)(a) • Tableau: (1) (P ⊓ ¬E)(a) (aus Wissensbasis) (2|α aus 1) P(a) (3|α aus 1) ¬E(a) (4) (¬P ⊔ (E ⊓ U) ⊔ (E ⊓ ¬D))(a) (aus Wissensbasis) (5) ¬P(a) | (6) ((E ⊓ U) ⊔ (E ⊓ ¬D))(a) (7) (E ⊓ U)(a) | (8) (E ⊓ ¬D)(a) (9) E(a) (10) E(a) (11) U(a) (12) ¬D(a) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

58. Tableauverfahren (DL) Beispiel(5): • Wissensbasis: ¬Person ⊔ ∃hasParent.Person 58 • abzuleiten: ¬Person(Bill) Person(Bill) (¬Person ⊔ ∃hasParent.Person)(Bill) ¬Person(Bill) ∃hasParent.Person(Bill) ⊔ hasParent(Bill,x1) ∃ Person(x1) (¬Person ⊔ ∃hasParent.Person)(x1) ¬Person(x1) ∃hasParent.Person(x1) ⊔ hasParent(x1,x2) ∃ Person(x2) Problem tritt bei (¬Person ⊔ ∃hasParent.Person)(x2) Existenzquantoren auf ¬Person(x2) ∃hasParent.Person(x2) ⊔ bzw. bei OWL:minCardinality Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

59. Idee des Blockings 59 • wir hatten folgendes konstruiert: Person Person Person ∃hasParent.Person ∃hasParent.Person ∃hasParent.Person hasParent hasParent hasParent • Idee: Wiederverwendung alter Knoten Person Person ∃hasParent.Person ∃hasParent.Person hasParent Blocking Korrektheit muss natürlich hasParent bewiesen werden... Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

60. Tableauverfahren (DL) mit Blocking • Wissensbasis: ¬Person ⊔ ∃hasParent.Person 60 • abzuleiten: ¬Person(Bill) Person(Bill) (¬Person ⊔ ∃hasParent.Person)(Bill) ¬Person(Bill) ∃hasParent.Person(Bill) ⊔ hasParent(Bill,x1) ∃ Person(x1) (¬Person ⊔ ∃hasParent.Person)(x1) ¬Person(x1) ∃hasParent.Person(x1) ⊔ Person Person σ(Βill) = {Person, ∃hasParent.Person ∃hasParent.Person ¬Person ⊔ ∃hasParent.Person, ∃hasParent.Person} hasParent σ(x1) = { Person, ¬Person ⊔ ∃hasParent.Person, hasParent ∃hasParent.Person} σ(x1) ⊆ σ(Bill), so Bill blocks x1 Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

61. Tableauverfahren (DL) mit Blocking 61 • Die Auswahl von (∃R.C)(a) im Tableauzweig A ist blockiert, falls es bereits ein Individuum b gibt, so dass {C | C(a) ∈ A} ⊆ {C | C(b) ∈ A} ist. • Zwei Möglichkeiten der Terminierung: 1. Abschluss des Tableaus. Dann Wissensbasis unerfüllbar. 2. Keine ungeblockte Auswahl führt zu einer weiteren Erweiterung des Tableaus. Dann Wissensbasis erfüllbar. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

62. 3. Wissensrepräsentation und Logik 3.3 Beschreibungslogiken 62 3.3 Beschreibungslogiken 3.3.1 Motivation 3.3.2 Beschreibungslogiken Überblick 3.3.3 ALC - Syntax und Semantik 3.3.4 Inferenz und Reasoning 3.3.5 Tableau-Verfahren Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

63. Semantic Web Technologien Vorlesungsinhalt 63 3. Wissensrepräsentation und Logik Die Sprachen des Semantic Web - Teil 2 3.1. Exkurs: Ontologien in Philosophie und Informatik 3.2. Wiederholung: Aussagenlogik und Prädikatenlogik 3.3. Beschreibungslogiken (Description Logics) 3.4. RDF(S)-Semantik 3.5. OWL und OWL-Semantik 3.6. OWL 2 und Regeln Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

64. die nächste Vorlesung.... 64 t i k a n S m ) e S l e DF( a m r R r ü o f F Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Rembrandt van Rijn, Die Anatomie des Dr. Tulp, 1632 Donnerstag, 15. Dezember 11

65. 3. Wissensrepräsentation und Logik 3.3 Beschreibungslogiken 65 • P. Hitzler, S. Roschke, Y. Sure: Semantic Web Grundlagen, Springer, 2007. » F. Baader, D. McGuinness, D. Nardi, P. Patel-Schneider (eds.) The Description Logic Handbook - Theory, Implementation, and Application, 2nd ed. (2010). (siehe online-Materialien) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

66. 3. Wissensrepräsentation und Logik 3.3 Beschreibungslogiken 66 Materialien □Blog http://wwwsoup2011.blogspot.com/ □Webseite http://www.hpi.uni-potsdam.de/studium/lehrangebot/veranstaltung/ semantic_web_technologien.html □bibsonomy - Bookmarks http://www.bibsonomy.org/user/lysander07/swt1112_06 Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam Donnerstag, 15. Dezember 11

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