Υπόβαθρο και εικόνα θεωρήματος

1. Γραμμική ΄Αλγεβρα
Θεμελιώδεις Θεώρημα (μέρος 1ο)
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
15 Δεκεμβρίου 2013

2. Βάση του αριστερού μηδενόχωρου
Θεώρημα
Βάση του αριστερού μηδενόχωρου του A είναι οι γραμμές του
L−1 που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του U.

3. Βάση του αριστερού μηδενόχωρου
Θεώρημα
Βάση του αριστερού μηδενόχωρου του A είναι οι γραμμές του
L−1 που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του U.
Απόδειξη.
A = LU ⇒ L−1 A = U

4. Βάση του αριστερού μηδενόχωρου
Θεώρημα
Βάση του αριστερού μηδενόχωρου του A είναι οι γραμμές του
L−1 που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του U.
Απόδειξη.
A = LU ⇒ L−1 A = U

5. Σύνοψη - Βάσεις θεμελιωδών υποχώρων
1
Χώρος γραμμών - Οι γραμμές του A ή του U που φέρουν
οδηγό.

6. Σύνοψη - Βάσεις θεμελιωδών υποχώρων
1
2
Χώρος γραμμών - Οι γραμμές του A ή του U που φέρουν
οδηγό.
Χώρος στηλών - Οι στήλες του A που αντιστοιχούν στις
στήλες του U που φέρουν οδηγό.

7. Σύνοψη - Βάσεις θεμελιωδών υποχώρων
1
2
3
Χώρος γραμμών - Οι γραμμές του A ή του U που φέρουν
οδηγό.
Χώρος στηλών - Οι στήλες του A που αντιστοιχούν στις
στήλες του U που φέρουν οδηγό.
Μηδενόχωρος - ΄Ενα σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων λύσεων
του ομογενούς (δες αλγόριθμο).

8. Σύνοψη - Βάσεις θεμελιωδών υποχώρων
1
2
3
4
Χώρος γραμμών - Οι γραμμές του A ή του U που φέρουν
οδηγό.
Χώρος στηλών - Οι στήλες του A που αντιστοιχούν στις
στήλες του U που φέρουν οδηγό.
Μηδενόχωρος - ΄Ενα σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων λύσεων
του ομογενούς (δες αλγόριθμο).
Αριστερός Μηδενόχωρος - οι γραμμές του L−1 που
αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του U.

9. Συμπληρωματικότητα Χώρων
Θεώρημα
Το άθροισμα της διάστασης του χώρου γραμμών και του
μηδενόχωρου ισούται με n.
Απόδειξη.

10. Συμπληρωματικότητα Χώρων
Θεώρημα
Το άθροισμα της διάστασης του χώρου γραμμών και του
μηδενόχωρου ισούται με n.
Απόδειξη.
Θεώρημα
Το άθροισμα της διάστασης του χώρου στηλών και του
αριστερού μηδενόχωρου ισούται με m.

11. Συμπληρωματικότητα Χώρων
Θεώρημα
Το άθροισμα της διάστασης του χώρου γραμμών και του
μηδενόχωρου ισούται με n.
Απόδειξη.
Θεώρημα
Το άθροισμα της διάστασης του χώρου στηλών και του
αριστερού μηδενόχωρου ισούται με m.
Απόδειξη.
Ανέστρεψε τον πίνακα και επανέλαβε την προηγούμενη
απόδειξη.

12. Θεμελιώδες Θεώρημα Γραμμικής ΄Αλγεβρας

13. ΄Υπαρξη Αντιστρόφων
Ορισμός
Ο B είναι αριστερός αντίστροφος του A ανν BA = I

14. ΄Υπαρξη Αντιστρόφων
Ορισμός
Ο B είναι αριστερός αντίστροφος του A ανν BA = I
Ο C είναι δεξιός αντίστροφος του A ανν AC = I

15. ΄Υπαρξη Αντιστρόφων
Ορισμός
Ο B είναι αριστερός αντίστροφος του A ανν BA = I
Ο C είναι δεξιός αντίστροφος του A ανν AC = I
Εάν n = m = r τότε ο αριστερός αντίστροφος ταυτίζεται με τον
δεξιό και είναι μοναδικός.

16. Τύποι Αντιστρόφων
B = AT A
−1
AT

17. Τύποι Αντιστρόφων
B = AT A
−1
C = AT AAT
AT
−1

18. Τύποι Αντιστρόφων
B = AT A
−1
C = AT AAT
AT
−1
Γιατί (και πότε) αντιστρέφονται οι AT A AAT ;

19. ΄Υπαρξη Λύσης

20. ΄Υπαρξη Λύσης
Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν οι στήλες
του A παράγουν τον Rm

21. ΄Υπαρξη Λύσης
Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν οι στήλες
του A παράγουν τον Rm
Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν r = m
(και m ≤ n)

22. ΄Υπαρξη Λύσης
Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν οι στήλες
του A παράγουν τον Rm
Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν r = m
(και m ≤ n)
Εάν r = m (και m ≤ n) τότε υπάρχει δεξιός αντίστροφος του A

23. ΄Υπαρξη Λύσης
Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν οι στήλες
του A παράγουν τον Rm
Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν r = m
(και m ≤ n)
Εάν r = m (και m ≤ n) τότε υπάρχει δεξιός αντίστροφος του A

24. Μοναδικότητα Λύσης

25. Μοναδικότητα Λύσης
Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οι στήλες του
A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

26. Μοναδικότητα Λύσης
Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οι στήλες του
A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν r = n (και
n ≤ m)

27. Μοναδικότητα Λύσης
Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οι στήλες του
A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν r = n (και
n ≤ m)
Εάν r = n (και n ≤ m) τότε υπάρχει αριστερός αντίστροφος του
A

28. Μοναδικότητα Λύσης
Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οι στήλες του
A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν r = n (και
n ≤ m)
Εάν r = n (και n ≤ m) τότε υπάρχει αριστερός αντίστροφος του
A

29. ΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης

30. ΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης
Μια πιθανή λύση του Ax = b είναι η x = Cb

31. ΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης
Μια πιθανή λύση του Ax = b είναι η x = Cb μια και
Ax = ACb = b,

32. ΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης
Μια πιθανή λύση του Ax = b είναι η x = Cb μια και
Ax = ACb = b, μπορεί όμως να υπάρχουν και άλλες λύσεις
(C ).

33. ΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης
Μια πιθανή λύση του Ax = b είναι η x = Cb μια και
Ax = ACb = b, μπορεί όμως να υπάρχουν και άλλες λύσεις
(C ).
Αν το Ax = b έχει λύση τότε αυτή θα είναι της μορφής
x = BAx = Bb .

34. Παράδειγμα
A=
4 0 0
0 5 0

35. Παράδειγμα
A=
4 0 0
0 5 0
m = 2, n = 3, r = 2

36. Πίνακες τάξης 1


2
1
1
 4
2
2 

A=
 8
4
4 
−2 −1 −1

37. Πίνακες τάξης 1


 
2
1
1
1
 4
 2
2
2 
 =  2 1 1
A=
 8
 4
4
4 
−2 −1 −1
−1

38. Πίνακες τάξης 1


 
2
1
1
1
 4
 2
2
2 
 =  2 1 1
A=
 8
 4
4
4 
−2 −1 −1
−1
Κάθε πίνακας A τάξης 1 μπορεί να γραφθεί στην μορφή A = uv T