Ce diaporama a bien été signalé.
Nous utilisons votre profil LinkedIn et vos données d’activité pour vous proposer des publicités personnalisées et pertinentes. Vous pouvez changer vos préférences de publicités à tout moment.

μαθήματα 1 έως το 13 στον διαφορικό λογισμό νέο 13

lisari.blogspot.com

  • Identifiez-vous pour voir les commentaires

μαθήματα 1 έως το 13 στον διαφορικό λογισμό νέο 13

  1. 1. Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com mac190604@ 190604@gmail.com 12 + 1 Βήµατα στο ∆ιαφορικό Λογισµό Κεφάλαιο 2ο - Γ΄ Λυκείου Κατεύθυνσης (Τελευταία ενηµέρωση: 9/3/12)• 12 + 1 Μαθήµατα• 34 Ερωτήσει̋ θεωρία̋• 176 Άλυτε̋ ασκήσει̋• Μεθοδολογία ασκήσεων• Κατηγορίε̋ ασκήσεων Athens 2011 – 12
  2. 2. Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com Γ΄ Λυκείου …αφιερωµένο στου̋ µαθητέ̋ που κοπιάζουν Κεφάλαιο 2ο | ∆ιαφορικός Λογισµός 2
  3. 3. Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com Γ΄ Λυκείου Ερωτήσεις - Ασκήσεις – Μεθοδολογία – Παρατηρήσεις Κεφάλαιο 2ο – ∆ιαφορικός Λογισµός Μάθηµα 1ο – Ορισµός παραγώγου σε σηµείοΕρώτηση 1η «Παράγωγο̋ σε σηµείο»α) Έστω µια συνάρτηση f και x 0 σηµείο του πεδίου ορισµού τη̋. Πότε θα λέµε ότι η f λέγεται παραγωγίσιµη στοx 0 ; Έχει νόηµα το x 0 να µην ανήκει στο πεδίο ορισµού τη̋ συνάρτηση̋; Τι ονοµάζουµε λόγο µεταβολή̋;β) Πότε θα λέµε ότι η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιµη στο x 0 ; (3 περιπτώσει̋)γ) Πω̋ συµβολίζουµε την παράγωγο τη̋ f στο x 0 ;δ) ∆ώστε ισοδύναµε̋ εκφράσει̋ και τύπου̋ για την παράγωγο τη̋ f στο x 0 .Άσκηση 1η  2 2 x ηµ , x≠0∆ίνεται η f (x) =   x εξετάστε αν η f είναι παραγωγίσιµη στο χ0=0 .  0  , x=0Άσκηση 2η  1∆ίνεται η f (x) = g(x)ηµ x , x ≠ 0 και g΄(0) = g(0) = 0 . Να δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο x0 = 0    0 , x=0Άσκηση 3η , x ≤ x0Αν f παραγωγίσιµη στο x0, δείξτε ότι η g (x) =  f (x)  είναι παραγωγίσιµη στο x0.  f (x 0 ).(x − x 0 ) + f (x 0 ) , x > x 0Άσκηση 4ηΈστω f :R → R για την οποία ισχύει x – x2 ≤ f(x) ≤ x + x2 για κάθε x ∈ R . ∆είξτε ότι η f(x) είναια) συνεχή̋ στο x0 = 0 και β) παραγωγίσιµη στο x0 = 0 .Άσκηση 5ηΑν για κάθε x πραγµατικό αριθµό ισχύει: f 2 ( x ) + g 2 ( x ) = x 6 + 2x 3 + 1, (1) µε f, g παραγωγίσιµε̋ στο x0= - 1 , να α) f ( −1) = g ( −1) = 0  f ′ ( −1)  +  g ′ ( −1)  = 9 2 2δείξτε ότι: β)    Άσκηση 6ηΈστω f, g συναρτήσει̋ ορισµένε̋ στο R και παραγωγίσιµε̋ στο σηµείο x 0 =0. Αν για κάθε x∈R ισχύειf(x) ≤ g(x) και f(0) = g(0), να αποδείξετε ότι f ( x ) − f ( 0) g ( x ) − g ( 0) f ( x ) − f ( 0) g ( x ) − g ( 0)α) ≤ για x > 0 β) ≥ για x < 0 και γ) x−0 x−0 x−0 x−0f ′ ( 0 ) = g′ ( 0 )Άσκηση 7ηΝα αποδείξετε ότι, αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο x 0 , τότε: Κεφάλαιο 2ο | ∆ιαφορικός Λογισµός 3
  4. 4. Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com Γ΄ Λυκείου f ( x0 + h ) − f ( x0 ) f ( x0 − h ) − f ( x0 )α) lim = f ′( x0 ) β) lim = −f ′ ( x 0 ) h →0 h h →0 h f ( x0 + h ) − f ( x0 − h )γ) lim = 2f ′ ( x 0 ) h →0 hΕρώτηση 2η «Παράγωγο̋ και συνέχεια»α) Να δείξετε ότι αν η f είναι παραγωγίσιµη στο x 0 τότε είναι και συνεχή̋ στο x 0β) Να δείξετε ότι το αντίστροφο δεν ισχύει µέσω του παραδείγµατο̋ f ( x ) = x , x 0 = 0 . Πω̋ ονοµάζεται τοσηµείο αυτό ; (έννοια εκτό̋ βιβλίου)γ) Να δείξετε ότι αν η f δεν είναι συνεχή̋ στο x 0 τότε η f δεν είναι και παραγωγίσιµη στο x 0 .δ) Σωστό ή Λάθο̋; Αν η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο x 0 τότε δεν είναι και συνεχή̋ στο x 0Άσκηση 8η x 2 + x + 1 , x < 0∆ίνεται συνάρτηση f ( x ) =  τότε να αποδείξετε ότι: x + x + 1 , x ≥ 0 3α) Η f είναι συνεχή̋ στο x 0 = 0 και β) Η f είναι παραγωγίσιµη στο x 0 = 0Άσκηση 9η  συνx − 1  ,x < 0Εξετάστε αν η συνάρτηση f ( x ) =   x2 είναι συνεχή̋ και παραγωγίσιµη στο x 0 = 0 ηµx + 1 e x ,x ≥ 0   2Άσκηση 10η  ηµx , x < π∆ίνεται η συνάρτηση f ( x ) =  µε α, β πραγµατικού̋ αριθµού̋. Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο α x + β , x ≥ πx 0 = π , βρείτε τα α, β.Στη συνέχεια σχεδιάστε την γραφική παράσταση τη̋ συνάρτηση̋ f και µέσω του σχήµατο̋ βρείτε το σύνολοτιµών και εξετάστε αν ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση τη̋ f.Άσκηση 11η  f (x) − 2x Αν f είναι συνεχή̋ στο x0 = 0 και lim   = 4 τότε να αποδείξετε ότι: x →0  x2  f ( x ) − 2ηµx f ( ηµx )α) f(0) = 0 β) f ′ ( 0 ) = 2 γ) lim =0 δ) lim x →0 ηµx x→0 xΆσκηση 12ηΈστω η συνεχή̋ συνάρτηση f : R → R η οποία για κάθε x ∈ R ικανοποιεί τη σχέση:2x ⋅ ηµx ≤ xf ( x ) ≤ ηµ 2 x + x 2Να αποδείξετε ότι:α) Η γραφική παράσταση τη̋ συνάρτηση̋ f διέρχεται από την αρχή των αξόνων.β) f ′ ( 0) = 2 Κεφάλαιο 2ο | ∆ιαφορικός Λογισµός 4
  5. 5. Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com Γ΄ ΛυκείουΕρώτηση 3η «Εξίσωση εφαπτοµένη̋ τη̋ C f » (α) Τι ονοµάζουµε κλίση ή συντελεστή διεύθυνση̋ τη̋ C f στο σηµείο x 0 ,f ( x 0 ) ; )β) Έστω µια συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιµη σ’ ένα σηµείο x 0 ποια είναι η εξίσωση τη̋ εφαπτοµένη̋τη̋ γραφική̋ παράσταση̋ τη̋ συνάρτηση̋ f (για συντοµογραφία γράφουµε C f ) στο σηµείο αυτό;Άσκηση 13ηΣυµπληρώστε την τρίτη στήλη µε σχήµα και συνθήκη είναι παράλληλη στον άξονα x’x είναι παράλληλη στην ευθεία ( ε ) : y = λx + β Η εφαπτοµένη είναι κάθετη στην ευθεία τη̋ Cf ( ε ) : y = λx + β στο σηµείο x 0 σχηµατίζει µε τον άξονα x’ x γωνία ω διέρχεται από το σηµείο (α, β) είναι η ( ε ) : y = αx + β στο σηµείο Οι Cf , Cg Α(x0, f(x0)) τέµνονται (µπορεί να είναι και περισσότερα τα σηµεία τοµή̋) Οι σε διαφορετικά Cf , Cg σηµεία τοµή̋ έχουν A ( x1 , f ( x1 ) ) , B ( x 2 , g ( x 2 ) )κοινή εφαπτοµένη αντίστοιχα Οι εφαπτόµενε̋ που Cf ,Cg τέµνονται κάθετα στο κοινό του̋ σηµείο έχουν κοινή εφαπτοµένη Κεφάλαιο 2ο | ∆ιαφορικός Λογισµός 5
  6. 6. Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com Γ΄ ΛυκείουΆσκηση 14ηΗ συνάρτηση g είναι συνεχή̋ στο 1, η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο 1 και ισχύει f (x) = | x − 1| ⋅g(x), x ∈ R ,α) Να βρεθεί η τιµή g ( 1) και η παράγωγο̋ τη̋ f στο x0 = 1.β) Γράψτε την εξίσωση τη̋ εφαπτόµενη̋ τη̋ γραφική̋ παράσταση̋ τη̋ ƒ στο σηµείο µε τετµηµένη 1Άσκηση 15η f (x) + x 2Έστω f(x) συνεχή̋ στο x 0 = 2 και lim = 3 , τότε, x →2 x−2α) Υπολογίστε το f (2)β) Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο x 0 = 2γ) Να γράψετε την εξίσωση τη̋ εφαπτοµένη̋ (ε) τη̋ γραφική̋ παράσταση̋ τη̋ συνάρτηση̋ f στο x 0 = 2δ) Βρείτε την γωνία που σχηµατίζει η ευθεία (ε) του προηγούµενου ερωτήµατο̋ µε τον άξονα x’ x. Όλε̋ οι ασκήσει̋ του σχολικού βιβλίου στην εξίσωση εφαπτοµένη̋1. α) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν σηµεία τη̋ παραβολή̋ y = x 2 στα οποία οι εφαπτόµενε̋ τη̋ γραφική̋παράσταση̋ να είναι µεταξύ του̋ παράλληλε̋.β) Ισχύει το ίδιο για τη γραφική παράσταση τη̋ συνάρτηση̋ f ( x ) = x 3 ;2. Έστω η συνάρτηση f ( x ) = x και το σηµείο Α(ξ , f (ξ)) , ξ ≠ 0 τη̋ γραφική̋ παράσταση̋ τη̋ f. Νααποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία Α(ξ , f(ξ)) και Β(–ξ , 0) εφάπτεται τη̋ Cf στο Α.3. Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη τη̋ γραφική̋ παράσταση̋ τη̋ f ( x ) = x 3 σε οποιοδήποτε σηµείο τη̋ Μ( α , α 3) ,α ≠ 0 έχει µε αυτήν και άλλο κοινό σηµείο Ν εκτό̋ του Μ. Στο σηµείο Ν η κλίση τη̋ Cf είναιτετραπλάσια τη̋ κλίση̋ τη̋ στο Μ.4. Έστω ε η εφαπτοµένη τη̋ γραφική̋ παράσταση̋ τη̋ συνάρτηση̋ f ( x ) = 1 x ξ ( ) σε ένα σηµείο τη̋ Μ ξ, 1 . ΑνΑ, Β είναι τα σηµεία στα οποία η ε τέµνει του̋ άξονε̋ x ′x και y ′y αντιστοίχω̋, να αποδείξετε ότιi) To M είναι µέσο του ΑΒii) Το εµβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι σταθερό, δηλαδή ανεξάρτητο του ξ ∈ R ∗5. Να βρείτε τα σηµεία των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων, στα οποία οι εφαπτόµενε̋του̋ είναι παράλληλε̋ στον άξονα των x. 4 x x2 + 1α) f(x) = x + β) f ( x ) = γ) f ( x ) = x ex x6. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόµενε̋ των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f ( x ) = x 2 και 1 1g(x) = + στο κοινό σηµείο του̋ Α(1, 1), είναι κάθετε̋. 2x 2 αx + α7. ∆ίνεται η συνάρτηση f ( x ) = ∗ , α ∈ R . Να βρείτε τι̋ τιµέ̋ του α , για τι̋ οποίε̋ η κλίση τη̋ Cf στο x+ασηµείο τη̋ Α(0, 1) είναι ίση µε 1. 2 Κεφάλαιο 2ο | ∆ιαφορικός Λογισµός 6
  7. 7. Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com Γ΄ Λυκείου8. Να βρείτε τα σηµεία τη̋ γραφική̋ παράσταση̋ τη̋ συνάρτηση̋ f ( x ) = x 3 − 3x + 5 στα οποία η εφαπτοµένηείναι :i) Παράλληλη προ̋ την ευθεία y = 9x + 1ii) Κάθετη προ̋ την ευθεία y = – x9. Να βρείτε την εξίσωση τη̋ εφαπτοµένη̋ τη̋ γραφική̋ παράσταση̋ τη̋ συνάρτηση̋ f ( x ) = x 2 η οποία άγεταιαπό το σηµείο Α(0, –1).10. ∆ίνεται η συνάρτηση f ( x ) = αx 2 + βx + γ , µε α ,β, γ ∈ R . Να βρείτε τι̋ τιµέ̋ των α, β, γ για τι̋ οποίε̋ ηCf διέρχεται από το σηµείο Α(1, 2) και εφάπτεται τη̋ ευθεία̋ y = x στην αρχή των αξόνων. 111. Να αποδείξετε ότι οι γραφικέ̋ παραστάσει̋ των συναρτήσεων f ( x ) = και g(x) = x 2 − x + 1 έχουν ένα xµόνο κοινό σηµείο , στο οποίο οι εφαπτόµενέ̋ του̋ είναι κάθετε̋ .12. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y = 3x – 2 έχει , µε τη γραφική παράσταση τη̋ f ( x ) = x 3 δύο κοινά σηµεία καιεφάπτεται αυτή̋ σε ένα από τα σηµεία αυτά . 113. ∆ίνονται οι συναρτήσει̋ f ( x ) = αx 2 + βx + 2 και g ( x ) = . Να βρείτε τα α , β ∈ R , για τα οποία οι xγραφικέ̋ παραστάσει̋ του̋ έχουν κοινή εφαπτοµένη στο σηµείο µε τετµηµένη x 0 = 1.14. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει πολυώνυµο f δεύτερου βαθµού, του οποίου η γραφική παράσταση ναεφάπτεται των ευθειών y = x + 1 και y = 3x – 1 στα σηµεία Α(0, 1) και Β (1, 2) αντιστοίχω̋.15. Να βρείτε τα σηµεία τη̋ γραφική̋ παράσταση̋ τη̋ συνάρτηση̋ f ( x ) = ηµ 2x − 2ηµ 2 x , x ∈ [0, 2π] , σταοποία η εφαπτοµένη τη̋ είναι παράλληλη στον άξονα των x.16. Έστω f µια παραγωγίσιµη συνάρτηση στο R , για την οποία ισχύει f ′ (1) = 1 και g η συνάρτηση που ( )ορίζεται από την ισότητα g ( x ) = f x 2 + x + 1 − 1, x ∈ R . Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη τη̋ Cf στοσηµείο A (1 , f (1 ) ) εφάπτεται τη̋ Cg στο Β (0, g(0)) .17. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο διάστηµα (–1, 1), για την οποία ισχύει  π π f ( ηµx ) = e x ⋅ συνx (ηµx) για κάθε x ∈  − ,   2 2i) Να βρείτε την f ′ ( 0 )ii) Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη τη̋ Cf στο σηµείο A ( 0 , f ( 0 ) ) σχηµατίζει µε του̋ άξονε̋ ισοσκελέ̋τρίγωνο. Κεφάλαιο 2ο | ∆ιαφορικός Λογισµός 7
  8. 8. Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com Γ΄ Λυκείου Μάθηµα 2ο – Παραγωγίσιµες συναρτήσειςΕρώτηση 4η «Παράγωγο̋ σε διάστηµα»α) Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα ∆;β) Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη σε ένα ανοικτό διάστηµα (α, β);γ) Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β];Ερώτηση 5η « Παράγωγο̋, πρώτη, δεύτερη, ν – οστή»α) Τι ονοµάζουµε πρώτη παράγωγο̋ τη̋ συνάρτηση̋ f; Ορίστε και εξηγήστε τι σχέση που έχει µε το πεδίο ορισµούτη̋ συνάρτηση̋ f;β) Πω̋ ορίζουµε και συµβολίζουµε τη δεύτερη, τρίτη και ν – οστή παράγωγο̋ τη̋ συνάρτηση̋ f ;Ερώτηση 6η «Παράγωγο̋ βασικών συναρτήσεων»α) Συµπληρώστε τον πίνακα Συνάρτηση Πρώτη παράγωγο̋ Τύπο̋ Πεδίο ορισµού Τύπο̋ Πεδίο ορισµού c x x v , v ∈ N, v > 1 x ηµx συνx ex ln xβ) Να αποδείξετε τι̋ πρώτε̋ έξι περιπτώσει̋.Άσκηση 16ηΝα παραγωγίσετε κατάλληλα τι̋ παρακάτω συναρτήσει̋ και να συµπληρώσετε τα αποτελέσµατα στα κενά,  3π ′ 0 ′( 5)′ = ................. ( ln 2)′ = ...................... ( )  ηµ  = ...................... συν1 = ...................  4 ( x )′ = ........................ ( x )′ = ......................... 2 11Βασική Άσκηση 17η ex − 1α) Να αποδείξετε ότι: lim = 1 (χωρί̋ τον κανόνα του De l’ Hospital) x →0 x e 2x − 1γ) Να αποδείξετε ότι: lim = 2 (χωρί̋ τον κανόνα του De l’ Hospital) x →0 x ln xβ) Να αποδείξετε ότι: lim = 1 (χωρί̋ τον κανόνα του De l’ Hospital) x →1 x − 1 Κεφάλαιο 2ο | ∆ιαφορικός Λογισµός 8
  9. 9. Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com Γ΄ ΛυκείουΆσκηση 18ηΝα ορίσετε την παράγωγο τη̋ f όπου υπάρχει, στι̋ παρακάτω περιπτώσει̋:  x3 , x < 0  ex , x ≤ 0  ex , x ≤ 0α) f (x) =  β) f (x) =  γ) f (x) =  ηµx , x ≥ 0 ln x , x > 0 ln x , x ≥ 1Άσκηση 19ηΈστω συνάρτηση f µια πολυωνυµική συνάρτηση ν – οστού βαθµού ( ν > 2). Βρείτε τον βαθµό των πολυωνυµικών ( v) ( v+1)συναρτήσεων f ′,f ′′,f ,fΆσκηση 20ηΒρείτε την ν – οστή παράγωγο̋ των συναρτήσεων , f ( x ) = e x , g ( x ) = ηµx και h ( x ) = συνxΆσκηση 21η x 2 ,x <1∆ίνεται η συνάρτηση f ( x ) =  3 βρείτε την δεύτερη παράγωγο τη̋ συνάρτηση f όπου ορίζεται. x ,x ≥1 Κεφάλαιο 2ο | ∆ιαφορικός Λογισµός 9
  10. 10. Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com Γ΄ Λυκείου Μάθηµα 3ο – Κανόνες παραγώγισειςΕρώτηση 7η «Κανόνε̋ παραγώγισει̋»α) Να συµπληρώσετε τον πίνακα αν οι συναρτήσει̋ f, g είναι παραγωγίσιµε̋ συναρτήσει̋ στο πεδίο ορισµού του̋ Συνάρτηση Πρώτη παράγωγο̋ Τύπο̋ Πεδίο ορισµού Τύπο̋ Πεδίο ορισµού f+g f–g λ⋅f f ⋅g f g x v , v ∈ Z − {0,1} εϕx σϕxβ) Να αποδείξετε τι̋ περιπτώσει̋ 1, 6, 7, 8 από τον προηγούµενο πίνακαΕρώτηση 8η «Παράγωγο̋ σύνθετη̋ συνάρτηση̋»α) Πω̋ βρίσκουµε την παράγωγο τη̋ σύνθεση̋ f o g δύο συναρτήσεων f και g ; Ποιο̋ είναι ο κανόνα̋ τη̋αλυσίδα̋;β) Συµπληρώστε τον παρακάτω πίνακα, όπου h είναι µια παραγωγίσιµη συνάρτηση Συνάρτηση Πρώτη παράγωγο̋ Να γραφτεί ω̋ σύνθεση Τύπο̋ σύνθεση̋ Τύπο̋ δύο συναρτήσεων h (x) v h(x) ηµh ( x ) συνh ( x ) h( x ) e ln h ( x ) εϕh ( x ) Κεφάλαιο 2ο | ∆ιαφορικός Λογισµός 10
  11. 11. Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com Γ΄ Λυκείου σϕh ( x ) xα , α ∈ R − Z αx , α > 0 ln xβ) Να αποδείξετε τι̋ τρει̋ τελευταίε̋ περιπτώσει̋ του πίνακα.Άσκηση 22η(A) Βρείτε την παράγωγο ξεχωριστά των παρακάτω συναρτήσεων σε διαστήµατα που ορίζονται,( 2x − 3) 5 ( ) , e x + 1, ηµ x 2 + x , συν ( − x + 3) ,e2x ,ln ( ηµx ) , εϕ ( σϕx ) , ηµ n x, συν n x ,όπου n φυσικό̋αριθµό̋ (n >1)(B) Βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων για παραγωγίσιµε̋ συναρτήσει̋ και σε διαστήµατα πουορίζονται, ( )f ( ln x ) , g ( 2x + 3) , f x 2 + x + 1 , f ( − x )Άσκηση 23ηΑν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R, να αποδείξετε ότι:α) Αν η f είναι άρτια συνάρτηση τότε η f ′ είναι περιττήβ) Αν η f είναι περιττή συνάρτηση τότε η f ′ είναι άρτιαγ) Αν η f είναι περιοδική συνάρτηση µε περίοδο Τ > 0, τότε και η f ′ είναι περιοδική συνάρτηση µε περίοδο Τ.Άσκηση 24ηΠαραγωγίστε τι̋ συναρτήσει̋ ( ηµf ( x ) ) και ( συνf ( x ) ) v v ,όπου f παραγωγίσιµη συνάρτηση στο R.Άσκηση 25ηΝα βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων όπου ορίζονται,α) m ( x ) = β) f ( x ) = γ) g ( x ) = x x , x > 0 δ) h ( x ) = ( ln x ) , x > 1 ε) k ( x ) = 25x −3 5 3 x x3 x2Άσκηση 26ηΈστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο ℝ για την οποία ισχύει: f (ln x) = x ⋅ ln x − x , για κάθε x > 0α) Να βρείτε το f (0) και f (1)β) Να δείξετε ότι: f ′ ( 0 ) = 0 και f ′ (1) = eγ) Να βρείτε την εξίσωση τη̋ εφαπτοµένη̋ τη̋ Cf στα σηµεία µε τετµηµένη 0 και 1.δ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου το οποίο σχηµατίζεται από την εφαπτοµένη τη̋ C f στο x 0 = 1 καιτου̋ άξονε̋ x x και y y .Άσκηση 27η∆ίνεται η συνάρτηση f ( x ) = συν 2 x, x ∈ Rα) Να βρείτε την δεύτερη παράγωγο τη̋ συνάρτηση̋ f.β) Να αποδείξετε ότι: f ′′ ( x ) + 4f ( x ) = 2Άσκηση 28η∆ίνεται η συνάρτηση f ( x ) = e λx , x ∈ R όπου λ ένα̋ µη µηδενικό̋ πραγµατικό̋ αριθµό̋.α) Βρείτε την πρώτη, δεύτερη και τρίτη παράγωγο τη̋ f Κεφάλαιο 2ο | ∆ιαφορικός Λογισµός 11
  12. 12. Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com Γ΄ Λυκείουβ) Βρείτε την ν – οστή (ν > 3) παράγωγο τη̋ συνάρτηση̋ fΆσκηση 29η ( ) 2∆ίνεται η συνάρτηση f : R → R µε τύπο f ( x ) = x + 1 + x 2 ,για κάθε x ∈ R 2α) Να αποδείξετε ότι f ′ ( x ) = ⋅ f ( x ) ,για κάθε x ∈ R 1 + x2β) Να βρείτε την δεύτερη παράγωγο̋ τη̋ f συναρτήσει τη̋ f. ( )γ) Να αποδείξετε ότι 1 + x 2 ⋅ f ′′ ( x ) + x ⋅ f ′ ( x ) = 4f ( x ) ,για κάθε x ∈ RΆσκηση 30η x 2 + x + 1 , x < 0∆ίνεται η συνάρτηση f ( x ) =  , βρείτε την παράγωγο τη̋ f x + x + 1 , x ≥ 0 3α) Στο διάστηµα ( −∞,0 ) β) Στο διάστηµα ( 0, +∞ )γ) Στο x 0 = 0 δ) Ορίστε την συνάρτηση f ′Άσκηση 31η  2 2  x ηµ , x≠0∆ίνεται η συνάρτηση f (x) =  x  0  , x=0Βρείτε την παράγωγο τη̋ συνάρτηση̋ f για κάθε x πραγµατικό αριθµό.Άσκηση 32η  συνx − 1  ,x < 0∆ίνεται η συνάρτηση f ( x ) =   x2 βρείτε την παράγωγο τη̋ συνάρτηση f όπου ορίζεται. ηµx + 1 e x ,x ≥ 0   2Άσκηση 33ηΈστω η συνάρτηση f ( x ) = x ⋅ ηµx, x ≥ 0α) Να βρείτε την παράγωγο τη̋ συνάρτηση̋ f στο διάστηµα ( 0, +∞ )β) Να βρείτε την παράγωγο τη̋ συνάρτηση̋ f στο διάστηµα [ 0, +∞ )γ) Ορίστε την συνάρτηση f ′ και εξετάστε αν είναι συνεχή̋ στο διάστηµα [ 0, +∞ ) Κεφάλαιο 2ο | ∆ιαφορικός Λογισµός 12
  13. 13. Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com Γ΄ Λυκείου Μάθηµα 4ο –Ρυθµός µεταβολήςΕρώτηση 9η «Ορισµό̋»α) Έστω δύο µεταβλητά µεγέθη x, y τα οποία συνδέονται µε τη σχέση y = f ( x ) . Τι λέγεται ρυθµό̋ µεταβολή̋του y ω̋ προ̋ x, όταν x = x 0 ;β) Το πρόσηµο του f ′ ( x 0 ) τι µα̋ καθορίζει για το µέγεθο̋; Πότε αυξάνεται, µειώνεται ή µένει σταθερό;γ) Σωστό ή Λάθο̋; Ο ρυθµό̋ µεταβολή̋ f ′ ( x 0 ) παριστάνει την ταχύτητα µε την οποία αυξάνεται ή µειώνεται τοµέγεθο̋ f (x), όταν x = x 0Βασική Άσκηση 34ηΓράψτε του̋ βασικού̋ τύπου̋ Μαθηµατική έννοια Τύπο̋ - σχέση Εµβαδόν σφαίρα̋ Όγκο̋ σφαίρα̋ Όγκο̋ κυλίνδρου Όγκο̋ κώνου Ρυθµό̋ µεταβολή̋ διαστήµατο̋ ω̋ προ̋ τον χρόνο t τη χρονική στιγµή t0 Ρυθµό̋ µεταβολή̋ ταχύτητα̋ ω̋ προ̋ τον χρόνο t τη χρονική στιγµή t0 Οριακό κόστο̋ στο x0 Οριακή είσπραξη στο x0 Οριακό κέρδο̋ στο x0 Όταν ένα σώµα κινείται ευθύγραµµα και οµαλά µε ταχύτητα U, τότε σε χρόνο t διανύει διάστηµα sΆσκηση 35η∆ίνεται η ορθή γωνία xOy και το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ µήκου̋ 10m του οποίου τα άκρα Α και Β ολισθαίνουνπάνω στι̋ πλευρέ̋ Oy ,Ox αντίστοιχα . Το σηµείο Β κινείται µε σταθερή ταχύτητα U=2m/sec και η θέση του πάνωστον άξονα Οx δίνεται από τη συνάρτηση s (t) = U (t) ,όπου t ο χρόνο̋ σε sec, 0 < t < 5 . Να βρεθεί:1. Το εµβαδόν E(t) του τριγώνου ΑΟΒ ω̋ συνάρτηση του χρόνου.2. Ο ρυθµό̋ µεταβολή̋ του εµβαδού E(t) τη στιγµή κατά την οποία το µήκο̋ του τµήµατο̋ ΟΑ είναι 6mΣηµείωση: Τον ρυθµό µεταβολή̋ καθώ̋ και τα προβλήµατα που ακολουθούν στι̋ παρακάτω παραγράφου̋ θαπαρουσιαστούν σε ξεχωριστό ένθετο. Επίση̋ µε τι̋ ασκήσει̋ του βιβλίου θεωρούµε ότι είµαστε πλήρει̋ και δενχρειάζονται άλλε̋ ασκήσει̋ εκτό̋ σχολικού βιβλίου. Κεφάλαιο 2ο | ∆ιαφορικός Λογισµός 13
  14. 14. Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com Γ΄ Λυκείου κείου Μάθηµα 5ο – Θεώρηµα του RolleΕρώτηση 10η «Θεώρηµα του Rolle»α) Να διατυπώσετε το θεώρηµα του Rolle και να γράψετε όλα τα ισοδύναµα συµπεράσµατα του θεωρήµατο̋.β) Να δοθεί γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατο̋ Rolle. θεωρήγ) Το αντίστροφο του θεωρήµατο̋ ισχύει; Να δοθεί παράδειγµα και ένα σχήµα που να το αποδεικνύει.Βασικό θέµα 36ηΑν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα ∆, τότε:α) Μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών τη̋ f υπάρχει µια τουλάχιστονρίζα τη̋ f ′β) Μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών τη̋ f ′ υπάρχει µια το πολύρίζα τη̋ f.γ) Ερµηνεύεστε και σχολιάσετε τα παρακάτω σχήµαταΒασικό θέµα 37ηΈστω µια συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιµη στο σRκαι ισχύει f ′ ( x ) ≠ 0 για κάθε x ∈ R . Να δείξετε ότι ησυνάρτηση f είναι «ένα προ̋ ένα» συνάρτηση.Άσκηση 38ηΝα εξεταστεί αν για τι̋ παρακάτω συναρτήσει̋ ισχύουνοι πρὁποθέσει̋ του θεωρήµατο̋ του Rolle. Στι̋ Rolleπεριπτώσει̋ που ισχύει, να υπολογισθούν τα σηµεία στα ιπτώσει̋οποία η εφαπτοµένη τη̋ γραφική̋ παράσταση̋ τη̋συνάρτηση̋ f είναι παράλληλη στον άξονα x’x. a) f (x) = 1 − x 2 x ∈ [-1,1] b) f (x) = x 3 x ∈ [-2,1]  − x + 2, −1 ≤ x ≤ 0c) f (x) = x x ∈ [-2,2] d) f (x) =  , x ∈ [ −1,1]  3x, 0 < x ≤1Άσκηση 39η  x 2 + αx + β x ≤ 0Να βρεθούν οι α, β, γ ∈ R ώστε η συνάρτηση ƒ µε f (x) =  να ισχύουν οι πρὁποθέσει̋ του χύουν  e + γx + 1 x > 0 2xθεωρήµατο̋ του Rolle στο [-1,2] Κεφάλαιο 2ο | ∆ιαφορικός Λογισµός 14
  15. 15. Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com Γ΄ ΛυκείουΆσκηση 40η  f (β) Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f :[α, β] → ℜ µε f ( x ) > 0 , για κάθε x ∈ [ α, β] ώστε: ln  =β−α  f (α ) Να δειχτεί ότι: −xα) Η συνάρτηση g(x) = e f (x) ικανοποιεί τι̋ πρὁποθέσει̋ του Θ. Rolle στο [α, β]β) Υπάρχει x 0 ∈ ( α, β ) ώστε: f (x o ) = f (x o )Άσκηση 41ηΈστω συνεχεί̋ συναρτήσει̋ f, g στο [α, β] και παραγωγίσιµε̋ στο (α, β). Αν g(x) ≠ 0 για κάθε x∈[α, β] και f (β) f (α) f ( γ) f ( γ )g′(x) ≠ 0 για κάθε x ∈ ( α, β ) και ισχύει, = . Να αποδείξετε ότι υπάρχει γ ∈ ( α, β ) ώστε: = g(β) g(α) g ( γ) g( γ )Άσκηση 42ηΈστω συνάρτηση f : [ α, β] → R µε 0 <α < β ,ώστε η ευθεία που ενώνει τα σηµεία Α(α, ƒ(α)) και Β(β, ƒ(β)) τη̋γραφική̋ παράσταση̋ C f να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Να δείξετε ότι: f (α) f (β)α) = α ββ) Αν ƒ δύο φορέ̋ παραγωγίσιµη στο [α, β] µε f (x) ≠ 0 , x ∈ [ α, β ] τότε υπάρχει ακριβώ̋ µια ευθεία ε πουεφάπτεται τη̋ C f και η οποία περνάει από την αρχή των αξόνωνΆσκηση 43ηΈστω οι παραγωγίσιµε̋ συναρτήσει̋ f ,g : R → R µε g(0) = g(1) = 0 . Να δείξετε ότι:a) Για την συνάρτηση h(x) = g(x)e− f (x) ικανοποιούνται οι πρὁποθέσει̋ του Θ. Rolle στο [0, 1]b) Υπάρχει x 0 ∈ ( 0,1) ώστε g (x o ) = g(x o )f (x o )Άσκηση 44ηΈστω οι συναρτήσει̋ f, g οι οποίε̋ είναι συνεχεί̋ στο κλειστό [α, β] και παραγωγίσιµε̋ στο (α, β), ώστε g (x) ≠ 0για κάθε x ∈ (α, β)a) Να δείξετε ότι: g(α ) ≠ g(β)b) Να βρεθεί ο κ ∈ R ώστε η συνάρτηση F(x) = f (x) − kg(x) να ικανοποιεί τι̋ πρὁποθέσει̋ του θεωρήµατο̋Rolle στο [α, β] f (x o ) f (β) − f (α)c) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x 0 ∈ ( α, β ) ώστε να ισχύει: = g (x o ) g(β) − g(α) Κεφάλαιο 2ο | ∆ιαφορικός Λογισµός 15
  16. 16. Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com Γ΄ ΛυκείουΕρώτηση 11η « Αντιπαραγώγιση»α) Τι ονοµάζουµε αντιπαραγώγιση;(Σηµείωση: ∆εν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο µε αυτό τον όρο, αλλά µε τον όρο αρχική ή παράγουσα)β) Πω̋ το θεώρηµα του Rolle µπορεί να µα̋ αποδείξει ότι µια εξίσωση έχει µια τουλάχιστον ρίζα (χωρί̋ ναισχύει κατ’ ανάγκη το θεώρηµα Bolzano);Άσκηση 45ηΣυµπληρώστε το παρακάτω πίνακα µε τι̋ βασικέ̋ συναρτήσει̋ που µα̋ δίνουν την αντιπαραγώγιση Συνάρτηση Αντιπαραγώγιση 0 1 c xv ηµx συνx 1 συν 2 x 1 ηµ 2 x ex 1 x f v ( x ) ⋅ f ′( x ) f ′( x ) 2 f (x) Κεφάλαιο 2ο | ∆ιαφορικός Λογισµός 16
  17. 17. Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com Γ΄ Λυκείου f ′( x ) f (x) f (x) e ⋅ f ′( x ) f (x) α ⋅ f ′( x ) ηµf ( x ) ⋅ f ′ ( x ) συνf ( x ) ⋅ f ′ ( x ) f ′( x ) συν 2 f ( x ) f ′( x ) ηµ 2 f ( x ) f ′ ( x ) + g′ ( x ) f ′ ( x ) − g′ ( x ) λ ⋅ f ′( x ) f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g′ ( x ) f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g′ ( x ) g2 ( x )Άσκηση 46ηΝα αποδείξετε ότι η εξίσωση 3λx 2 + 2x − ( λ + 1) = 0, λ ∈ R* έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (0, 1).Άσκηση 47ηΝα αποδείξετε ότι η εξίσωση 4x 3 − 4x + 1 = 0 έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο (0, 1)Άσκηση 48ηΝα δείξετε ότι η εξίσωση 3αx 2 + 2β x − ( α + β ) = 0 µε α, β πραγµατικού̋ αριθµού̋, έχει µια τουλάχιστον ρίζα στοδιάστηµα (0, 1)Άσκηση 49η 1− xΝα δείξετε ότι η εξίσωση 1 + x = e1+ x έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (0, 1)[Υπόδειξη: Με την βοήθεια αντιπαραγώγιση̋ έχουµε: ln (1 + x ) + x − 1 = 0 ⇔ ( x − 1)′ ⋅ ln (1 + x ) + ( x − 1) ⋅ ( ln (1 + x ) )′ = 0 ] 1+ x Κεφάλαιο 2ο | ∆ιαφορικός Λογισµός 17
  18. 18. Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com Γ΄ ΛυκείουΕρώτηση 12η «Το πολύ µια ρίζα»α) Πω̋ αποδεικνύουµε µε τη βοήθεια του θεωρήµατο̋ του Rolle, ότι µια εξίσωση f (x) = 0 έχει το πολύ µια ρίζα σεένα διάστηµα (α, β);β) Γενίκευση: Όταν έχουµε να δείξουµε για κ το πολύ ρίζε̋;Άσκηση 50ηΝα αποδείξετε ότι η εξίσωση x 3 − 12x + a = 0, a ∈ R έχει το πολύ µια ρίζα στο διάστηµα ( -2 , 2).Άσκηση 51η f (x)Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : R → R τέτοια ώστε για κάθε x ∈ R να ισχύει f ( x ) + e = x 3 + x − 2011 .Να αποδείξετε ότι η C f τέµνει τον άξονα x’ x το πολύ σε ένα σηµείο.Άσκηση 52ηΝα αποδείξετε ότι η εξίσωση αx 2 + βx + γ = e x , όπου α, β, γ ∈ R µε α ≠ 0 , έχει το πολύ τρει̋ πραγµατικέ̋ ρίζε̋.Ερώτηση 13η «Ακριβώ̋ µια ρίζα»Γράψτε όλου̋ του̋ τρόπου̋ που αποδεικνύουµε µια εξίσωση f (x) = 0 έχει µια ακριβώ̋ ρίζα σε ένα διάστηµα (α, β)Άσκηση 53η (Rolle – προφανή̋ λύση)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x + x + ln x = 2 έχει ακριβώ̋ µια ρίζα στο ( 0, +∞ ) 2Άσκηση 54η (Rolle – Bolzano)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 5 + αx 3 + 2ηµx + β = 0 όπου α, β∈ R µε α > 0 και −2 < β < 0 . Να αποδείξετε ότι  πέχει µοναδική ρίζα στο διάστηµα  0,   2Άσκηση 55η (∆ύο ακριβώ̋ ρίζε̋) – (Σπάσιµο διαστηµάτων – Bolzano – Rolle – άτοπο )Έστω f : [ −π, π] → R συνάρτηση µε τύπο f ( x ) = x 2 − xηµx − συνx τότε να δείξετε ότι η εξίσωση f ( x ) = 0 έχειδύο ακριβώ̋ λύσει̋ στο διάστηµα ( −π, π ) .Άσκηση 56η (Γενική άσκηση) – (Rolle – ενδιαµέσων τιµών – Μέγιστη̋ και ελάχιστη̋ τιµή̋)Η συνάρτηση f : R → R είναι παραγωγίσιµη στο [1, 7] και ισχύει f (1) + f ( 3) = f ( 4 ) + f ( 7 ) . Να αποδείξετε ότιυπάρχει τουλάχιστον ένα ξ∈ (1,7 ) τέτοιο ώστε f ′ ( ξ ) = 0Σηµείωση: Υπάρχει ξεχωριστό ένθετο µε θεωρία, µεθοδολογία και ασκήσει̋ για το Θεώρηµα του Rolle. Γιαπλήρη κάλυψη τη̋ κατηγορία αυτή̋, προτείνετε η ταυτόχρονη µελέτη και των δύο φυλλαδίων. Κεφάλαιο 2ο | ∆ιαφορικός Λογισµός 18
  19. 19. Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com Γ΄ Λυκείου Μάθηµα 6ο – Θεώρηµα µέσης τιµής (Θ.Μ.Τ)Ερώτηση 14η «Το θεώρηµα µέση̋ τιµή̋»α) ∆ιατυπώστε το θεώρηµα µέση̋ τιµή̋ (συντοµογραφικά αναφέρεται Θ.Μ.Τ)(Σηµείωση: Στην βιβλιογραφία αναφέρεται και ω̋ Θεώρηµα Langrange)β) ∆ώστε την γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατο̋γ) Τι σχέση έχει το Θ.Μ.Τ µε το θεώρηµα του Rolle;Άσκηση 57ηΝα εξετάσετε ποιε̋ από τι̋ παρακάτω συναρτήσει̋ ικανοποιούν τι̋ πρὁποθέσει̋ του Θ.Μ.Τ στο διάστηµα [-1,1] 2x 2 + x x < 0 4 − x 3 | x |≠ 1α) f (x) =| x 2 − x | β) f (x) =  γ) f (x) =   x +x x≥0 | x |= 1 3  3Άσκηση 58η  2x 2 + 5 −1 ≤ x ≤ 1∆ίνεται η συνάρτηση f (x) =  . Να δείξετε ότι ικανοποιούνται οι πρὁποθέσει̋ − x + 4x − x + 5 1 < x ≤ 2 3 2 f (3) − f (0)του Θ.Μ.Τ στο [-1, 2] και στην συνέχεια να βρείτε ξ ∈ (0, 3) ώστε: f (ξ) = 3Άσκηση 59η  x 2 − 3x − α 0 ≤ x ≤ 1∆ίνεται η συνάρτηση f (x) =   x + βx + 1 1 < x ≤ 3 2α) Να προσδιορίσετε τα α, β ∈ R ώστε να ισχύει το Θ.Μ.Τ στο διάστηµα [0, 3].Για α = - 1 και β = - 3, f (3) − f (0)β) Βρείτε τα ξ ∈ (0, 3) ώστε f (ξ) = 3γ) Να προσδιορίσετε σηµείο Μ στη γραφική παράσταση τη̋ ƒ όπου η εφαπτοµένη τη̋ να είναι παράλληλη προ̋την ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία Α(3, 1) και Β(2,- 2).Άσκηση 60η∆ίνεται συνάρτηση ƒ συνεχή̋ στο [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β) µε ƒ(α) = 2β και ƒ(β) = 2α. Να δείξετε ότιυπάρχει ξ ∈ (α, β) ώστε η εφαπτοµένη τη̋ γραφική̋ παράσταση̋ τη̋ συνάρτηση̋ f στο σηµείο (ξ, ƒ(ξ)) να είναιπαράλληλη στην ευθεία: y + 2x = e 2Ερώτηση 15ηα) Πω̋ συνδυάζεται το θεώρηµα µέση̋ τιµή̋ (ΘΜΤ) µε το θεώρηµα Bolzano ή το θεώρηµα ενδιαµέσων τιµών;β) Όταν η άσκηση αναφέρεται για δύο σηµεία x1 και x2 τέτοια ώστε τα f ′ ( x1 ) ,f ′ ( x 2 ) να βρίσκονται µέσα στηνζητούµενη σχέση - εξίσωση, τότε τι θα κάνουµε;Άσκηση 61η (Θ.Μ.Τ + Bolzano)Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : [ α, β] → R , µε f ( α ) = α και f ( β ) = β , όπου 0 < α < β . Να αποδείξετεότι:α) Υπάρχει x 0 ∈ ( α, β ) τέτοιο ώστε f ( x 0 ) = α + β − x 0β) Υπάρχουν ξ1 ∈ ( α, x 0 ) και ξ2 ∈ ( x 0 , β ) τέτοια ώστε f ′ ( ξ1 ) ⋅ f ′ ( ξ2 ) = 1Άσκηση 62η (Θ.Μ.Τ + «σπάσιµο» διαστήµατο̋)Έστω συνάρτηση ƒ για την οποία είναι συνεχή̋ στο [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β) και ƒ(α) = ƒ(β) Κεφάλαιο 2ο | ∆ιαφορικός Λογισµός 19
  20. 20. Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com Γ΄ ΛυκείουΝα δείξετε ότι υπάρχουν χ1, χ2∈(α, β) τέτοια ώστε: f (x1 ) + f (x 2 ) = 0Άσκηση 63η (Α’ ∆έσµη – Εξετάσει̋ 2001)Έστω συνάρτηση f :[α, β] → R συνεχή̋ στο [α, β] και παραγωγίσιµη (α, β) µε f (α) = 2β και f ( β ) = 2α .α) Να αποδείξετε ότι η f (x) = 2x έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο (α, β)β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ1, ξ2 ∈(α, β) τέτοια ώστε: f (ξ1 ) ⋅ f (ξ2 ) = 4Άσκηση 64η (Θ.Μ.Τ + Rolle)Έστω συνάρτηση ƒ δύο φορέ̋ παραγωγίσιµη στο διάστηµα [1, 3]. Αν είναι 2f (2) = f (1) + f (3)α) Να εφαρµόσετε το θεώρηµα µέση̋ τιµή̋ στα διαστήµατα [1, 2] και [2, 3]β) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει σηµείο x0 ∈ (1, 3) τέτοιο ώστε: f (x o ) = 0Άσκηση 65η (Θ.Μ.Τ + Θ.Ε.Τ)Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : [ 0,1] → R µε f ( 0 ) = 0 και f (1) = 1 . Να αποδείξετε ότι: 1 1 1α) Υπάρχει x 0 ∈ ( 0,1) ,ώστε f ( x 0 ) = β) Υπάρχουν ξ1 , ξ 2 ∈ ( 0,1) , ώστε + =2 2 f ′ ( ξ1 ) f ′ ( ξ2 )Ερώτηση 16η (Θεώρηµα µέση̋ τιµή̋ και ανισοτικέ̋ σχέσει̋)Πω̋ µα̋ βοηθάει το Θ.Μ.Τ για να αποδείξουµε ανισοτικέ̋ σχέσει̋;Άσκηση 66η (Θ.Μ.Τ και ανισότητε̋)Να αποδείξετε τι̋ παρακάτω ανισότητε̋ µε την βοήθεια του Θ.Μ.Τ:α) ηµβ − ηµα ≤ β − α για α, β ∈ ℛ 1  x +1 1 ε) < ln  < , x ∈ ℛ*+ x +1  x  xβ) x + 1 ≤ e ≤ xe + 1 , x ∈ ℛ x x στ) vβv −1 (α − β) < a v − βv < vα v −1 (α − β) µε 0 < β < αγ) συν 2 x − συν 2 y ≤ x − y , x, y ∈ ℛ µε x ≠ y και ν > 1 β−α β−α π ex − ey ζ) ≤ εφβ − εφα ≤ µε 0 < α ≤ β <δ) e ≤ ≤ e y ,x, y ∈ ℛ µε x ≠ y x συν α 2 συν β 2 2 x−yΆσκηση 67ηΝα αποδείξετε ότι: x −1 2  ln x α) ≤ ln x ≤ x − 1 για κάθε x ∈(0, + ∞ ) β) ≤ ln 3 ≤ 2 γ) lim   =1 x 3 x →1  x −1Άσκηση 68η (ΘΜΤ + Β Λυκείου Άλγεβρα‼)Έστω συνάρτηση f : [ α, β] → R δύο φορέ̋ παραγωγίσιµη στο διάστηµα [ α, β] και x1 , x 2 , x 3 ∈ [ α, β] . Ανx1 , x 2 , x 3 και f ( x1 ) ,f ( x 2 ) ,f ( x 3 ) αποτελούν ξεχωριστέ̋ αριθµητικέ̋ προόδου̋, να δείξετε ότι υπάρχει έναγ ∈ ( α, β ) τέτοιο ώστε f ′′ ( γ ) = 0 . Κεφάλαιο 2ο | ∆ιαφορικός Λογισµός 20
  21. 21. Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com Γ΄ ΛυκείουΆσκηση 69η (Ανισοτικέ̋ σχέσει̋ και ΘΜΤ, Rolle, Bolzano)Έστω δυο φορέ̋ παραγωγίσιµη συνάρτηση f : [ α, β] → R µε f (α) > 0 , f ( β ) > 0 και f ( γ ) < 0 για κάποιογ ∈ ( α, β ) . Να αποδείξετε ότι:α) Η εξίσωση f (x) =0 έχει τουλάχιστον δύο ρίζε̋ στο (α, β)β) Υπάρχει x 0 ∈ ( α, β ) ώστε η εφαπτοµένη τη̋ C f στο σηµείο x0 να είναι παράλληλη στον άξονα x’ x.γ) Υπάρχει ξ ∈ ( α, β ) ώστε f ′′ ( ξ ) > 0Σηµείωση: Υπάρχει ξεχωριστό ένθετο µε θεωρία, µεθοδολογία και ασκήσει̋ για το Θεώρηµα του Rolle. Γιαπλήρη κάλυψη τη̋ κατηγορία αυτή̋, προτείνετε η ταυτόχρονη µελέτη και των δύο φυλλαδίων. Κεφάλαιο 2ο | ∆ιαφορικός Λογισµός 21
  22. 22. Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com Γ΄ Λυκείου Μάθηµα 7ο – Σταθερή συνάρτησηΕρώτηση 17η « Σταθερή συνάρτηση»α) Γράψτε τον ορισµό, τι̋ ιδιότητε̋ και σχεδιάστε την γραφική παράσταση τη̋ σταθερή̋ συνάρτηση̋β) Σωστό ή Λάθο̋; Αν f ( x ) = c στο διάστηµα ∆, όπου c πραγµατικό̋ αριθµό̋, τότε f ′ ( x ) = 0γ) Το αντίστροφο τη̋ πρόταση̋ β ισχύει; ∆ιατυπώστε και αποδείξτε το ανάλογο θεώρηµαδ) Το θεώρηµα ισχύει για ένωση διαστηµάτων; Αναφέρεται παράδειγµα που αποδεικνύει τον ισχυρισµό σα̋Άσκηση 70η – Κατηγορία 1η: Εύρεση τύπουΈστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : ( 0, +∞ ) → R µε f (1) = 2 και xf ′ ( x ) = f ( x ) για κάθε x > 0. f (x)α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g ( x ) = είναι σταθερή στο ( 0, +∞ ) xβ) Να βρείτε τον τύπο τη̋ fΆσκηση 71ηΈστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : ( 0, +∞ ) → R µε xf ′ ( x ) = 2 ⋅ f ( x ) για κάθε x > 0.  f ( x ) ′α) Να αποδείξετε ότι   2   = 0 για κάθε x > 0.  x β) Αν f (1) = 2012 τότε να βρείτε τον τύπο τη̋ f.Άσκηση 72η – Κατηγορία 2η : Η ζητούµενη σχέση περιέχει µια σταθερά c∆ίνεται συνάρτηση f : R → R δύο φορέ̋ παραγωγίσιµη τέτοια ώστε: f ′′ ( x ) + f ( x ) = 0 για κάθε x ∈ R .α) Να δείξετε ότι υπάρχει c ∈ R + τέτοιο ώστε f ′ ( x ) ( ) + (f ( x )) 2 2 = c.β) Ποιο̋ είναι ο τύπο̋ τη̋ συνάρτηση̋ f αν f ′ ( 99 ) = f ( 99 ) = 0 ;Άσκηση 73η (Βασική άσκηση – θεωρία)∆ίνεται συνάρτηση f τέτοια ώστε f ′ ( x ) = f ( x ) για κάθε x ∈ R , τότε να δείξετε ότι υπάρχει c ∈ R τέτοιο ώστε:f ( x ) = c ⋅ exΆσκηση 74η (Βασική άσκηση – Γενίκευση)∆ίνεται συνάρτηση f τέτοια ώστε f ′ ( x ) = λf ( x ) λ ∈ R* , για κάθε x ∈ R , τότε να δείξετε ότι υπάρχει c∈ Rτέτοιο ώστε: f ( x ) = c ⋅ e −λxΆσκηση 75η − x ⋅ ln x ⋅ f ′ ( x )∆ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f τέτοια ώστε f ( x ) = για κάθε x ∈ ( 0,1) ∪ (1, +∞ ) . Να 2 cαποδείξετε ότι ο τύπο̋ τη̋ f είναι f ( x ) = , c∈R . ( ln x ) 2Άσκηση 76η – Εφαρµογή τη̋ βασική̋ άσκηση̋ 73∆ίνονται οι παραγωγίσιµε̋ συναρτήσει̋ f ,g : R → R µε f ( x ) − f ′ ( x ) = g ( x ) − g′ ( x ) για κάθε x ∈ R . Ανh ( x ) = f ( x ) − g ( x ) τότε:α) Να δείξετε ότι: h ′ = h β) Αν f ( 2011) = g ( 2011) τότε να δείξετε ότι οι συναρτήσει̋ f ,g είναι ίσε̋. Κεφάλαιο 2ο | ∆ιαφορικός Λογισµός 22
  23. 23. Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com Γ΄ ΛυκείουΆσκηση 77η «Άσκηση Ε.Μ.Ε.»Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R µε f ′ ( 0 ) = 2 και ισχύουν f ( y + x ) = f ( y ) f ( x ) e 2 yx και f ( x ) ≠ 0για κάθε x, y∈R , να αποδείξετε ότι:α) f ( 0 ) = 1β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση τη̋ συνάρτηση̋ f βρίσκεται στο πρώτο και δεύτερο τεταρτηµόριο.γ) f ′ ( x ) = 2f ( x )( x + 1) για κάθε x ∈ R f (x)δ) Η συνάρτηση g ( x ) = 2 είναι σταθερή στο R. (Βοηθητικό ερώτηµα, µπορεί και να µην δίνεται) + 2x exε) Να βρεθεί ο τύπο̋ τη̋ f.Άσκηση 78η «Άσκηση Ε.Μ.Ε.»∆ίνονται οι παραγωγίσιµε̋ συναρτήσει̋ f και g στο R ώστε να ισχύουν οι επόµενε̋ πρὁποθέσει̋:α) f ( x ) ≠ 0 και g ( x ) ≠ 0 για κάθε x ∈ Rβ) f ( 0 ) = g ( 0 ) = 1 1 1γ) f ′ ( x ) = και g ′ ( x ) = − g (x) f (x)Αποδείξτε ότι:1. f ( x ) ⋅ g ( x ) = 1 για κάθε x ∈ R (Υπόδειξη: Προσοχή το ρόλο του c στην περίπτωση αυτή παίζει το 1 )2. Υπολογίστε του̋ τύπου̋ των συναρτήσεων f, gΆσκηση 79η (Εξετάσει̋ 1992 – Α ∆έσµη) – Βασική άσκηση 73  π πΝα βρεθεί συνάρτηση f ορισµένη στο διάστηµα  − ,  η οποία ικανοποιεί τι̋ σχέσει̋  2 2 f ′ ( x ) ⋅ συνx + f ( x ) ⋅ ηµx = f ( x ) ⋅ συνx και f (0) = 1992 Κεφάλαιο 2ο | ∆ιαφορικός Λογισµός 23
  24. 24. Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com Γ΄ Λυκείου Μάθηµα 8ο – Συναρτήσεις µε ίσες παραγώγους ( f ′ = g′ )Ερώτηση 18η «Ίσε̋ παραγώγου̋ συναρτήσεων»α) Υπενθυµίστε πότε δύο συναρτήσει̋ f, g λέγονται ίσε̋.β) Σωστό ή Λάθο̋: Αν f, g παραγωγίσιµε̋ συναρτήσει̋ στο R τότε ισχύει f = g ⇒ f ′ = g ′γ) Ισχύει το αντίστροφο τη̋ πρόταση̋ (β); ∆ιατυπώστε και αποδείξτε την ανάλογη πρόταση του βιβλίου.δ) Αν η ζητούµενη σχέση είναι τη̋ µορφή̋ Α(x) = Β(x), τότε µπορούµε να πάρουµε και τα δύο µέλη και ναπαραγωγίσουµε κατά µέλη ; ∆ικαιολογήστε την απάντησή σα̋.ε) Αν θέλουµε να αποδείξουµε ότι δύο παραγωγίσιµε̋ συναρτήσει̋ f, g είναι ίσε̋, εκτό̋ από τον ορισµό τη̋ισότητα̋ των συναρτήσεων, ποιο̋ άλλο̋ τρόπο̋ υπάρχει;στ) Αν f ′′ ( x ) = g ′′ ( x ) όπου f, g δύο φορέ̋ παραγωγίσιµε̋ συναρτήσει̋ και ορισµένε̋ στο R , τότε ποια σχέσησυνδέσει τι̋ συναρτήσει̋ f, g;Σηµείωση: ∆ιαβάστε τον πίνακα αντιπαραγωγίσεων που δόθηκε στο µάθηµα 5 / σελ. 12 – 13 στο Θεώρηµα του Rolle,χρειάζεται για την επίλυση των ασκήσεων !Άσκηση 80η « Εύρεση τύπου»(Α) Αν f (1) =1 βρείτε τον τύπο τη̋ f στι̋ παρακάτω περιπτώσει̋: 1 x +1α) f ′ ( x ) = , x>0 β) xf ′ ( x ) + f ( x ) = 3x 2 + 2x + 1, x > 0 γ) e − x f ′ ( x ) − e − x f ( x ) = , x>0 x x ex ( )δ) e − x ⋅ f ′ ( x ) − f ( x ) = ex + 1 , x > 0 ε) f ′′ ( x ) + f ′ ( x ) = 2e x , x ∈ R και επιπροσθέτω̋ δίνεται f ′ (1) = 2e − 1(Β) Βρείτε τον τύπο τη̋ f για τα υποερωτήµατα (α), (β), (γ) και (δ) αν το πεδίο ορισµού τη̋ συνάρτηση̋ ήταν τοR* (δε̋ στην επόµενη σελίδα την άσκηση για προβληµατισµό).Άσκηση 81η (Εξετάσει̋ 2001)Να βρείτε τη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f ′′ ( x ) = 6x + 4 για κάθε x ∈ R και η γραφική τη̋ παράσταση στοσηµείο Α (0,3) έχει κλίση 2.Άσκηση 82η (Εξετάσει̋ 2002)Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : ( 0, +∞ ) → R για την οποία ισχύουν f (1) = 0 και xf ′ ( x ) − 2f ( x ) = x γιακάθε x ∈ ( 0, +∞ ) . Να βρείτε τον τύπο τη̋ συνάρτηση̋ f.Άσκηση 83η (Εξετάσει̋ 2005) x −f ( x )Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε να ισχύει η σχέση 2f ′ ( x ) = e για κάθε x ∈ R , και  1 + ex f ( 0 ) = 0 . Να αποδείξετε ότι: f ( x ) = ln    2 Άσκηση 84ηΈστω συνάρτηση f δύο φορέ̋ παραγωγίσιµη στο ( 0, +∞ ) και ισχύουν f (1) = 2, f ′ (1) = 3 καιx 2 ⋅ f ′′ ( x ) − x ⋅ f ′ ( x ) + f ( x ) = 0 για κάθε x > 0 .  f ( x ) ′α) Να αποδείξετε ότι: f ′′ ( x ) =   x  για κάθε x > 0 .   β) Να βρείτε τον τύπο τη̋ f. Κεφάλαιο 2ο | ∆ιαφορικός Λογισµός 24
  25. 25. Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com Γ΄ ΛυκείουΆσκηση 85η (1η ∆έσµη εξετάσει̋ 1998)∆ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : ( 0, +∞ ) → R για την οποία ισχύουν f ( x ) > 0 και f ′ ( x ) + 2xf ( x ) = 0για κάθε x > 0 και η γραφική τη̋ παράσταση διέρχεται από το σηµείο Α (1, 1).Να δείξετε ότι η f ′ είναι συνεχή̋ στο ( 0, +∞ ) και να βρείτε την συνάρτηση f. Άσκηση για προβληµατισµόΈστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : R → R τέτοια ώστε x ⋅ f ′ ( x ) − f ( x ) = x, x ∈ R µε f (1) = 1 ,τότε η παρακάτω λύση είναι σωστή; ∆ικαιολογήστε την απάντησή σα̋ και βγάλτε τα κατάλληλασυµπεράσµατα. Αντιµετώπιση για προβληµατισµόΠαίρνουµε την δεδοµένη σχέση και έχουµε διαδοχικά: x ⋅ f ′ ( x ) − f ( x ) = x ⇔ διαιρούµε και τα δύο µέλη µε x 2 ≠ 0 x ⋅ f ′ ( x ) − ( x )′ ⋅ f ( x ) x ⇔ 2 = , x≠0 x x2  f ( x ) ′ ⇔ x  = ln x , x ≠ 0    f (x) ⇔ = ln x + c, x ≠ 0 x ⇔ f ( x ) = x ln x + cx, x ≠ 0Όµω̋ f (1) = 1 ⇒ c = 1 άρα ο τύπο̋ τη̋ συνάρτηση̋ είναι f ( x ) = x ln x + x, x ≠ 0Συµφωνείτε; Στην συνέχεια λύστε την άσκηση 80 (Β) στην προηγούµενη σελίδα. Κεφάλαιο 2ο | ∆ιαφορικός Λογισµός 25
  26. 26. Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com Γ΄ Λυκείου Μάθηµα 9ο – Μονοτονία συνάρτησηςΕρώτηση 19η «Μονοτονία συνάρτηση̋»α) Υπενθυµίστε τον ορισµό γνησίω̋ αύξουσα̋, γνησίω̋ φθίνουσα̋ και µονοτονία̋ συναρτήσεων σ’ ένα διάστηµα∆. Τι σχέση έχει η µονοτονία µε την ένα προ̋ ένα συνάρτηση; Τι σχέση έχει η µονοτονία µε την εξίσωση f(x)=0;β) Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχή̋ στο διάστηµα ∆ και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Ποιαπρόταση συνδέει τα πρόσηµα τη̋ f ′ µε την µονοτονία τη̋ f ; Να την διατυπώσετε.γ) Να αποδείξετε την πρόταση που διατυπώσατε στο υποερώτηµα (β)δ) Η πρόταση του ερωτήµατο̋ β ισχύει για ένωση ανοικτών διαστηµάτων; Για ένωση κλειστών διαστηµάτων;Αναφέρεται παράδειγµα που να δικαιολογεί κάθε φορά τον ισχυρισµό σα̋. (∆ε̋ παρακάτω τα Σωστά – Λάθο̋)ε) Εξηγήστε γιατί το αντίστροφο τη̋ πρόταση̋ του β ερωτήµατο̋ δεν ισχύει αναφέροντα̋ ένα παράδειγµα.∆ιατυπώστε κατάλληλα το αντίστροφο τη̋ πρόταση̋.Σωστό ή Λάθο̋; Ερωτήσει̋ πάνω στην θεωρίαi. Έστω συνάρτηση f ορισµένη στο διάστηµα (a, b), τέτοια ώστε να είναι γνησίω̋ µονότονη στα διαστήµατα( a, x 0 ) και ( x 0 , b ) , τότε πάντα η f θα είναι γνησίω̋ µονότονη (µε το ίδιο είδο̋ µονοτονία̋) στην ένωση τωνδιαστηµάτων του̋, δηλαδή στο ( a, x 0 ) U ( x 0 , b )ii. Έστω συνάρτηση f ορισµένη στο διάστηµα (a, b), τέτοια ώστε να είναι γνησίω̋ µονότονη στο διάστηµα ( a, x 0 )και ( x 0 , b ) , επίση̋ συνεχή̋ στο σηµείο x 0 ,τότε πάντα η f θα είναι γνησίω̋ µονότονη (µε το ίδιο είδο̋µονοτονία̋) στην ένωση των διαστηµάτων του̋, δηλαδή στο ( a, x 0 ) U ( x 0 , b )Άσκηση 86ηΜελετήστε ω̋ προ̋ την µονοτονία τη̋ παρακάτω συναρτήσει̋ στο πεδίο ορισµού̋ του̋ 4 − x 2 , x ≤1α) f ( x ) = 2x 3 − 3x 2 − 12x β) f ( x ) =  x+2 , x >1 ex x 2 − 3xγ) f ( x ) = δ) f ( x ) = x x−2Άσκηση 87ηΣτο παραπάνω σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση τη̋παραγώγου f ΄ µια συνάρτηση f. Να µελετήσετε την f ω̋ προ̋ τηµονοτονία.Άσκηση 88η∆ίνεται συνάρτηση̋ f που ορίζεται στο R και η παράγωγο̋ f ΄ έχει τύπο f ′ ( x ) = −7 ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x + 2 ) ⋅ ( x − 3) για 2 3x ∈ R . Βρείτε τη µονοτονία τη̋ f.Άσκηση 89ηΗ συνάρτηση f είναι δύο φορέ̋ παραγωγίσιµη στο R και ισχύει f ′′ ( x ) < 0 για κάθε x ∈ R . Αν είναι f ′( x ) + x2 − 1lim = 1 τότε: x →1 x −1α) Να αποδείξετε ότι: f ′ (1) = 0 β) Να µελετήσετε την f ω̋ προ̋ τη µονοτονίαΆσκηση 90η «Μονοτονία και σύνολο τιµών»Βρείτε το σύνολο τιµών για τι̋ παρακάτω συναρτήσει̋ (όπου ορίζονται) 1 xα) f ( x ) = ln x + x 2 − β) f ( x ) = γ) f ( x ) = ln x − ln (1 − x ) x x2 + 1 Κεφάλαιο 2ο | ∆ιαφορικός Λογισµός 26
  27. 27. Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com Γ΄ Λυκείου x 1δ) f ( x ) = ε) f ( x ) = e − x − ln x − 1 στ) f ( x ) = x + 1+ x x −3Άσκηση 91η «Μονοτονία και εξισώσει̋»Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσει̋ f (x) =0 έχουν µια ακριβώ̋ ρίζα στο διάστηµα που δίνεται. 1α) f ( x ) = x 3 + 2x − 1 − ηµ 2x (0, 1) β f ( x ) = 1 + ln (1 + x ) − γ ) f ( x ) = x 3 + 5x + 1 (-1 ,0) x +1Άσκηση 92η «Μονοτονία και σχέσει̋»Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύουν χωριστά οι παρακάτω σχέσει̋. Νααποδείξετε ότι η f είναι γνησίω̋ µονότονη στο πεδίο ορισµού τη̋.α) f 3 ( x ) + f ( x ) = συνx, για κάθε x ∈ [ 0, π] β) 2f 3 ( x ) + 6f ( x ) = 2x 3 + 3x 2 + x − 3Άσκηση 93η «Μονοτονία και ανισώσει̋»Να αποδείξετε τι̋ παρακάτω ανισώσει̋ x2α) 2ηµx + εϕx ≥ 3x, για κάθε x ∈ R β) e x + > x + 1, για κάθε x > 0 2 α 4 α 3 β 4 β3 xγ) − ≤ − , για κάθε 1 ≤ α ≤ β δ) ln ( x + 1) ≤ , για κάθε x ≥ 0 4 3 4 3 1+ xΆσκηση 94η «Μονοτονία και επίλυση ανίσωση̋»∆ίνεται συνάρτηση f : ( −1, +∞ ) → R µε τύπο: f ( x ) = 2 ln ( x + 1) + x 2 − 2xα) Να µελετήσετε την f ω̋ προ̋ την µονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση f ( x ) ≥ 0Άσκηση 95ηΘεωρούµε τη συνάρτηση f : [ 0, +∞ ) → R µε τύπο f ( x ) = x + x + 8α) Να µελετήσετε την f ω̋ προ̋ την µονοτονίαβ) Βρείτε το f (1) και στη συνέχεια λύστε την ανίσωση 2⋅ ( x + x+4 2 >4 )Άσκηση 96η (Εξετάσει̋ 2006) 1 + ex∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = , x∈R 1 + e x +1α) Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ω̋ προ̋ τη µονοτονία ( ) ( ) ( ) ( )β) Για κάθε x < 0 να αποδείξετε ότι: f 5 x + f 7 x < f 6 x + f 8xΆσκηση 97ηΑ. Θεωρούµε συνάρτηση f ( x ) = x − 1 − ln x για x ∈ [1, +∞ ) . Να αποδείξετε ότι:α) Η f είναι γνησίω̋ αύξουσα στο [1, +∞ )β) x − 1 − ln x > 0, για κάθε x > 1 x ln xΒ. Έστω η συνάρτηση g : (1, +∞ ) → R µε τύπο: g ( x ) = x −1α) Να µελετήσετε τη g ω̋ προ̋ τη µονοτονία α ( β−1)β) Αν 1 < α < β , να αποδείξετε ότι: α < ββ( α−1) Κεφάλαιο 2ο | ∆ιαφορικός Λογισµός 27
  28. 28. Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com Γ΄ Λυκείου Μάθηµα 10ο – Ακρότατα συνάρτησηςΕρώτηση 20η «Ορισµό̋ τοπικών και ολικών ακροτάτων»α) Ορίστε στον άξονα των πραγµατικών αριθµών µια περιοχή του x0β) Έστω συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α και x 0 ∈ A τότε δώστε του̋ ορισµού̋1. Ολικό µέγιστο και ελάχιστο στο x0 και σχήµα χωριστά2. Τοπικό µέγιστο και ελάχιστο στο x 0 και σχήµα χωριστά3. Τοπικά ακρότατα και θέσει̋ τοπικών ακροτάτων4. Ολικά ακρότατα ή πιο απλά ακρόταταΆσκηση 98ηΣωστό ή Λάθο̋; ∆ικαιολογήστε την απάντησή σα̋α) Ένα τοπικό µέγιστο είναι πάντα υψηλότερα από ένα τοπικό ελάχιστοβ) Αν η f παρουσιάζει µέγιστο τότε αυτό θα είναι το µεγαλύτερο από όλα τα τοπικά µέγιστα τη̋ συνάρτηση̋γ) Αν η f παρουσιάζει ελάχιστο τότε αυτό θα είναι το µικρότερο από όλα τα τοπικά ελάχιστα τη̋ συνάρτηση̋δ) Το µεγαλύτερο από τα τοπικά µέγιστα µια̋ συνάρτηση̋, είναι πάντα µέγιστο τη̋ συνάρτηση̋ε) Το µικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα µια̋ συνάρτηση̋, είναι πάντα ελάχιστο τη̋ συνάρτηση̋στ) Κάθε συνεχή̋ συνάρτηση σε ένα ανοικτό διάστηµα (α, β) έχει µέγιστο και ελάχιστο (τοπικό ή ολικό)ζ) Κάθε συνεχή̋ συνάρτηση σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β] έχει µέγιστο και ελάχιστο (τοπικό ή ολικό)η) Αν η f είναι γνησίω̋ µονότονη στο ανοικτό διάστηµα (α, β) τότε δεν έχει ακρότατα.θ) Αν η f είναι γνησίω̋ µονότονη στο κλειστό διάστηµα [α, β] τότε δεν έχει ακρότατα.ι) Κάθε συνάρτηση έχει τοπικά ακρόταταΕρώτηση 21η «Θεώρηµα Fermat»α) ∆ιατυπώστε και αποδείξτε το Θεώρηµα Fermatβ) ∆ώστε γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατο̋. Ισχύει το αντίστροφο του θεωρήµατο̋; ∆ικαιολογήστε τηναπάντησή σα̋.γ) Αν το x0 είναι εσωτερικό σηµείο του πεδίου ορισµού και f ′ ( x 0 ) ≠ 0 τότε η f δεν παρουσιάζει ακρότατο στο x0(αντιθεταντίστροφο του Θεωρήµατο̋); ∆ικαιολογήστε την απάντησή σα̋.δ) Αν έχουµε δεδοµένο ανισότητα και θέλουµε να αποδείξουµε ή να καταλήξουµε σε ισότητα ποιο θεώρηµασκεφτόµαστε; Αναφέρετε τα βήµατα που ακολουθούµεΣηµείωση: Το Θεώρηµα Fermat «συνεργάζεται» καλά µε το Θεώρηµα µέγιστη̋ και ελάχιστη̋ τιµή̋, αρκεί νααποδείξουµε ότι τα ακρότατα δεν βρίσκεται στα άκρα του διαστήµατο̋, αλλά στα εσωτερικά του σηµεία. Κατηγορία 1: Σχέσει̋ που δεν έχουν ακρότατα»Άσκηση 99η∆ίνεται η συνάρτηση f : R → R τέτοια ώστε 2f 3 ( x ) + 6f ( x ) = 2x 3 + x + 1 για κάθε x ∈ R . Να αποδείξετε ότι ηf δεν έχει ακρότατα µε δύο τρόπου̋, α) Με µονοτονία και β) Με το Θεώρηµα FermatΆσκηση 100η (∆ίνεται η συνάρτηση f : R → R τέτοια ώστε 2f ′ ( x ) − f ( x ) ⋅ f ′ ( x ) ) 2012 = 2x 2 + x + 1 για κάθε x ∈ R . Νααποδείξετε ότι η f δεν έχει ακρόταταΆσκηση 101η (Εξετάσει̋ 2001)∆ίνεται η συνάρτηση f : R → R τέτοια ώστε f 3 ( x ) + β ⋅ f 2 ( x ) + γ ⋅ f ( x ) = x 3 − 2x 2 + 6x − 1 για κάθε x ∈ Rόπου β, γ ∈ R . Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει ακρότατα Κεφάλαιο 2ο | ∆ιαφορικός Λογισµός 28

×